数学原始概念范文

导语：如何才能写好一篇数学原始概念，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

(上海市金汇高级中学，201103)

概念是事物的本质属性，合理准确地建立概念的重要性不言而喻。本文对椭圆第一定义教学的多种方式进行分析研究，以说明“实验型学习”在数学概念建立的必要性、合理性表达以及数学概念本质的意义揭示等方面的优越性。

一、教学案例

【案例1】

教师打开PPT课件，呈现出一幅天体运行图，同时说道：“大家对椭圆图形都不陌生，比如月球绕地球运行或地球绕太阳运行的轨道。那么什么是椭圆呢？”见学生没有什么明确的回应，教师立即开始板书：“椭圆定义：……”然后，教师解释定义中的“定点”“定长”等要素。

【案例2】

课前，教师在黑板上挂了一块KT板。课始，教师开门见山地说：“这节课我们学习椭圆，请大家先看我做一个实验。”然后，教师拿出一根细绳和两颗按钉，将细绳两端分别系上按钉。接着，教师一边操作，一边讲解：“这是一根没有弹性、固定长度的绳子，现在我把它两端的钉子分别插在KT板上，然后用笔尖拉紧绳子，此时笔尖所在点到两个钉子所在点的距离之和就是绳子的长度。我随意拉动绳子，笔尖落在另一点，这个点仍保持到两个钉子的距离之和为绳长（不变）。看我再不停地拉动……”随着教师的动作，KT板上出现了椭圆的痕迹。在学生观察椭圆的过程中，教师提问：“你能准确地说出什么叫椭圆吗？”在学生描述定义的过程中，教师一边纠正和简化学生的语言，一边标记两个定点的位置：分别标上字母F1、F2。随后，教师拔下其中一颗按钉，拉紧绳子，再把这颗按钉插在KT板上，同时问道：“你认为两个定点之间的距离和绳子的长度应该符合什么关系呢？”经过分析后，教师给出椭圆的定义，并再次解释定义中的各要素。

【案例3】

教师用手电筒从不同方向照射实物圆锥体模型，让学生观察其投影。由此，得到椭圆的“形象”。然后，教师通过案例2中的实验给椭圆下定义。

【案例4】

教师用几何画板课件演示：拖动图1中的点M，显示出平面截圆锥面所得截线的各种情形。当画面静止在图1中的情形时，教师提问：“请大家看，图中的截线是什么曲线？”学生回答：“椭圆。”教师表示肯定后，用课件出示图

【案例5】

教师打开几何画板课件，呈现出一个圆，如图3所示。教师提问：“这是什么图形？”学生齐答：“圆。”教师在课件中拖动“圆心”，图形发生变化：重叠在一起的两个点（焦点）分离，图形由圆变为椭圆，如图4所示。教师提问：“你发现圆变成了什么图形？”学生齐答：“椭圆。”教师追问：“那么什么是椭圆？如何下定义？”学生纷纷议论：“好像圆变成了椭圆，一个圆心变成了两个圆心。”“圆半径不变，但椭圆好像有两条半径。”“肯定不能叫圆心、半径，两个中心也不对，动点P到两个定点的连线是变化的。”“不过两条线段总长不变。”学生讨论，教师巡视，并对听到的简单问题当即予以回答。然后，教师在课件中将动点P到两个定点的距离测量出来，并将它们的和计算出来（界面如图5所示），同时说道：“有些同学认为动点到两个定点的距离之和不变，我们用计算机来验证一下吧。”接着，教师在课件中不断移动点P，同时说道：“果然不变。你能准确地给椭圆下定义了吗？”学生得出包含定点与定长的初步定义。此后，教师又在课件中拖动定点F1、F2，椭圆变得越来越扁平直到消失，并反复演示。学生很快明确了定长和定点之间距离的关系：F1F2≤PF1+PF2。最后，教师将椭圆的完整定义写在黑板上。

二、案例分类及评价或改进

以上7个案例，形式上都是做数学实验，但反映出执教者对数学概念形成的认知心理的研究水平以及对“实验型学习”的理解和态度是不同的。“实验型学习”所提倡的数学实验类型，主要是案例5、6、7所代表的“模拟实验”和案例2、3代表的“实物实验”两大类。

案例1是比较普遍的“PPT图片展示”。但这种方式不属于“实验型学习”，因为对于高中学生来说，看到椭圆图片与听到椭圆描述没有什么区别，都没有实质性的实验功能，不能说明任何“原理”，不能有效地调动思维活动。实际上，用PPT、flash等非数学教学专业软件演示的“实验”，都不是真正意义上的数学实验，反而具有更强的灌输、说教性质。

案例2是多数教材都采用，多数教师都用过而且仍在运用的“实物实验”。但有人认为这种方式过时了，没有必要了，因为用多媒体动画制作软件可以制作出那种效果。另外，案例2的引入不自然，可以用案例3的“实物投影”作为铺垫。

案例3是在案例2的“实物演示”之前，先用“实物实验”呈现椭圆的形象。这里暗含了人类发现椭圆的“历史事实”，即人类是从自然的光学现象中发现椭圆的。这种设计有让学生经历初始状态和发现过程的意图。不过，这里可以将用作投影的实物改为圆形硬质纸片（或瓶盖之类的圆形物件），因为这比圆锥体模型更容易获得，产生的现象更明显，而且更符合认识发生的原始状态。

对案例2和案例3的手工画图，要注意用动作展示思维。教师演示时，可先将两颗按钉固定在一起，将细绳两端分别系在按钉上，将笔套入细绳中，拉直画图，一边画，一边让学生描述画图的法则，说出圆的定义。这样可以让椭圆概念出现得更自然、直观，学生体验得更深刻、透彻，也能更有效地调动学生思维的主动参与。

案例4、5、6、7都是运用几何画板进行“模拟实验”（不依靠实物，而用计算机处理数学模型的实验）来帮助学生建立概念，但对几何画板的作用和用法有不同的理解。

案例4的课件制作太难，技术要求和时间投入过高，不具有推广价值。不仅如此，用不同的平面去截圆锥，是已经抽象概括并数学化了的想法，不可能是学生的自然想法；而且教师按这一顺序引出椭圆概念，很难避免概念循环的错误，即用椭圆解释椭圆。

案例5的优点是直观，演示效果好，适合学习能力水平较弱的学生。但这种做法需要事先制作课件，使得两个焦点可以自由移动，而且已经用到了椭圆的性质，只是玄机暗藏在画面背后，学生不知道而已。因此，对资质好、能力强的学生，这种方式就会显得“真实性不够”，看不到现象的源头，不如改进过的案例2，用实物演示圆变为椭圆的过程。

案例6是对圆上一个动点作一个变换（横坐标不变，纵坐标按一定比例压缩），实验从学生已知的圆开始，过程明白无疑，现象真实可信，而且解析思想表现得简洁深刻。但缺陷是，两个焦点是“构造”出来的，教学过程中若处理不好，会出现因果倒置的逻辑问题。

案例7与案例6-样，初始问题、条件都很明白，定长线段和定点（焦点）都是现场作出来的，因而后面基于此的各种构造都不会有疑义。优点是几何本质突出、探究空间大、开放性强（如由“和为定值”很容易联想“差为定值”“积、商为定值”等等，并很容易做类同的实验），适合资质好、能力强的学生。但同时这也是缺点，若面对的学生能力不够，依赖性较强，采用这种方式就很可能出现启而不发的场面，也可能因部分特别“好事”的学生提出一些教师预料不到的问题或进行想当然的操作尝试，使得课堂很难把控（当然，把控课堂是一种“中国特色”）。

案例5、6、7的优缺点都是相对而言的，没有固定的标准。教学中要根据学生的实际情况进行选择、借鉴、改造，即因材施教是基本的原则。由此也说明，“实验型数学学习”是能从实践上打破“一个模子的教育”的有效方式。

三、案例中的关键问题研究

教学情境的创设，是教学中常谈的问题，而信息技术往往能在这方面发挥作用。因为多种媒体的综合运用，可以具体地制造视觉、听觉甚至触觉和嗅觉信息，创设出设计者想象中的“真实”情境。但教学这一内容时，首先要考虑的是，情境是为建立椭圆的概念服务的，因此，要在学生的视野内，先呈现椭圆的形象，再分析它的特征属性，根据特征属性下定义。案例1并没有在视觉上呈现椭圆，而只是用概念“卫星的椭圆轨道”来描述椭圆，对学生观察、认识椭圆图形的特征属性没有作用；案例4则刻意追求了实验的形式，而忽视了实验的目的，操作复杂，理解困难。其余5个案例都注意了概念形成的基本过程，即首先呈现具象，然后动态观察规律，抽象出本质属性，最后将其形式化、符号化。

教师与学生的经验背景不同，建立概念的基础方式也不同。学生在没学过椭圆之前，对椭圆确切的几何特征是不清楚的，根本不会想到“距离和为定长”之类，简单的印象就是“压扁的圆”。案例5、6就是出于对学生经验背景和认知心理的思考，由圆说起，过渡到椭圆。案例5不仅是话题过渡，而且通过拖动圆心，使圆变为椭圆的过程自然地表现出圆与椭圆的关系；案例6还同时表现出了代数变换与几何现象之间的关系。这种顺应学生心理的做法，能促进学生新认识的有效建构。而案例4用平面截圆锥面得到椭圆的形象，则是在对椭圆的本质属性十分清楚的情况下，为了此后与其他圆锥曲线的定义形式保持一致，运用“思维返溯”去构造椭圆和其焦点，然后再解释这样构造出来的图形符合椭圆的定义。这样是不可能帮助学生形成概念的，弄不好就只能硬灌，而且是“反灌”。

课件的优劣是相对于具体上课的需要和用法而言的，概念课应特别重视概念从直观到抽象的形成过程的表现。因此，课件应在概念的形成过程和变抽象为直观上下功夫，千万不可“怎样巧妙怎样做”，甚至“怎么困难怎么做”。有不少教师的潜意识中存在求难、求巧的倾向，觉得问题太简单、太直接了，就没有价值，不够刺激了。其实，按一般审美心理分析，“难”导致的心理反应首先是“烦”，其次是“玄”；只有当主体真切感受到“明白无疑，简洁而深刻”时，心理反应才能是“美”“妙”。案例4的设计者之所以犯这样的错误，很可能是因为想把一个做得很成功的课件（平面动态截圆锥面）用到课堂上。这个课件所要求的制作技术的确很高，用于解释圆锥曲线的统一性很好，但却不适合用于椭圆概念的教学。

