数学思维的主要类型范文

导语：如何才能写好一篇数学思维的主要类型，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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〔关键词〕小学；六年级；应用题；解题错误；数困生；数优生

〔中图分类号〕G44 〔文献标识码〕A 〔文章编号〕1671-2684（2016）06-0012-06

一、问题提出

数学学习不良（MD）是学龄儿童中较为普遍的学习不良类型。美国一项大规模研究发现：约有6%的小学生和初中生被诊断为MD，另外约有5%的儿童被诊断为有阅读困难（RD）[1]。在另一项研究中，美国的教师报告：在他们的学生里，有26%的学生由于数学学习困难而接受特殊教育[2]。虽然数学学习困难对学生来说是普遍的，但是，在学习困难研究领域，与阅读困难研究相比较，关于数学学习困难的研究是较少的[3]。

应用题学习在小学数学学习中占有非常重要的地位，它是初等数学学习中的重点和难点。许多研究表明，大多数数学学习困难学生都表现为在解应用题上有困难，而且这一问题随着年级的升高会越来越严重[4]。

近一二十年来，国外相关领域的研究兴趣逐渐转向对有数学学习困难学生的认知分析和教育干预，其中尤以研究数学学习困难学生问题解决过程为这个领域的热门话题。原因是它可以帮助数学学习困难儿童更好地完成学校教育的任务，而且有助于更深入地揭示学生学习和解决问题的过程，对认知心理学和教育心理学的发展都有促进作用。

综合关于数学应用题解题影响因素的研究成果，可以总结出如下一些结论：当应用题中包含了一些额外的信息或者出现了语句陈述不一致的条件时，学生的解题表现就会较差；数学解题图式的形成和发展直接影响学生对问题类型的识别和问题的正确表征；元认知因素则贯穿学生解应用题的全过程，影响学生的解题行为[5-8]。

但另一方面，我们也可以看到，目前国内应用题解决的研究主体主要包括心理学科研人员和教学一线的数学教师。心理学科研人员关注的领域比较有限和微观，而教师的科研报告往往比较宏观和经验化，二者存在脱节。因此，本研究拟通过现场实验，采用目前已被证明比较有效的错误类型分析方法，比较数优生与数困生的共性和差异，从而得出既有科学的理论基础又直接指向实践的结论。

在课题组的前期研究中发现，在面对不同的试题类型、题目类型和难度附加条件时，四年级和五年级的数优生和数困生既表现出了阶段性特点，又表现出连续性特点。因此，本研究拟以六年级学生为研究对象，继续探究进一步的规律。

本研究的基本设计为：2（学生类别：数优生、数困生）*2（试卷类型：常规试题、非常规试题）*3（题目类型：变化题、合并题、比较题）。非常规试题中包含四种难度类型（隐蔽条件、概化思维、具体化思维、不一致比较）。学生类型和试卷类型为被试间设计，题目类型为被试内设计，难度类型为不完全被试内设计。最后测量的因变量为所分错误的类型和数量。通过分析数优生和数困生在不同试卷类型、不同题目类型和不同难度类型之下的错误类型和数量差异，探讨小学六年级学生数学应用题错误的特点和影响因素等。

二、研究过程

（一）被试的选择

在某小学六年级随机选取由同一数学教师任教的两个自然班作为实验班。根据数学学习困难的操作定义：学生的数学学业成绩比根据其智力潜能达到的水平显著落后，而且他们可能同时在学习、品德和社会性上存在问题。这样，本研究选择数困生的标准为：（1）本学期三次重要数学考试的平均成绩居全班后20%；（2）让科任教师根据MD的操作定义和特点，对学生作出综合评价，指出班内哪些学生属于MD；（3）满足两条排除性标准：排除智力落后（IQ130）；排除明显躯体或精神疾病。于是，在两个班中各挑出10名数困生（人数：男，10；女，10）。同时，相应选出了各10名数优生（人数：男，11；女，9）。共得到被试40人。

（二）研究材料和工具

1.智力量表

采用张厚粲等人修订的《瑞文标准推理测验》（Ravcn’s Standard Progressive Matrices）。该量表经国内多次使用，已被证明有较高的信度和效度。

2.数学成绩

采用被试本学期三次重要考试的数学成绩的平均分为学生类别的划分指标。

3.应用题测验

在小学阶段，学生接触到的算术应用题主要分为变化题、合并题和比较题三种类型。据此，自编小学数学应用题两套（A卷和B卷），经小学六年级的数学教师共同讨论和小规模试测，删除了过难的题目和没有学到的内容，并对题目的文字表述进行了较大修改，最后每套各保留了10道相对应的题目。其中1、2、4是变化题，3、6、8是合并题，5、7、9、10是比较题。

A卷是常规类型题，即问题表述与教材和平时练习题目相同。B卷的题目在题目内容、基本数量关系和计算难度上与A卷保持一致，但题干表述与常规类型题目不同，这无疑增加了题目的难度。具体而言，与A卷的相应题目相比，在B卷的10道题当中，1、8题包含了隐蔽条件，2、6题增加了对概化思维能力的考查，3、4题增加了对具体化思维的考查，5、7、9、10是比较类应用题中的不一致型问题。隐蔽条件是指对题目中的数量关系不以直接的形式呈现，如7天以“一周”这个词来代替。概化思维意在考查学生是否形成了整体概念，如在第二题（同学们去公园划船，三年级比四年级少去18人，少租了3条船。问平均每条船坐几人？）中，如果学生说由于不知道三年级和四年级各自有多少人，无法解答此题，则意味着学生没有把这两个班级作为一个整体来看，没有充分理解题意。具体化思维是考查学生在解决实际问题上的能力。根据文字表达和数量关系是否一致可将比较问题分为两类：一致问题和不一致问题。一致问题即问题中的关键词与正确的解决计划相一致，比如：小明有5个苹果，小强比小明多1个苹果，小强有几个？关键词是“多”，而正确的解法也是加法；不一致问题即问题中的关键词与正确的解题计划不一致，比如：小明有5个苹果，他比小强多1个苹果，小强有几个？关键词是“多”，正确的解法却是减法。这与小学生的语意理解能力有关联。一致题与学生思维习惯和平时练习相同，不一致题对小学生而言则增加了解题的难度。

在每一道应用题下面有五个小问题，分别是：（1）你认为已知条件充分吗？给出了三个备选答案：刚好充足、缺少条件、充足但有多余条件。（2）你认为解这道题的关键是什么？（3）列式计算。（4）列竖式、画图、演算等的区域（专门预留了一定的空间）。（5）如果你不会也没有关系，告诉我们原因是什么？这五个问题拟从学生的审题、找到解题关键、列式和结果的计算等方面考查小学生的解题过程。同时，要求做题过程中写出尽量详尽的步骤报告，包括所有演算、推理过程。解题前后的问题设置都是为了在大样本的测验中尽可能地外化解题的思维过程。

正式施测前的小规模预测表明两套题目都具有较好的区分度。

（三）研究程序

1.自编数学应用题测验的施测

两个班同时进行测验，随机选取一个班施测A卷，另一个班施测B卷。每个学生一份测试题，独立完成，时间为50分钟。指导语中强调不是考试，是为了消除学生的紧张感，以利于更好地解题。正式计时前先由主试以一道应用题的解答为例详细讲解做题要求和基本步骤。测验时，每班都有一名主试（心理学专业的硕士研究生）和本班的班主任在场维持秩序，以保证测验的顺利进行。

测验后根据每道题目中五个小问题的回答情况统计所犯错误的类型和各类型错误的数量。

2.以自然班为单位进行瑞文智力测验

同时，查阅学生成绩档案，选取被试本学期三次重要数学考试成绩，以平均分作为学生数学能力的标准；访谈每个班的数学科任教师，请他们根据MD的操作定义确定数困生，并了解学生的基本情况；根据同样选择标准确定数优生。

以自然班为单位全体施测是为了营造自然氛围，避免单独抽出数优生和数困生带来的实验效应。智力测验和数困生、数优生的选择最后进行，并要求该班数学教师回避测验整个过程等，避免实验者效应和教师期望效应。

（四）数据处理

用SPSS19.0统计软件包对收集的数据进行处理和分析。

三、结果与分析

（一）错误类型统计

在本研究中，小学生解决应用题所犯的错误可总结为七种类型：第一类是审题错误，指将条件充足的题目错误地判断为条件缺乏或条件多余，从而没有作答；第二类是转换错误，指由于对第一步表示关系的运算产生了错误的表征，因而运算用了相反的运算（即应该用加法时用了减法，应用减法时用了加法，应用乘法时用了除法，应用除法时用了乘法）；第三类是目标监控错误，指错误理解题目要求、只算了一步或只用了一个条件；第四类是计算错误；第五类是知识错误，指学生把不相关的数字进行运算；第六类上数字抄写错误，属于粗心或马虎；第七类是什么也没有作答的，原因比较复杂，可能是难度过大，根本不会无法下手，也可能是时间分配不合理没能做完。也就是说，“没做”的错误应该反映的是认知策略搜寻和元认知策略的缺失。

