数学中的关系范文

导语：如何才能写好一篇数学中的关系，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

目前师生人际关系中普遍存在着教师中心主义和管理主义倾向，严重地剥夺了学生的自主性，伤害了学生的自尊心，摧残了学生的自信心，由此导致学生对教师的不满和抵触情绪，师生关系时常处于冲突和对立之中。现代教学论指出，教学过程是师生交往、积极互动、共同发展的过程。没有交往，没有互动，就不存在或未发生教学，那些只有教学的形式表现而无实质往发生的"教学"是假教学。试想一下，经常处于冲突和对立之中的双方如何能产生正常的交往,又如何能产生真正的互动教学呢。《数学课程标准》提出:“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验。”教学活动的本质应该是一种沟通、一种合作。学生才是数学学习的主人,教师是数学学习的组织者和引导者。教学活动的教与学不仅形成了教师与学生之间的关系,也形成了学生与学生之间的关系、教师与学生群体之间的关系、学生与学生群体之间的关系等多重的网状关系,而整个教学过程就是在这网状关系中进行的。教学分析表明:教育者与受教育者的关系是交互主体性的合作伙伴关系,教学过程既不是单纯的学生的事情,也不是单纯的教师的事情。教师和学生都是教学的中心人物。那么,怎样提高师生交往的有效化,学生学习的积极性呢?

《基础教育课程改革纲要(试行)》指出:“教师在教学过程中应与学生积极互动,共同发展,要处理好传授知识与培养能力的关系。”师生的交往互动,是教学过程的本质属性。没有师生的交往互动,就不存在真正意义的教学。互动是教师的教与学生的学的有机结合。交往是双方或多方的接触、往来、对话、沟通,教学中交往的意义远远超过了它原始的语言学的意义,它已成为人们存在与发展的基本方式。《找规律》一课。我精心创设了一个快速记忆比赛环节，有效激发了学生的学习兴趣,从而感知规律。找规律重在“找”，找到规律的价值是帮助学生解决问题。把教学的重点放在“找规律”和利用规律解决问题上。素材精选了生活中按规律摆放的桌椅、彩灯等，把学生的注意力集中到对不同物体摆放的规律观察上，引导学生通过观察,分析,比较,交流,经历探索规律和解决问题的过程。并让学生说一说生活中的一些周期现象，星期，月份，四季，生肖等等，拓展规律，丰富了学生对规律的认识。再通过师生玩一玩游戏，引发学生的思考,揭示游戏里就蕴含着周期规律，鼓励学生在玩游戏的过程中开动脑筋感悟规律，创造规律。在“找规律”的过程中，教师充分关注学生的生成资源，突出了学生探索规律中的数学思考，增强了学习数学的兴趣，收到了较好的教学效果

改进评价方法,力求使每个学生的学习积极性都有所提高,学习更有自信,更有兴趣。对数学学习的评价要关注学生学习的结果,更要关注他们学习的过程;要关注学生数学学习的水平,更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度,帮助学生认识自我,建立信心。”关注课堂教学中的评价行为,是提高课堂教学效果的重要途径。在教学实践中,存在评价缺失和评价不当的现象。如只重视教师对学生的评价,忽视学生对教师、学生对学生的评价;只重视评价学生的知识掌握情况,忽视对学生的情感激励和价值观的引导等。只重视评价学生的学习结果,忽视评价学生的学习过程,等等。在小学数学课堂中,如何全面、科学、合理地进行课堂教学评价,真正发挥评价的作用,这是值得研究的课题。评价要具有激励性、导向性、客观性，课堂评价不应拘泥于形式，要应因人而异，因时而异，因地而异，教师应全身心投入，创造性地对学生的学习活动进行评价，用我们的评价激活学生的思维，让每一个学生在评价中获得自尊和自信，获得一种成功的体验，从而对数学产生一种积极的情感和态度，形成良好的学习品质和习惯。

正如世界上没有两片相同的树叶一样,每个学生都有其独特的个体特征,表现在认知方式和思维策略的不同、认知水平和学习能力的差异等方面。尊重个体差异,满足学生多样化的学习需求，教师要及时了解并尊重每一个学生的个体差异,特别是对那些学习困难的学生,既要给予及时的关照与帮助,又要鼓励他们主动参与数学学习活动,尝试用自己的方式去解决问题,发表看法人的全面发展始终是教育追求的理想。新教材强调教师要引导学生质疑、调查、探究，在发展中学习，在实践中学习，富有个性的学习，以便为发展学习而学习，为终身继续学习而学习。从教育发展的整个态势来看，教育民主化已日益成为当代教育的主要趋势。教育民主化主题之一即教育的平等，包括接受教育的平等性和个性发展的平等性，尤其是个性发展。因此，保证每个学生的潜能得到充分的发展，是课程改革的重要目的之一。

总之,教与学的方式的改变要求教师不断地形成新的基本技能,不能再以知识形态来呈现教学,而要以行为的方式来呈现,所以我们要不断地更新观念,不断地探索研究, 教师与学生的关系是教育教学中最基本的人际关系，是构成学校教育教学的基础，只有建立良好的师生关系，才会有良好的教育教学效果。才能高质量地完成对学生的塑造和培养。教育教学过程是师生共同参与的过程，因此，它的顺利进行，不仅取决于教师，也取决于学生，能否充分调动二者的积极性，在很大程度上又受师生关系好坏的影响。在教育教学过程中，我们都有这样的经验：对于学生来说，凡是和自己关系好、感情深的教师所给予的教育教学影响，即使是较严厉的批评，他们也认为是老师对自己的关心和爱护，因而能愉快的接受。反之，假若师生关系不好或者没什么感情，同样的教育教学影响，学生往往不理不睬，没有参与教育过程的积极性和主动性。同样，师生关系好坏对教师工作也有很大的影响师生关系好，教师工作起来心情愉快，教师会更加努力，并从工作中体会到一种特殊的幸福。相反，教师会感到内心失衡，影响教育教学工作的进程。所以，良好的师生关系是我们顺利完成教育教学任务的必不可少的前提。

篇2

本节课的教学目标是复习巩固整式乘法法则与公式，能熟练运用法则与公式解决相关问题。

【学习过程】

教者课前5分钟将学案发给学生做活动一和活动二。

师：做完活动一和活动二的同学请举手。（教者来到举手的同学面前逐一的批改）教者这么做即增加了面批的效果，又增加了学生学习的积极性，可谓一举两得。

活动一：知识回顾

1、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式、乘法公式的定义

2、（1）完全平方公式：（a+b）2=___________； （a -b）2=___________

（2）平方差公式：（a+b）（a-b）=_________

师：请同学们下面我们一起来读一下知识回顾。

【评价】活动一学生通过翻书找，复习了旧的知识点，照顾到后进生。齐声读【知识回顾】来调动整个班学生的参与度，同时教师将重点知识板书，以加强对本课知识的复习，教者站在了学生的角度去思考问题，设计问题，体现出小步骤，低起点，稳扎稳打的教学风格，又起到将知识回归课本重视基础的重要作用。

活动二：基础练习

1、计算：

（-4a2b3）・ a2bc = ；（-3a2） （5a2b-3ab-1） = ；

= ；（2x+5）（x-5） = 。

2、计算：

（x-2y）（x+2y） = ； （-x+2y）（x+2y）= ______________；

（2m+3n）2 = ； （2m-3n）2= ；

（-2m+3n）2 = ； （-2m-3n）2= 。

【评价】教师通过接龙的方式把活动二的答案对了一下。其中第一题的第四小问学生报的答案是 ，此时教师及时给学生纠错并板书，教会学生怎样找知识点做题。教师的供体现在将易错点板书、给学生留足了思考的时间，教会学生怎样找知识点做题并鼓励学生，学生的求体现在通过老师传授的方法去做题和重视基础。

师：很好，大家都是相当的聪明吗.我们现在一起来看一下刚刚我们校对的这四道题目：

（2m+3n）2 =4m2+12mn+9n2； （2m-3n）2=4m2-12mn+9n2；

（-2m+3n）2 =4m2-12mn+9n； （-2m-3n）2=4m2+12mn+9n2。

从等式的左边括号内两数的符号和右式中间项上看，你能得到怎样的知识呢？ （教师板书并用其他颜色的笔框起来，加以强调）

生：等式的左边括号内两数的符号相同时，右式中间项的符号是正号；等式的左边括号内两数的符号相反时，右式中间项的符号是负号。

师：对。当等式的左边完全平方式括号内两数的符号相同时，右式中间项的符号是正号；等式的左边括号内两数的符号相反时，右式中间项的符号是负号。

师：那（-3m+2n）2 多少？

生：等于9m2-12mn+4n2.