四、通过“实验型学习”建立数学概念的意义探讨

造成数学概念教学困难的原因是多方面的。首先，在应试的功利性动机的驱使下，师生对解题教学的重视远远超过概念教学，用于解题训练的时间与精力远远多于用于剖析概念形成的过程。其次，生存环境的快速变化，使得大量无序的信息蜂拥而至，学生已经习惯于用眼睛而不是用头脑处理信息，追求数量大和速度快，不求理性，也无暇思索。因此，数学概念几乎成为了“差不多”“有印象”的同义词，而追根溯源、求本究理的心理机制的淡化，则是数学概念学习的最主要障碍。事实上，数学概念涉及数学的本质，理应给予更多的重视。

对于建立数学概念是否需要运用实验的方法，一般有以下不同的看法：

1．数学概念离不开抽象思维以及严谨的数学语言表述，而抽象与严谨正是学生疏远数学的原因。实验能将复杂、抽象的原理和计算结果，通过信息技术表达得生动、直观，甚至借助实物调动触觉、嗅觉等多种感官。

2．借助信息技术进行的数学实验，只能表现“描述式”的数学内容，而对于表现需要深层思考的数学概念，恐怕是无能为力的。

3．概念是事物本身属性的规定，并没有什么道理可说，基本上不存在什么需要尝试、猜想、探究的东西，所以在数学概念教学中，无需做实验。

4．把一些需要用抽象形式表达的数学对象表达得太形象，本身就破坏了数学的严谨性，这种形象化的做法不利于学生（尤其是“学优生”）学会真正的数学。

篇2

【关键词】数学原始概念；衍生的概念；数学抽象具有无物质性

我们知道，数学是研究客观事物的数量关系和空间形式的科学。而研究数学一定是从数学概念开始，然后才由概念与概念之间的联系形成命题、定理、性质、法则等等。在科学的许多分支中，数学可能要算是一个古老的学科了，它的历史和人类的历史几乎是同样久远。当然，它最初还不过是一些数学知识的萌芽，在以万年为计算单位的漫长时间里，缓慢地逐渐积累着。其中最古老的数学原始概念是世界各国人民世世代代在生活和生产中要解决的问题，经过长期的观察、归纳、抽象、概括逐步形成和不断的完善。如分配产品、测量土地、修建庙宇、航海贸易、矿山开发、火炮制造等等，不断发现和创造各个数学分支。而知识不能遗传只能通过学习获得，我们的学生作为数学知识的继承者，不可能重新尝试前人几千年来不断的探索和逐步完善的过程，许多数学概念的原始生成过程随着时间的流逝已经不可复原或随数学的发展逐渐丧失了它本来的面貌。这就需要数学教师与时俱进创造符合教材知识的背景，探索数学概念和生活现实的联系，通过合理的想象和合情的推理，尽可能的在数学概念教学中自圆其说，才能使学生感受到数学是自然的合理的，有人情味的。把教科书上的学术形态变成课堂上的教育形态，从感性认识上升到理性认识。在知识爆炸的现代，数学知识不仅深入到自然科学也深入到社会科学的各个领域，数学知识的理解应建立在一个比较广阔的平台。让学生穿越漫长的时空隧道进行观察、归纳、类比、抽象、概括这些数学原始概念以及由这些原始概念衍生出来的另外一些数学概念。经常涉及的原始数学概念有：自然数、代数式、点、线、面、相交、平行、相等、不等、加、减、集合、映射等。现在戏说这些概念的形成及其衍生的概念，如有不当，请批评指正。

首先，解释一下几个有关词语。观察：就是人们通过感官，或借助于一定的科学仪器，对客观对象在自然条件下，进行有目的、有计划、有步骤地考察和描述的一种方法。归纳：就是通过对某类事物中的若干特殊情况的分析得出一般结论的思维方法。我们所说的归纳是指不完全归纳，不完全归纳尽管带有猜想、想象的成分，所得的结论也不一定真实可靠，但却是发现数学规律、提出猜想的基本方法，对培养学生的探究意识有着不可估量的作用。与归纳这个词有关的还有完全归纳法与数学归纳法，虽然同有归纳二字，但它们与不完全归纳有着本质的区别，不完全归纳是一般性的思维方法，而完全归纳法与数学归纳法仅适用于数学。类比：就是根据两类事物存在的一些相似或相同的属性，猜测其他的一些属性也可能相似或相同的思维方法。抽象：就是在头脑中把同类事物的共同的本质特征抽取出来，并舍弃个别的非本质特性的思维过程。例如，我们从两个苹果、两棵树、两个人中得出2这个量，这个2在数学中不再针对具体的两个东西，2+3=5，也不停留在2个苹果加3个苹果等于5个苹果这个具体的事物上。在数学的抽象中首先保留了量的关系和空间形式而舍弃了其它一切，数学本身几乎完全处于抽象概念和它们的相互关系之中，任何一个数学推理和计算都是在抽象对象之间展开的。由于所说的抽象就是由特殊上升到了一般，数学研究也就具有普遍意义，它们所反映的不是某一特定事物或现象的量或形的特征，而是一类事物或现象在量或形方面的共同性质。数学抽象具有无物质性。概括：就是把同类事物的共同属性联结起来，或把个别事物的某些属性推广到同类事物中去的思维方法。概括可分为经验概括和理论概括。所谓经验概括就是从事实出发，以对个别事物所做的观察陈述为基础，上升为普遍认识。而理论概括则是指在经验概括的基础上由对种的特性的认识上升为对种所属的属的特性的认识，从而达到对客观世界的规律的认识。

我们再来看一下漫长岁月中所形成的一些数学概念：

（1）自然数：两个人、两个苹果、两只羊等，除去他们的物理性质差别外，从数量上看是相同的，经过大量的观察和归纳，我们把这样一个数量归纳为2，以后只要与这样一样的事物统统概括我2。（2）加法：先有2个苹果，又得到3个苹果，共有5个苹果。记作2+3=5，当然，+号与=号是近代才发明使用的，由若干个相同的量相加，出现了乘法，2+2+2+2+2=2*5，乘法不能算是原始概念，只不过是加法的简便运算。（3）减法：从总量中减少一部分，就产生了减法，而除法只不过是等量减法的简便运算而已。如：6个东西每次减少2个，经过几次才能减完，因为：6-2=4，4-2=2，2-2=0，经过了三次，故简化为：6/2=3。（4）分数：把一堆东西平均分成几份就产生了分数。或认为以一条线段去公度另一条线段产生了分数，我认为在交通不便、信息闭塞的古代，不同的地域产生分数有不同的方法。（5）无理数：古希腊毕达哥拉斯学派的弟子发现了一个惊人的事实，一个正方形的对角线与其一边的长度是不可公度的，经过曲折漫长的过程产生了无理数。（6）负数:以某一量为标准，比该量多时记作+，比该量少时记作-，于是就产生了负数。至于后来又产生了复数，它们统统是由自然数衍生而来的。（7）代数式：到了十六世纪，伴随着文艺复兴的，科学革命的时代也开始了。和天文学同时，西方近代数学也随之兴起。十六世纪西方数学的最大成就，乃是符号代数学的创立。法国数学家韦达在《分析引论术》中，用辅音字母表示已知数，用元音字母表示未知数，并开始用这些字母间的计算代表具体数值间的计算。而这正是算术和代数之间的显著区别。用字母表示数，这在今天学过代数的人看来是一件稀松平常的事情，如果我们追溯代数学的历史，就不能不感到惊讶，用字母表示数的历史竟是如此漫长。美国数学家和数学史家M.克莱因在批判“新数运动”时曾指出：“从古代埃及人和巴比伦人开始直到韦达和多笛卡尔之前，没有一个数学家能意识到字母可用来代表一类数。”由于不知道用字母表示数，数列通项概念在修辞代数里是根本不存在的，所有数列求和的结果只能是针对具体的若干项。当有y个字母x相加时，就产生了单项式xy。即：x+x+……+x=xy。当然，x*x=x2是属于人为的规定表示方法：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。有了单项式、加法、减法就能衍生出多项式。而分式是由分数类比而产生的。方程的产生。（8）在中国东汉初年数学名著《九章算术》和古希腊数学家丢番图及古印度数学家波罗摩笈陀的著作中对解方程都有论述。中国古代解决一次联立方程(线性方程组)问题，用算筹表示一次联立方程组，类似于由方程组各系数构成的矩阵，其解法和现代中学代数中的消元法基本相同。但古希腊和古印度的解法远不如中国的完整。直到十六世纪，欧洲才有了加减消元法。（9）有了代数式、等号、大于号、小于号等符号以后，方程、函数、不等式的研究获得了飞速发展。当n个x相乘的结果为a时，所求的x值就是n次方根，xn=a，x=。至于后来对a、n的细化讨论，就另当别论了。（10）法国数学家笛卡儿（1596―1650）是解析几何的创始人之一，他的中心思想是使代数和几何结合起来。在《几何学》中引入了坐标方法和用方程表示曲线的思想。最初所使用的坐标系中，两个坐标轴的夹角不要求一定是直角，而且轴并没有明显的出现。至于“坐标”，“坐标系”，“横坐标”，“纵坐标”等名词，也是后来人们逐渐使用的。虽然笛卡儿当初的坐标系还不够完善，但是笛卡儿当初迈出的第一步具有决定意义，它促进了微积分的创立。从此数学进入了变量数学的新时期。（11）由于微积分学的创立而产生的一些分支:微分方程、无穷级数、微分几何学、变分学等等的进一步发展，就成了十八世纪数学的最重要内容，这些内容构成了今天数学各分支学科中比较重要的一个学科――数学分析。（12）函数：函数的概念，从一开始，就与动点的轨迹与解析几何的产生是分不开的。众所周知，当对动点的轨迹进行描述时，横坐标和纵坐标相互依赖而同时发生各自变化，很自然可以使人们产生变量、因变量的思想，从而也可以很自然地导入函数的概念。至于函数的概念不断发展，反映了近、现代数学的迅速发展，同时也与解析数学、函数论的发展相辅相成。

【参考文献】

[1]季素月.中学生数学能力培养研究：东北师范大学出版社.1999

[2]张雄、李得虎.数学方法论与解题研究：高等教育出版社.2003

篇3

关键词：数学教学，数学知识，知识类型，教学方式

中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）06-262-01

根据数学知识本身的特点，可把数学知识分成五种类型：数学概念、数学命题（公理和定理）、数学问题、数学思想和数学方法、数学历史知识。下面分别对它们及其教学方式进行阐述：

一、数学概念及其教学方式

1、数学概念。一般来说，数学知识的学是开始于数学概念，因此，可以说数学概念是一切数学学习的基础，如要学习“一元二次方程”，首先必须明确“一元二次方程”这一数学概念的含义，然后才能探究它的解法及应用。