这七类错误除“没做”反映整体应用题解题能力最低外，其余六类按照其对未能完成题目的严重程度从高到低的大致顺序为：审题错误、转换错误、知识错误、目标监控错误、计算错误、数字抄写错误。越排在前面的错误越反映出学生对题目的理解越差，对题目的把握越表浅。

（二）数优生和数困生的错误分析

从两类学生在常规试题（A卷）上所犯错误的总数来看，相对前期研究的四、五年级而言，六年级数困生与数优生的错误都非常少，甚至出现了在较简单的题型上数优生的错误数略微高于数困生的情况。这表明，对于六年级的学生而言，A卷已非常简单，数优生、数困生都能较好地完成，数优生甚至出现了马虎、轻视的情况。

较少的错误中，在变化题和合并题上主要犯目标监控错误，在比较题上主要为没做和犯计算错误。

从两类学生在非常规试题（B卷）上所犯错误的总数来看，数困生的错误非常显著地多于数优生，统计检验的结果分别为χ2（1）=14.7275，p=0.000，χ2（1）=6.429，p=0.011和χ2（1）=9.000，p=0.003。

在三类题型上的卡方检验结果表明，学生类别与错误类型的关联均不显著。变化题：χ2（4）=5.194，p=0.268；合并题：χ2（3）=2.910，p=0.406；比较题：χ2（5）=7.143，p=0.210。这表明，对于B卷而言，六年级不同类别学生的错误的特点没有显著性差异。

题目类型与错误类型的卡方检验结果表明，χ2（10）=44.201，p=0.000，二者有非常显著的关联，即学生在不同类型题目上所犯错误的特点有显著不同。

结合具体数据可以看出，在变化题上主要是犯审题错误和没做，在合并题上犯目标监控和知识错误较多，而在比较题上没做和知识错误占了相当的比例。

从所犯错误的总数来看，与前期研究中五年级在同样试题中的表现相比，数优生所犯错误的数量有明显下降，但数困生只是总体略有下降。

对数优生而言，附加条件类型与错误类型关联非常显著（χ2（12）=42.689，p=0.000）。主要体现为“隐蔽条件”下的“知识”错误，“具体化思维”上的“目标监控”错误，“不一致比较”题上的“没做”，不过数量较小。

对数困生而言，附加条件类型与错误类型也存在非常显著的关联（χ2（15）=51.334，p=0.000）。除在“概化思维”上犯“审题”错误较多外，其他条件下的特点与本年级数优生相同。

四、讨论

针对六年级数优生与数困生在应用题解决过程中可能存在的试题适应性、难度适应性和错误类型的共同特点和差异情况等进行了详尽分析，主要是为了通过对数优生与数困生的比较，发现六年级学生应用题解题能力的总体特点，为该年级阶段小学数学应用题教学，特别是为数困生的补救训练提供参考。

第一，从A、B两卷的错误总数看，在常规试题上，六年级数困生与数优生的错误都非常少，错误数不相上下，表现出了“高限效应”，试题没有了良好的区分度。在非常规试题上，数困生的错误显著地多于数优生。可见，到了六年级，数优生、数困生的差距主要体现在非常规试题上。也就是说，如果说常规题目可以通过思维成熟、年级升高和不断重复接触而自然提高的话，那么包含附加条件的非常规题目训练对于六年级数困生还是必须加强的。

第二，从不同题型看，在A卷中，数困生与数优生在变化题和合并题上主要犯“目标监控错误”，在比较题上主要犯“计算错误”和“没做”。一方面表明，六年级学生已全面掌握三种题型的常规解答；另一方面表明，目标监控、时间分配的元认知失误和能力欠缺依然存在。

在B卷上，六年级两类学生错误的特点一致，表现为变化题上主要是犯“审题错误”和“没做”，在合并题上犯“目标监控错误”和“知识错误”较多，而在比较题上“没做”和“知识错误”占了相当的比例。这一特点与前期研究中的五年级非常相似，但六年级“没做”的比例较高，显示了时间分配的不足和解题能力，特别是解比较题能力上的欠缺。

第三，从不同的附加条件看，与前期研究中的五年级相比，六年级数优生所犯错误的数量有明显下降，但数困生只是总体略有下降。这进一步验证了关键时期的推测，可以看出五年级没有得到很好训练的数困生在升入六年级后依然不会有太大提高。

对六年级数优生而言，主要体现为“隐蔽条件”下的“知识错误”，“具体化思维”上的“目标监控错误”，“不一致比较”题上的“没做”，不过数量较小。对数困生而言，除在“概化思维”上犯“审题错误”较多外，其他条件下的特点与同年级数优生相同。可见，在相应题型的主要错误类型上，六年级学生基本是一致的，只是数困生依然没有很好地解决概化思维的问题。

五、结论

第一，测题类型上，六年级学生在常规应用题上表现出“高限效应”，非常规试题训练对于数困生尤为重要。

第二，题目类型上，常规试题中面对三种题型的目标监控和元认知能力需要加强；而非常规试题中对于变化类应用题要防范“审题错误”和“元认知策略缺失”等，合并类应用题要加强“目标监控错误”和“知识错误”的预防，比较题主要在于重视认知策略和元认知策略的提高问题。

第三，从思维能力训练上，六年级之前是相关训练的关键时期。针对全体学生，特别是数困生需要全面加强概化思维和具体化思维训练、“不一致比较”题目训练和元认知能力培养。

参考文献

[1]Ginsberg H P. Mathematics learning disabilities：a view from develop- mental psychology[J]. Journal of Learning Disabilities，1997，30（1）：20-33.

[2]McLeod T M，Armstrong S W. Learning disabilities in mathematics：skill deficits and remedial approaches at the intermediate and secondary level[J]. Quarterly，1982，17：169-185.

[3]Ginsburg H P. Mathematics learning disabilities：A view from developmental psychology[J]. Journal of Learning Disabilities，1997，30：20-33.

[4]Diane P B，Brain R B，Donald D H. Characteristic behaviors of students with LD who have teacher-identified math weakness[J]. Journal of Learning Disabilities，1999，33（2）：168-177.

[5]李晓东，张向葵，沃建中. 小学三年级数学学优生与学困生解决比较问题的差异[J]. 心理学报，2002，34（4）：400-406.

[6]Fuchs L S，Fuchs D. Mathematical problem-solving profiles of students with mathematics disabilities with and without comorbid reading disabilities[J]. Journal of Learning Disabilities，2002，35（6）：563-573.

[7]张庆林主编. 当代认知心理学在教学中的应用[M]. 重庆：西南师范大学出版社，1995.

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关键词:数学教学;思维训练

数学教育要给予每个人在未来生活中最有用的东西。因此,我们在数学教学中不能把目光停留在数学知识的讲解和解题方法的运用上,而应以它们为载体,加强对学生思维能力的训练。现代教学论认为,数学教学是数学思维活动的教学。数学教学培养的是学生的思维习惯和思维品质,是数学思维教育素质化的重要内容。思维培养的成功与否将直接影响数学教学质量的提高,影响着中学数学教育改革的深化与发展。

数学思维是人脑和数学对象(空间形式与数量关系)互相作用并按一定规律产生和发展的。数学思维的种类有很多,从具体形象思维到抽象逻辑思维,从直觉思维到辨证思维,从正向思维到逆向思维,从集中思维到发散思维,从再现性思维到创造性思维,从中体现出了多种多样的思维品质。如思维的深刻性、逻辑性、广阔性、灵活性、创造性、发散性等。我认为,高中数学教学中主要应通过对学生思维品质的培养达到提高思维能力的目的,具体体现在以下几个方面:

一、注重对基础知识、基本概念的教学

高一学生,从初中数学到高中数学将经历一个和很大的跨度,主要表现在知识内容方面的衔接不自然,对高中数学抽象的数学概念、数学形式极不适应。比如第一册第一章的集合与简易逻辑,表面上看似很简单,而实际运用中却不能准确把握那些用集合语言所描述的题目含义。再如第二章函数,这是高中数学中的重点内容,教师会花很大的精力去讲授,学生会都会下很大力气来做题,结果却不如人意。学生做题时主要是在解具体题目时很难与基本概念联系起来。如经常遇到的二次函数问题,有时是求值域,有时是解方程或不等式,学生感到茫然。我把它们统一在一起,强调二次项系数对称轴、判别式等几个因素,帮助学生克服了思维的无序性。这一章内容是思维方法从直观到抽象、从离散到凝聚的过渡,是训练学生思维深刻性和广阔性的重要阶段。

