数学中的反证法范文

导语：如何才能写好一篇数学中的反证法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

何 昊

（江苏省南京市第十三中学锁金分校）

摘 要：系统地介绍了理论基础，对反证法的逻辑形式，唯一的负命题，命题，肯定命题三用反证法适用的命题类型进行了详细讨论。

关键词：反证法；否定性；唯一性

在数学的诸多方法中，反证法是一种重要的证明方法，尤其在数学证明中，它是一种间接的证据，被称为“一个最先进的武器”的数学家.反证法经常被用来证明存在性、否定性、唯一性等一些不易直接下手的命题.用反证法证明命题成立的基本步骤可以简单地概括为“否定―推理―反驳―肯定”四个步骤.一个数学问题的解决方案，如果你觉得不足或没有启动的“条件”，不妨考虑反证法的使用.反证法的应用范围很广，比如代数、数论、几何、组合等方面的应用.

一、反证法的概念及类型

反谓反证法，就是在要证明“若A则B”时，可以先将结论B予以否定，记作，然后从A与出发，经正确的逻辑推理而得到矛盾，从而原命题得证.

反证法大致可分为以下两种类型：

归谬法：论题结论的反面只有一种情况，只要把这种情况就达到了目的.

穷举法：论题结论的反面不止一种情况，要一一驳倒，最后才能肯定原命题结论正确.

二、反证法常用于以下几种命题的证明

1.存在性命题

例1：证明A，B，C，D，E五数之和等于5，则其中必有一个不小于1.

分析：这个问题似乎很简单，但直接的证明是不容易的.因此，应用反证法，它可以很容易地证明.

证明：假设A，B，C，D，E都小于1，那么A+B+C+D+E

所以5个数都小于1不成立，故必有一个数不小于1，即原命题是正确的.

2.否定性命题

例2：设平面上有六个圆，每个圆的圆心都在其余各圆的外部.试证明：平面上任一点都不会同时在这六个圆的内部.

分析：直接证明某点在哪些圆的内部，在哪些圆的外部，有些困难，故最好用反证法来证明.

证明：假设平面内有一点M同时在这六个圆的内部，为了方便，我们把绕M的六个圆心从某个开始按顺时针方向分别记为A，B，C，D，E，F，连结MA，MB，MC，MD，ME，MF.

考虑AMB，M在A内，B在A外，所以有AB>AM，同理，AB>BM，即在AMB中，AB大于其他两边.

由“大边对大角”知，∠AMB>∠ABM.同理，∠AMB>∠BAM.

所以，3∠AMB>∠ABM+∠AMB+∠BAM=180°，

所以∠AMB>60°.

同理∠BMC、∠CMD、∠DME、∠EMF、∠FMA均大于60°.

所以∠AMB+∠BMC+∠CMD+∠DME+∠EMF+∠FMA>360°.

但是，很显然，这个角围成了一个周角，它们的和不可能大于360°，出现矛盾.

故而假设不正确，所以原命题成立.

3.唯一性命题

例3：求证方程x=sinx+a（a为常数）的解唯一.

分析：直接解或证明是非常困难的，作为唯一的命题往往采用反证法证明.

所以原方程的解是唯一的.

从上面的例子中，我们可以看到，最大的优势是反证法――超过一个或几个条件，从相反的结论来看，与一些已知的条件下，原出口的冲突，从而达到负的假设、肯定原命题的目的.从上面，我们应该充分利用反证法，必须正确把握灵活运用“反设”“归谬”这两个反证步骤.反设是反证法的第一步，能否正确否定结论，对论证的正确性有着直接的影响.

反证法是很巧妙的，它的应用是很广泛的，但究竟怎样的命题证明才适于用反证法，却很难回答，这是一个经验问题.

参考文献：

[1]李建泉.中等数学[M].中国学术电子出版社，2004.

[2]刘广云.数学分析选讲[M].哈尔滨：黑龙江教育出版社，1993.

[3]张顺燕.数学的思想、方法和应用[M].北京：北京大学出版社，2003.

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法国数学家阿达玛对反证法的实质作过概括：“若肯定定理的假设而否定其结论，就会导致矛盾”.具体地讲，反证法就是从否定命题的结论入手，并把对命题结论的否定作为推理的已知条件，进行正确的逻辑推理，使之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等相矛盾的原因是假设不成立，所以肯定了命题的结论，从而使命题获得了证明.

反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”和“排中律”.在同一思维过程中，两个互相矛盾的判断不能同时都为真，至少有一个是假的，这就是逻辑思维中的“矛盾律”；两个互相矛盾的判断不能同时都假，简单地说“A或者非A”，这就是逻辑思维中的“排中律”.反证法在其证明过程中，得到矛盾的判断，根据“矛盾律”，这些矛盾的判断不能同时为真，必有一假，而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的，所以“否定的结论”必为假.再根据“排中律”，结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假，必有一真，于是我们得到原结论必为真.所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的，反证法是可信的.

反证法的证题模式可以简要的概括为“否定推理否定”.即从否定结论开始，经过正确无误的推理导致逻辑矛盾，达到新的否定，可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”.应用反证法证明的主要三步是：否定结论 推导出矛盾 结论成立.实施的具体步骤是：

第一步，反设：作出与求证结论相反的假设；

第二步，归谬：将反设作为条件，并由此通过一系列的正确推理导出矛盾；

第三步，结论：说明反设不成立，从而肯定原命题成立.