一般来说，数学概念通常有以下几种情况：

（1）反映对象之间的相互关系的（2）反映对象特征的，（3）反映对象的基本元素的。

2、数学概念的教学方式。（1）对于数学概念的教学，首先应尽量让学生获得感性认识，即来源于学生观察自己所熟悉的日常生活和生产实际中的现实模型，尤其对一些原始概念更应如此，如点、线、面，学生只需观察课桌的边沿及桌面等实物，并进行抽象，就可形成这些概念，有些概念不是直接来源于实物模型，是产生于相对低级的抽象概念，这就需要我们在已有的旧概念的基础上学习新概念。（2）在学习数学概念时，既要重视对概念本身的把握，也要让学生了解数学概念的形成过程，在教学时应注意承前启后，形成一个具有层次结构的系统。如在《四边形》一章中，由四边形平行四边形矩形正方形。在教学时可自制教学模型，从运动的角度，由旧的概念引出新的概念，让学生对数学概念有一个较为深刻的理解。

（3）多媒体也给我们数学概念的教学带来了极大的方便，如在《常见几何体及其分类》、立体图形的《三视图》教学时，利用多媒体展示模型，往往能收到较好效果。

二、数学命题及其教学方式

1、数学命题。数学命题是阐述概念具有某种性质或概念之间具有某种关系的判断的语句，数学命题分为公理和定理。公理是人们在实践中得出的得到公认而不需要证明就确认其正确性的原始命题；定理是在原始命题的基础上，通过逻辑推理证明其正确性的真命题，如欧几里德《几何原本》包括5条公理，5条公段（常统称公理），119个定义，465条命题，构成历史上第一个数学公理体系。

2、数学命题的教学方式。初中阶段所学公理少且比较浅显，如等量加等量，其和相等，学生容易接受，在此不再赘述。

数学定理的教学不要固守“展示定理证明应用”的老套路，而应以问题的形式提出，引导学生通过观察、猜想、讨论、试验、归纳等方式来自己探究、发现定理的内容，激发学生探究未知的好奇心，引发他们主动解决问题的兴趣。同时定理的学习不仅仅是定理本身，还要主动思考定理是否存在逆定理，定理的条件是否可以删减，并寻求相应的实例，从各个角度去剖析定理，以达到真正理解定理的目的。

三、数学问题及其教学方式

我们把以数学为内容，或者不以数学为内容，但必须运用数学知识才能解决的问题称之为数学问题，数学问题可分为纯数学问题和应用题。数学问题是数学的心脏，是进行数学教学的载体，一切数学学习归根到底要能用之于解决数学问题。

数学问题的设计应该以学生的生活经验为基础，要赋予数学问题合理、生动而趣味的现实背景，以此激发学生解决问题的欲望与潜能。

问题的探索过程中，要引导学生综合多种感官，进行直觉猜想，动手操作，相互交流，归纳论证。

四、数学思想方法及其教学方式

数学思想方法是数学的精髓。初中阶段常用的数学思想有：方程思想、数形结合思想、分类思想、归纳思想、转化思想等；常用的数学方法有：特殊化、一般化、反证法、待定系数法、配方法等。

数学思想方法的获得需要学生在平时学习中反复体验、实践、探究，这样才能逐渐认识，理解各种数学知识的用途及其使用的场合，最终提高学生解决问题的能力。教师在平时教学中，应有意识地让学生体会到利用数学思想解决数学问题的奇妙之处。

五、数学史知识及其教学方式

新课改以来，数学史知识开始受到广大数学教育工作者的重视，但由于教材中数学史知识的贫乏，广大教师认识上的不足等多方面原因，在实际教学工作中，数学史知识没有发挥它应有的教育功能。

首先，数学上的历史故事能进入学生的知识结构，成为学生提取相关内容的导引线，生动有趣的数学故事也能激发学生的学习热情。其次，给学生传授历史上数学家在重大发现的思维过程，有利于掌握数学的思维方法，从而提高教学质量。再次，数学史知识还能培养学生敢于质疑、勇于创新和坚持不懈的精神品质。在数学史的教学中，要让学生理解故事背后所包含的深层内涵，可采用多种形式进行。

总之，把数学知识进行分类，并根据知识类型选择适当、有效的教学方式，有利于学生认识数学知识的本质，也有利于教师充分理解数学知识，优化教学方式，从而提高数学教学质量。

参考文献：

[1]“人教版”与“华师版”初中数学教材比较[OL].互联网-毕业设计-道客.

[2] 张杰.浅谈如何学好初中数学[J].读写算：素质教育论坛，2012（20）.

[3] 中学数学问题解决教学研究[D].互联网-硕士论文-道客巴巴.

篇4

【关键词】函数教学

一、认识函数思想,引领教学方向

函数描述了自然界中量的依存关系,反映了一个事物随着另一个事物变化而变化的关系和规律,函数的思想方法就是提取问题的数学特征,用联系变化的观点提出数学对象,抽象其数学特征,建立函数关系,并利用函数的性质研究解决问题的一种数学思想方法。尽管内容不多,但函数的思想已经有所体现,它仍占据着重要地位。

二、理清初中函数概念,系统掌握初等函数知识

1、理解概念的逻辑性。数学概念可分为两个重要方面:一是概念的'质',也就是概念的内涵(概念的本质属性);二是概念的'量'也就是概念的外延(概念所有对象的和)概念的外延还有大小之分,外延大的概念叫做种概念,外延小的概念叫做属概念,一个属概念与其他属概念本质上的差别又称为属差,要想给某一个概念下定仪,首先应给学生指出被定义的概念最接近的概念是什么,再紧接着指出被定义概念的属差,既概念定义 = 种概念 + 属查。

2、明确概念的层次性。一般的概念都是通过对实验现象或对某中具体事物分析经过抽象概括而导出的,他是一个形成过程,中学中的许多概念,是从几个原始概念和公理出发,通过一番的推理而扩展成为一系列的定义和公里,而每一个新出现的概念都依赖着旧的概念来表达,或是由旧概念推倒出来的。

3、掌握概念的抽象性。初中学数学中的许多原始概念,都是对具体的数和形的感知而形成表象,再从表象经过抽象概括而形成的。概念是人们对感性材料进行抽象的产物,感性认识是形成概念的基础。如果学生没有感性认识或感性认识不怎么完备时,我们就应该借助与实物、模型、多媒体课件、或形象的语言进行较直观的教学,使学生从中获得感性认识。

三、绘制初等函数图象 ,理解初等函数性质

著名数学家华罗庚先生说:"数缺形时少直观,形缺数时难入微"。因此要想绘制初等函数图象,理解其性质,首先要了解"数形结合"的思想。数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息,图形的特征上也体现着数的关系。我们要抽象复杂的数量关系,通过形的形象、直观揭示出来,以达到形帮数的目的。

四、运用函数同其他学科和实际的联系,培养学生学习函数的兴趣

函数是这样定义的,"设在某变化过程中的两个变量x和y,若对于x在某一范围内的每一确定的值,y都有唯一确定的值与它对应,那么,就把y称为x的函数 ,x是自变量,y是因变量"。

如图1⑴中,在矩形ABCD中,AB=10cm,BC=8cm。点P从点A出发,沿路线ABCD运动,到点D停止;点Q从点D出发,沿DCBA路线运动,到点A停止。若P、Q两点同时出发,点P的速度为1厘米/秒,点Q的速度为2厘米/秒。a秒时,P、Q两点同时改变速度,点P的速度变为b厘米/秒,点Q的速度变为d厘米/秒。图1第2个图是点P出发x秒后APD的面积S1(平方厘米)与x(秒)的函数关系图象。图1第3个图是点Q出发x秒后AQD的面积S2(平方厘米)与x(秒)的函数关系图象。

2、函数与市场经济

例2、某化工材料销售公司购进了一种化工原料共7000千克,购进价格为每千克30元。物价部门规定其销售单价不得高于每千克70元,也不得低于30元。市场调查发现:单价定为70元时日均销售60千克;单价每低1元日均多售出2千克。在销售过程中,每天还要支出其他费用500元(天数不足一天时,按整天计算)。设销售单价为x元,日均获利y元。

顶点坐标为(65,1950)。二次函数的草图(如图2)所示。

观察草图可知,当单价定为65元时,日均获利最多,是1950元。

⑶、当日均获利最多时,单价为65元,日均销售60+2×(70-65)=70千克,那么总获利为1950×(7000÷70)=195000元

当销售单价最高时,单价为70元日均销售60千克,将这种化工原料全部售完需700÷60≈117天。那么总获利为(70-30)×7000-117×500=221500元

221500>195000,且221500 - 195000 = 26500

销售单价最高时获总利最多,且多获利26500。

篇5

关键词：　构造性数学　递归函数　可靠性

一，构造性数学的产生与发展

构造性数学是现代数学研究的一个重要领域。它的根本特征就是对可构造性的强调。所谓可构造性是指能具体地给出某一对象或者能给出某一对象的计算方法。即当我们把能证实“存在一个X满足性质A”的证明称为构造性的，是指能从这个证明中具体地给出满足性质A的一个x；或者能从此证明中得到一个机械的方法，使其经有限步骤后即能确定满足性质A的这个x来。反之，经典数学（非构造性数学）中的纯存在性证明被称之为非构造的。非构造性证明主要是通过使用反证法来实现的。人们一般把这种强调可构造性的数学称为构造性数学。

构造性数学最早起源于一种构造性哲学思想，这种思想可以追溯到康德那里。康德认为，数学的最终真理性在于数学概念可以通过人的智慧构造出来。他说：“数学必须根据纯粹直观，在纯直观里它才能够具体地，然而却是先天地把它的一切概念提供出来，或者像人们所说的那样，把这些概念构造出来”。又说“数学知识是从概念的构造得出来的理性知识。构造一个概念，意即先天地提供出来与概念相对应的直观。”（〔1〕，第39页）后来，19世纪德国的克罗内克进一步指出：“上帝创造了整数，其余都是人做的工作。”主张自然数与数学归纳法是数学最根本的和直观上最可信的出发点，其它一切数学对象都必须能在有限步骤内从自然数中构造出来，否则就不能作为数学对象。由此克罗内克把许多数学成果划到不合法的行列里，如无限集合、纯存在性证明等。但由于他批判的多建设的少，故其思想在当时并未产生很大影响。另外，彭加勒、勒贝格等大数学家也都是倡导构造性数学研究的有名人物。但是，所有这些人提倡的大都只是一种数学哲学的思想，他们实际的数学工作并未严格地遵循自己的哲学思想。因此，现代意义的构造性数学应以布劳威尔的直觉主义数学为开端，迄今，在构造性数学的研究领域里，由于宗旨、观点和方法的不同，已经形成了一些不同的学派。最著名的除了布劳威尔的直觉主义数学以外，还有希尔伯特的元数学、毕晓普等人的构造性数学以及马尔科夫的算法论等。布劳威尔的直觉主义数学和希尔伯特的元数学，我国数学哲学界普遍比较熟悉，故本文不再表述。这里我们仅就后来发展起来的毕晓普、马尔科夫的构造性数学作些简述。（〔2〕、〔3〕第101—109页）