二、加强数学思想方法的渗透

高中数学的四大数学思想和十几种数学方法是教学的关键与灵魂。一是解题的方法。为培养学生的应用意识,提高学生分析问题解决问题的能力,教学中应结合具体问题,教给学生解答的基本方法、步骤。二是数学思想方法。思想方法把不同章节、不同类型的数学问题统一了起来,如数形结合思想培养了思维的形象性、创造性,化归思想提高了学生的灵活性、辨证性等。如换元法是一种常见的变形手段,它不只限于解某一章或某一类的问题。注重对这些思想方法的渗透,可以提高学生归纳总结及联想能力,将数学知识和方法的理解提高到一个新的阶段,这对思维品质的培养十分有益。

三、挖掘数学例题习题的功能

在高三总复习时,教师往往注意培养学生的综合能力,注重一题多解,一题多问的形式练习,向学生讲解大量的习题与解题方法。但学生常常是被动接受,教师给的越多,思维越混乱,结果适得其反。这一时期,教师除了精选习题,重点讲解之外,更要在讲授方法上有所创新。在讲解习题时应注重以下原则:

1.让学生主动学习原则。很多老师在课堂上讲了很多,但是不了解学生在想什么,做什么。学生想的与做的才是教师应该关注的。思想应在学生的头脑里产生,老师只是起一个催化的作用。习题课尽管时间有限,但应尽量让学生去发现,去理解,去思考。首先,应让学生学会阐明问题。科学地阐明问题本本身就是一个发现,阐明问题往往比解决问题更需要洞察力、想象力和创造性。其次,教师应教会学生学会思考。面对一道新题时,让学生看清题目,认真审题,把握题意。弄清哪些是已知条件,哪些是未知条件,哪些是隐含条件。本题要解决一个什么问题,本问题的设计与哪些题相似,有什么联系,可否归为同一典型类型。如果是同一类型,再看看有什么区别和变化,要采取哪些对策应对这些变化。

2.让学生合情推理与猜想原则。波利亚的《怎样解题》是一部经典名篇,解题表启发我们应如何利用习题的潜在功能对学生进行思维训练。在学生审清题意,弄清了思路之后,可指导学生在做题之前猜猜该题的结果或部分答案。这种做法不仅激发了学生的解题的兴趣,更使学生参与到课堂教学中,而且还有了新的思维方式。这样的习题课虽然占用了学生做题的一些时间,但锻炼了学生的思维能力,培养了思考意识,长久以往必会收到事半功倍之效果。

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摘要：数学是小学教学中的一个重点，也是教学中的一个难点；同样，应用题既是小学数学教学的重点，也是难点。很多学生不会做应用题，从而导致学生对应用题的学习产生回避态度，而回避的结果就是更难以学会，这就导致了应用题学习的一个恶性循环；同时由于应用题与学生的实际认知有一定的距离，导致学生对于应用题"谈题色变"，或者没有兴趣；也有部分教师过于注重结果，而对学生的理解过程不重视，导致学生不能完全的掌握解题方法；另外，由于应用题的"类型化"严重，学生思维往往过于固话，导致在遇到新的题型的时候不知所措，或者对于书本上的知识能够掌握，但是在实际的运用过程中却望而却步……本文就上述出现的一些情况，从笔者的教学经验以及学习心得入手，谈一下我对一些见解。

关键字：小学数学 应用题 教学 问题 策略 方法 经验

一、应用题教学中，教师要吸引学生的学习兴趣

我们常说“兴趣是最好的老师”，经过笔者的调查发现，感觉应用题难学的学生当中，超过一半的学生对于应用题没有学习兴趣，可见，没有兴趣对于学生的学习是一个十分重要的影响。所以在笔者看来，想要做好小学数学应用题教学，首先就要吸引学生对于应用题的学习兴趣。小学时期的应用题主要是考察学生对于数量之间关系的理解，同时对于学生所学的计算方法予以考察、验证，学生对于应用题没有学习兴趣，不是因为他们不会计算，而是搞不清楚题目中数量之间的关系，还有就是他们没有认识到应用题的实质所在，应用题的实质就是为了让他们更好的在生活中对所学的计算方法予以运用。所以，在教学的过程中，我就注重对于学生学习兴趣的逐步吸引，简单的计算题，学生往往能够很简答的答出来，比如45的2/3是多少？他们就很容易算出来，之后我就将题目就行改编：融入到应用题当中，比如一年级一班的学生有45人，二班的学生数量是一班的2/3，求二班有多少学生？我就告诉题目，其实题目的实质是一样的，只要慢慢读题，就会理解的。再者，在教学的过程中我也比较注重对于生活中问题的引进，同时对问题进行简单化处理，比如今天节日，超市打8折，妈妈买东西一共花了32元，如果不打折，需要花多少钱？进而引导他们：八折即80%，简单来说就是一个数乘以80%等于32，那么这个数是多少？从实际生活的角度入手，也能够吸引学生的学习兴趣。

二、应用题教学中，教师要重视学生解题过程的引导

计算结果可以说是小学数学的一个最终答案，教师在批改作业或者是考卷的时候，往往是看一个结果，而不重视解题过程，而在笔者看来过程要比结果重要的多，在教学中也一样，我们不能过于重视结果，而重要重视学生对于解题过程的理解程度。如上面所述，笔者在教学的过程中，往往会注重将应用题简单化，以此来便于学生的理解，便于解题的完成。数学应用题的解题思路往往不止一种，所以我们在教学的过程中也要重视对于不同的解题过程中引导，比如这一题目：

两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？

首先，可以先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。一辆汽车行驶了多少千米？55×5=275（千米）另一辆汽车行驶了多少千米？45×5=225（千米）甲、乙两地相距多少千米？275+225=500（千米）综合算式：55×5+45×5=275+225=500（千米）

其次，可以先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。两车每小时共行驶多少千米？55+45=100（千米）甲、乙两地相距多少千米？100×5=500（千米）综合算式：（55+45）×5=100×5=500（千米）。

再者，甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。设甲乙两地相距x千米。x÷5=55+45x=100×5x=500

还有，甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。设甲乙两地相距x千米。x-55×5=45×5x-275=225x=275+225x=500答：甲、乙两地相距500千米。

三、应用题教学中，教师要重视对于不同类型的应用题的涉及

应用题的学习目的主要是为了让学生在实际生活中予以合理、准确的运用，所以在教学的过程中，教师就要注重对于各种不同类型的应用题的涉及，以便学生能够接触不同类型的应用题知识，扩展知识面，在以后的工作、生活中准确使用。总的来说，小学时期的应用题主要有：比较法解应用题，还原法解应用题，代换法解应用题，用面积法图解应用题，用列表法解应用题，牛吃草，分数应用题，列方程解应用题，浓度问题，工程问题，水管问题，行程问题，比和比例应用题，成本与利润问题，图形的面积等，当然不同的类型是在不同的学习阶段接触的，教师要合理的安排学生去学习、体会。比如“工程问题”和“行程问题”其实是一个母体的不同表达方法，而列方程解应用题就会让题目思路变得更为清晰、明了，而小学数学不仅仅是为了教学学生题目中各个数量之间的的关系记忆运算方法，关键是要了解不同题型之间不同的类型知识。

四、应用题教学中，教师要重视对于学生逻辑思维能力的培养

数学是一个对于逻辑思维能力要求较高的学科，但是小学时期的学生，由于其年龄原因以及生活经历所限，其反向思维能力、扩散思维能力都有待进一步的提升，所以在教学的过程中，教师要注重对其逻辑思维能力的提升，同时这也是应用题教学的重要要求之一。比如行程问题中，主要有速度、时间、路程三大主要要素，而工程问题中只要有工作效率、工作时间、工作总量几个要素，明确各个要素之间的关系，是培养学生逻辑思维能力的前提，同时，教师还要深入培养学生的发散思维能力以及创新思维能力，以便学生在学习的过程中能够发挥自己的特长，根据自己的认知发现不同的解题思路，长期进行有效的积累，就会收到意想不到的惊喜。

当然，在教学的过程中，我们也要针对其中某些特别案例就需要学生高度重视，多加练习，而对于不同类型应用题中的相似部分，教师也要引导学生予以总结、对比，以便切实的分清楚其中的不同，将应用题这个难题解决好，为小学数学教学的顺利进行添砖加瓦。

参考文献：

[1]詹蓁.小学数学应用题教学之我见《云南教育》2005第28期

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关键词：高中数学；竞赛解题；思维

高中数学竞赛本质上其实是一场关于思维的竞赛，因此，数学竞赛也可以解释成是数学思维解题活动。高中数学竞赛的解题特点正好契合了特定时期学生的思维，这一形式作为高中数学教学的有力补充，能够较好地激发学生学习数学的能动性与求知欲。不仅如此，学生在合理的竞赛机制中可以获得更好地锻炼与成长，对培养学生的创新思维与解题能力有极大地促进意义。