【评价】教者根据学生的实际水平合理设计问题，重难点突出，通过对比引导得当，进行直观猜测。课堂中有明确的学习共同体，互动主题明确，过程组织有序。教师能鼓励后进生参与互动，激发学生参与互动，合作的兴趣。关注学生上课时的精神饱满，注意力和自学能力以及认真做课堂笔记的状况，让学生养成独立思考及课堂总结的能力。教者充分利用课本资源，教材的二度开发有效。学生的学习兴趣，能力获得相应的提升。关注学生学习与练习结合紧密有效，效果明显。还要关注课堂反馈及时，学生学习目标达成度高，不同层次学生均获得发展。

活动三：自主运用

1、计算：

（1） （2）

（3）（x+1）（x-1）（x2-1） （4）（x-2y+4）（x+2y-4）

2、先化简再求值： ，其中x=1，y=-2.

师：下面我请大家先完成活动三，然后各组讨论。（此时，教师巡视并对各组加以指导，待学生互动完成后教师选任意5组板演，并加以讲解）

学生在做活动三第一题的第二小题时，出现了错误。

学生板演：

=

=

=

此时教师及时纠错。

师：首先应该表扬一下这位学生很细心，他首先用完全平方公式将两个乘数拆成多项式，然后用多项式乘以多项式的方法拆成 ，最后再合并同类项。他的方法是对的唯一不足之处是在合并同类项时出了错误。这题准确的答案是多少？我们一起回答。

生：

师：我们来观察一下第二步，有什么特征？想一想还有更好的方法吗？（1分钟后）谁愿意上台板演并解释。

学生板演并解释：

=

=[（ ） ][（ ） ]

=（ ）2

=

师：聪明，我们用掌声来谢谢这位同学给我们又找到了一种方法。我们来看一看，她首先也是用完全平方公式将两个乘数拆成多项式，然后将同号的数放在一起于是得到[（ ） ][（ ） ]，最后他又用了什么公式完成了这一题？

生：平方差公式。

师：我怎么还是感觉还是有点麻烦呢？观察一下这道题目，谁还有更好的方法来解决这一题呢？

学生板演并解释：

=[ ]2

=（ ）2

=

师：太聪明了。这位同学首先用积的乘方的逆运算将 化成 [ ]2，然后用平方差公式将[ ]2化成 （ ）2，最后用完全平方差公式得到答案 。

师：以后我们再遇到这类题目我们首选的方法是第几种方法呀？

生：最后一种方法。

师：好。以后我们做题时首先应该认真的审题，看一看这题用什么样的方法做简单，然后再动笔答题。

【评价】关注课堂活动形式，互动过程能体现学生的主体地位。教师积极参与互动，努力创造自由，宽松，和谐，愉悦的互动气氛，学生的个性得到释放。互动过程能够将行为互动，情感互动，认知互动三者有效结合起来。

活动四：课堂总结

师：通过今天这节课的学习你有什么样的收获？请按组回答

生：本组学习到了：当等式的左边完全平方式括号内两数的符号相同时，右式中间项的符号是正号；等式的左边括号内两数的符号相反时，右式中间项的符号是负号。

生：本组的收获是：在做题时应该严格按照步骤去做；在做多乘多时，应该注意合并同类项。

生：本组的收获是：我们做题时首先应该认真的审题，看一看这题用什么样的方法做简单，然后再动笔答题。

生：本组的收获是：所有的难题均来自于基础，所以我们以后学习应该先巩固基础。

篇3

传统的数学教学模式大多是“填鸭式”的满堂灌，课堂上教师的“独角戏”、一言堂，学生表情严肃地坐在座位上听课，被动地接受，没有其他权利，课堂教学效果很不理想。新课程改革的目的之一就是促进学生的学习方式的转变，引发学习兴趣，加强学习的主动性和探索性。教师应有意识地把日常生活中的数学素材运用到教学中，教学内容的选取应注意体现对知识的整体把握及相互联系的揭示，给学生示范综合、拆分、重组的样式与方法，将相关的知识联系起来，更有利于学生自主处理信息，体现“人本主义”教育思想。教师要善于引导学生把生活经验上升为数学知识，在主动探索学习过程中获得知识、培养能力、体会数学思想方法。比如在学习一元一次方程应用中的行程问题时，不一定非要让学生在数学课前先跑上几圈。可以在课堂上让学生回忆一下“体育课在操场上跑几圈的情境”，再组织学生交流同向、反向跑圈、追击跑等情况，然后讲解问题。这样的学习不仅充满趣味，而且数学味更浓一些。

我们的数学教学不仅要基于学生的生活现实，还要在学习数学的过程中提升和丰富学生的经验，使数学背景包含在学生熟悉的事物和具体情境之中，让学生动手、动脑“做数学”，在多样的方式中不断获得学习数学的体验。

二、引导学生寻找问题的疑点，让学生成为学习的主人

“疑”是学习的需要，是思维的开端，是创造的基础。在数学教学中，有疑问，才要去学习、去思考。为了最大程度地发挥学生的学习主动性和积极性，教师可在知识的重点处设置悬念，让学生存疑、生疑，学会质疑，从而引导学生积极主动地去学习，形成生动活泼的教学氛围。这就要求教师真诚地倾听学生的提出的疑问，并和学生同探究、同发展、同思维；同时教师还要做一名成功的赏识者，鼓励学生敢于提问、善于提问，真正把学生放在主体地位，关注每一个学生的每一件“小事”，赏识其情感、态度、价值观等方面的表现。当学生对新知识疑惑不解，产生问题时，就要抓住时机恰到好处地进行启发式提问，问题的设计要按照新知识的逻辑顺序，要考虑学生的认知等程序，循序渐进、由表及里、层层深入，如此不仅能激发学生强烈的求知欲望，还能促其知识内化，通过提问到解决问题的思维过程，达到诱导思维的释疑目的。因此，在学生学习探求知识的过程中，教师要充分发挥学生的自主性、独立性与创造性，培养思维的开阔性。唯此，学生才能在教师创设的轻松的情境之中学习数学知识。例如，在利用平方差公式分解因式时，不少学生只能用原始的“a2-b2=（a+b）（a-b）”这种固定形式，形式稍有变动，就不知如何是好，无从下手。这时教师应鼓励学生大胆地提出自己的观点，即使观点不正确，也给以恰当的评价，与其共同探讨怎样才能得到正确解法，师生进行平等交流。这就要求教师敢于蹲下来看学生，不仅是身体蹲下来，心灵也要蹲下来，全身心地融入到学生中去，与学生打成一片，共建有利于数学个性发展的课堂气氛。这就要求教师还要做个性张扬的激励者，但决不能忽视教师的主导作用，那种提出几个问题，撒手让学生自己做，“放羊式”的不去引导、启发的做法是不可取的。

三、为掌握而教到为发展而学，把课堂还给学生

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1.对信息技术与数学教学整合的理解

信息技术与数学教学整合，简而言之，就是发挥信息技术的优势，在数学教学中使学生的素质得到更好的培养和提高。那么，究竟用它来提高学生的什么素质呢？显然更多的在于提高学生的智力水平。也就是说，重在解决如何培养学生认知能力和创新能力的问题。