以毕晓普、迈希尔等人为代表的构造性数学是一个与早先直觉主义数学齐名但又不同于它的新的构造性数学。他们的构造性数学研究是在数学领域中，用普通逻辑于可编码的对象和递归函数。他们所关心的不是数学的奠基问题，而是要用构造性方法来研究数学。他们把构造性数学看成古典数学的一个分支，在这个分支中所讨论的对象都要求是可计算的。以毕晓普的工作为例，他认为只证明一个数学对象在逻辑上必然存在是不够的，还必须拟定一种有限而机械的办法把这个对象构造出来。他不用非直观的概念来重建数学，而是从标准的算术规则和有理数出发，通过避开“理想”观念并不断地检验从直观生成的对象和定理，逐步地进行构造，以求得数学的可信性。他与布劳威尔不同，他不去全盘地否定康托的集合论，而是把它加以改造，使之具有构造的合理性。如确定一个集合，原来康托的朴素定义只要求给出一个判别集合中元素的规则即可，而毕晓普认为还应要求拟定出一个办法来真正构造集合的一个元素并证明集合中两个元素是不同的。这样，则可使康托集合论中的一条最有争议的公理——选择公理成为完全可以接受的了。他们把经典数学的基本概念算法化，并从而考虑哪些定理在构造意义下仍然成立，哪些定理不能成立以及如何改造等，由此发展出相当大的一部分有价值的数学。1967年毕晓普的《构造性分析》的出版，标志着这一新的构造性数学的建立，而随后《构造性泛函分析》的问世，则表明了这一领域的新进展。

构造性数学的另一个新体系是由马尔科夫、沙宁创建的。他们的构造性数学研究是以算法概念为基础的，即把其它一切概念都归约到算法之上。在马尔科夫那里，所有的定义都用日常语言表达，所有引用实无穷的话都严格地避免，并采用了直觉主义逻辑。他们对构造分析学作了相当深入的研究，对于许多数学分支的算法化以及制定构造逻辑的语义学都作了很可观的工作。如他把实数定义成一种逐次逼近的算法，实函数也就等同于一个算法。他的正规算法就是目前少数几个力量最强的精确化的算法概念。

以毕晓普、马尔科夫等人为代表的构造性数学，是对早先直觉主义数学的发展、扬弃。它一方面承继了直觉主义的基本主张，强调在构造数学内部要求“证明存在一个具有性质P的x，必须指出一个有限的方法来构造x，以及找出一个有限的方法来证明x具有性质P”。但另一方面，它又不同于直觉主义数学，它不象直觉主义数学那样极端地要把全部数学都“构造化”，他们只是想从构造性的角度建立一门有别于传统数学的新学数学，因为在他们看来，从构造的观点来研究，对许多老问题都会有新的见解。他们认为构造性数学和非构造性数学是现代数学的两大倾向，是可以并行发展和相互促进的。

二　构造性数学的原则与基础

如前所述，对可构造性的强调是构造性数学的根本特征，其实也可以说，这就是构造性数学的基本数学原则。它要求一个关于“存在一个具有性质P的x的证明”，必须解释x的构造是怎样实行的。这与通常“纯粹存在性证明”的做法不一样，在那里，一个具有性质P的x的存在性是通过采用指出假设“x不存在”就会导致矛盾的办法来证明的。从构造性的观点看，后一证明只是表明“x不可能不存在”，但是它并未给出寻找x的办法。此外，甚至有了这样一种办法，构造主义者还必须采取一些附加的构造性办法来证明x具有性质P。因此，仅仅证明如果x不具有性质P就会导致矛盾是远远不够的。为了充分认识构造性数学与非构造数学之间的这种戏剧性差别，我们有必要用一个例子给予说明。如代数基本定理：

任何复系数的非常数多项式f至少有一个复根。　（Ⅰ）

对于（Ⅰ）最著名的非构造性证明是，假设f不取零值，把刘维尔定理用于f的倒数，得出1／f是常数，于是f是常数，矛盾，证明完成。从构造的观点看，这里证明的并不是代数基本定理，而是较弱的命题：

不取零值的复数上多项式是常项。

（Ⅱ）

因为上述证明不能帮助你计算100阶多项式的根，它没有给出多项式求根的方法。但是布劳威尔却对于首项系数为1的多项式的代数基本定理给出了一个构造性的证明（证明的大体思路可参见文〔4〕）。有了这个证明，就可以求任意阶（如100阶）多项式的根了。

应该指出，每一个构造性证明也是同一命题的一个经典证明。布劳威尔的证明也是代数基本定理的一个经典证明。尽管布劳威尔的证明确实比用刘维尔定理的证明更长，但它也告诉了我们更多的信息。代数基本定理在构造性数学中被布劳威尔解释成：有一个适用于任何复系数的非常数多项式f的有限方法，我们能够用以计算f的根。

以上只是我们例举的一个例子，其实每一个经典定理都是向构造性数学提出的一个挑战：找出一个构造性的说法，并给它以一个构造性的证明。然而在多数情况下，找出经典定理所对应的构造性内容绝非易事。许多经典的定理至今也看不出将其进行构造性改造的途径，如佐恩引理等。故在构造性数学内部不得不暂时将这些有意义的经典数学内容排斥在外。但应指出，这种排斥并非逻辑的、必然的排斥。

另一个重点问题是构造性数学的数学基础问题。这是一个涉及构造性数学的可靠性，以及可构造性何以能够得以实现的重要问题。对此我们分两部分来谈。

首先，我们来看直觉主义数学的数学基础。众所周知，直觉主义数学是以自然数理论为其数学上的出发点。因此对于直觉主义数学的建构来说，首要的问题就是如何依据构造的标准在自然数的基础上建立起它的实数理论，因为实数理论是整个分析学的基础。有理数的构建是容易的，只要把有理数作为整数对引进即可。关键是如何在构造意义下给出实数和实数连续统的概念。为了构造实数概念，布劳威尔首先独创了“属种”的概念以取代康托集合概念。所谓属种就是按照构造性的标准重新定义的一种集合：它等同于已构成的数学对象所可能具有的一种性质，依据这一性质，我们可以有效地去确定这些对象是否属于这一“属种”。进一步布劳威尔引进了“选择序列”的概念：“在任何时刻，一个选择序列a系由一个有穷的节连同对它的延伸的若干限制组成”。如此，布劳威尔便以“有理数选择序列”取代了经典分析中的有理数柯西序列概念，并称之为“实数生成子”。于是构造意义下的单个实数就被定义为实数生成子的一个等价属种。实数连续统的概念建构的比较晚，直到1919年，布劳威尔才利用“展形”概念巧妙地建构了符合构造性要求的连续统概念（具体的建构方法可参见〔5〕第168—170页）。在那里，每个可能的选择序列就是一个可构造意义下的单个实数，而整个展形就是可构造意义下的实数连续统，两者是同时构造出来的。所谓展形，实际上也就是一种“自由选择序列”——其中没有对元素的生成作任何限制，而只是要求这种延伸能按照自然数的次序进行下去。这样，作为这种自由选择的结果就不只是某个特殊的序列，而是各种可能的序列。实数理论的重构，为直觉主义数学的展开奠定了基础。

至此，或许有人会认为直觉主义数学的基础已经得到圆满的重构和解释，其实不然，因为直觉主义者对其一直强调的“可构造性”始终没有给出一个明确的解释。直觉主义者外尔就曾认为：“反唯象论的构造方法的成功是不可否认的。然而它所依据的最终基础仍是一个谜，甚至在数学中也是如此。”（〔6〕，第112页）人们对于什么是“直觉上可构造的”这一根本性概念有着不同的理解。如有的构造主义者认为，真正的数学是不应包含“否定”概念的，因为任何否定性的命题（按布劳威尔、海丁的解释，命题一p就意味着“我们给出了这样一种构造。由证明p的构造出发就会得出矛盾”），都假设了一个不可能实现的构造（证明p的构造）。另外，也有的直觉主义者对前面提到的“自由选择序列”（展形）提出了怀疑，但不借助这一概念直觉主义的实数理论就无法得到重建。之所以人们对什么是直觉上“可构造的”没有一个统一的认识，其原因就在于“可构造的”只是一个不精确的日常用语，因而会被不同的人作不同的理解。尽管在直觉主义者看来，这一概念是无需解释的，也是不可解释的，但在非直觉主义者看来，却有着进一步解释的必要。这里我们仅简单地介绍克林的解释。如所周知，直觉主义概念全部都被归约为一个基本概念，这就是“构造”。然而直觉主义者只是隐蔽地使用了这个概念，克林等人的解释就是要把这种隐蔽的归约公开化。由于整个解释过程繁长，故只给出其结论（详见〔3〕第97—98页，〔7〕第545—551页）。克林的结论是：直觉主义的构造等同于部分可计算函数。进一步，按他的解释，布劳威尔的“自由选择序列”不过是任意的序列；布劳威尔的函数则是部分可计算函数。克林指出，只有存在相应递归函数的公式才能在直觉主义系统内证明。由此，直觉主义数学的基础就被克林归约到相递归函数或可计算函数之上了。另外，哥德尔对构造性也作了类似于克林的解释，不过哥德尔可容许构造的类要宽得多，他不是把构造等同于可计算函数，而是等同于可计算泛函（〔3〕第99—100页）。

下面我们再来看看后期构造数学的基础。直觉主义数学之后的构造性数学表现出多元的倾向，它们容许的数学对象也更宽，采取的构造性方案也各有特点。这里我们无意对它们的细节进行考察，只是想简要地分析一下各自的数学基础。斯派克是直觉主义数学之后较早表现出构造性倾向的数学家之一，他在1949年就考察了一类较窄的实数，他称之为原始递归实数。它以（1／2）［n］的精度来逼近：

（附图　）

其中f′、f″、g均是原始递归函数。他还考虑了其它各种类型的逼近，如用级数Σf［，（n）］／g［n］部分和来逼近。罗宾逊（1951年）、里斯（1954年）等后来又给出了更广一类的实数，称为可计算实数，也是利用递归函数进行逼近而得出的。不过为了建立构造性分析学，更主要的是要给出构造意义下的函数乃至泛函的概念。巴拿赫和马祖尔在1959年给出了一个叫可计算实变函数的概念（〔3〕第103页）。克林也考虑了一类部分可计算泛涵，这些泛函使每个函数f都与一相对于f可计算的部分函数相关联。到了60年代，构造性数学有了一个大的发展。首先迈希尔与德克创立和发展了一种整数集的递归等价物的理论，这个理论的特点是用整数集换任意集，用部分递归映射换任意映射。1967年毕晓普出版《构造性分析》，开创了构造性数学的新时期，而他的构造性数学的根本特征就是把一切数学对象都化归为可编码的对象和递归函数。后期构造性数学中另一个体系是马尔科夫、沙宁创建的算法概念为基础的理论。他们采纳的也是构造性逻辑，但他们把一切概念都归约为算法这个概念。马尔科夫提出的正规算法就是目前知道的最有力量的少数几个算法之一。现已证明，正规算法与前面提到的递归函数或可计算函数都是等价的。这样一来，我们便就可以不作区分地讲，构造性数学的基础是递归函数或算法。