在应用反证法证题时，一定要用到“反设”进行推理，否则就不是反证法.用反证法证题时，如果欲证明的命题的方面情况只有一种，那么只要将这种情况驳倒了就可以，这种反证法又叫“归谬法”；如果结论的方面情况有多种，那么必须将所有的反面情况一一驳倒，才能推断原结论成立，这种证法又叫“穷举法”.

在数学解题中经常使用反证法，牛顿曾经说过：“反证法是数学家最精当的武器之一”.一般来讲，反证法常用来证明的题型有：命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题；或者否定结论更明显.具体、简单的命题；或者直接证明难以下手的命题，改变其思维方向，从结论入手进行反面思考，问题可能会迎刃而解.

例1直线 ∥b，b∥c，那么直线 与c平行吗？为什么？

学生通过自学之后再小组讨论，很容易应用反证法想到：若直线 与c不平行，则与平行公理矛盾，从而得到结论.

例2 证明2为无理数.

假设2为有理数，那么存在两个互质的正整数p、q，使得：2=pq，于是p=2q.

两边平方得p2=2q2.

由2q2是偶数，可得p2是偶数.而只有偶数的平方才是偶数，所以p也是偶数.

因此，可设p=2s，代入上式，得：4s2=2q2.即：q2=2s2.

所以q也是偶数.这样，p、q都是偶数，不互质，这与假设p、q互质矛盾.

这个矛盾说明，根号2不能写成分数的形式，即2不是有理数.

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木.推理必须严谨.导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾.

图1例3 如图1，设SA、SB是圆锥SO的两条母线，O是底面圆心，C是SB上一点.求证：AC与平面SOB不垂直.

分析：结论是“不垂直”，呈“否定性”，考虑使用反证法，即假设“垂直”后再导出矛盾后，再肯定“不垂直”.

证明：假设AC平面SOB，因为 直线SO在平面SOB内， 所以 ACSO，因为 SO底面圆O， 所以 SOAB，所以 SO平面SAB， 所以平面SAB∥底面圆O，这显然出现矛盾，所以假设不成立.即AC与平面SOB不垂直.

注：否定性的问题常用反证法.例如证明异面直线，可以假设共面，再把假设作为已知条件推导出矛盾.

例4已知三个方程x2+4ax-4a+3=0

x2+（a-1）x+a2=0，

x2+2ax-2a=0.

至少有一个方程有实根，使求实数a的取值范围.

分析： 三个方程至少有一个方程有实根的反面情况仅有一种：三个方程均没有实根.先求出反面情况时 的范围，再所得范围的补集就是正面情况的答案.

解： 设三个方程均无实根，则有：

Δ1=16a2-4（-4a+3）

Δ2=（a-1）2-4a2

Δ2=4a2-4（-2a）

解得-32

a13

-2

即-32

所以，当a≥-1或a≤-32时，三个方程至少有一个方程有实根.

注：“至少”、“至多”问题经常从反面考虑，有可能使情况变得简单.本题还用到了“判别式法”、“补集法”（全集R），也可以从正面直接求解，即分别求出三个方程有实根时（≥0） 的取值范围，再将三个范围并起来，即求集合的并集.两种解法，要求对不等式解集的交、并、补概念和运算理解透彻.

例5 给定实数a， a≠0且a≠1，设函数y=x-1ax-1 （其中x∈R且x≠1a），证明：①.经过这个函数图象上任意两个不同点的直线不平行于x轴； ②.这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图象.

分析：“不平行”的否定是“平行”，假设“平行”后得出矛盾从而假设.

证明： ① 设M （x ，y ）、M （x ，y ）是函数图象上任意两个不同的点，则x1≠x2，

假设直线M1M2平行于x轴，则必有y1=y2，

即x1-1ax1-1=x2-1ax2-1，

整理得a（x1-x2）=x1-x2.

因为x1≠x2，所以a=1， 这与已知“a≠1”矛盾，

因此，假设不对，即直线M1M2不平行于x轴.

② 由y=x-1ax-1得axy-y=x-1，即（ay-1）x=y-1，所以x=y-1ay-1，

即原函数y=x-1ax-1的反函数为y=x-1ax-1，图象一致.

由互为反函数的两个图象关于直线y=x对称可以得到，函数y=x-1ax-1的图象关于直线y=x成轴对称图象.

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关键词：错题整理；反馈矫正；教学策略

一、问题的提出

高中学生数学学习已经一年了，但学生对高中数学学习有很大的困惑。有学生跟我说：“老师，我自认为我的数学基础不错，为什么有些问题平时上课错了，后来我自认为弄懂了，可在单元测试中又错了，而期末考试考到本题，我还是失分了。这是怎么回事呢？这样，一错再错，我真得对自己没信心了。”也有学生说：“我数学怎么考不了高分呢？每次总会在某些地方出错。”我认为，我们的学生在数学错题整理中存在问题：（1）由于长期受应试教育的影响，学校以及教师缺乏明确的较为系统的错题整理教学策略，我们高中生普遍重视错题，但并没有很好地处理错题，相对缺乏明确的错题整理意识；（2）有些学生可能比较积极地面对自己的错误，较少感受到因犯错误而被他人贬低的心理压力，在错题整理态度和观念上必定高于普通生；（3）有些学生基于个人经验积累了一些错题整理经验，在错题整理行为与策略上必定强于一般学生。可见，构建高中学生数学“错题整理―反馈矫正”的教学策略和方法显得尤为重要。