1高中数学竞赛解题的思维特点

传统的定向只涵盖了识别题目类型，从而明确解题的常规方法，以及寻找出某个具体题目来有别于同一类型的其他题目的特征，很大程度上制约着具体解题。对普通数学教材或参考书上的题目来说，这种定向是容易的。我们往往通过普通题目的关键字或具体数据就可以识别题目的类型，如：某加工企业在2006年底制定了生产计划，要在2016年底的总产量在原有基础上实现翻三番，则年平均增长率为……。经简单分析可以得知，尽管这道题目并未出现“数列”、“通项公式”此类叙述数列题目的关键字，也并未给出数列项，然而“年份”“增长率”“翻三番”等关键字还是说明这是一道数列题。数学竞赛题目的此类定向就绝非这么简单，更有可能因题目的内容行程错误的定向。数学竞赛题目困难的成因源于奥林匹克数学题目的知识背景和一般性数学题目的知识背景有所不同［1］。普通题目通常会和普通中学数学教学中的某个章节内容有着密切关系，而且按照题目的关键字或具体数据就能提示其中联系。而高中数学竞赛题目所涉及到的知识背景甚至可联系到大学数学。因而只可以单纯地从叙述文本的主题与具体数据出发，针对题目数据的相关性，也就是题目的结构形式，来判读题目类型。例如高中数学竞赛解题中的类比手段常常会将题目导向一个和先前内容完全不同的题目上去，然而其题目结构依然相似［2］。

2高中数学竞赛解题思维与学生学习能力的相关性

2．1培养学生创新思维：培养学生以完善人格为基础的创新能力，是高中数学竞赛解题教育的根本任务。通过高中数学竞赛解题来推动学生再创造思维的发展，是其全面发展与数学竞赛教育价值的集中体现。从本质意义上看，教育的目前是培养人的社会现象。而从培养人的角度观察，教育不仅应当满足学生的素质性与发展性的需求，更应当满足学生的功能性和社会性需求。因而，这就要求了数学教学有必要将学生的全面发展与社会发展实现有机结合。推动学生的全面发展的同时推动社会的进步，也正是教育功能的体现，而培养学生的创新思维能满足人性发展与健全需求。所以，高中数学竞赛解题教育对学生创造性思维的培养，集中体现了个体发展功能与社会。在学生在学习与掌握解题思维的过程中，有利于学生数学学习能力的提高。如：9个袋子分别装有9，12，14，16，18，21，24，25，28只球，甲取走若干袋，乙取走若干带，最后只剩下一袋。已知甲取走的球数总和是乙的两倍问剩下的一袋内装有球几只？从思维的整体性出发思考，甲拿走球数总和是3的倍数，总球数之和被3除余2，所以最后一袋也是被3除余2，又因9袋中只有14符合，可分析得出剩下的袋内装球14只。教师在教学竞赛解题时，应告知学生在解决问题时要从宏观角度上实施整体分析，抓住问题框架结构与本质关系，并学着从思维策略的层面去明确解题的思路［3］。让学生得以变更和化归问题，研究与研读组成问题的知识集成块，培养其思维跳跃的能力。在学习阶段重视对方法的探求和识别题目类型。

2．2培养学生竞争思维：毫无疑问，相较于一般性题目，高中数学竞赛问题更加具有挑战性，更加能够培养学生学习的好奇心、好胜心、专注力，激发学生学习数学的能动性。新颖、生动、创意的高中数学竞赛问题可以让学生有机会享受思考的乐趣，并且经历研究问题的欢乐，在学生面临学习问题时，教师应当帮助学生树立战胜困难的决心，不轻易放弃对问题的解决，使学生逐步养成独立钻研的学习习惯，勇于面对困难，最终养成面对困难锲而不舍的求真精神。尽管从形式上来看，高中数学竞赛解题属于一项关乎于智力的竞技行为，然而其本质主要是彰显数学学习的基本精神，发挥人的创造性，实现人性完善。毋庸讳言，数学竞赛教育本身其实是非常专业与系统的智力教育科学，但是，数学竞赛的解题教育作为一项特殊的教育活动，也绝非只是单纯地为了培养某一领域的“专家”，其首要目的还是在于帮助学生更好的实现人性的完善。数学竞赛解题推动学生的人性完善的具体表现，就在于在进行智力竞技阶段中，培养学生丰富的情感，通过个体竞争与小组竞争的模式，来发挥学生合作、互助意识，锻炼学生坚忍不拔、迎难而上、敢于创新的思维意志。

2．3培养学生研究能力：高中数学竞赛是一场关于智力的竞赛，其作用就是为了可以尽早地发现，进而去培养具有数学才能的学生，并且进一步去考察这些学生的数学研究能力、综合素质以及创新意识等。每年的数学竞赛题目都是新的，没有考纲，因此，学生一定要拥有很扎实的基本功与高超的思维能力。所以，数学奥林匹克的命题和培训选手的宗旨以数学能力为重点。以《托勒密定理的推广》为例，学生只要掌握了解题的方法，就可以解决掉大多数问题。参加过数学竞赛的学生，对常规问题的解法能够做到一望既知，并把握其中关系。

3结束语

综上所述，高中数学竞赛是数学教学另一种局面，本文首先竞赛解题理论的思维特点进行了分析和比较，按照高中数学竞赛解题思维过程的研究提出了培养学生学习能力的策略，以帮助学生激发学习潜能，最终形成了良性循环。

作者:赵雅琪 单位:河南师范大学附属中学

参考文献:

［1］陈传理，张同君．竞赛数学教程［M］．北京：高等教育出版社，2015．

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关键词：小学数学；课堂环境；学习成果；关系

教学是教师、学生在一定课堂环境里进行交互活动，从而促进学生学习的过程。作为一种情景因素，课堂环境本身也是一种教育因素，对教学过程的实施、学习成果的取得有着极其重要的影响。在小学数学教学中，课堂环境与学习成果有怎样的关系，怎样的课堂环境有利于学习成果形成，怎样的课堂环境又会对学习成果产生不良影响呢？笔者根据对于相关理论的研讨和自己的教学经验进行了一些思索。

一、课堂环境的内涵

课堂环境是教学活动的场所及其他因素综合形成的环境，可以分为“硬环境”和“软环境”。

所谓“硬环境”，就是课堂中的物理环境，如教室的布置、活动空间、采光、温度、教室外噪音情况等时空环境和物质环境，通过相关课题的研究和笔者在教学实践中的观察，可以发现教室的空间大小、光照、噪音、温度等环境因素，教室环境布置、学生的座位安排都可能对学生的学习成果产生影响，对注意容易分散的小学生更加如此。在需要学生倾注一定抽象思维和逻辑思维的小学数学课堂中，教室应注意构建安静、和谐的课堂物理环境，帮助学生更好地参加学习活动，确保学习成果。

所谓“软环境”，指课堂社会心理环境，主要包括师生关系类型、教学活动类型和课堂气氛。学习活动在这样的软环境中进行，与课堂物理环境相比，社会心理环境对学习成果的影响更大。本文将就小学数学课堂中软环境对于学习成果的影响进行详细的分析阐述。

二、小学数学教学的特点

小学数学教学以小学生为教学的主体，以基本的数量关系和空间形式为教学内容，在学习方式、教学组织形式和教学策略的选取上有着自己的特点。小学生处于以具象思维为主要形式，逐步向抽象逻辑思维主要形式的过渡阶段，对生动具体的事物认识比较容易，但是对抽象的知识和概括出来的理论在理解和掌握上常常刚到困难，面对数学学科比其他学科具有的更强抽象性和逻辑性，小学生在学习中更容易受到课堂社会心理环境的影响。

三、小学课堂环境对学习成果的影响

（一）师生关系对学习成果的影响

教学是师生双边互动的过程，师生关系的类型，直接影响到教学活动的方式和效果，也对学习成果有巨大的影响。一方面，师生之间的心理态度对学生的学习成果有所影响。“亲其师而信其道”，学生对教师的喜欢与信赖的程度直接影响小学生对于课堂学习活动的参与度，从而影响学习成果；同时，根据皮格马利翁效益的，教师对于学生的期待也会在一定的言行之中体现出来，从而影响学生的学习，进而影响学习成果。另一方面，师生之间在教学过程中进行双边互动的关系，例如师生之间的良性互动，教师对于学生的组织，对于教学进程的调控都对学习成果产生直接的影响。总而言之，和谐、积极的师生关系有利于学生取得优秀的学习成果。