1.1 教师与学生双向整合

数学课上，不仅教师要针对内容特点与媒体特性，来获取信息，精心设计教案，实现传播教学信息的任务；而且还要选择恰当的教育教学方法，引导学生收集信息、处理信息的学习方法。课堂教学是教与学相互作用的双向整合过程。必须以学生为主体，充分发挥学生的主观能动性，使其探索、发现、利用和创新。只有充分发挥教与学两方面的积极性，才能实现生动活泼的教学氛围，使课堂教学效率达到最大有效值。

1.2外部操作与内部思维并重

多媒体教学的出现使与原本符号化的抽象数学变得具体化，让学生更加容易接受、理解。学生接受信息、感应信息、理解信息、处理信息，无一不是依靠思维的参与。运用现代信息技术进行教学，教师既要注意加强引导学生的外部操作活动，又要分析其内部的思维活动，掌握其学习心理。因此教学中教师应周密地组织学生的视听活动，既为学生提供丰富的感性材料，合理演示，又要善于运用语言恰如其分地讲解，才能使学生形成概念，提高认识，使其观察力和思维力得到同步发展。

1.3 内容、方法和技术三位一体的整合

教学内容是主体，教学方法是关键，信息技术是保障。只有理顺了三者关系，才能科学、合理、有效地整合。研究数学学科的特点，遵循教学目标和要求，运用科学教学法，合理地设计教学过程，积极运用信息技术服务于教学活动，实现课堂教学目标化、科学化、信息化，也就实现了课堂教学的高效化。

1.4 及时反馈和适时调控

所谓反馈，就是指从教学对象处获得信息，以此作为调整教学过程的依据。只有通过学生的及时反馈，教师才能知道学生对知识信息的掌握程度，从而适当调控教学内容、方法和时间程序，乃至信息技术的使用。因此，在教学中，教师只有通过反馈信息，积极调控教学过程，变换信息，调控载体的传输方式，与学生建立形式多样、合理有效的反馈渠道，才能使学生有效地获取有用信息，并能更好地处理和运用这些信息，从而实现教学目标。

2.信息技术应用到数学教学中的功能

数学是研究空间形式和数量关系的科学，是学习和研究现代科学技术的基础，在培养和提高思维能力方面发挥着特有的作用。将信息技术运用于数学教学弥补了传统教学的不足，提高了教学效率，同时也培养了学生的信息技术技能和解决问题的能力。

2.1信息技术与数学教学的整合优化了传统的课程教学，提高了教学效率

由于数学是集严密性、逻辑性、精确性、创造性和想象力于一身的科学，因而数学要求学生必须在教师设计的教学活动或提供的环境中通过积极的思维不断了解、理解和掌握这门科学。不少学生认为数学是非常枯燥的一门学科，在平时的学习中总是提不起精神，又加上长期以来，数学教学一直延续着以教师讲解为主，学生被动接受的教学方法，因而感受不到数学学习的乐趣。因此要想激发起学生的学习兴趣，调动学生的学习积极性，教师必须要更新观念，从教学上探索新的行之有效的方法和手段。

2.2信息技术与数学教学的整合可提高学生的数学思维能力及学习数学的趣味性和生动性

数学教学的主要目标之一即是培养学生的抽象思维能力，而信息技术能用具体形象的媒体展示给学生，使其能从中体验形象与抽象的关系。 学生可以利用以计算机为基础的多媒体技术为自己提供有利的建构工具，利用一些专门的学习工具软件来对相关的问题进行探索，操纵有关的变量，观测和分析有关的数据资料，记录有关的数据的变化，并进行统计、分析、绘制变化曲线，来帮助自己分析和思考。

2.3利用信息技术进行自主的探究式学习

在信息技术环境发展的背景下，以学生为中心进行合作学习，以共同解决问题、培养能力为中心的思想将深入人心。问题是数学发展的动力，数学教育更强调在解决问题过程中锻炼思维、提高应用能力。而传统的数学教育由于多方面的限制，片面强调了数学重视演绎推理的一面，忽视了数学作为经验科学的一面。现在，学生自主探究的教学模式可以得到信息技术的有力支持，已经有许多学生利用计算机软件和图形计算器自主地在“问题空间”里进行探索和做“数学实验”。

2.4 信息技术可以用于模拟情镜，给数学实验提供了可能

如，使用《几何画板》这个数学教学软件。能方便地用动态方式表现对象之间的关系，既能创设情境又能让学生主动参与，所以能有效地激发学生的学习兴趣，使抽象、枯燥的数学概念变得直观、形象，使学生从害怕、厌恶数学变成乐意学数学。让学生通过做“数学实验”去主动发现、主动探索，不仅使学生的逻辑思维能力、空间现象能力和数学能力得到较好的训练，而且还有效地培养了学生的发散思维和直觉思维。

2.5借助信息技术测评工具，进行学习评价，及时发现问题，获取反馈信息

传统的数学教学受教学条件的限制，评价一节课的教学效果通常只能通过纸、笔练习完成，形式较单一，容量较少。现在能够借助先进的信息技术，及时、形式多样地对一节课进行评价，学生还能借助信息技术灵活进行自我学习评价、他人评价，及时发现问题，获取反馈信息，并进行处理。

充分发挥信息技术的作用，能够冲破教材和传统教学的局限性。通过信息技术与数学课程的整合教学，有效地提高学生学习数学的兴趣，培养学生的数学素养和信息素养，大大地提高学习效率。

3.整合的一般原则

许多学者和专家指出，必须建立起一套新的具有多媒体技术特征的数学教学体系，有机地把信息技术整合到数学教学中，通过整合为数学教学带来一片生机。信息技术与数学教学整合教学设计要把握好以下几个原则：

3.1目的性原则

信息技术的选择与运用，其目的是为了完成教学目标服务。不能为形式上的多样化而失去教学的方向。信息技术与数学教学整合最终目标是为了提高学生数学素养和信息素养。

3.2主体性原则

这是信息技术与数学教学整合的基本原则，也是现代教育思想下师生关系的重要转变，在教学中真正做到学生根据自己的需要，自己选择认知工具，自己选择学习内容、学习方法、学习伙伴。这样，才能在学习中体验、感悟、发展，而这种活动是出于学生自身的需要，是积极的主动的，而不是被动的无耐的。

3.3活动性原则

从数学教学改革的趋势来看，传统的课堂教学正向着数学活动课的形式转变。数学教学应该让学生做数学，这是新的课程标准中的重要理念。教学中学生更喜欢听故事、做游戏、做实验、搞课题研究以及上网查资料、上机操练等形式。教学只有从学生的学习特点、学习规律出发，采取多种形式、方法，展开丰富的教学活动，让学生在活动中学习，才能取得较好的教学效果。

3.4开放性原则

这是现代数学课堂教学的一个显著特点。是"整合"应该很好遵循的一个原则。开放有教学思想的开放，教学过程的开放，也包括教学内容的开放。这种开放是相对于传统、封闭而言的开放，不是无限制的开放。这种开放可以表现为教师不一定是知识的唯一拥有者，不一定是权威，教师不是课堂的主宰，教师与学生可以是合作伙伴式的关系。教学内容来源不局限于教材，更不局限于教师，渠道可以更多，范围可以更广。题目本身将趋向于开放题，条件不确定、方法多样化、答案不唯一。这样可以充分调动学生的积极因素，实现学生自身知识的更新与能力的形成。

3.5大信息量的原则

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摘要：本文阐述了离散数学课程中的一个非常重要的概念即等价关系以及各种具体的等价关系和等价关系在计算机领域中的应用，并运用认识论中的同一性原理和联系与发展的观点，分析了各种等价关系间的联系，说明了对等价关系的概念以及各种具体的等价关系及其应用的教学对促进学生抽象思维能力和逻辑推理能力提高的重要性。