二、教学策略和方法的实施

1.学生方面：（1）避免错题发生的预防。培养学生在每一次作业或练习时，能主动地进行检查和检验，以降低错题出现的概率。操作上，从课堂练习进行训练。（2）形成“错题整理―反馈矫正”的氛围。在班级中营造解决错题的氛围，让学生共同关注错题，激发反思错题的热情。定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题，让学生在课堂上进行剖析，充分暴露解题思路，讨论错误原因。在学生常犯错误的关键之处，经常适时地引导学生去反思、回顾。（3）养成“错题整理―反馈矫正”的习惯。努力帮助每个学生逐步养成独立反思的良好习惯。拟采取以下方法：①有错必纠，②坚持训练。（4）善于错题成因的分析。学生对练习、检测中的错题，缺乏独立分析的能力，因此，教师必须教给他们错题分析的方法。①反馈矫正题目要求。②反馈矫正解题过程。③反馈矫正生活实际。④反馈矫正书写及笔误。（5）勤写日记，课后反思。引导学生随时写反思日记，让学生在反思日记中逐渐成长，成为一个自律的学习者。

2.教师方面：（1）及时建立学生错题档案。教师在改作业的过程中及时建立学生错题集，帮助教师积累教学过程，对学生产生错题的原因做到胸有成竹。（2）相互交流。学生是有差异的个体，加上基础不同，每位学生所犯的错误也有差异，通过交流错题本，学生可以从别人的错误中吸取教训，扬长避短，以此警示自己不犯同类错误，达到更深刻地理解所学知识的目的。（3）加强教学中的预防。教师结合课堂教学，借助错题集及学生的错题反馈矫正，课内安排更多的相关的错题的矫正训练，进行一些课堂内的辨析训练、改错训练，以帮助学生培养自我反思的本领。（4）采用多种方法反馈矫正。关注各个层次的学生，对于学习一般的学生，就采用“一看、二想、三算、四查”的方法进行反馈矫正。定期从学生的“错题集”中选出有代表性的错题，让学生在课堂上进行剖析，充分暴露解题思路，讨论错误原因。

三、修正方案

根据以上几点，对实施方案加以完善。

1.加强个别指导。教师结合学生自身的特点，引导学生寻找最佳的学习方法，学生才能更有信心学好数学。教师应当指导学生增强数学意识。数学意识是指学生在面对数学问题时该做什么及怎么做，我们应该加强数学意识教学，指导学生以意识带动双基，对易分化的地方采取多次反复，加强辅导，开辟专题讲座，指导阅读参考书等方法，将出现的错误提出来让学生议一议，充分展示他们的思维过程，通过变式练习，达到灵活掌握、运用知识的目的。

2.常改变练习的形式，如：（1）例题变式训练，让学生学会观察归纳。（2）让学生上台当小老师，进行错解剖析，培养批判性思维。（3）让学生根据要求进行命题，相互考察，让学生在兴趣中学习。适时组织和指导学生归纳知识和技能的一般规律，有助于学生更好地学习、记忆和应用。

3.数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力以及运用所学知识分析问题、解决问题能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，对能力要求较高。而且学生的认知水平具有差异性，所以应将学生分为三个层次，布置不同的任务。

A层次（学习基础较差的同学）要求：会审题。

B层次（学习中等的同学）要求：会建模、会转化。

C层次（学习较好的同学）要求：会归类、会反思、会编题。

综上所述，在高中数学教学中，要结合学生的个性学习心理品质的发展，利用学生身边最常见的错误――错题，进行分析和整理，找出个体错误多发带，结合对个性心理品质的分析，学生自我反馈矫正策略，开展具有针对性的训练，以改善学生个性学习心理品质，提高学生在学习过程中的自我反馈矫正能力，形成良好的学习自我调整系统，促进学生学习能力充分发展，以真正达到“减负增效”的目的。

参考文献：

[1]罗增儒.数学解题的错例分析[J].中学数学教学参考：中旬，2009（07）.

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关键词：中职数学；解题方法

【中图分类号】G633.6

【文献标识码】C

【文章编号】1671-8437(2012)01-0022-01

数学的解题方法是随着对数学对象的研究的深入而发展起来的。教师钻研习题、精通解题方法，可以促进教师进一步熟练地掌握中学数学教材，练好解题的基本功，提高解题技巧，积累教学资料，提高业务水平和教学能力。

下面介绍的几种解题方法，都是中学数学中最常用的，有些方法也是中学教学大纲要求掌握的。

1、配方法：所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂和的形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用非常广泛。在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都会经常用到它。

2、因式分解法：因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角函数等的解题过程中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除了中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项、添项、求根分解、换元、待定系数等等。

3、换元法：换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题变得容易解决。

4、判别式法与韦达定理：一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b、c∈R，a≠0)根的判别式=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至解析几何、三角函数的运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根；已知两个根的和与积，求这两个根等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等方面，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法：在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式。最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题。这种解题方法称为待定系数法。待定系数法是中学数学中常用的重要方法之一。