（二）课堂气氛对学习成果的影响

课堂气氛是指师生在课堂教学过程中表现出来的情绪及情感状态。学习的过程不仅有思维的参与，也有情绪和情感的参与，情绪的饱满与否会对学习的兴趣、思维的灵敏度产生影响，从而影响学习成果或者是课堂教学效果。假如，教师在学习乘法口诀的时候，可以组织学生之间的竞赛，创造你追我赶的积极竞争氛围有利于学生的掌握程度，但是如果教师对竞争的结果过于强调，就可能对学生的心理产生一定压抑，从而产生厌学心理。总之，在课堂教学情境中，教师应满足学生的需要，创造师生、生生之间平等、民主、和谐的关系，让学生产生愉快、轻松、竞争等积极的情感状态，有利于良好学习成果的取得。

（三）教学活动类型对学习成果的影响

在小学数学课堂中，教学活动类型是指教师教授、指导学生掌握相关基本的数量关系和空间形式的过程。根据建构主义学观和新课改理念，我国的小学数学课堂基本上可以分为倾向建构型和倾向传统型。学生学习是倾向于自我建构还是传统的被动性学习，对学习成果也有着非常重要的影响。

传统型的课堂中，学生在教师的教授下学习，缺乏学习的主动性和数学知识体系在头脑中的自我建构。传统数学课堂，一般是采取老师讲解相关的算法、概念、定理，指导学生通过练习巩固算法、掌握概念、论证和应用定理，以学生对算法、概念、定理等的掌握为教学目的，学生的数学观比较狭窄，数学态度较为消极。虽然小学生在教师、家长的影响下对数学学习有着一定的兴趣，但更多是倾向于表层，学生学习所得到的学习成果一般停留在对教材内容的把握，缺乏对基本数学关系、基本几何概念的认识，并不利于数学课程的进一步学习。

倾向建构的课堂中，教师利用建构主义学习观关于学生学习的理论，采取相应的教学策略，引导学生的主动学习自主建构数学知识体系，取得学习成果。一般而言，建构型的课堂创设了更多的机会让学生自主学习、参与活动，鼓励学生的动手操作、提出问题、探讨解决问题的方法，鼓励学生之间的小组合作，鼓励更深层次的学习，比传统课堂中一本正经的讲授、听讲和反复练习对小学生来说当然更有吸引力，参与的广度和深度更强，学生的数学观相对来说更加开放。建构性课堂引导小学生主动在原有知识经验的基础上“生长”出新的知识经验，更有利于知识体系的建构，更有利于学习成果的生成。

四、结语

总之，在小学数学课堂中，教师要积极创造和谐的师生关系和积极进取、团结协作的课堂氛围，利用新课改理念里关于学生学习主动建构的理论，努力创造良好的课堂环境，为小学生数学学习活动顺利进行、取得良好的学习成果和为将来的数学学习打下坚实基础，积极推动新课程改革向纵深发展。

参考文献：

[1]丁锐，黄毅英，马云鹏.小学数学课堂环境与学生问题解决能力的关系[J].教育科学研究，2009，12：39-42.

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关键词：高中数学；学困生；学习障碍；转化策略

高中数学在学生的学习生涯中具有重要的地位和作用，不仅关系到高考的总体成绩，还关系到国家对数学教学改革的成果，所以，要引起格外的重视，尤其是对数学成绩不理想的学生，要及时转变教学方案，调整教学方法，才能不断提高学生的数学学习兴趣和积极性。

一、高中数学学困生的数学学习中存在的主要障碍

高中数学学困生问题的产生是由多方面因素造成的，客观因素包括学校教学、家庭环境等的影响，主观因素包括学生自己的兴趣、学习能力、学习自信心等，这就导致数学学困生可以分成很多类型。有先天数学智力水平不足类型，有后天基础不扎实类型，有厌恶数学放弃进取类型，有学习目标不明确、志向比较低下类型等，在心理方面的障碍会更加显著，感知障碍包括在学习的过程中出现感觉的减退、倒错、幻觉等问题；注意障碍包括在学习数学使注意力明显下降、记忆功能障碍等；思维障碍包括在数学学习与练习的时候，出现思维迟钝、思维混乱、思维很容易被外界所打断等。还有一些情感与意志方面的障碍也是影响学生学习能力的重要原因。这些问题体现在数学的解题问题上集中表现为认知上的错误、运算错误、论证错误、方法错误等，同时加剧了心理障碍。

二、高中数学学困生数学学习障碍的转化策略

1.在课堂教学方面，要施行有效的转化策略

在高中数学教学阶段，课堂教学的重要性显而易见，如果教师不改变数学教学的思路和方式，就会让数学学困生与数学水平较好的学生的差距越来越大。教师首先要在数学课堂上做好初中数学知识和高中数学知识的相关衔接，使得基础比较薄弱的学困生在进行高中数学学习的时候有一个过渡的基础。在实际的教学过程中，教师应该按照学生的实际数学水平，对学生进行分层教学，即因材施教，数学教学的目标确定一定要符合不同层次学生的具体情况和具体要求。对层次较高、能力较强的学生设定目标不能太低，要有一定的高度，激发学生的拼搏精神，在掌握了课本知识之外，更要侧重课外思维拓展训练。对数学学困生设定的教学目标就不能过高，以提高学生的学习兴趣为主，注重教材例题与基础习题的练习，根据教学进程循序渐进地提高要求。对数学学困生要给予更多的关怀，针对不同学生出现的学习问题，给出合理的学习方法，正确引导学生找到适合自己的学习方式。

2.针对数学学困生的成绩评估机制也要有所不同

评估机制不能只有单纯的一项，不能只依靠分数或者期末总成绩来定夺数学学习能力的高低，可以同时采用进步幅度的评价标准，让学生在不同的层次上都有一种学习的成就感，从而激发学生的学习兴趣，使数学学困生从学习困境中走出来，不断提高学习成绩，教师的教学目标也逐渐达到一致。

3.教师本身要努力提高自己在学生中的亲和力

很多高中学生由于不喜欢一个老师从而讨厌其授课内容，这就要求教师平时要多注意自己的言行。身教重于言传，教师的品德与威信对学生具有很大的影响。教师对学生的学习要经常采取鼓励和表扬的方式，让学生从进步中看到自己的长处，建立学习的信心，不能对学生过多的言语呵斥，甚至打骂，这会造成学生的逆反心理，对数学成绩的提高只有弊端，没有益处。学习成绩的转化需要一个长时间的过程，教师一定要有耐心，才能影响到学生。

4.在课外要做好学生的心理疏导工作，帮助数学学困生建立起良好的学习信心，开拓学生的创造性思维

教师要不定期地举行各种数学课外活动，在丰富多彩的活动中体会学习数学的乐趣，在轻松的氛围中，学生更容易产生数学学习的自觉性，进而在课后可以主动地提高自己的数学能力，体会到学习带来的乐趣。

综上所述，高中数学学困生的主要问题与很多因素有关，从课堂教学角度来讲，对高中数学学困生的转化主要由教师进行课堂的引导和激发，课外要对数学思维进行科学的训练。同时，学校、教师和社会各个方面都要对高中学生数学的学习状况进行科学的转化，重视讲课内容的转化和形式的转化，这样才能大大增强高中数学学困生的学习积极性。

参考文献：

[1]陈渭南.新课程理念下高中数困生成因分析及对策研究[J].中学数学研究，2008（1）.

[2]陶兴模.学困生学习心理障碍分析及对策研究[J].数学教育学报，2004（5）.

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关键词:计算错误 类型原因途径

在小学数学计算教学和解题过程中，计算错误常常困扰着教师和学生。如：在计算时，学生不是看错数字，就是写错数字；不是抄错数字，就是漏写符号；不是加法忘了进位，就是减法忘了退位；不是加法当乘法做，就是计算顺序颠倒；甚至会出现一些无法理解的错误。错误发生后，学生懊悔，老师责备，家长埋怨。

怎样减少小学生的计算错误，提高计算的准确率，让学生快乐轻松学数学呢？

对于学生计算中的错误，我们不能以“马虎”、“粗心大意”一言以避之。我们只有透过计算错误现象查找错误的原因和本质，对症下药，才能让我们的学生彻底纠正计算中出现的错误，快乐学数学。下面，我就结合自己的

教学实践谈谈学生计算错误的类型、错误成因及解决途径。

一、小学生计算错误的类型

计算错误错误通常是指计算结果不正确。由于学生千差万别，个体之间存在着很大的差异性，因此学生出现的计算错误也各不一样。我归纳了一下，计算错误大体有以下几种类型：

1、感知性造成的错误――误认

误认是学生在认读数字过程中造成的错误。主要是由于学生做作业三心二意不专心，没有认真细致的审题习惯造成的一种错误。这种错误有两种类型，一种是认错了数字，如：计算53-18正确结果应该是35，而往往得出错误结果17或45，得出前一个结果的原因是把53误认成35，得出45的原因是没有退位（有时，加法没有进位）；另一种是认错符号，如：口算5×4的正确结果是20，而写成9，原因是把运算符号看错了。