关键词：离散数学；等价关系；认识论；教学

中图分类号：G642

文献标识码：B

“离散数学”是计算机专业的重要基础课程和核心课程。通过该课程的教学，不仅要为学生们进一步学习本专业的后续课程提供必备的数学理论基础，更重要的是培养和提高学生的抽象思维能力和逻辑推理能力。与高等数学主要以连续量作为研究对象不同，离散数学主要以离散量作为主要的研究对象，内容包括数理逻辑、集合论、代数结构、图论以及组合数学、数论和离散概率等。由于这些内容在描述形式、研究方法和计算机应用领域等方面均存在着较大差异，且含有大量比较抽象的概念、定理和各种各样的形式化描述，因而学生普遍感到困难重重，学习效果不理想。因此，如何改进教学方法，提高教学效果，使学生们的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，是“离散数学”课程教学过程中必须认真解决的重要课题。

1离散数学课程中的等价关系

1.1离散数学课程中等价关系的概念

定义1 设R为非空集合A上的二元关系。如果R是自反的、对称的和可传递的，则称R为A上的等价关系。

定义2 设R为非空集合A上的等价关系， x∈A，令 [ x ]R={ y | y ∈A ∧ xRy }，

则称 [ x ]R 为x关于R的等价类，简记为[ x ]。

定义3 设R为非空集合A上的等价关系，以R的所有等价类作元素的集合称为A关于R的商集，记为A/R，即A/R={ [ x ]R| x∈A }。

根据定义1，很容易证明矩阵理论中的矩阵合同关系、相似关系都是等价关系；线性空间的同构关系也是一种等价关系。下面主要讨论离散数学中一些常见的等价关系。

1.2离散数学课程中各种具体的等价关系

数理逻辑中，命题公式A和B等值(记为A B)是指由它们构成的等价式A B为永真式。命题公式的等值关系是建立在由所有命题公式构成的集合上的一种等价关系，这种等价关系将所有命题公式按其是否等值划分成若干个等价类，属于同一个等价类中的命题公式彼此等值，因而，只要清楚了等价类中某一个公式的性质，则与该公式同类的公式的性质也就完全清楚了。因此，命题公式的等值关系(等价关系)是获取命题公式性质的基石。

集合论中，集合A和B的等势是指从A到B存在一个双射函数即集合A中的元素与集合B中的元素存在着一一对应。显然，集合的等势关系是建立在由所有集合作元素构成的集合上的一个等价关系，它实际上是从集合所含元素多少的角度来对集合进行划分，只要两个集合所含元素的个数相同，就视它们为相同的集合，可将它们归于同一类。

图论中，无向图中点与点之间的连通关系是一种等价关系，它是建立在由无向图中所有结点做成的集合上的等价关系，只要两个结点间存在通路，则这两个结点就是等价的，它们便归于同一类，无向图中连通分支的概念就建立在连通关系的基础之上。图的同构关系也是图论中又一种十分重要的等价关系，它实际上是全体图集合上的一个同时具有自反、对称和可传递三个性质的二元关系，可按此等价关系对全体图集合中的图进行划分，使属于同一个等价类中的图具有完全相同的性质。

代数结构中有一个重要的概念，即代数系统的同构。代数系统的同构关系是全部代数系统构成的集合上的等价关系，利用代数系统的同构关系可以对代数系统集进行划分，从而使属于同一个等价类但其表现形式不同的代数系统具有同样的运算性质，只要知道了一个代数系统的性质，便可将其性质直接移植到与之同类但表现形式可能不同的新的代数系统上去。

在组合计数问题中会碰到这样一种困难，即区分所讨论的组合计数问题中哪些应该看成是相同的，哪些应该看成是不同的，在计数的过程中不能出现任何的重复或遗漏。这种困难是概念性的，因为它要依据具体问题的要求确切地给出对象异同的数学定义。也就是说，要在对象集合上定义一个等价关系，这样，计数的对象便是等价类，而不是元素本身。组合计数问题中的许多结论、定理(如著名的Burnside引理、Polya计数定理)都要以这类等价关系的概念为基础。

通过上面各种具体等价关系的描述可以看到，尽管这些具体的等价关系分属于离散数学课程中各个不同的分支，所基于的集合中的对象表现形式和描述方式不同，对象的性质也是千差万别，但它们都是基于某一集合上的二元关系且均具有自反、对称和可传递三个性质，将它们的这种共性抽象出来便可使这些具体的等价关系都统一到定义1上来，从而实现了从特殊到一般的抽象。由此可见，等价关系实质上是对相应集合中的具有同一性的对象即具有共性特征的对象的一种抽象，从认识论的角度来看，这符合从特殊到一般的认识规律。

在很多教材中，数理逻辑往往是最先介绍的内容，而等价关系的定义往往在其后介绍，所以，可以由命题公式的等值关系的性质(自反、对称和可传递)来引入(抽象)出等价关系的定义(定义1)，这是从特殊到一般的认识过程；其他的内容如图论和代数系统等则往往在等价关系的定义之后讲授，因此，可用一般等价关系的定义来阐述图的同构关系、代数系统的同构关系和组合计数中的等价关系等，这是从一般到特殊的认识过程。

在离散数学各个部分的教学过程中，可以等价关系作为一条重要的线索，将离散数学中的各个部分有机地组织和联系起来，使学生们能够深刻理解等价关系这一重要的概念，学会用联系的观点去分析、思考和解决问题，尽可能做到对各部分的相关内容融会贯通，这对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力的提高非常有益。

2等价关系的发展和应用

任何事物都是不断发展的，等价关系的概念也同样如此。

自从美国计算机与控制论专家L.A.Zadeh于1965年首次提出Fuzzy集的概念，从而对经典的Cantor集合理论做出了深刻的推广以来，模糊数学已经逐步发展成为一个较为完善的数学分支，并在众多的领域特别是人工智能领域获得了卓有成效的应用。经典的二元关系理论中存在一个缺限，即没有考虑元素与元素间关系程度的不同。在Zadeh提出了Fuzzy集的概念以后，人们便将经典的二元关系扩充为模糊数学中的模糊二元关系，通过模糊二元关系可以较好地刻画元素与元素间关系程度的不同，以模糊二元关系为基础，人们很自然地提出了模糊等价关系的概念。借助于模糊等价关系，可以较好地解决具有Fuzzy性的聚类分析问题，而聚类分析则是数据挖掘领域中的重要课题之一。

比较建立在经典集合理论基础上的等价关系和建立在模糊二元关系基础上的模糊等价关系的定义，容易看出，在Cantor集合理论基础上的等价关系是模糊等价关系的特例，而模糊等价关系则是Cantor集合理论基础上的等价关系的推广，是更高层次上的抽象。

在教学过程中适当介绍模糊等价关系，一方面可以使学生们加深对等价关系概念的理解，学会用发展的眼光分析和解决问题，另一方面可以克服大多数离散数学教材只注重阐述理论而很少涉及其理论在计算机领域中的应用的缺陷，使学生们尽可能多地了解离散数学在计算机领域中的具体应用，提高学习离散数学的兴趣。

事实上，等价关系在计算机领域中还有很多应用，例如在软件工程领域，为了尽可能多的找出软件设计过程中可能存在的各种错误，常常使用一种被称之为“等价类划分”的软件测试方法。这种方法实际上就是将所有待测试的数据所构成的集合划分成若干个符合软件需求规格及设计规定的有效等价类和若干个不符合软件需求规格及设计规定的无效等价类，然后在每个有效等价类和无效等价类中只各取一个数据进行测试。若某个等价类中的一个数据能测出软件中的错误，则该等价类中的其余数据也能测出错误；相反地，若某个等价类中的一个数据不能测出软件中的错误，则该等价类中的其余数据也不能测出错误，从而可以大大提高软件测试的效率。