综合上述，我们认为，构造性数学的基础归根到底是递归论。或者说，所谓构造性、可构造的与递归性、可递归的是相互等价的。这就是我们对构造性的理解。有了这样一种解释，我们也就基本了解了“构造性”的真实涵义。尽管从哲学上讲，它可能还具有更深刻更丰富的内涵，但从实践、操作的角度讲，它就是递归性，进而也就是能行性。

三、构造性数学的意义及其它

在对构造性数学的意义作出评述之前，有必要先弄清楚以下两个问题：1．构造性数学产生的原因是什么？2．构造性数学所要解决的问题和所要达到的目的是什么？

在经典数学如此成功的情况下，为什么还会出现构造性数学？构造性数学产生的原因是什么？这确实是对构造性数学进行哲学研究所必须回答的一个问题。我们认为，原因主要有以下四个方面：一、为了解决由于集合悖论的出现而引发的第三次数学危机。这是布劳威尔直觉主义数学产生的直接原因。对此，大家已比较熟悉，无须多言。然而这只是一个表层的原因，事实上还有以下更深刻的哲学原因。二、为了解决数学概念和方法的可靠性问题。由于集合悖论的出现，使得直觉主义者的注意力一下子集中到什么是可靠的或可信的数学这个问题上。他们认为“存在必须被构造”。因此，只有经过构造性检验的数学才是可靠的。这样一种认识论主张，是构造性数学产生的根本原因。三、纯存在性证明的局限性是构造性数学、尤其是后期构造性数学产生的重要原因。大家知道，纯存在性证明只能让人知道某个方程的根是存在的，但如何求解以至能不能求出这个根均是未知的。构造性数学就是针对纯存在性证明的这个缺陷，提出要证明一个方程的根是存在的，就必须给出求解它的有效方法。四、从构造性数学的角度看经典数学，会产生许多新的见解、新的方法，这不仅可以获得对数学更深刻的认识，而且可以促进两类数学的共同发展，这是后期构造性数学产生的又一原因。以上这些原因概括起来也就是两点：一、经典数学本身的不足；二、“存在必须被构造”的认识论信念。我们认为，正是这两个根本原因，引发了在本世纪产生的构造性数学。

从对构造性数学产生原因的以上认识，不难看到，早期构造性数学所要解决的就是数学基础问题，所要达到的目的就是确立数学的可靠性。后期构造性数学的目的没有这么强，它们不再去解决数学的基础问题，而只是用构造性方法来研究数学，建立一门与经典数学平行的构造性数学。在数学可靠性问题上，尽管后期构造主义者并不完全赞同布劳威尔的哲学主张，尤其是“原始直觉”观念，但他们还是吸取了“存在必须被构造”的可靠性观念。因此，确立数学的可靠性依然是后期构造性数学的目的之一。那么构造性数学是不是解决了它想要解决的问题呢？通过对这个问题的回答，可以看到构造性数学的重大意义和特殊价值。我们先来看看早期构造性数学是不是解决了数学的基础问题。或许有人会对此问题的提出感到奇怪，不是早就说直觉主义同逻辑主义和形式主义一样都已失败了吗？其实问题并非如此简单。尽管在人们为数学大厦寻找基础的一个世纪以来，直觉主义已遭到世界数学界多数人的反对，但它的“失败”不同于与其齐名的逻辑主义、形式主义的失败。后两者的失败是逻辑地注定了的失败，而直觉主义的“失败”仅仅是因为其“过于谨慎而一时”地拒斥了许多被认为很有意义的经典数学，它在逻辑上并没有被宣告失败。现在完全追随布劳威尔的人几乎没有了，但新的构造性数学的发展正方兴未艾。如果这类构造性数学能够取得全面的突破性的大进展，谁又能保证直觉主义数学不会“卷土重来”？事实上，相信构造性数学可能会获得成功的人是始终存在的，且不说构造主义者本身，非构造主义者，如克林也相信：直觉主义地重建经典数学的可能性还是存在的（〔7〕第55，551页）。由此我们认为，构造性数学依然是重建数学基础的一个可能的途径。那种认为直觉主义计划已彻底破产的认识是过于武断的。

后期构造主义者试图建立一门与经典数学平行的构造性数学，我们认为这一计划正在实现的过程中，近来构造性数学成果的不断涌现就是证明。构造性数学产生的意义，不仅在于出现了一门新的理论、开创了一种新的研究方向，并获得了许多新颖、深刻的成果，同时也在于构造性的成果更便于应用。提供解法毕竟比单纯的存在性证明要有意义得多。由此可以说，构造性数学弥补了经典数学的不少缺陷。联系到计算机科学的发展，这种构造性数学的研究就更有其深远意义了。无怪胡世华教授说：“在非构造性数学的研究中，构造性成分越多的部分往往对自身的发展也越有意义”。（〔8〕第268页）

进一步，构造性数学是否达到了它最初的确立数学可靠性的根本目的呢？由于数学的可靠性问题已远远不是一个单纯的数学技术问题，更主要的是一个哲学问题，因此对这个问题的回答不可能有一个终极答案，对构造主义者的回答人们也会仁者见仁，智者见智。故这里我们只是给出自己对这一问题的一些看法。我们认为，在哲学上，构造性数学的产生提出了一个新的“可靠性”观念。直觉主义者认为，一切非构造的存在，都是“超出一切人类的真实可行的‘绝对’，”正是因为相信了这样一种“绝对”，经典数学才“远远地不再是有真实意义的陈述句以及不再是建基于明证之上的真理了。”（〔7〕第50页）为此，直觉主义者强调：存在必须是被构造。认为只有一步一步（有限的）构造出来的东西才是真实的、有意义的、可靠的。他们把经典数学中的“纯存在”视为一种无异于形而上学的东西。黑丁就曾明确指出：“如果‘存在’不是意味着‘被构造’，那就一定包含某种形而上学的意义。”（〔9〕第241页）在黑丁看来，对这种具有形而上意义的存在去讨论，或判定它是否可以接受，这不是数学的任务，认为应该“把数学当作某种比形而上学简单得多、直接得多的东西来研究”。为此，直觉主义才突出地强调应从非构造性向构造性化归。我们认为，这是在从数学认识论上提出了一种新的可靠性标准或观念。这种标准或观念从实用或操作的意义上讲，是颇具合理性的，是应该得到采纳的，它对“信息时代的数学”（胡世华语）的发展是很有意义的。当然，这也并不妨在经典数学中人们有时（即不得已时）可以采用更灵活的可靠性标准。但我们认为，可构造性是一个更可靠的可靠性标准，应该成为数学家和哲学家评判数学可靠性的第一标准或最高标准。至于第二、第三等更灵活、更弱的标准，不同的数学家和哲学家可能会有不同的选择。那么何以见得可构造性就是更强的可靠性标准呢？构造性数学就真的比经典数学更为可靠、更具可接受性吗？我们认为，答案应该是肯定的。道理很简单，就是因为构造性数学的原则远较非构造性数学严格，构造性数学成立的每一定理对于非构造性数学也成立；反之，非构造性数学中成立的定理却不一定在构造性数学中成立。因此，构造性数学实际上成了非构造性数学的一个真子集。另外，从逻辑基础的角度讲，直觉主义逻辑的公理和定理在经典逻辑中都成立，反之却不然。因此，直觉主义逻辑是经典逻辑的一个真部分。我们认为，这些理由完全可以表明，以构造性为可靠性标准而建立的定理比经典数学中的定理更可靠。

我国数学哲学界对构造性数学及其哲学主张评价普遍较低，其原由不外乎这么几点：1．直觉主义数学排斥了一大部分具有应用价值的经典数学。2．排斥了实无穷和经典逻辑。3．与经典数学相比，构造性数学显得繁琐和复杂，对经典数学的构造性改造极为缓慢，难以成功（甚至认为是不可能的）。我们认为，这些并不构成对构造性数学及其哲学主张的否定。对此可以简要地分析如下：首先，构造性数学是一门全新的数学理论，它的逻辑基础、数学原则和哲学主张不可能完全等同于经典数学。因此，我们必须正视构造性数学的独特性。有什么理由说，选择实无穷就是对的，而选择潜无穷就是错的？又有什么理由说，选择经典逻辑就是科学的，选择构造性逻辑就是不科学的？我们没有超越实无穷和潜无穷的“绝对无穷观”，也没有超越经典逻辑和构造逻辑的“绝对逻辑”，我们没有终极的绝对的参照系。实际上，反对潜无穷只能是站在实无穷的立场上，反对构造性逻辑也只能是站在经典逻辑的立场上。但反过来也是可以的。因此，我们最后判别是非的立足点只能是实践——数学的内部实践和外部实践。不管是实无穷、潜无穷，也不管是经典逻辑、构造逻辑，只要以它们为基础能够建立起自相容的理论，并能够得到有效的应用，那么我们就要承认它们。说构造性数学显得繁琐和复杂，这也不是绝对的，如复分析中对毕卡大定理的构造性证明就显得更为直观，它的非构造性证明虽然较短，但却利用了一种称为椭圆模函数的较高深的数学工具，后来虽然也有了几种浅显的证明方法，可又都非常繁复，而相应的构造性证明却要更加自然，只用到了解析函数的基本性质。说构造性数学进展缓慢、难以成功，这并不意味着构造性数学不能成功。何况它在内容上的复杂和进展上的缓慢是有原因的：每一个构造性证明都比纯存在性证明为我们提供了更多更实用的信息。因此我们把构造性数学的复杂和缓慢看作是为了获得更多更实用的信息所必须付出的代价。应该承认，这种代价的付出是值得的。至于说到直觉主义数学排斥了一部分有价值的经典数学，我们说这并非直觉主义数学的过错，因为对部分经典数学的排斥并非逻辑地注定了的，谁又能保证这不是由于对经典数学的构造性改造太慢而造成的呢？如果是这样，今天被排斥的东西到明天就不会再排斥。如果排斥是必然的，则正说明构造性数学的独特性，说明数学具有构造性和非构造性两个不同侧面，说明这两种数学确实存在不可化归的关系。