6、构造法：在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决。

7、反证法：反证法是一种间接证明方法，首先要提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到论证原命题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是／不是；存在／不存在；平行于／不平行于；垂直于／不垂直于；等于／不等于；大(小)于／不大(小)于；都是／不都是；至少有一个／一个也没有；至少有n个／至多有(n－1)个：至多有一个／至少有两个；唯一／至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设条件出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾；与已知的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设条件矛盾；自相矛盾。

8、等(面或体)积法：平面(立体)几何中讲的面积(体积)公式以及由面积(体积)公式推出的与面积(体积)计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积(体积)，而且用它来证明(计算)几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积(体积)关系来证明或计算几何题的方法，称为等(面或体)积法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明几何题，其困难在添置辅助线。等(面或体)积法的特点是将已知和未知各量用面积(体积)公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用等(面或体)积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线。即使需要添置辅助线，也很容易想到。

9、几何变换法：在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单的问题从而简单的得以解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

10、客观性题的解题方法：选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型。选择题的题型构思精巧，形式灵活，可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识的覆盖面。填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确，知识覆盖面广，评卷准确迅速，有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案，可以防止学生有猜估答案的情况发生。下面通过实例介绍常用方法。

(1)直接推演法：直接从命题给出的条件出发，运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论，选择正确答案，这就是传统的解题方法，这种解法叫直接推演法。

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所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其 中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求 函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

2、因式分解法

因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题 中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、 待定系数等等。

3、换元法

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0(a、b、c属于R，a≠0)根的判别，=b2-4ac，不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法，在代数式变形，解方程(组)，解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用。

韦达定理除了已知一元二次方程的一个根，求另一根;已知两个数的和与积，求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数，计论二次方程根的符号，解对称方程组，以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用。

5、待定系数法

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确定的形式，其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一。

6、构造法

在解题时，我们常常会采用这样的方法，通过对条件和结论的分析，构造辅助元素，它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题 等，架起一座连接条件和结论的桥梁，从而使问题得以解决，这种解题的数学方法，我们称为构造法。运用构造法解题，可以使代数、三角、几何等各种数学知识互 相渗透，有利于问题的解决。 　7、反证法

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设，然后，从这个假设出发，经过正确的推理，导致矛盾，从而否定相反的假设，达到肯定原命 题正确的一种方法。反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反证法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤，大体上分为： (1)反设;(2)归谬;(3)结论。

反设是反证法的基础，为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的，例如：是/不是;存在/不存在;平行于/不平行于;垂直于 /不垂直于;等于/不等于;大(小)于/不大(小)于;都是/不都是;至少有一个/一个也没有;至少有n个/至多有(n一1)个;至多有一个/至少有两 个;唯一/至少有两个。

归谬是反证法的关键，导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发，否则推导将成为无源之水，无本之木。推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知条件矛盾;与已知的公理、定义、定理、公式矛盾;与反设矛盾;自相矛盾。

8、面积法

平面几何中讲的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积，而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍的效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线。面积法的特点是把已知和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。所以用面积法来 解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

9、几何变换法

在数学问题的研究中，常常运用变换法，把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一一映射。中 学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题，可以借助几何变换法，化繁为简，化难为易。另一方面，也可将变换的观点渗透到 中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来，有利于对图形本质的认识。

几何变换包括：(1)平移;(2)旋转;(3)对称。

10、客观性题的解题方法

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关键词：比较法；分析法；综合法；反证法；放缩法；数学归纳法；换元法；基本不等式；导数法

不等式是中学数学教学中的重点与难点，因此在历年高考复习中颇令师生们为之头疼。由于不等式的形式各异，证明没有固定的模式模仿，并且技巧多样，方法灵活多变，因此熟练掌握不等式的证明是中学数学教学的重难点之一。这里精选了九种不同方法对不等式证明进行了详细讲解和研究。

一、比较法

二、分析法

分析法的思路是逆向思维，用分析法证明必须从结论出发，倒着分析，寻找结论成立的充要条件。应用分析法证明问题时要严格按照分析法的语言表达，下一步是上一步的充要条件。

需要注意的是：运用分析法时，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需的知识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的不等式，常考虑用分析法。

三、综合法

从已知或证明过的不等式出发，根据不等式的性质及公理推导出欲证的不等式，这种证明方法叫做综合法。

四、反证法

从命题否定的结论出发，经过推理论证，得出矛盾，证实结论的否定是错误的，从而肯定原结论是正确的，这种证明方法叫做反正法。用反证法证明不等式时，必须将命题结论的反面的各种情形一一推出矛盾。

反证法证明一个命题的思路及步骤：

（1）假定命题的结论不成立。（2）从假设出发进行推理，在推理中出现下列情况之一：与已知条件矛盾；与公理或定理矛盾。（3）由于上述矛盾的出现，可以肯定原来的假设“结论不成立”是错误的。（4）肯定原来命题的结论是正确的。

如果待证命题是否定性命题或唯一性命题或以“至多”“至少”等方式给出，一般要考虑用反证法。

五、放缩法

放缩法就是在证明过程中，利用不等式的传递性，作适当的放大或缩小，证明比原不等式更好的不等式来代替原不等式的证明。放缩法的目的性强，必须恰到好处，同时在放缩时必须时刻注意放缩的跨度，放不能过头，缩不能不及。否则不能达到目的。