又如，在数据库理论中，分组查询是一种重要的数据库操作，它在本质上也是一种等价类的划分，即将相关数据表中的所有记录作为一个集合，根据记录的一个或多个属性(字段)的值是否相同来对表中的记录进行分类，字段值相同的归于同一类，在此基础上可以进行进一步的分组统计等操作。

再如，粗糙集理论是一种处理模糊和不确定性知识的数学工具，其主要思想就是在保持分类能力不变的前提下，通过知识约简，导出问题的决策或分类规则。在经典粗糙集理论(Pawlak粗糙集模型)中，等价关系是最为重要的基本概念之一，经典粗糙集理论的大部分概念均建立在等价关系的概念之上。目前，粗糙集理论已被成功地应用于机器学习、决策分析、模式识别、过程控制和知识发现与数据挖掘等众多领域。

3结束语

为了提高教学效果，使学生的抽象思维能力和逻辑推理能力真正得到提升，教师可在离散数学各个部分的教学过程中，以等价关系作为一条重要的线索，将离散数学中的各个部分有机地组织和联系起来，使学生们能够深刻理解等价关系这一重要的概念，并学会用联系与发展的观点去分析、思考和解决问题，这对学生的抽象思维能力和逻辑推理能力的提高非常有益。

参考文献：

[1] 耿素云,屈婉玲. 离散数学[M]. 北京:高等教育出版社,2004.

[2] 张文修,吴伟志,梁吉业等. 粗糙集理论与方法[M]. 北京:科学出版社,2001.

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关键词：小学数学教学；习惯；培养；方法；重要性

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）27-069-01

素质教育原则的贯彻和落实，使广大教师在教学过程中更加注重对于学生学习方法、习惯与能力等方面的培养。针对小学生而言，习惯的培养尤为重要，它将是影响学生一生的关键因素。在具体的小学数学教学过程中，我认为数学教师所要重视培养的学生的良好习惯包括：专注听讲的习惯，勇于发言的习惯，认真的思考习惯，正确的解题习惯，严谨的纠错习惯，积极的自我肯定的习惯等方面。我在多年的数学教学工作中，勤于这些方面的研究和探索，使自己的数学教学收到了良好的效果，于此特撰文总结，以与广大数学教学同仁切磋交流，旨在共同提高。

一、在小学数学教学中注重培养学生习惯的重要意义

小学阶段是学生良好的生活、学习习惯培养和形成的重要阶段。在这个阶段里，老师的正确教育，家长的积极引导，都会让孩子从而形成一种好的习惯和作风，并且这种良好的习惯和作风会伴随着孩子的一生，会成为他一生都将习惯运用的解决问题的特点和手段。素质教育模式是一种重在提高学生自身能力的一种教育模式，它反对“填鸭式”的被动教育方法。在这种教改过程中，教师和学生的主客体地位经常会发生变化。那么教师在新型的教育模式下应该怎样摆正自己的位置和作用，才能收到教学效果的最大化呢？在近几年的小学教改过程中，我认为教师不能把教学的目标只放在应试方面，针对小学数学教学而言，教师应该着重培养学生的以下几种数学习惯和能力。

二、在小学数学教学中，教师应着重培养学生以下几种学习习惯

明确了数学习惯培养的重要意义，那么具体运用到教学实践中，教师应从以下几个方面入手。

1、培养学生认真听讲的习惯

听讲是学生获得知识的主要媒介，这个媒介通畅，信息传输就顺利；反之，信息传输就会受阻。小学生由于其特殊的年龄特征，他们的学习兴趣主要倾向于学习活动本身和教学内容的趣味因素。

2、培养学生勇于发言的习惯

发言需要学生将自己的思考过程用言语的形式表达出来，要把内部的知识转化为外部的语言，必须表达清楚，使别人能听懂，因此自己内部的思维必须清晰才行，所以发言可以锻炼学生的思维和表达能力。我在课上尽量创造更多让学生发言的机会，注意学生表达的准确性与严谨性。

3、培养学生认真思考的习惯

数学是“思维的体操”，如果不积极动脑思考就不可能学好数学。对数学问题进行认真地思考，是学生解决数学问题的先决条件，是学生全面的、终身的、可持续发展的重要技能。正确引发小学生数学思考，可以提高教师的课堂教学效率，提高学生解决问题的能力，激发学生学习数学的兴趣。由于小学生知识面的狭窄，没有足够的思维空间，对数学问题往往会从东说到西，从南说到北，有时对问题就是不沾边，但对任何数学问题又总有一种好奇，教师就应当积极利用学生好奇的心理因素，活跃的思维方式，有效地引发学生进行数学思考。因此，针对问题需要再次思考，设计有效的思维题型并加以训练，可以培养学生有的放矢的思维模式，这样长期坚持就可以形成学生数学思考的模型，无疑会形成学生终身的、可持续发展的数学思考能力。

4、培养学生正确的解题习惯

解答的步骤是学生对题目深入思考的外在表现，是我们判断学生解题好坏的依据。解答过程是否完整，思路是否清晰，都能反映出学生对某个知识点的掌握程度。因此，我们在教学过程中应注意培养学生认真审题和细致解题两种良好习惯。审题是解题的第一步，它关系着解题质量的高低。通过审题，要求学生理解题意，明确要求，分析条件与问题之间的联系，找出解题线索及突破口。教师要指导学生多读题，找出题干中的已知项，然后明确未知项，最终确定如何通过已知项求得未知项。要向学生强调审题的重要性：如果审题时没有把题意弄明白，就很难把题目做出来；如果题意理解失误，曲解了题意，那么做出来的结果肯定是错误的；如果要求不明确，解答时就会出现答题不完整等丢三落四的现象。在培养解题习惯的时候，教师应把指导学生如何解题以及解题的方法步骤作为平时训练的重要环节来抓。通过以上的审题，当学生明确了题目的要求，在理清思路后，还要进一步深入思考解题的步骤，形成一个清晰的解题轮廓，然后按这个轮廓开始写解题步骤。写每一步时都要想想这一步骤有没有必要，要保证写出来的每一个字句都有其存在的必要性，让人一眼就可看清每一步所表达的内容。要养成使用草稿本的习惯。打草稿，能帮助学生理清解题思路，提高解题效率。

5、培养学生严谨的纠错习惯

认识到错误就是改正了错误的一半。不要怕学生的数学思维和计算方法出错，不出错也就不符合小学生的年龄特点。可以说，小孩子就是在经常犯错又经常纠正的过程中成长起来的。针对数学学习而言，教师要注意经常收集学生在各类计算中出现的各种错误，加以分类剖析，可精心制作出一定数量的、带有各种计算错误的试题卡，分发给每位学生，让他们把题卡上的错误逐一更正，同时向全班说明每道试题的错误所在和产生错误的具体原因，有时学生犯的错误经老师指正后，再过一段时间他们又犯同样的错误，遇到这种情况时，教师千万不能急躁，要耐心疏导他们，帮助他们克服学习中的各种困扰，从而形严谨的纠错习惯。

总之，小学生良好学习习惯的培养是一个长期的过程，教师在教学中，要高度重视学习习惯的培养，努力地培养学生良好的学习习惯，让学生乘着良好习惯这艘帆船，乘风破浪，顺利地到达成功的彼岸！

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二十一世纪是信息时代，信息技术已应用于各行各业中。数学作为一门主课，传统的教学手段一直很单调，学生学起来枯燥乏味，从而直接影响学生的学习积极性，现代信息技术应用于数学课堂教学，给学生创设了大量的富有情趣的情景，满足了他们强烈的求知欲望，让他们感受到了丰富多彩的数学世界，使数学课不再显得枯燥乏味。教育信息技术的应用给数学教学改革带来了一片生机。为教学手段改进提供了新的机会，产生了不可估量的教学效果。