也许会有许多人说，他们反对的只是直觉主义的哲学主张。在我们看来，直觉主义哲学除了它所主张的潜无穷观和构造性逻辑外，就是这么两点：一、存在必须被构造；二、原始直觉是数学的基础。关于潜无穷观和构造性逻辑前面刚刚谈过，不再重复。一些人对直觉主义者把可构造性作为数学理论可靠性的标准表示反对，前面我们也进行了反驳，并指出了可构造性是更强、更可靠的可靠性标准。至于提到“原始直觉是数学的基础”这一哲学主张，我们认为首先应该区别它的两种不同涵义：一是从数学发生学的角度讲，数学是产生于人类的原始直觉，原始直觉是产生数学的基础。二是从数学认识论的角度讲，数学的可靠性根源于人类的原始直觉，原始直觉是保证数学可靠性的基础。我们认为，直觉主义者在讲“原如直觉是数学的基础”时，包括了上述两层意思。不过我们认为，上述两层意思中，前者是可接受的（对此我们将另文专论），后者是错误的。原因正如波普尔所说：相信知识在发生学或心理学上是先验的，这是对的；但认为知识都能先验地正确，就大错特错了。源于人的直觉的数学，如果没有被逻辑地构造与证明，它就没有获得必要的可靠性。但联想到直觉主义者随时都在强调可构造性，因此他们在哲学上的一些错误并不会影响到其数学的可靠性。说直觉主义哲学大体上是可接受的，还有一个有力的理由，即在这种哲学主张的基础上而建立起的直觉主义数学，并未象经典数学那样一再地发生危机——出现悖论，它是自相容的。

美籍华人王浩先生曾认为，构造性数学是做的数学，非构造性数学是在的数学。对此，我国著名数学家胡世华先生给予了如下的解释和进一步的发挥：“数学的在是信息模式和结构的在；数学的做是信息加工。构造性数学的倾向是用数学取得的结果把结果构造出来，侧重于思维的构造性实践，非构造性数学的倾向是数学地理解问题和规律，建立数学模型，形成数学理论体系，追求科学思想”。（〔8〕第267页）我们认为，这些看法是比较客观的。但应进一步指明的是，构造性数学并非像许多人认为的那样，总是直接因袭标准的非构造性数学。事实上，构造性数学不是命中注定永远要靠坐吃经典数学这个老板来发展。这两类数学的关系是共生性，而非寄生性的。构造性数学的发展还不足百年，相信它在未来的发展中，会有一个又一个的重大突破。当然这已是后话了。

参考文献

〔1〕　康德：《未来形而上学导论》，商务印书馆1978年。

〔2〕　《中国大百科全书（数学）》有关条目。

〔3〕　莫斯托夫斯基：《数学基础研究三十年，华中工学院出版社，1983。

〔4〕　D.Bridges、R·Mines：“什么是构造数学？”《数学译林》1986年第4期。

〔5〕　徐利治：《数学方法论选讲》，华中工学院出版社，1983年。

〔6〕　外尔：“半个世纪的数学”载《数学史译文集》（续集），上海科技出版社，1985年。

〔7〕　克林：《元数学导论》上、下册，科学出版社1985年。

〔8〕　胡世华：“信息时代的数学”载《数学与文化》，北京大学出版社，1990年。

篇6

一、服务专业需求，整合教学内容

高职数学教学必须紧贴专业需要，以“必需够用”为度。高职数学教师基本是数学专业毕业的，对数学理论游刃有余，但对数学应用特别是专业方面的应用则无从入手，在实际教学中教师往往更注重理论的系统完整性， 而忽视其应用性。这些都背离了高职教育的培养目标， 制约着数学教学质量的提高，影响着高职数学课程的生命力。为此，我们把数学教师划分到各系的相关专业中去，深入调研后决定专业需要数学知识的范围及类型。精选经典教学内容，引进不同专业新的科技成果，克服教材教学内容的局限性和不适应性，有利于高职数学应用教学的开展与实施。我们将高等数学、线性代数、离散数学、数学实验、数学建模整合成计算机数学；将经济数学、线性规划、概率统计数学实验、数学建模整合成新的经济数学；将经济数学、工程数学、数学实验、数学建模整合成新的建工数学等，随着科学技术的发展, 学科的互相渗透、溶合、转化是必然之势, 这样从课程体系上实现了符合学科发展的转化, 从而使高职数学课程更具有生命力。

二、加强概念教学，服务专业应用

数学概念理解的程度直接关系到学生对专业问题的认识和理解。一般教材在完成了数学概念的定义后,而立即转入运算工作,这种方法导致学生对运算十分熟练,但在专业课上需要用某个数学概念去描述这一专业概念时,学生却一片茫然。可见,数学概念教学对于数学为专业服务是至关重要的。

1、 展示概念背景,重视概念的引入

数学概念无论是直接从客观事物的空间形式和数量关系反映得来,还是在抽象的数学理论基础上经过多级抽象才产生发展得来的,均来自实际问题的需要。所以,在进行概念教学时,既要善于灵活地从数学发展史的角度提出，也要从学生所学的专业内容引入，尽可能地选取接近其专业问题作为概念教学的引例，以改变过去那种仅仅以数学自身的需要去阐述概念的教学体系。 在讲授导数概念时， 除了举出书本上变化率问题中介绍的变速直线运动的速度外， 还可介绍一些与专业有关的变化率问题，在经贸专业可介绍产品总量对时间的导数就是总产量的变化率，产品总成本对产量的导数就是产品总成本的变化率（边际成本）；在制药专业授课时可介绍身体对药物的敏感度。

2、引进专业模型,强化概念的运用

在完成了数学概念的定义后，学生理解了概念不一定就能真正掌握它,只有反复训练学生对该概念在专业实用性上的认识,才能巩固深化对概念的理解。实现这一要求,需要数学教师在教学准备阶段积极求教于专业教师,请他们提供专业课上所用的数学知识点,弄清数学在专业上的应用情况,将相关的专业模型引到数学课来,突出数学的应用性，拉近数学与专业的距离。比如在工科专业讲了导数概念及计算后，可以结合电子电路课程的感应电动势、磁场的变化率等来加强导数概念在专业实用性上的认识。

三、渗透数学建模思想，服务学生实践能力的掌握

掌握知识、积累知识固然十分重要，但惟有在知识的学习过程中所受到的思想、方法的启发和体验，才是今后事业获得成功的关键，才是知识的真正价值所在。高职数学教育的目的不仅是为学习专业课打基础，更要重视培养学生应用数学的意识、兴趣、能力，让学生学会用数学的思维方式观察周围的事物，用数学的思维方法创造性地解决实际问题。将数学建模的思想和方法融入高职数学课程教学,加强学生构建数学模型的训练，有利于培养学生应用数学的意识和实践能力。

数学实验的兴起、数学软件功能的强大、现代教育技术和计算机多媒体的使用，为将数学建模思想引入数学教学中，提供了有利的条件。数学建模是数学知识与应用能力共同提高的最佳结合点，可以引导学生学习和接受不断涌现的新概念、新思想和新方法，培养学生将实际问题抽象为数学模型的实践能力。在讲授函数最值时，可结合工程建设、生态、医药、保险等经济领域实例；在讲授微分方程时，可结合人口增长模型、传染病模型等实例讲解。

四、加强课堂教学改革，服务学生创新能力的培养

课堂教学着重探索知识产生的数学思想，再现历史研究过程，使学生从中受到创新思维的熏陶，把隐藏在书本背后的问题的实质和方法挖掘出来传授给学生，从而授给学生崇尚数学的理性精神和训练创新意识。充分揭示和展现数学思维产生的原始过程.在人类文化遗产的宝库中,最为珍贵的就是这些科学大师们的思想脉络以及他们创造和发现知识的原始过程.具体地讲,在教学工作中,教师应把主要精力放在两个问题上:一是知识点产生、发展的历史过程及其历史地位；二是科学大师们在创造这些知识时的心智过程,即阐明科学发现的原始过程.在教学中要营造吸引学生参与、研究和发现知识的教学氛围。教师应自始至终引导学生参加到知识的研究和发现的全过程中去,培养他们开拓新局面的思想和主动精神.

创造民主和谐的学习环境，质疑中孕育创新。教育家罗杰指出：“有利于创造活动的一般条件是心理的安全和心理的自由。”教学中，教师不以传授者自居，而是创造一种宽松的环境气氛，鼓励学生自由争辩、大胆质疑。培养学生创新能力的一个重要方面是让学生会思考会提问题，于无疑处见有疑。教育学生既勇于放弃自己不成熟的想法，又敢于坚持自己合理的见解，在这个过程中学生既会感受到坚持真理、修正错误、实事求是的科学精神，又会感受到谦虚谨慎、和而不同、互相尊重的人文精神。

实施开放式教学，创设进行数学创新思维的情景。开放式教学概念是日本在20

世纪70 年代以后提出的，它是一种旨在创造一个有利于学生生动活泼和主动发展的教育环境，提供给学生充分发展的时间与空间的全面开放的数学教学形式。它包括时空的开放和内容的开放两个层面。时空开放是基础层面，是指数学教学时间和空间上要从课堂内延伸到课堂外，让学生在生产和生活的实践中去学习。内容开放是实质性层面，是指在数学教学中要注意引进利于学生发散型思维能力培养的开放性教学内容。

五、围绕人才培养目标，服务学生教育

高职教育培养学生的目的不仅是从事某一职业所必不可少的知识和技能，更重要的是具有高尚的情操、健全的人格、完美的道德、强烈的社会责任感和远大的眼光，在于造就全面的人，这是时代赋予我们的责任。作为一名高职教师，应该增强为学生服务的意识，转变教育观念，将学生的思想教育渗透和融合在教学中，为学生架设一个知识成长和精神成人的平台，在这个平台不仅教会学生采掘科学知识、掌握技能，而且要撷取思想的精华；不仅教会学生如何做事，更要教会学生怎样做人。

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[关键词] 教育理念 高等数学 教学策略

高等数学作为高职教育中大部分专业的基础性或服务性课程，对学生数学思维与创新能力的培养、数学工具的掌握以及后继课程的学习起重要作用，其教学质量关乎学生未来的学习和发展。从系统科学的观点看，教学过程就是教与学之间信息传递与反馈的控制过程。信息传递过程中信息的组织形式、传递模式直接影响着信息接收的有效性[1]。目前，高职学生的数学基础较差，我们必须及时转变教育理念，紧紧围绕教学目的，加强教学法研究，改革高等数学的教学模式和教学手段，营造良好的学习环境，培养学生的学习兴趣，培养学生的数学思维能力、解决实际问题能力和创新能力。

1.高等数学课程教学内容

1.1教学内容分析

高等数学教学的内容可分为四个层次：概念层次、原理层次、扩展层次和应用层次。

概念层次是指高等数学教学内容中最原始、最基本的概念。如，极限、导数、原函数、定积分、不定积分、行列式、矩阵、概率等。这些概念是数学思想的精华，是形成数学思维的基础。正确理解这些数学概念对学好数学、领会数学思想起着关键作用。