2、意志品质问题造成的错误――误写

误写也叫笔下误，就是本来计算正确，但在写答案结果时出现了脑中想的和手上写的不相符笔误而产生的错误。如：在计算148÷4时，竖式计算正确得结果37，而在横式上忘记写结果或写成73。如：在137÷3时，竖式计算正确，横式写成：137÷3=46，那就可能有两种情况：要么是忘了写余数，要么就是不知道写余数。

3、技能性错误――误算

误算是指在计算过程中出现的错误。这种错误通常有以下几种情形：

（1）算理错误。学生没有掌握正确的算理和计算法则，而导致计算错误。例如：把5÷5=1错算成5÷5=0，把3×0=0错算成3×0=3，把3＋5×4=23错算成3＋5×4=32，把30-8÷2=26错算成30-8÷2=11，把1/2＋1/3=5/6错算成等于2/5，把3.25÷0.5=6.5错算成等于65等。

（2）口算有误。口算有误就是学生在笔算时，运用口算列式计算相加、减、乘或除时出现错误。如：计算368×56不是得出正确结果20976，而得出错误结果20966就属于这种情况。

4、思维定势错误――误判

定势错误是学生对已学的知识已真正掌握了，却未能准确、熟练的运用而造成的错误。有些题目鲜明突出，易在脑中留下较深刻的印象，形成较强的信息，产生定势作用，这种思维定势会使学生的正确思维受到干扰。特别是简便运算，当碰到与强信息相类似的外来信息时，原有的强信息被激活，产生思维干扰。如当学生计算400÷25×4，就有学生计算成400÷25×4=400÷100=4。分析其原因， 25×4=100是一个强信息，这一强信息抑制了学生在同级计算中按从左往右的顺序依次计算的法则的正常运用，造成计算错误（表面上看像运算法则应用错误，实际上是思维定势错误）；又如2.8×3.3+2.8×5.7，象这类题在运用乘法分配律时括号里面的两数之和一般是整十、整百或整千数，这是一个强信息，受其干扰，学生就会算成2.8×3.3+2.8×5.7=2.8×（3.3+5.7）=2.8×10=28。这些都是思维定势产生的错误。

造成这些计算错误的原因是什么，我们如何帮助学生解决？

二、小学生计算错误的原因分析及解决途径

1、对于感知性造成的错误――误认

造成这种错误主要是受小学生本身的年龄、个性、兴趣、理解能力、知识水平等方面的因素影响，他们的注意不稳定，不持久，注意的范围不广，易被无关因素吸引而出现“分心”现象，常常会出现顾此失彼，丢三落四。

解决办法：一是加强有意注意的培养，训练注意分配能力，提高注意能力；二是培养学生认真细致的学习习惯，提高认读的正确率；三是教师作业要合理设计和安排，避免重复的机械训练。

2、对于意志品质问题造成的错误――误写

这种错误主要是没有认真审题造成的。对于这种错误，我们要从源头抓起，要他们多读题，培养学生认真细致的审题习惯（开始1题读至少3遍，把计算结果与横式结果对照检查，随着审题能力的提高，以后逐渐减少。）。

3、对于技能性错误――误算

这种错误主要是学生在小学数学计算学习中，没有把数的概念和运算法则掌握好，理解得不够透彻，还有就是缺乏扎实的基础知识和熟练的基本口算技能。

解决办法：一是要加强计算的概念认识，让他们熟练掌握运算定律和法则；二是要加强口算能力的培养，提高口算的质量；三是要加强估算能力的培养，提高运算速度和准确率；四是要强化养成教育，使学生养成验算检查的好习惯。

4、对于思维定势错误――误判

思维定势从积极的一面来看，能使学生借助以往的经验，促使问题得以迅速解决。从消极得一面来看，也往往导致思维的僵化，不能适应变化了的情况，阻碍了多角度的灵活思维的发展，而仍按原有的思维方式考虑问题，从而导致错误的发生。

解决办法：设计针对性练习，排除干扰因素。我们都知道小学数学中有许多计算既有联系又有区别，因此在计算教学过程中，教师要注意根据学生的实际情况设计一些针对性练习，以便排除各种干扰，充分利用定势的积极一面，克服消极影响，提高计算的正确率。其中，对教学中学生容易忽略的环节，应作必要的突出，或采用反例，进行专项训练或对比辨析，以保证开始就让学生形成正确鲜明的印象，力求减少因定势而产生的失误。

莎士比亚在《理查二世》一文中说过这样的一句话：容忍祸根乱源而不加纠正，危险已是无可避免的。对于学生计算中的错误，我们不能以“马虎”、“粗心大意”一言以避之。在教学过程中，我们要认真找出学生计算中出现错误的原因，对症下药，采取相应的措施，防止和纠正学生计算中错误的发生，让计算错误的烦恼不再来，让学生享受数学学习的乐趣，轻松学数学。

参考文献：

1、《小学生心理学》。 由 王耘、叶忠根、林崇德 编.

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一、高中数学不等式教学中的数学思维

数学思维，不仅囊括了数形结合、函数方程，还涉及数学模型等方面.这对数学知识的理解与题型的解答而言，其重要性不言而喻.在高中数学不等式教学中，教师要根据教学内容，有效融入数学思维，引导学生在学习不等式的过程中掌握知识点，同时通过数学思维分析习题，帮助学生准找思考问题的方向，明确最佳的解题方式，使学生在数学思维和不等式解析的密切融合中提升学习效率.

二、在高中不等式教学中运用数学思维分析

1.数形结合思维.从某种程度而言，数形结合思维，对不等式具有较强的指导性.在数学知识中，数与形两者间存在着一定的联系，这种联系被称为数形结合.在高中数学不等式教学中，标根法解不等式通常需要数形结合思想进行指导.这种解题方法主要是把不等式解集划分为三大步骤.换而言，就是把不等式分解为若干一次因式的积，同时让每个因式中最高次项系数为正.把每个一次因式根标在数轴上面，从最大根右上方逐渐通过每个画曲线，同时关注奇穿过偶弹回.最终按照曲线显示出的符号变化规律，写出解集.以这样的数学思维进行指导高中生学习不等式解答，能够促使其掌握全面的基础思考方法，解得正确答案.例如，用“x3+3x-4≥0”这个不等式作为例子进行解析，先使整个不等式分解为（x-1）（x-2）2≥0.

图1

再根据此分解式把根“x=1”与“x=-2”标注在函数图形中，能够使整个不等式的解集区域清晰呈现出来，为{x|x≥1或x=-2}.又如，在均值不等式的几何证明中，可以利用数形结合思维快速进行证明.如“a+b2≥ab，并且a>0，b>0”这道均值不等式题型，教师可以引导学生先作图，如图1，得出正方形ABCD的面积比四个直角三角形的面积要大.也就能得到不等式“a2+b2>2ab，所以当直角三角形变为等腰三角形，即a=b时，正方形EFGH就缩成一点.这种情况下，a2+b2=2ab.若将a>0，b>0分别用a、b所代替a、b，就有a+b≥2ab，也就是a+b2≥ab（a>0，b>0）.

2.函数方程思维.函数方程思维可以说和不等式恒成立证明方面的数学题存在很大的联系.前者通常是利用函数性质与定义等对有所关联的数学问题进行分析解答.高中数学不等式求解或是证明题中，教师同样能够利用数学函数思维教学不等式类型的数学知识点，同时引导学生深入了解这方面的相关问题.基于此，教师不仅需要使学生分清此类数学思维和不等式结合的主要型，还要引导学生找到不等式解题的关键性突破口.将函数方程思维应用于不等式恒成立问题中，可以在很大程度上方便学生快速求得最值或极值等，明确其相关参数区间，进一步证明不等式恒成立或习题条件.尽管恒成立问题分析时，数形结合思维也可以在其中起到一定的指导性作用，但是函数方程思维在运算与避开作图难点这两方面更具优势.例如，“x2-2mx+2m+1>0”这个不等式，教师可以先引导学生把函数化解为“（x-m）2-m2+2m+1>0”.然后把整个不等式右边化为开口向上，对称轴是“x=m”的抛物线函数.基于函数方程思维的指导，学生能够避免作图难点，直接按照函数单调性与最值性质对m取值范围进行判断，从而求得“m>-12”的答案.