在证明过程中，适当地进行放缩，可以化繁为简、化难为易，达到事半功倍的效果。但放缩的范围较难把握，常常出现放缩后得不出结论或得到相反的现象。因此，使用放缩法时，如何确定放缩目标尤为重要。要想正确确定放缩目标，就必须根据欲证结论，抓住题目的特点，掌握放缩技巧，真正做到弄懂弄通，还要根据不同题目的类型，采用恰到好处的放缩方法，才能把题解活，从而培养和提高自己的思维和逻辑推理能力，分析问题和解决问题的能力。

六、数学归纳法

当遇到与正整数n有关的不等式证明，应用其他办法不容易证时，可以考虑采用数学归纳法。

用数学归纳法证明不等式的关键是由n=k成立，推证n=k+1时也成立，证明时用上归纳假设后，可以采用分析法、比较法、综合法、放缩法等证明。

七、换元法

所谓“换元法”，就是根据不等式的结构特征，选择适当的变量代换，从而化繁为简，或实现某种转化，以便证题。其换元的实质是转化，关键是构造和设元，理论依据是等量代换，目的是变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。

八、基本不等式

创造基本不等式的条件，护理拆分项或配凑项是常用技巧，其中拆与凑的目的在于满足基本不等式条件，通常是考虑分母的代数式，考虑将整式拆分与配凑成与分母有关的式子与常数的和。

九、导数法

利用导数法证明不等式f（x）>g（x）在区间D上恒成立的基本方法是构造函数h（x）=f（x）-g（x），然后根据函数的单调性，或者函数的最值证明函数h（x）>0，其中一个重要技巧就是找到函数h（x）什么时候可以等于0，这往往就是解决问题的一个突破口。

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关键词: 数学教学 学生逆向思维 能力培养

逆向思维蕴育着创造思维的萌芽,作为思维的一种形式,它是创造性人才必备的素质 ,同时也是人们学习和生活过程中必备的一种思维品质。在数学教学中充分认识逆向思维的作用,结合教材内容,注重学生的逆向思维能力的训练,不仅能进一步完善学生的知识结构,开阔思路,更好地实现教学目标,而且能达到激发学生的创造精神,提升学生的学习能力的目的。

一、激发学生思维的兴趣

外因是变化的条件,内因是变化的根据。兴趣是最好的老师,因此在数学教学中教师应想方设法激发学生思维的兴趣,增强学生逆向思维的积极性。

(一)真正确立学生在教学中的主体地位,使学生成为主宰学习的主人,学习活动的主动参与者,探索者和研究者。

在教师的教学和学生的学习活动过程中,教师只能是引路人和启蒙者,只有学生真正理解和掌握了知识,课堂教学才能算真正成功。所以说在整个教学过程中,一切活动都应该以学生的思维活动来展开,也就是说学生才是课堂活动真正的主人。在课堂教学活动中,教师和学生只有真正摆正了各自的位置,教学活动才真正有效。在数学教学过程中,很容易出现教师在讲,学生只是跟着教师的思维在走的局面,这样学生的思维很难得到充分的锻炼。教师应该创设问题的情景,引导学生自己思维,让学生真正自己解决问题。

(二)实例引路。

教师要有意识地剖析,演示一些应用逆向思维的经典例题,用他们说明逆向思维在数学中的巨大作用和他们所体现出来的数学美;另外可列举实际生活中的一些经典事例,说明逆向思维的重要性,从而逐渐激发学生思维的兴趣,增强学生思维的主动性和积极性。例如讲高等数学中的不定积分和原函数,就可以和导数联系在一起;讲概率论中的分布函数,就可以和概率密度函数联系在一起。数学中有许许多多这样的例子,教师在教学活动中一定要充分地利用这样的机会锻炼学生的逆向思维。

(三)不断提高自身的素质。

教师渊博的知识和超凡的人格魅力也能在一定程度上激发学生的学习兴趣和思维的积极性和主动性。师者,传道授业解惑也。要传授给学生知识,教师自己必须有广博的知识,不仅在自己的专业方向上要深、精,而且要有非常广泛的知识面。同时,要做一个合格的教师,还要有高尚的情操,要富于正义感,要有爱心,要有责任感和事业心,要有淡泊名利的胸怀。教师要不断地加强自身的修养,渊博的知识加上高尚的道德品质,才可能成为一名合格的教师。

二、帮助学生理顺教材的逻辑顺序。

由于种种原因,教材的逻辑顺序与学生的心理顺序可能或多或少的存在着矛盾,而这些矛盾势必妨碍学生思维活动的正常进行。因此,教师在钻研教材时必须找出这些矛盾并帮助学生加以理顺,只有这样,才能保证学生思维活动的展开。

(一)从定义的互逆明内涵。

1.重视定义的再认与逆用,加深对定义内涵的认识。许多数学问题实质上是要求学生能对定义进行再认或逆用。在教学实践中,有的学生能把书上的定义背得滚瓜烂熟,但当改变一下定义的叙述方式或通过一个具体的问题来表述时,他们就不知所措了。因此在教学中教师应加强这方面的训练。逆用定义思考问题,往往能挖掘题中的隐蔽条件,使问题迎刃而解。

2.通过互逆定义把握定义间的联系。指数函数与对数函数,函数与反函数等都是互逆的定义,互逆定义之间有着天然的联系。在教学中教师要着重使学生理解怎样从一个定义导出另一个与它互逆的定义,向学生灌输转化的思想,揭示定义间的相互联系,当然也包括找出不同点。