原理层次是指由基本概念导出的性质及原始定理等。如，积分的性质、运算法则、牛顿莱布尼茨公式等。理解这些性质和运算公式的推导，决定着对数学概念本质的理解，为抽象符号系统下进行推理证明的学习奠定基础。

扩展层次是指由性质、原始定理导出的定理和结论等。如微分学中的夹逼定理、介值定理、极值判别法等，这部分定理和结论需要运用上一层的定理和结论进行证明，抽象性更强，也是数学应用的理论基础。掌握这部分内容对扩展数学视野、促进逻辑推理思维起着极为重要的作用，是学会学习的重要阶段。

应用层次是指对数学中的性质、原理、定理等的具体应用，可分为公式的、原理的、实际的三大类。

1.2优化教学内容，提高教学内容的针对性、应用性

1.2.1认真把握教材的选择

高等数学作为高职教育中大部分专业的基础性或服务性课程，自高等职业教育产生以来就有别于普通的大学数学课程，其教育目的是为学生的专业理论打基础，为学生的专业实践服务，其授课内容要紧密结合学生所学的专业，所以要打破材、纲、案的约束，根据不同专业特点选用不同的教材、编写不同的教学大纲和教案，从而在教学上既能突出基础，又能加强针对性，体现应用性。

1.2.2合理安排教学内容

由于高职教育中数学课程的教学时数较少，所以教学内容的选取应当少而精，做到实用、够用，定理的证明等可略讲。另外，高等数学的内容应与专业相贴近，针对不同系别和专业的学生，高等数学的教学内容和重点也应有所不同，如计算机专业应重点讲述线性代数、图论等内容，经贸类专业应重点讲述微积分理论包括需求弹性、价格弹性等内容，经济学类专业应重点讲述概率论与数理统计等内容。

2.高等数学课堂教学结构

2.1课堂教学结构分析

一个完整的教学内容，尽管教学方式和方法是多种多样的，但在整体结构上，高等数学教学过程呈现一定的结构性，可以概括为：（1）提出问题，了解背景；（2）抽象概括，获得方法；（3）演示范例，巩固概念；（4）探讨实质，扩展结论。提出问题、抽象概括、演示范例、探讨实质体现的是“教”的顺序结构，了解背景、获得方法、巩固概念、扩展结论体现的是“学”的过程.数学的“教”和“学”的过程正是在这样的结构中逐层深入、循环扩展、不断丰富的。

2.2教学内容各层次教学

2.2.1概念层次的教学

学习的认知结构理论告诉我们，数学学习过程，是一个数学认知过程，其实质是一个数学认知结构的发展变化过程，这个过程是通过同化和顺应两种方式实现的[2]。学生认知结构的发展是在其认识新知识的过程中，伴随着同化和顺应的认知结构不断再构建的过程，是在新水平上对原认知结构进行延伸、改组而成的新系统。

2.2.2原理层次的教学

数学原理是高等数学教学内容中的精华，是数学思想与方法的具体体现。数学原理的教学大致可分为两大类：第一类是利用概念定义导出的运算法则和某些性质等。这一部分的教学要注重定义式的使用，注重板书过程教学，使学生通过板书过程进行思维、认识推理、形成印象、感悟方法。第二类是数学中的重要定理。这一部分是数学理论核心，是数学思想的集中体现，在教学中要对定理所表达的内容进行充分的解释，运用与内容有关的实例引导学生思考，使学生获得感性认识，进而达到数学思想上的提升。

2.2.3扩展层次的教学

扩展层次是利用已知结论推证另一结论，属于广义抽象的范畴，如用零值定理证明介值定理、用柯西中值定理证明洛必达法则等。要证明某个结论，就要利用已知正确的结论，经过合乎逻辑的推理导出要证的结论。正确的概念、准确的符号表达、演绎推理三段论的正确使用是进行正确推理的基本要素。因此，在教学中要注重概念的准确使用和推理过程的符号表达。

2.2.4应用层次的教学

应用是数学教学的目的之一，大体分为公式的、原理的、实际的三类，每一类训练的重点是不同的。不管是哪一类的应用，都有一个从低级到高级的渐进过程，可分为四个阶梯：直接的、变式的、探讨的、综合的。在教学过程中，要根据不同梯次的特点，选择适合内容的教学方法，促进教学目标的实现。

3.改进教学方法

3.1运用“对比法”教学

用对比的方式来剖析高等数学中的概念，提高教学效果，增强学生学习的兴趣。此外，在教学中还可以通过对新旧知识的对比、正确与错误的对比、公式间的对比、不同解题方法之间的对比等方法，提高教学效果。

3.2重视“直观式”教学

高职数学教学以应用为目的，以够用为度，教师应尽量运用猜想、画图、类比等直观性教学法，将高等数学抽象的理论直观化、简单化，让学生易于理解和接受。

3.3加强“应用性”教学

在教学中，让学生更多地了解数学在他们专业课当中的作用，使学生知道数学可以解决他们的专业问题。如，在导数概念的教学中，经济管理类的学生要以介绍边际的概念与例子，而机电类专业可以介绍速率、线密度等的概念与例子。

4.更新教学手段

除了运用传统的教学手段外，应有选择地运用多媒体教学，通过直观、形象的多媒体教学可以使学生在有限时间内迅速理解、掌握、获取更多知识和信息。此外，随着现代信息技术的发展，应充分发挥教学网站的计算机辅助教学手段，教师可以在教学网站这个平台上展示高等数学与各个专业的联系及各种教学素材（教学课件、习题解答等），增加师生交流与沟通。

总之，无论是改进教学方法，还是更新教学手段，其最终目的都是为了使授课结果满足学生的合理需求。要做到授课结果切实满足学生合理的需求，需要关注学生的不同需求，采用灵活的教学形式，使学生通过教师的讲授、讨论，增强学习兴趣，提高自信心、主动性和分析思考能力；需要打破传统教法瓶颈，开拓教学方法新路，让教师“变主动为被动”，让学生“变被动为主动”[3]。从而真正达到提高高职数学的教学质量，服务于高职教育的教学目标。

[参考文献]

[1]高志亮.系统工程方法论[M].西安：西北工业大学出版社.2004：12.

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【关键词】过程数学

数学教育不等同于传授数学知识，它不仅给学生提供了一种科学语言、一门知识，更应当是一种思想方法，是陶冶情操、训练心智的一种工具。数学学者何良仆曾经说过：数学教育中重要的问题，不是教什么题材，而是教给学生更珍贵的东西——如何掌握题材。也就是说，数学教育中的价值不在于掌握数学知识，主要在于“数学过程”。

一、对“数学过程”的认识

“数学过程”是一个有关数学思维及数学教育的核心概念。它主要是对一系列思维活动过程的概括，即：数学概念、公式、定理、法则的提出过程；数学结论的形成过程；数学思想方法的探索及概括总结过程，其本质是以“抽象——符号变换——应用”为核心的思维过程。即数学是来源于现实生活并用于现实生活这一根本，从最原始模糊而笼统的印象，丰富多彩的具体直观形象，直到最终形成抽象的形式体系，严格的逻辑演绎推理，进而在解决问题中加以应用，这就是数学过程数学过程是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的最基本、最有效的方法。

数学学习是一个通过长期系统数学活动来培养学生的数感、符号感、逻辑性、空间观念、统计观念以及应用意识与推理能力的过程，它培养学生严谨的科学态度、科学方法、科学的学习习惯、能力以及探究精神、创造精神和协作精神，使学生充分经历“数学过程”的磨砺，在知识、智力、品质、情感、态度和价值观等方面得到全面发展，成为适应社会进步的高素质人才。

二、教学中无“数学过程”教学的原因及弊端

如果学数学知识只为懂得某一知识的结论，而不了解事物发生、发展变化的过程，这样的知识是残缺不全的、是静止的、孤立的知识。“数学过程”是数学知识之间的内在联系，是严密数学思维的必要环节，是知识内化、构建数学知识体系的关键元素。只有掌握“过程”才能将各部分的知识融为一体，举一反三，使学生的解题能力大大提高。

“数学是系统化了的知识。”数学的很多概念都蕴含了朴素的数学思想，基本上都来源于学生的生活经验。应该说，学生认识这些朴素的思想应该很容易，可事实上学生学习“课本上的数学”很困难。主要原因在于数学的学科定义高度抽象、概括，教材不易呈现其形成与发展的过程，它所呈现的是形式化的、冰冷的结果，教学如果从这些“冰冷”的形式开始，学生就不可能经历“火热”的数学思考过程，直接学习现成的结论也不符合学生的认知特点和思维水平

在有关概念、定理、法则教学时，有些教师似乎很少关注隐藏在其背后的丰富的数学过程知识，为了考试，知识体系被简单地肢解为一个个的知识点，强化题型覆盖知识的作用，注重结论的使用和各种操作步骤记忆，用机械记忆和反复强化的方法进行以落实知识点为目的的训练，这样我们的数学课堂成了解题教学，从而导致学生对数学的兴趣、态度、价值观等心理倾向得不到相应的发展。如果你认真观察比较教师发给学生的数学习题，不难发现，这些数学题不只十分样板，各学校所提供的数学题相当划一。原因显然是紧扣考试，于是不同老师给学生的数学题都十分类似，对于考试的试题，我们看到学生经年累月身处没有多大变化的数学经验空间，不难想象他们渐渐会形成机械化的数学观，也会逐渐失去学习数学的兴趣。

究其原因主要有两点：一是教者缺少追问学科概念的本质，二是没有真正了解学生的思维特点与已有的知识经验储备。对于前者，我们强调教师追问为什么学习这些内容、所学习内容的核心是什么、如何建立联系；后者主要包括学生的生活概念、学生的思维水平与认知特点及学生已有的知识储备。当教师对这两个根源有深入的思考后就能设计出有过程的教学。

三、注重“数学过程”教学、提高学生数学素质

要能充分发挥数学的作用，教学中必须设计有过程的教学，这就要求我们的教师备课时关注数学概念形成、思想的本质以及发展的历史本源和原始动力，关注学生朴素的问题与思维过程，关注学生的生活经验与数学概念之间的本质联系与区别，利用思维冲突、质疑与障碍使学生获得高水平理解力。激发学生学习的愿望与动机，体会到创造的乐趣。

注重培养学生观察和发现问题的能力，让学生在自主参与、合作探究中拓展实践思路，不断享受成功的体验，感受创造过程中的无限乐趣。比如在等差数列前n项公式中提出1+2+3+…+100=?让学生去探索为什么高斯用(1+100)×100/2式子计算，从而真正理解等差数列前n项和公式的由来，注重这个“数学过程”，学生即使忘记公式，他也能推算出等差数列求和结论。