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【案例一】

教师在引导学生复习三角形的特点，讨论得出三角形可以按角或边两种方式进行分类后，给学生呈现类型完整的一些三角形，让学生通过观察、比较发现三角形角和边的特点，对三角形进行分类。学生讨论热烈，发言积极，课堂气氛活跃。

在评议过程中，大家感觉其活跃的背后存在某些假象。一是教学所呈现的材料都是教师事先设计好的，学生只需通过感性认识就能得出分类结果，思维很难得到有效提升。二是尽管所给的三角形类别齐全，但这些材料是否会制约学生的思维？面对现成的研究材料，学生会不会质疑材料完整性？按现有材料分得的三角形类别是否全面？这些恰恰是对三角形进行科学分类的关键，也是提升学生思维所在。三是或许有的学生提前进行了预习，会不会直接运用结论对所给三角形进行分类，把研究过程转变成知识运用过程？针对上述存疑，我们对参与上课的学生进行了调查，结果没有一人考虑材料的完整性问题，提前进行了预习的同学大多是按课本结论对所给三角形进行了分类，这样分类思想和分类方法的教学就未落到实处，思维没有得到应有的发展。如何有效解决这些问题，使学生的思维得到应有的发展呢？经讨论，进行了如下重建。

【案例二】

教师在引导学生复习角的分类和三角形的特征后引入新课。

师：大家知道，对事物的分类总是根据它们某一方面的特点进行的，三角形有它自身的特征，我们可以根据它们哪方面的特征来分类？

生：可以按它们的角或边的特点来分类。

师：什么特点？

生：角的大小特点和边的长短特点。

师：你所说角的大小指的是角的度数吗？

生1：不是，是看三角形中有什么类型的角，根据角的类型来分。如果根据角的度数来分，就把角的度数相同的三角形作为一类，那么分的类型太多了，不方便。

生2：我认为也可以根据角的度数来分，先量一量看它们每个角分别是多少度，再看这些角分别是什么角，再根据角的类型来分。

生3：他们两位的意思是一样的，都是根据角的类型来分。

师：大家同意吗？

生齐：同意。

（师板书：按角的类型分）

师：按边的长短来分又是怎样分？

生1：把边长的分作一类，把边短的分作一类。

生2：不行，那什么叫长，什么叫短，没有标准。

师：请同学们回忆一下，我们以前是怎样对四边形分类的？

生1：是按它们四条边的长短关系和角的关系来分的。

生2：我明白了，我们可以按三角形三条边之间的长短关系来分。

生3：按三条边之间的长短关系来分。

（师板书：按边的长短关系分）

师：能不能按它们顶点的特征来分类呢？

生：不能，因为三角形都有三个顶点，顶点都是点，都是一样的，没有特点没法分类。

师：通过刚才的讨论，我们知道，三角形有两种分类方法：一是按角的类型分类，二是按三边之间的关系分类。下面请同学们分组画一画，一个三角形中可能有什么类型的角，这些角的类型有几种情况，可以把三角形分成几类？

（学生分组操作讨论后汇报）

生1：我们画了一些三角形，发现三角形的角有三种情况（展示小组画的三角形）：都是锐角或有两个锐角和一个直角、两个锐角和一个钝角。我们把都是锐角的分为一类，叫锐角三角形；有两个锐角和一个直角的分为一类，叫直角三角形；有两个锐角和一个钝角的分为一类，叫钝角三角形。

生2：我们先画了一个三角形（展示画图），再改变角的大小，我们发现所有三角形的两个比较小的角都是锐角，另一个较大的角要么是锐角、要么是直角或钝角。如果是锐角，那它的三个角都是锐角，分为一类，叫锐角三角形；如果是直角，又分为一类，叫直角三角形；如果是钝角，也分为一类，叫钝角三角形。

师：有没有不同的分法？

生：没有。

师：你们觉得哪个组的研究方法更好？为什么？

生：我觉得第2组的方法更好，因为按第1组的方法可能会有画不齐全的情况。

师：有不同意见吗？

生：没有。

师：好，我们就按第2组的方法来研究一下：看三角形三条边的长短可能会存在哪些关系，根据这些关系又可以把三角形分成几类？

（小组操作讨论后汇报）

生：三条边的长短关系有三种情况：要么有两条边相等，要么三条边都相等，要么三条边都不相等。所以，我们把它们分成三类：有两条边相等的分为一类，叫等腰三角形；三条边都相等的分为一类，叫等边三角形；三条边都不相等的分为一类，叫不等边三角形。

重建后，教师不直接给学生提供研究材料，而是给学生留出足够的学习空间，让学生通过画一画的方法自己去探寻三角形按角分类的方法，亲身经历“确定分类标准—探究分类方法—得出分类结论”的分类全过程，在这一过程中学生逐步形成基本的分类思想，了解科学的分类方法，并用所学的方法解决三角形按边分类的问题，在研究方法上完成从研究到应用的过程。不仅让学生学到了知识，更重要的是有利于促进学生数学思想的形成，对学生进行数学方法的熏陶，有利于提高学生研究问题和解决问题的能力，也有利于不同层次的学生都得到不同程度的发展。

篇10

数学探究是学生学习数学的重要活动之一，数学教材作为数学探究的重要来源，是影响学生探究能力的重要因素。通过对上教版和人教版初中数学教材探究内容的比较分析，发现两版教材探究栏目类型丰富，形式多样，都以解答活动为主，上教版更偏向纯数学情境的运用和封闭式问题表述，而人教版较注重创设真实、开放的探究情境。

关键词

初中数学教材;探究内容;上教版;人教版

21世纪以来，数学课程改革为数学学习赋予新的内涵，强调数学学习的过程不能只依靠简单的记忆和模仿，而且要借助实际的探索和动手操作。《义务教育数学课程标准(初中)》中也指出:学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。［1］数学教材中的探究活动在培养具有自主学习、探索能力和实践能力的人才中起到重要作用，成为数学课程改革中所倡导的重要学习活动之一。以往关于数学探究的研究主要分为三个层面:教学层面的数学探究、学习层面的数学探究和课程层面的数学探究。［2］从课程层面出发，研究教材中的数学探究比较少，且主要集中在不同国家高中学段的比较，对国内初中学段的研究较少。故将从宏观和微观两个层面考查上海教育出版社出版的九年义务教育课本七到九年级(试用本)(以下简称“上教版”)和人民教育出版社出版的义务教育教科书七到九年级(2012年版)(以下简称“人教版”)初中数学教材的探究内容。通过对两版教材探究内容的比较，以期对初中数学教材探究内容的改进和发展提供参考。

一、研究方法

(一)研究问题

探讨不同版本初中数学教材探究内容在数量分布、编排特点、情境类型、问题类型及活动类型等方面存在的异同。

(二)研究对象

通过对相关文献的分析整理，采用徐斌艳教授提出的数学探究的定义，即学生围绕某个问题情境或者数学问题，去观察、分析、推测数学事实，提出有意义的数学问题，猜测、验证适当的数学结论或规律，或给出解释或证明，再反思结论或产生新一轮问题。［3］结合上述概念界定，研究对象为两个版本的初中数学教材中显性探究内容，人教版中标有的“归纳”“思考”“探究”“实验与探究”“阅读与思考”“观察与猜想”“数学活动”“信息技术应用”等显性栏目，上教版中标有的“阅读”“思考”“观察”“探究活动”“实践活动”“阅读材料”“想一想”“议一议”等显性栏目。

(三)研究框架

通过对已有文献的梳理发现，对数学教材探究内容的分析角度呈现多样化，徐斌艳教授提出情境表述、问题表述、活动组织形式、活动类型、与教材上下文的关系这五个分析指标，每个指标又分别分解为若干二级或三级指标。［4］根据以往研究，结合人教版和上教版初中数学探究内容的特点，主要从宏观和微观两个方面进行比较分析，宏观分析包括探究内容的数量分布和编排特点，微观分析包括情境类型、问题类型、活动类型三个方面，并对每个方面进行再次细分。

二、探究内容的宏观分析

(一)数学探究内容的数量分布

数学课程内容在义务教育课程标准中被划分为数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四部分，两版教材探究内容都涉及四部分，从探究问题总量上看，人教版(834个)多于上教版(654个)，从各部分数量分布来看，两版教材探究问题除了统计与概率部分数量相同外，其余三个部分的数量都是人教版多于上教版。从各部分所占比例来看，人教版探究问题涉及数与代数部分偏多(44.48%)，其次是图形与几何(40.05%)、综合与实践(12.11%)、统计与概率(3.36%)，上教版探究问题中数与代数、图形与几何部分比例较接近，都是44%左右，其次是综合与实践(7.18%)、统计与概率(4.28%)。