(二)从公式的互逆找灵感。

1.公式的互逆记忆。数学公式是数学问题的精华之一,学习数学公式是锻炼学生思维能力的一个好好的形式之一。许多的数学公式之间联系都很紧密,很多数学问题是逆用公式的问题,要更好地解决这类问题,首先应该让学生知道公式的互逆形式,学会公式的互逆记忆。只有先记住这些公式,才有可能来解决相关的实际问题。

2.逆用公式。这样做往往可以使问题简化,经常性地注意这方面的训练可以培养学生思维的灵活性,变通性,使学生养成善于逆向思维的习惯,提高灵活应用知识的能力。公式逆用是学生常感到困惑的一个问题,也是教学中的一个难点,教师必须强化这方面的训练。

(三)从定理,性质,法则的互逆悟规律。

理工科中有许多可逆的定理、性质和法则,恰当地应用这些可逆的定理、性质和法则,可以达到使学生将所学知识融会贯通的目的。

1.让学生学会构作已知命题的逆命题和否命题,掌握可逆定理,性质和法则的互逆表述。交换原命题的条件和结论,所得的命题是逆命题;同时否定命题的条件和结论,所得命题是否命题。在教学中,教师要用一定的时间,适当地加强学生这方面的训练,打好基础。

2.掌握四种命题之间的关系。互逆命题和互否命题都不是等价命题,而互为逆否关系的命题是等价命题。学生搞清四种命题之间的关系,不仅能掌握可逆的互逆定理、性质、法则,而且能增强思维的严谨性和灵活性,培养创造性思维能力,这也是科学发现的途径之一。

3.掌握反证法及其思想。反证法是一种间接证法,它是通过证明一个命题的逆否命题来证明原命题正确的一种方法,是应用逆向思维的一个范例。一些问题应用反证法后就显得非常简单,还有一些问题只能用反证法来解决,反证法是学生必须掌握的一种方法。

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少数民族地区的初中数学教学具有其自身的特点，因此，在教学中，如何渗透数学思想和数学方法是教学的重点，以下几点方法值得参考：

一、了解《数学新课标》要求，把握教学方法

1.从“方法”了解“思想”，用“思想”指导“方法”。关于初中数学中的数学思想和方法内涵与外延，目前尚无公认的定义。其实，在初中数学中，许多数学思想和方法是一致的，它既相辅相成，又相互蕴含。只是方法较具体，是实施有关思想的技术手段，而思想是属于数学观念一类的东西，比较抽象。因此，在少数民族初中数学教学中，加强学生对数学方法的理解和应用，以达到对数学思想的了解，使数学思想与方法得到交融的有效方法，比如图像法、配方法等。在数学教学中，通过对具体数学方法的学习，使学生逐步领略内含于方法的数学思想；同时，数学思想的指导，又深化了数学方法的运用。这样处置，使“方法”与“思想”珠联璧合，将创新思维和创新精神寓于教学之中，教学才能卓有成效。

2.新课标要求，渗透“层次”教学。《数学新课标》对初中数学中渗透的数学思想、方法划分为三个层次，即“了解”、“理解”和“会应用”。在教学中，要求学生“了解”数学思想有：数形结合的思想、分类的思想、类比的思想和函数的思想等。

少数民族教师在整个教学过程中，不仅应该使学生能够领悟到这些数学思想的应用，而且要激发学生学习数学思想的好奇心和求知欲，通过独立思考，不断追求新知，发现、提出、分析并创造性地解决问题。在《数学新课标》中要求“了解”的方法有：分类法、类比法、反证法等。要求“理解”的或“会应用”的方法有：待定系数法、消元法、降次法、配方法、图像法等。在教学中，要认真把握好“了解”、“理解”、“会应用”这三个层次。不能随意将“了解”的层次提高到“理解”的层次，把“理解”的层次提高到“会应用”的层次，不然的话，学生初次接触就会感到数学思想、方法抽象难懂，高深莫测，从而导致他们失去信心。如初中数学三年级上册中明确提出“反证法”的教学思想，且揭示了运用“反证法”的一般步骤，但《数学新课标》只是把“反证法”定位在通过实例，“体会”反证法的含义的层次上，我们在教学中，应牢牢地把握住这个“度”，千万不能随意加深。

二、遵循认识规律，把握教学原则，实施创新教育

1、以数学知识为载体，将数学思想方法有机地渗透入教学计划之中

教学计划的制订应体现数学思想方法教学的综合考虑，要明确每一阶段的载体内容、教学目标、展开步骤、教学程序和操作要点。数学思想方法往往借助现实原型使其得以生动地表现，有利于对其深入理解和把握，在教学中要引导学生对所讨论的对象进行合理分类，然后逐类讨论，最后归纳总结。教师要帮助学生掌握好分类的方法原则，形成分类思想。

数学思想方法的渗透应根据教学计划有步骤地进行。一般在知识的概念形成阶段导入概念型数学思想，如方程思想、相似思想等等。在知识的结论、公式、法则等规律的推导阶段，要强调和灌输思维方法，如解方程的如何消元降次、函数的数与形的转化有哪些常用思路等。在知识的总结阶段或新旧知识结合部分，要选配结构型的数学思想，如函数与方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转化，分数讨论思想体现了局部与整体的相互转化。