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关键词：小学生；数学概念；运算能力

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）15-208-02

数学与人类平时的日常生活有着密不可分的联系。自原始社会人们利用绳子打结的方式来计数开始，人类与数学就结下了不解之缘。现代社会，人们的生活更是离不开数学的影子，买食品、卖衣服等等日常活动，都有数学的影子。但是随着经济科技的发展，新技术的研发，计算器等等先进计数设备开始广泛应用与社会生活的各个领域，使得运算能力显得不那么重要，学校对小学生数学概念和运算能力的要求也随之降低。尤其是近年来，初高中教师普遍认为学生运算能力差，影响了其他数学问题的学习。小学数学概念和运算能力的重要性再度引起人们的关注。

一、问题的提出

小学阶段，学生受年龄、阅历等等因素的限制，还没有形成完善的思维和认知体系。数学概念和运算能力的应用有利于开发小学生的大脑思维。新课改实施以后，一些难、偏的内容被删除，复杂的运算也被删减不少，师生对运算方面的练习不再像以往那样重视。新兴的素质教育一定程度上忽略了对小学生数学概念与运算能力的培养。不少一线教师发现由于小学阶段运算能力的欠缺，致使初中、高中阶段的学生在数学学习过程中出现了一系列问题。怎样培养小学生运算能力等问题成为当前我国教育界亟待解决的重要课堂。本文通过对相应研究对象的观察分析，试图阐述小学数学概念和运算能力发展的问题，并尝试提出一些不完善的教学建议。

二、小学生数学概念与运算能力研究实验

1、研究目的

本文选取河北省邢台市某小学三年级两个班学生为对象进行研究，以调查问卷、课堂观察等方式为方法，对这两个班的同学实施为期2个月的教育干预，对教育结果进行分析，研究单位时间内、一定数量的训练对小学生数学概念和运算能力的提高有什么影响。

2、实验过程

（1）该实验班级的数学任课教师对学生的日常作业仔细关注，与其谈话，了解作业出现运算错误的原因。在数学概念学习过程中，鼓励学生用自己的话表述自己对数学概念的理解，最后再由教师给出课本的标准概念。

（2）该实验班级的数学教师经常组织学生进行5-10分钟的运算小练习，并随机增加2-3分钟的运算小测验。

（3）在实验进行过程中，教师等参与观察研究的相关人员要做好保密工作，避免学生知道，对研究结果产生影响。

3、统计方法

根据学生测验结果，对测试数据的平均值、标准差等采用SPSS进行计算、t检验分析以及数据之间的相关性分析

4、评价方法

我们评价运算能力，判断运算能力高低时，往往采用计算样本平均值与标准差的方式，或综合分析其相关数据资料。这样的方式一定程度上能够反应研究对象的运算能力以及概念认知能力，但是对错误题目数量的忽略使得正确率高的学生在数据比较中占有优势。有些题目出现错误，因素是多方面的，例如看错题、笔误等等。因此，本文采用TOPSIS评价法来对相关数据进行分析，尽可能减小误差，使数据更加科学化、直观化。

三、研究结果

1、测试成绩比较

图1

根据图1所示，实验班级学生的整体运算能力高于没有经过运算训练的班级。

2、运算速度比较

图2

根据图2所示实验班级在抄写数字、加减法、乘除法、填空等方面的运算速度高于没有经过强化训练的班级。

3、数学概念学习能力比较

实验班级的数学教师在进行数学概念教学时，先让学生自主阐述对概念的理解，并组织讨论，最后给出标准概念。对照班级的数学教师则采用以往教师直接教授数学概念的方式进行教学。进过测验比对，实验班级的学生在数学概念、公式理解、运用方面要高于对照班级学生。

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【关 键 词】数学定义；课堂教学；定义备课

一、什么是数学定义

首先，说明什么是数学概念：它是事物在数量关系和空间形式方面的本质属性，是人们通过实践，从数学所研究的对象的许多属性中，抽出其本质属性概括而形成的。在数学中反映数和形本质属性的数字、图形、符号、名词术语和定义、法则等都是数学概念。

数学概念通常包括四个方面：概念的名称、定义、例子和属性。以概念“圆”为例，词“圆”是概念的名称；“到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆”是概念的定义；符合定义特征的具体图形都是“圆”的例子，称为正例，否则叫反例；“圆”的属性有：是平面图形、封闭的、存在一个圆心、圆心到圆上各点的距离为定长（半径），等等。

从上面我们知道，数学定义是数学概念的一部分，它是通过列出一个事物或者一个物件的基本属性来描写或者规范一个词或者一个概念的意义。它只是指出了事物的基本属性，但不包括全部属性。

二、数学定义的常见方式及一般教学思路

1. 约定式定义法。约定式定义都是对某一具体代数式加以定义，并且这些代数式具有明确的理论背景，而并不是强加的，所以我觉得要立足于已有知识的基础上，挖掘定义的背景以及定义本身的含义，使学生相信数学是自然的、科学的，定义也是正确的。

具体包括：讲解定义的推导过程，如零指数幂，组合数；讲解定义的应用意义：如，平均数代表和理解一组数据的一个代表值，方差表示一组数的方差表示了这一组数的分布范围的大小；定义名称由来：如“方差”、“自然对数”、“频数”。

2. 直觉定义法。对于原始定义都采用直觉定义法，中学数学中涉及到的原始定义有：元素、集合、对应、点、直线、平面、空间、数、量等。

由于学生在生活中对这些定义已经有了一些大概的认识，但还没能抽象成数学概念，所以我们只需在这基础上再多举实例（也可让学生举例），从多个角度进一步强化认识，最后将这些概念转化成模型刻在脑中。

我觉得对这些概念的认识不可能一步到位，要让学生在之后的学习中慢慢领会；这些概念看似容易理解，甚至没什么特别需要强调的，但教师反而要重视起来，有机会就加以渗透，因为这些概念是所有概念的基础。

3. 构造式定义法。构造式定义是因为定义本身可以从运动的角度去理解，比如圆锥曲线，圆的定义。我觉得这类定义的讲解要重视以下几方面：（1）演示过程，比如用绳子、铅笔等工具演示椭圆的形成过程；（2）讲清运动的过程，包括运动的元素、途径、限制条件分别是什么；运动过程分成哪些主要步骤；（3）让学生学会用比较精炼准确的语言描述过程；（4）从图形和语言中抽象出代数表达式，找出其本质的数学含义，以便在推理证明中应用；（5）最后将自己归纳的语言和书中定义做一个比较，分析哪些不同之处，进一步理解定义的本质。

4. “属+种差”定义法。这种定义是基于属概念得到的新概念，是属概念中的一部分，由种差确定，所以教学中：（1）要强调属概念的定义，做一个一个复习回顾，为新概念理解做好铺垫；（2）在属概念的基础上强调“种差”，即特殊性质，和其他同在一个属概念中的概念加以区分，如果种差有几条，不防用1、2、3等符号标注出来，以区别不同性质，加深理解和记忆。

5. 逆式定义法。逆式定义给出了数学概念的分类，在教学中我们要注意：（1）每一类的具体定义是什么，这是基础，要充分的讲解和举例；（2）分类的依据什么，让学生检验分类是否不重不漏；（3）类别名称要说全，不能有遗漏；（4）给出最终的定义，说明名称的由来。

6. 刻画性定义法。刻画性定义在中学阶段并不多，因为它们是基于近代数学诞生的相对严格的定义，较其他定义更为抽象，描述的语言符号也繁杂，如函数、函数极限、数列极限概念等。高中最为重要的一个概念就是函数，在经历了初中从“运动变化”的角度定义函数之后，高中从“集合对应”的角度定义，使其囊括更多的函数，也更加接近函数的数学本质。

7. 一般的哲学思想在讲解定义中应用。以上六点只是针对具体问题而言，孤立的处理了定义教学，定义之间的异同也要讲解清楚，我们知道比较、辨别、分类、归纳、猜想、抽象、概括、联想等是研究科学的普遍思维，在定义教学中也不容忽视。

（1）区别近似概念，突出关键属性，注意相关属性，分析定义的本质属性和非本质属性；（2）对定义加以变形，如颠倒条件和结论，去掉、增加、改变条件，进行定义的辨别；（3）了解定义背景，全面掌握相关只是，知道定义在整个体系中的位置，并注意与其它知识的联系；（4）分层理解定义，如将条件结论分层，或按照主谓宾分层；（5）从特殊入手，讲具体升华为抽象，得出一般性的定义；（6）设想定义的存在性和合理性；（7）对定义进行联想和类比；（8）正反举例比较。

其它定义法在中学比较少见，我们就不一一赘述了。上述七条可以互相补充。

三、数学定义的一般教学手段

上文介绍了定义教学的思路，具体实施时采取不同的手段和方法对教学效果也有很大影响。

1. 多媒体演示。利用现代化的教学手段，在教学时配上精美的PPT或动画演示，可以加深学生对定义内容的认识。

2. 图像法。有些定义可以通过图像加深理解，如二次函数、指数函数、对数函数、直线垂直于平面等的定义，在教学时不放发挥图像的作用，使其从形象的图像入手，加深理解。

3. 动手操作。有些定义可以通过动手操作理解，比如椭圆、双曲线、抛物线的定义，根据定义中的的步骤演示一遍，同样会加深记忆。

4. 让学生自己归纳定义。对于某些学生比较熟悉的数学定义，可以让学生自己概括，再与书本对照不同之处，修改后就会领会数学定义的本质。

四、教师如何对定义备课

1. 正确地理解概念。正确理解数学概念是掌握数学基础知识的前提。而当前我国数学教学中的突出问题，恰好是把掌握数学基础，即数学概念的正确理解给忽视了。一方面是教材低估了学生的理解能力，为了“减负”，淡化甚至回避一些较难理解的基本概念；另一方面，“题海战术”式的应试策略，使教师没有充分的时间和精力去研究概念。

2. 要准确把握不同概念的区别和联系。数学知识的系统性很强，数学概念也不是孤立的，教师应从有关概念的逻辑联系和区别中，引导学生理解相关的数学概念，从而在学生头脑中形成一个比较完整准确的概念体系。利用这些内在联系，可把这些简单体的性质，有关计算公式都归纳为一体，便于学生理解和记忆。

3. 还要在寻找新旧概念之间联系的基础上掌握概念。数学中有许多概念都有着密切的联系，如平行线段与平行向量、平面角与空间角、方程与不等式、映射与函数、对立事件与互斥事件等等，在教学中应善于寻找、分析其联系与区别，有利于学生掌握概念的本质。

参考文献：

[1]郭勇，咸庆粉.如何进行中小学数学概念的教学.，2006.12.