(二)数学探究内容的编排特点

研究对象是教材中显著标出的有探究意味的栏目。人教版数学教材中的探究栏目以“思考”和“探究”居多，一般出现在章节开头和中间，旨在引导学生通过观察、分析、猜想、试验、推理、反思、交流等活动获取数学知识，积累学习经验，逐步学会发现、提出、分析和解决问题;“归纳”一般出现在章节中间，主要是对方法和规律的总结，促进学生的反思性学习;“阅读与思考”“数学活动”和“信息技术应用”主要出现在章节末尾或者章节外，旨在通过生动活泼、积极主动的学习，培养学生更广泛的数学学习兴趣，不断增强探究能力。［5］上教版中的探究栏目以“问题”“想一想”和“思考”居多，主要出现在章节开头和中间，用于引发学生思考，帮助学生理解新知，引导学生开展数学活动;此外，还配备了“阅读材料”“探究活动”“实践活动”等专题，出现在章节末尾或章节外，旨在拓展知识，丰富数学文化，促进学生的体验性学习和探究性学习，不断增强探究能力和实践能力。总体来看，两版教材探究栏目类型丰富，形式多样，均为学生提供了较多探究性学习的机会和方式。

三、探究内容的微观分析

主要从情境类型、问题类型和活动类型等方面对探究内容进行编码分析，分析结果如下。

(一)数学探究内容的情境类型

教材探究内容需要通过一定的情境来呈现，通过对相关文献的分析，将探究内容的情境类型分为纯数学情境和非纯数学情境。纯数学情境指纯粹数学问题表述的情境，非纯数学情境指来自日常生活、外部现实世界(自然、艺术、体育、人文等)或文学作品、科幻作品等故事情节类情境。根据统计分析发现，两版教材探究内容都以纯数学情境为主(上教版:85.63%，人教版:71.11%)，上教版纯数学情境比重更加突出，而人教版更加关注非纯数学情境的运用，其比例是上教版的两倍。纯数学情境关注数学知识本身，从数学知识、规律与关系来创设情境，注重数学的严谨性;非纯数学情境赋予数学以生动、亲和的形象，有助于学生通过自己的观察、操作等活动亲身经历知识的建构过程。上教版中纯数学情境很多，非纯数学情境较少，这对于学生基于现实生活经验进行数学学习会产生一些困难;人教版涉及很多非纯数学情境，包括日常生活和其他学科的情境问题，更注重问题情境的真实性、趣味性，有利于激发学生探究生活中的数学规律，帮助学生体会数学与生活之间、数学与其他学科之间的联系。例如，人教版七年级下册第144页的实验与探究中的“瓶子中有多少粒豆子”，此探究内容主要介绍抽样调查方法和样本估计总体的思想，重点在于让学生通过数学的思想方法，解决来自日常生活中的情境问题，为非纯数学情境。

(二)数学探究内容的问题类型

根据探究活动的解答过程和结论是否唯一，将探究活动的问题类型分为封闭式问题和开放式问题。封闭式问题的答案和解答方法都是唯一的，开放式问题包括解答方法多元的过程开放问题和答案多元的结论开放问题。两版教材探究内容都以封闭式问题为主，上教版中的比重相对人教版更高，上教版中开放式问题占11.64%，人教版中开放式问题占22.22%，且结论开放问题和过程开放问题所占百分比都高于上教版。由此可知，上教版探究内容封闭式问题很多，开放式问题比较缺乏，人教版探究内容更加注重开放式问题设计，鼓励学生大胆假设与探究，寻找多种方法分析并解决问题，寻求多元化结论，更加符合课程标准中对探究内容的要求，如“有助于鼓励学生发挥自己的想象力和创造性”“探究课题应具有一定的开放性”“培养学生善于质疑和善于反思的习惯”［6］。人教版八年级上册第11页的探究，要求学生将任意一个三角形的内角剪下拼合在一起得到一个平角，学生可以有不同的拼合方法，故此题为过程开放问题;人教版八年级下册第79页的思考，要求学生说出三种函数表示方法各自的优点，学生在解题过程中不仅要理解这三种表示方法的界定，还要考虑如何根据具体情况选择适当的方法，以及在运用方法时可能会遇到的问题，因此可能会出现多种不同的答案，故此题为结论开放问题。

(三)数学探究内容的活动类型

数学探究内容的活动类型指教材在设计数学探究内容时，为学生创造的数学活动条件和空间，本文将其分为解答活动、写作活动、项目活动、阅读活动和实验活动。统计结果表明，两版教材的探究内容均以解答活动为主，其他活动类型都比较少。相对上教版而言，人教版探究内容的活动类型和数量较多，其中实验活动主要借助信息技术实验性的探索问题，项目活动主要以实物作品呈现活动成果，阅读活动包括有问题和无问题的文本阅读，写作活动非常少;上教版教材中，阅读活动以无问题文本阅读形式为主，项目活动主要以文本作品呈现活动成果，实验活动很少，没有写作活动。据此可以看出，两版教材强调对知识的理解和运用，忽视了活动类型的多样性和趣味性。解答活动又分为“验证反思”“计算证明”和“推测解释”三类，两版教材探究内容都是以“计算证明”类为主，旨在培养学生利用数学公式、定理等进行数学计算、证明或作图的能力;其次是“推测解释”类，关注学生对可能的解答过程或结论进行推测或解释的能力;最后是“验证反思”类，培养学生对已有的解答过程和结论进行验证或反思的能力。例如，上教版七年级上册第104页中的思考，要求学生把三角形ABC绕着AB边的中点O旋转180°，并画出旋转后的图形，学生在解题时需要根据旋转等相关知识作图，以此加深对中心对称等相关概念的理解，此题为解答活动中的“计算证明”类。总体来看，两版教材都比较重视学生的探究活动，探究内容都以解答活动为主，上教版更偏向纯数学情境和封闭式问题，注重数学的严谨性，而人教版更关注开放式问题的设计，鼓励学生寻求多元的方法和结论。

四、启示

(一)密切生活实际

数学课程内容的选择要贴近学生的生活实际，有利于学生体验与理解、思考与探索，使学生经历从实际背景中抽象出数学问题、构建数学模型、寻求结果、解决问题的过程。［7］通过比较发现，两版教材探究内容更多的是纯数学情境，非纯数学情境较少，而非纯数学情境作为数学知识的一种载体，与学生的生活经验有关，能够更好地激发学习兴趣、引起思考且乐于探索。因此，两版教材中的探究内容除了关注数学知识之间的联系，也要关注数学与日常生活、数学与其他学科等领域的联系，尤其是上教版教材，可以适当增加一些与学生联系密切的生活情境或者自然科学、人文艺术类情境，重视学生已有的生活和学习经验，激发学生学习数学的兴趣。

(二)加强多角度探究

探究内容中的封闭式问题更注重问题的严谨性，而开放式问题中的过程开放旨在鼓励学生进行自由反思和探索多样化的解题方法和策略，结论开放旨在鼓励学生对未知、多变的结论进行发散性探寻。［8］两版教材探究内容都以封闭式问题为主，开放式问题为辅，尤其上教版中的开放式问题仅占11.64%。封闭式问题对于巩固所学知识和开发智力是不可替代的，但是不能完全满足对学生数学思维能力的训练。开放式问题具有非完备性、不确定性、发散性等特点，有助于调动学生学习的积极性，激发学生好奇心和求知欲，培养学生主体意识和多角度探究能力。［9］因此，上教版教材可以以数学教学内容为载体，创设开放式问题情境，激发学生自主探究，通过学生相互讨论交流和教师补充引导，促进学生思维发展，拓宽解题思路。

(三)丰富活动类型

数学学习不仅需要教师的言传身教，还需要学生自己去经历、体会、感悟、积累，而不同类型探究活动正是为学生提供这样的机会，去获得基本的数学活动经验，发挥学习的能动性，锻炼学生写作能力、动手操作能力，体会探究的乐趣。两版教材探究内容都以解答活动为主，其他类型的探究活动所占比例很少，其中实验活动主要以如何使用信息技术解决数学问题为主，对学生进行实践操作的要求不高，项目活动的探究价值不高，写作活动非常少，且缺乏对数学概念、探究过程和探究结论方面的写作。因此，两版教材应该适当增加实践活动、项目活动、阅读活动和写作活动比重。不仅注重学生的解题能力，还要关注学生的动手操作能力、阅读理解能力和写作能力，注重活动的丰富性和趣味性，使学生在不同活动类型中获得更丰富的探究体验和更全面的发展。

作者：尚念 单位：华东师范大学教育学部

参考文献:

［1］［7］中华人民共和国教育部．义务教育数学课程标准(2011年版)［S］．北京:北京师范大学出版社，2012:2－3．

［2］刘海宁．高中数学新课程中数学探究设置之研究［D］．兰州:西北师范大学，2003:2．

［3］［4］徐斌艳．高中数学探究内容的分析指标体系及比较研究［J］．课程•教材•教法，2012(10):35．

［5］中学数学课程教材研究开发中心．义务教育教科书数学七年级上册［M］．北京:人民教育出版社，2012:2．

［6］中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(实验)［S］．北京:人民教育出版社，2003:99．