2、结合新课标，就初中数学教材进行数学思想方法的教学研究

要通过对教材完整的分析和研究，把握教材的体系和脉络，统揽教材全局，然后，建立各类概念、知识点或知识单元之间的界面关系，归纳和揭示其特殊性质和内在的一般规律。如在“因式分解”这一章中，我们接触到许多数学方法――提公因式法、运用公式法、分组分解法、十字相乘法等。这是学习这一章知识的重点，只要我们学会了这些方法，按知识──方法──思想的顺序提炼数学思想方法，就能运用它们去解决成千上万分解多项式因式的问题。进一步确定数学知识与其思想方法之间的结合点，建立一整套丰富的教学范例或模型，最终形成一个活动的知识与思想互联网络。毋用置疑，必须指导学生紧紧抓住掌握数学思想方法是这一数学链条中的最重要的一环。许多数学家和教育家历来强调对中学生的数学思想教育，其目的就是要提高学生的数学思维能力和数学素养。在初中数学教材中集中了大量的优秀例题和习题，它们所体现的数学知识和数学方法固然重要，但其蕴涵的数学思想却更显重要，作为一个执教者，要善于挖掘例题、习题的潜在功能。

总之，在少数民族地区初中数学教学中渗透数学思想和数学方法，是一项系统工程，需要我们广大少数民族地区的数学教育工作者对这一工程的满腔热情。

参考文献：

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关键词：高中数学；方法；技巧

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：1673-9132（2017）02-0151-02

DOI：10.16657/ki.issn1673-9132.2017.02.096

高中数学不同于其他科目，对求解的方法和技巧要求很高，教师常常会让学生注重建立数学模型，紧紧抓住数学题中的重要条件，根据重要条件进行分析，读懂问题，有目的地答题，而且答题思路清晰。

一、转换法

转换思想在解决数学问题中起着很重要的作用，转化法能够将陌生的问题转化为简单的、熟悉的问题。有的数学题目看似很难，无从下手，其实不然，或许经过转换法的使用，灵活转变思路，问题就会迎刃而解。下面笔者来引入一道题对转化方法的思想进行具体分析。

例题：若函数y=a^x-x-a（a>0且a≠1）有两个零点，则实数a的取值范围是a>1

解题思路分析：首先对零点的概念要熟悉，零点就是当y=0时对应的x的值，转化为图像的思路解决问题就是函数y=a^X（a>0且a≠1）与函数y=x+a的图像的交点所对应的横坐标。画图可知，当01时，两个函数图像有两个交点，符合题意，因此，答案为a>1。

二、分类讨论法

分类讨论法是解答数学问题的重要方法之一，分类讨论方法可以培养学生考虑问题周到、全面的意识，能够提高学生解决问题的能力。运用分类讨论法一般有以下几个步骤：

1.明确并确定对象。

2.正确拟定分类标准。

3.对分类标准逐一讨论分析。

4.综上所述，合并讨论结果。

在对分析讨论中，学生应该认真审题，择优讨论，选择操作简单、省时的讨论方法，避免操作复杂，错误率高的解题思路。

三、特殊代值法和图像法的综合使用

有的高中数学题目比较抽象复杂，陌生的概念让学生抓耳挠腮，这时候就要引进特殊代值法，特殊代值法的使用是建立在基础知识之上的，合理正确地利用特殊代值法可以使问题简单化。同时，图像法的使用，能够使问题简单明了化。特殊代值法和图像法的综合使用，大大降低了解题的难度，因此，我们必须重视对高中数学方法技巧的学习。以下就该类题型的解决方法进行具体分析：

例题：已知定义在实数集R上的函数y=f（x）恒不为零，同时满足f（x+y）=f（x）・f（y），且当x>0时，f（X）>1，那么当x

①f（x）

解题思路：找关键条件，f（x+y）=f（x）・f（y），通过联系以前学过的知识，发现该公式符合指数相乘的公式，于是引进2^X，画出图像，根据图像得出当x0时，函数值大于o并且小于1。

四、构造辅助函数的方法

解决高中数学难度较大的题目时，条件一般不够，这就需要学生在解题的过程中引入辅助线。构造辅助线法是以问题为目的进行构造，在什么地方加入辅助线是解题过程的难点，这就需要学生对该类型题的构造法进行规律总结。在对数学问题进行解答时，要选择适合题目的辅助函数，常常会用到联系分析、对比分析、综合分析方法等。

五、反证法

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关键词：高中数学；教学课堂；数学文化

引言

高中数学进行的新课程改革中要求数学教师在教学课堂中较好的将数学文化融入到教学中，强调了数学文化的重要性。这种教学改革相对于很多的教师而言都是一种教学方式以及教学理念的挑战，需要数学教师在实践教学中多加研结教学经验，让数学文化更好的融入到数学教学中。与此同时，学生也可以在这样的新的教学方式中更好的认知数学文化以及培养数学感情[1]。

1.将数学文化融入到高中数学课堂教学中的重要意义

1.1数学文化的融入有助于提高学生学习数学的积极性

高中的数学知识中有有很多的抽象概念与公式，比较晦涩难懂，如果缺乏兴趣的话会比较排斥数学知识，觉得数学这门学科特别的枯燥难懂。如果数学教师在教学中不能很好的引导学生明白数学文化意义或者把教学学习安排的比较有趣味性的话，学生很容易觉得数学课堂枯燥无味甚至害怕过着排斥数学课堂。其实这是由于很多的同学较难体会到数学学习的乐趣。数学教师在课堂上较好的融入数学文化，更可让学生更加理解数学的文化与历史，有文化作为课堂引入，可以比较容易激发学生学习数学的兴趣，达到较好的课堂效果。