一、信息技术在数学教学中的作用

信息技术应用于数学课堂教学，让数学课不再枯燥无味，给学生创设了大量的富有情趣的情景，满足了他们的强烈的求知欲望，让他们感受到了丰富多彩的数学世界。因此，我们只要深刻理解现代化教育的本质，在信息技术辅助教学中继承传统教学的优点，努力探寻网络环境下新的数学教学模式，就能优化课堂教学，培养学生的创新思维，全面提高学生综合素质。

（一）信息技术为数学教师制作课件提供了所需的资料信息

制作多媒体课件，需要大量的资料及信息源。在传统的教学中，这种资料主要是通过书本、图片、录音和录像等有限的手段向学生传输信息，信息来源有限而且缺乏灵活性、方便性和交互性。我们可以利用现代信息技术，通过光盘、网络等途径获取文字、图像、声音、动画、视频，甚至三维虚拟现实等多方位信息用于课件制作，或直接取材于因特网，大大丰富了课件内容和表现形式。

（二）信息技术能全面优化数学课堂教学

通过精心准备，教学中可以借助电脑、投影仪等先进的多媒体手段，向学生展示图、文、声、像相结合的丰富多彩的教学内容，增大课堂语言流量及容量，从而可以优化数学课堂教学，提高教学效果。

1、 创设情境，激发学生学习兴趣

课堂教学中激发学生学习兴趣主旨在于调动学生的学习积极性，促进学生积极主动地探求知识。在数学教学中，如果把数学知识放在一个主动、活泼的情境中去学习，更容易激发学生的学习兴趣，而利用计算机教学可展示优美的图象、动听的音乐，有趣的动画，创设良好的教学情境，最大限度地激发学生学习兴趣。

2、 展现过程，深化认知，培养学生的思维能力

利用计算机的动画、渐变、叠加等效果和计算机的声像功能将知识难点和某些过程直观化，以多种媒体刺激学生的感官、深化认识程度，并通过揭示内在的规律和现象的过程，培养学生的思维能力。应用多媒体可以变静为动，加强对概念的理解；可以多方面，多角度地演示，强化算理教学；可以变静为动，突破教学重难点；可以变静为动，培养学生求异思维。

3、让数学走进小学生生活

数学产生枯燥乏味、神秘难懂的主要原因就是不够贴近生活。然而现实的生活材料，不仅能够使学生体会到所学内容与自己接触到的问题息息相关，而且能够大大调动学生学习数学的兴趣，使学生认识到现实生活中隐藏着丰富的数学问题。因此，数学学习材料的选择应十分注意联系学生生活实际，注重实效性。

二、怎样在数学教学中运用信息技术

（一）在创设情景时运用多媒体，激发参与兴趣

《新课程》倡导学生在情景中学习。调动学生的学习兴趣，有利于学生主动探究式学习，从而大大提高课堂教学效率。创设情景时，教师可以利用一幅美丽的图片或一段flash动画来展示要学的内容，激发学生学习的兴趣。

如：《两位数加一位数（进位加）》练习课的教学，我创设了一个故事情境——去数学宫。在此故事中有三个环节，第一个环节是在去数学宫的路上：坐着飞机出发了，途中三颗星星挡住去路。看到这生动的画面，孩子们不禁激动的叫起来。为顺利到达数学宫，要解决三个问题，孩子们毫不犹豫的充满了迎接挑战的激情。其中一个问题是“森林医生”，为树治病，给算式找错，并修改，小组交流再汇报。孩子们是乐于助人的，他们以“森林医生”的角色义不容辞的“为树治病”，每人争先恐后地出谋划策。第二个环节是进入数学宫的育苗门，电脑播放可爱的兔妈妈、兔哥哥和兔妹妹采蘑菇的对话。根据听到的对话中的问题列式计算。接着电脑又出示小熊的商店里有很多的体育用品，请小朋友们想，要买哪两样，一共花多少钱？跟你的好朋友说说。本环节利用一个生动活泼的童话故事，使学生不禁走入故事中，积极展示他们的智慧，解决故事中的问题。

（二）在导入新课时运用多媒体，激发学生兴趣

俗话说，良好的开端是成功的一半。一堂课巧妙成功的开头，能使学生的注意力很快集中到课堂教学的内容上去，能激发学生浓厚的学习兴趣和强烈的求知欲，并能创设良好的学习情境，使学生的学习状态由被动变为主动，在轻松愉悦的氛围中学到知识。正如著名的教育家多斯惠所言：＂教学的艺术不在与传授的本领，而在于激励、唤醒、鼓舞。采用多媒体教育技术，可以给学生提供实物图像、运动过程，利用放大、重复、慢性、定格特技手段使用教学内容形象化、直观化，对学生的感官进行路刺激，而创设一种学生喜闻乐见的、主动活泼的教学氛围，这样就增强了学生学习的兴趣。

如；我在讲“认识左右”时，一开始就展示一段动画：孙悟空与猪八戒分别在楼梯上下两端面对面站立，并且在激烈争论“靠右走”应走哪一边才对，孙悟空说这边，猪八戒说是另一边。我问学生：他们俩谁说的对呢？同学们能用什么知识帮助他们解决这个问题呢？就这样，立刻使整个课堂顿时活跃，不仅极大地激发学生学习兴趣，唤醒学生有意注意。在授课过程中我继续用多段动画作引导，使学生的心一直被教师引导着，教学紧凑，过渡自然，使教学过程顺利进行，还提高了教学效率。

（三）在讲解重难点时运用多媒体，有效地实现精讲，突出重点，突破难点

教学过程中，只有当学生掌握知识的重点，突破难点的情况下，才能谈得上提高教学质量。利用多媒体计算机突破教学过程中的重点、难点是很好的教学手段。

例如在教学“相遇问题”应用题时，运用软件直观演示辅助教学，创设情境，帮助学生较深刻地理解题目中数量间的关系。教师简单地操作鼠标，屏幕上首先出现了一条铁轨，上面有一辆火车从左往右地行驶，一会儿，另一辆火车也从右往左地驶过来，两列火车在逼真的火车运行时发出的声音中相对开出，直到相遇。这时屏幕上出示了一道应用题：“甲乙两列火车从两地相对行驶，甲车每小时行驶75千米，乙车每小时行驶69千米。甲车开出后1小时乙车才开出，再过2小时两车相遇。两地间的铁路长多少千米？”教师再操作鼠标，屏幕上出示了线段图，在线段图上分别标出了每小时火车所行的路程。这样难点在火车形象运行的动态演示和直观的线段图中得以解决，它比老师的任何解释都具有说服力，增强了感观上的剌激。演示一结束，学生们很快就列出正确的算式解答。因此，利用多媒体计算机辅助教学可以使学生清楚地掌握概念，获得正确的结论，并尝到成功的喜悦，强化了学习的兴趣。

（四）在练习反馈时运用多媒体，增加训练密度，提高教学效果。

数学是抽象的，小学生的思维是形象的。他们的抽象思维能力低下，抽象认识发展缓慢，有些知识很难用几句简单的介绍、片面、单调的话来让学生在内心世界形成完整的认识。而学生需要的形象的实物模型、彩色图片、文字说明等不一定都能找到，这样就会因为教学资料、器材的缺乏、不足而造成知识传授的不全面。而教育信息技术就可以弥补这个缺陷，我们可以从网上截取所需的任何资料，包括图片、文字、影片、声音、动画等等。有力的弥补了教学器材数量与质量的不足，提供了丰富的教辅工具。更重要的是，小学生心理和思维的发展所要求的形象性资料，是任何教师都无法估计和全部满足的，而运用教育信息技术制作的课件则具有很强的形象性、灵活性、多样性，它可以根据学生的年龄层次有针对性的选择，能把书本上简单或是抽象的知识变得生动、深刻、形象，很好的针对小学生形象思维发展快而抽象思维发展缓慢的心理特点进行信息的多元化处理，大大提高了课堂的教学效率。

（五）在学生注意力不集中时运用多媒体，调整学生情绪，促进学生主动、乐于参与

根据心理学规律和小学生学习特点，有意注意持续的时间很短，加之课堂思维活动比较紧张，时间一长，学生极易感到疲倦，就很容易出现注意力不集中，学习效率下降等，这时适当地选用合适的多媒体方式来刺激学生，吸引学生，创设新的兴奋点，激发学生思维动力，以使学生继续保持最佳学习状态。

如我在复习整理“几何知识”时，学生到课中时感觉较疲倦，为了吸引学生注意力，活跃课堂气氛，拓宽学生思路，我运用多媒体（电脑课件）出示了一道“阿凡提”运用数学知识解决实际问题的题：一天，地主给阿凡提一条16米的篱笆，要把占地面积18平方米的羊群圈住，阿凡提算出了篱笆围成的长方形和正方形，面积都不够18平方米。同学们一看，兴趣来了，根据阿凡提的思路互相讨论，思考其他情况。这样就让学生在开放自由的情况下集中地解决了该题。

（六）在自主学习中利用信息技术进行探索学习，合作交流

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[关键词]高中数学 三角函数 学习体会

中图分类号：G63.8 文献标识码：A 文章编号：1009-914X（2016）29-0259-01

引言

在我们从初中迈入高中后，首先要学习的函数知识就是三角函数。与初中学习的函数不同，三角函数具有多对一的特点，为学生的学习增加了很大的难度。三角函数知识是几何和代数的过渡部分，是运用数形结合法的关键内容。我在此把自己的心得体会进行如下的总结，以期帮助各位学生们更好的理解和掌握这部分重要知识。

一、端正态度，养成良好的学习习惯

如果我们具有自信的态度和良好的学习习惯，就一定会在学习上获得很大的成效。我们要努力提升对学习的兴趣，树立坚强的毅力和决心，实事求是，多思考，多探索，要全身心的投入到学习中去。我们要养成以下几个学习习惯：

一是良好的预习习惯。预习就是课前自学，预习时就会有疑问，带着这些疑问去听讲就会有所感悟，从而解答自己的疑惑，提升课堂效率；

二是仔细审题的习惯。审题是解答问题的首要阶段，三角函数数学题一般都是由文字、符号及图形语言组成的，我们在拿到题目时，应该逐字逐句的仔细审查，认真的推敲，找出题目中的隐含条件，逐渐摸索出解题思路，磨刀不误砍柴工，一定不能对题意理解含糊时就仓促做答，否则也极易出现错误；

三是良好的演算和检验习惯。学习数学离不开计算能力，学生们要勤动手，切忌眼高手低，不但要学会笔算，还要能够心算和口算，逐渐提高运算速度，面对复杂运算时也不要慌乱，耐心的寻找简捷做法；

四是勤做笔记的习惯。教师有时为了能让学生更好的理解和掌握知识，会补充一些教材以外的内容，这就需要学生们做笔记，否则忘记了就没办法复习，而且在做笔记就是让学生参与到课堂教学中，有助于加深他们的理解；

五是总结学习心得的习惯。写心得就是加强对学习认识、总结经验教训、培养数学思维的过程，把数学知识系统的概括、分类和延伸，对学习数学的方法不断提升，形成独特的探索精神。

二、必须牢固掌握三角函数公式

三角函数这个章节主要分为任意角的三角函数、两个角和与差的三角函数以及三角函数图像和性质这三大模块，其中三角函数的基本公式是解决问题的关键。随着学习的逐渐深入，许多学生由于对三角函数最基本公式掌握的不牢固，造成了往后的学习困难，跟不上学习进度。因此，我们必须要牢记这些基本的公式，只有基础打好了，后面的学习才会畅通，例如倍角半角公式、和差化积与积化和差公式，必须要付出足够的精力和时间来记住它们，并通过习题灵活熟练的使。勤能补拙是良训，万栋高楼平地起，要想学好三角函数知识，必须要首先做好这个最本的功课。

三、掌握基本的解题方法

在解答三角函数题目时，有很多基本的解题思路，我们可以从公式推导过程中探析规律，依据三角函数在函数名称、代数结构及角的类别的差异，准确的选用公式。在解决题目时，我们一般都是要运用基本公式求解未知角，在解答最值和周期问题时，则要把表达式变为三角函数的形式。数形结合、特殊值、消参、代入、排除法等都是很常用的解题方法，我们都要学会灵活的运用。在学习函数时，首先要学好定义，定义一般都是通过函数式表达的，而且其中的参数通常会有一些限制范围，例如一次函数y=ax+b，a≠0，学生们都知道定义域优先的原则，但在实际解题时就经常没有注意，如果忽略了定义域，这个函数的定义也就不完整了。

四、注重运用比较的学习方法

所谓比较法，就是根据函数定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、图形变化等内容，把三角函数同其他类型函数进行对比，从而使学生对各种函数的异同点认识的更加深入，进而更好的运用。我们应该注意三角函数的以下两个特点：一是三角函数的图像和性质。三角函数的图像具有直观化，能够形象的展示出函数的各种性质，对于性质的学习一定要紧紧围绕函数的定义，根据定义解答三角函数的各种问题。在学习三角函数图像y=Asin（ωx+φ）时，一定要弄懂它与y=sinx图像的变化关系，明确各字母表示的含义。二是三角函数式的变化。对三角函数式的变化，需要运用很多相关的公式，我们在学习时一定要掌握其中的特征，根据特征进行记忆和运用，准确的选用公式，另外还要仔细观察三角函数式的差异，从而得出变化方向和方法。

五、系统的归纳总结

三角函数的公式非常多，有很繁琐，容易给学生们带来困扰，而且随着时间的推移，也很容易忘掉。但是，如果我们对其深入的研究就会发现，例如只要我们使用诱导公式，就能把任意角的运算转变成0°～90°角的三角函数。因此，我们善于归纳总结三角函档母髦痔氐悖从而把复杂的问题变为基本问题，进而准确的解答。举例来说，我们一般都用y=f（x）来表示函数，其中的x为自变量，y为函数，f则表示对应关系，我们在初中学习三角函数时还没有这些内容，只在直角三角形学到了锐角α的正弦、余弦和正切，高中数学把其扩展到了任意角，三角函数的定义还是运用的这个角，只是定义方式有所不同，是用解析角终边上任意点的坐标和这个点到坐标原点的距离来定义的，这样才在学习三角函数图形和性质时，解析式写为y=sinx、y=cosx。同理，在学习其他三角函数内容时，我们也要及时的总结，并与做习题有效的联系起来，并且我们应该多做中等难度的习题，然后再考虑那些过于繁琐和很偏的问题。

结语

总之，虽然高中数学知识增多了，难度也变大了，要求我们具备更强的逻辑思维能力，但是只要我们在学习时多观察、多记忆、多思考、多练笔、多总结，就一定会取得优异的学习成绩。三角函数时高中数学知识的关键内容，我们要信心饱满的进行学习，不但要把它学会，更要会学，勤于反思和总结，从而让我们的学习取得事半功倍的良好效果。

参考文献

[1] 袁娜.三角函数内容的浅显分析[J].教育教学论坛，2012，5（25）：249-250.