1.2数学文化的融入有助于提高学生的思维能力

在我国传统的数学教学中很多的教师直接将概念或者公式告诉学生或者然学生背下来直接用来做题就可以了，只要会做题会拿分就可以。这样的应试教育的理念下很多的学生都不知道这些著名的公式或者概念的由来，对于这样的教学方式也比较排斥，有很多的学生在这样的应试教育的环境下产生的排斥或者畏惧的心理，这样的教学方式也不利于学生的思维能力的锻炼与提高[2]。在教育改革中很强调对于学生的综合素质的培养与发展，思维能力就是综合素质能力的重要体现。在新的教学模式中，数学教师在课堂上要尽量将数学文化巧妙地融入到数学课堂中，这样可以让学生更好的理解数学知识的由来以及背景，较好的理解了数学知识可以提高学生的思维能力，在实践运用中不断培养和拓展其思维能力以及逻辑推理能力。真正理解了的知识在实际的运用中会变得更加灵活，化作数学的逻辑思维能力，对一个人的终身学习与发展都具有重要的影响和作用。

1.3数学文化的融入有助于向学生较好的展现数学的文化价值以及美学价值

数学是一门很有魅力的学科，具有美学价值以及文化价值，看得到数学的魅力的学生是很少的，如果发现或者看到了数学的魅力的人是很难放下或者割舍数学的。数学是富有魔力与魅力的，其中蕴藏的奥妙需要有心人以及真心喜欢数学的人才能发现数学的美妙之处。因此在新的教学理念改革下，数学教师要注重对数学对数学文化的融入，这样才有助于激发学生的学习兴趣，让更多的学生发现数学的魅力并且爱上数学，向更多的学生展现数学的文化价值以及美学价值。

1.4数学文化的融入有助于转变学生学习数学的方式

对于数学文化这个新概念大家的认识还是比较粗浅的，在数学的课堂教学中很多的教师不注重数学文化的融入，因此很多的学生对于数学文化的认识很少。其实所谓的数学文化不仅仅是数学教材上的数学知识或者其他书本上的关于数学家的故事，还包括数学知识的由来以及演变经过，在数学知识的探究中遇到的困难等。学生掌握一定的数学文化，就会比较自觉的投入数学知识的学习中，逐步开始积极探究与合作，理解数学知识，学会用数学知识来解决实际问题，提高知识的应用能力，真正地转变学生学习数学的方式[3]。

2.在数学课堂上融入数学文化的途径

2.1在概念教学中融入数学文化

在传统的数学教学中，由于很多的数学概念很抽象，推理过程比较晦涩难懂，为了节省课堂教学时间或者教师自身也难以解释清楚这些数学概念与公式。因此很多的高中数学课堂中数学教师不注重概念的学习以及数学文化的融入，只是简单地让学生识记下概念或者公式，然后通过典型的题型来加深学生对于公式或者概念的理解与应用。其实概念或者公式的学习对于学生对于数学知识的理解和应用及其重要，如果在数学课堂中教师注重数学文化的融入，激发学生的兴趣与好奇心，将数学概念结合数学文化讲清楚讲透彻可以让学生深刻的理解数学知识以及课堂教学内容。

2.2在数学知识的生成或者演变过程中巧妙的融入数学文化

在数学知识的生成或者演变过程中巧妙的融入数学文化不仅可以让学生加深对于知识的理解也可以使数学课堂变得更加声情并茂，较为生动的数学课堂教学也可以激发学生学习数学的兴趣，让学生较好的了解数学知识的产生、发展、演变、形成的过程，了解数学知识背后的的文化魅力与美学价值。

3.案例分析

教师可以先让学生讨论自己对于反证法的理解或者自己试着概括反正法的概念。

教师可以先向学生讲牛顿为何认为反证法是数学家最为精当的武器的故事作为课堂引入。

学生领会了反证法的文化以及牛顿数学家的故事后，教师再向学生讲解反证法的概念。

反证法的数学应用：

例：假设A是n阶的矩阵，α是n维列向量，若Aα≠0，但A2α=0。

证明：向量组α，Aα线性无关.

证明：利用反证法证明.

假设向量组α，Aα线性具有相关性，因为Aα≠0，推出α≠0，则Aα

可以由α线性来表示，假设Aα=kα（k≠0，否则α=0），于是A2α=A

（Aα）=A（kα）=kAα=k2α≠0，这与条件中的A2α=0是相互矛盾的，所以向量组α与Aα的线性无关。

4.结束语

高中的教学课堂中数学教师在教授数学过程中要有意识地将数学的文化很好的融入到数学教学中，让学生理解数学文化进而更加深刻的理解教学课堂中的新知识。学生对于数学文化有更好的了解之后可以深化对于数学知识的理解，数学教师也可以在课堂教学中取得更好的教学效果。

参考文献

[1]初延波.新课改环境下高中数学教学中“数学文化”的渗透[J].中国科教创新导刊.2011（24）：150.