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关键词：小学；数学；学生；学习；习惯；培养；经验；策略

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2014）05-0197-01

一、培养学生良好的预习习惯

在传统的数学教学中，教师往往会忽略学生的自主性学习，而过多的注重自身的备课以及课堂的教学工作。这样一来就导致学生在学习的时候比较被动：往往是在上课的时候才知道今天要学习什么内容，没有足够的时间、空间进行自身的理解与消化。所以在新时期，就需要我们能够重视学生的课堂主体地位，培养学生良好的自主学习习惯。首先就要引导学生养成良好的预习习惯：在课前的时候就对于要学习的知识进行一遍熟悉，这样以来就能够理解本节知识的重点难点，在课堂上能够有重点的进行听课，对于问题进行解决，提升学习的效果。

二、培养学生良好的行为习惯

小学生往往比较好动，在课堂上小打小闹、做小动作的不在少数，这样以来不仅会影响到自己的学习，而且还会影响到旁边其他同学的学习，影响班上的学习氛围以及课堂秩序。所以在教学中教师还要引导学生养成良好的行为习惯，遵守课堂纪律，以便能够为课堂学习创设良好的学习环境，促进学生学习的有效进行。比如教师就可以让一些上课比较“活泼”的学生轮流来当“值日班长”，监督大家的学习，这样一来，就能够引导他们从自身做起，养成良好的行为习惯。

三、培养学生良好的坐姿习惯

小学生的骨骼正处于发育阶段，柔韧性非常好，但同时也非常容易受到“冲击”。小学生在读写时如果坐姿不正确，久而久之，将养成不良的坐姿习惯，很有可能造成骨骼的变形，不利于身体保持平衡，出现驼背或肌肉疲劳等症状。为了改变这种不良习惯，我们在课堂上经常要用一句话来提示学生，“坐如钟”一句简短的语言，能提醒学生及时改变不良的坐姿

四、培养学生良好的书写习惯

首先，重视学生书写的姿势，养成良好的书写习惯。我们来分析为什么有的学生书写不规范，而且书写质量很差，这跟书写习惯养成有密切关系，那么我们必须重视学生书写姿势的培养。严格要求，反复强化。良好习惯的形成是通过训练不断强化的结果。如：坐时要端正，腰杆挺直，要求眼睛视线与水平面接近直角，距离在1厘米左右，这样既保证了脊椎正常发育，又做到了用眼卫生，书写时不要求多，也不要求快，一定要让学生形成严谨认真的书写习惯。除严格之外，还有一个反复强化持久要求的问题，只有反复不断地强化练习，才能使学生逐渐适应，最终才能养成习惯。所以书写习惯的培养就成为我们课堂教学中必不可少的内容。在课堂上只要是提笔书写，我就让学生想口诀：书写要做到三个一：“眼离书本一尺远，胸离书桌一拳远，手离笔尖一寸远”。使其受益终身；然而良好书写习惯的养成也是非常困难的。但是我们坚信，只要锲而不舍，良好的书写习惯就必然会逐步形成。

五、培养学生良好的审题习惯

低年级的数学知识往往是与数字打交道，所以在教学的过程中教师要培养学生认真审题的习惯，很多学生往往会不在意审题，特别是对于计算题，有的学生提笔就算，加上计算比较单调枯燥，可能引起心理疲劳，遇上相似或相近的数字、符号，往往出现运算顺序错误，抄错符号或抄错数据。还缺乏良好的计算习惯，尤其是学生学习了混合运算之后，先后顺序搞不清楚。因此，在教学过程中，应培养学生认真审题，看清题目中的每一个数据和运算符号，再进行计算的良好习惯。认真读题，抓住关键字眼，找出已知条件，认真分析，每道题至少读两遍，达到题意弄明白方可解答。

六、培养学生良好的思考习惯

《论语》中说“学而不思则罔”，只学习不思考、不进行总结就会感到迷惑，所以在教学中教师要培养学生养成认真思考的习惯，应用题的解答需要一定的思考时间，因此我们教师在平时的学习中，要培养学生学会认真思考。认真检查的习惯，对于低年级的学生，具有一定的难度，学生往往不愿意检查，也不会检查。既然学生在这一方面有欠缺就需要教师在平时的学习中，多指导、多引导，教给学生正确的检查方法，在检查中使学生意识到认真检查的重要性，从而能坚持认真去做。

七、培养学生良好的合作习惯

“独学而无友，则孤陋而寡闻”，在学习的过程中，如果没有良好的合作能力以及学习氛围，学生就很难进行有效的学习。特别是在小学时期，学生的容易受到周围环境的影响。所以在教学的过程中，就需要教师能够引导学生养成良好的合作习惯，在遇到难题的时候能够和身边的同学一起进行思考、探究、解决，使他们能够养成良好的合作习惯，促进学习的有效进行。

八、培养学生良好的复习习惯

根据相关的科学研究表明，人的记忆力是有规律的，小学生的记忆也是如此：学得快，忘的也快，所以在教学的过程中，教师就要根据科学的记忆规律来引导学生进行及时的复习巩固，以便学生学习的知识能够更加牢固、更加有效。 “熟能生巧”，复习的多了，相信学生也就能够更好的进行运用，提升他们的综合能力。

参考文献：

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【关键词】小学数学 继承 创新

一、双基的培养是创新的前提和基础

课堂教学的基本任务是基础知识的掌握和能力的培养。应该说，没有基础知识，没有扎实的基本功，就谈不上能力的培养。一方面，在数学教育中，没有坚实的基础知识，其能力的培养就就不可能达到理想的效果。另一方面，创新的实施是能力的培养，而能力的培养必须在夯实基础的前提下才能实现。

二、教师的教是学生掌握双基的前提条件

教师在教学中是主导地位，学生是学习的主体，两者之间相辅相成，缺一不可。试想，在小学数学教学中，教师如果不注重打基础，不把该讲的都讲清楚，学生真的都能自主学习，进行创新吗？事实上，除了一些极其简单的内容外，绝大多数的内容必须要教师能够认真地把问题讲清楚，把课讲得通透，否则学生就会很难理解、接受，也就不可能会到达一个良好的教学效果。当然，在这里也不排除一些智商或者是天赋极高的优秀学生可以通过自主学习就达到教学目标。

单独对两位数学成绩和智力条件基础差不多的学生教学苏教版数学一年级下册的《认识长方形、正方形和圆》这一节课，在纸上把长方体上的一个平平的面画下来，所得到的一个图形就是长方形；把正方体上的一个平平的面画下来，所得到的一个图形就是长方形；把圆柱上的一个平平的面画下来，所得到的就是一个圆了。在这样的情况下，其中的一位学生马上就掌握了，并且很快就做完了相关的习题，这位学生所用的时间不到二十分钟。而对另一位学生，教师从长方形、正方形和圆之间的区别：长方形、正方形的四周都是直的，圆的周围是弯曲的；到在钉子板上围长方形，把围好的长方形变成一个正方形，渗透长方形、正方形之间的联系与区别；再到从同一个长方体上最多可以画出几个不同的长方形，最少可以画出几个不同的长方形，从同一个正方体上可以画出几个正方形。把这些内容都讲清楚了，再叫这位学生去解题，所花的时间为四十分钟左右，明显要比前一位学生要多。从表面上来看，两位学生都认识了长方形、正方形和圆。但随后，教师拿出一个有关长方形、正方形和圆的综合题，叫这两位学生来解答，结果前一位学生只能把图中的长方形、正方形和圆找出来，而下面的问题就不会做了，而另一位学生则把整个题目都完整无误地解答了出来，差距是如此明显！

这个实验充分地说明，教师在没有把问题讲清楚的情况下，就引导学生用大量的习题进行针对性的练习，对学生而言，是在什么都不懂的状态下进行的一种机械性的模仿。出现上述情况的根源就在于没有处理好“继承”和“创新”的关系。因此，正确处理“继承”和“创新”的关系是当务之急。

三、处理“继承”和“创新”关系的几点思考

第一、注重心理换位，以缩小教师和学生的思维偏差，为学生适度并及时地进行创造性思维创设了优良环境。著名心理学家罗杰斯强调，在教学过程中，只有让学生处在一种无拘无束、自由畅达的空间，他们才有可能尽情参与、自由表达；只有在宽松、民主的氛围下，才能激活学生的创造性思维的细胞。

第二、注重观察引导观察。既培养学生观察的兴趣和习惯，更教给学生科学的观察方法，为学生的创新思维奠定基础。观察是思维探索的大门，没有观察就不会有发现，更不可能有创新。通过观察可以发现问题，思考问题。同时对观察到的现象进行适当的信息分析，也容易触发对一般结果的猜测和对深层次问题的预感，这就是一种创新意识。

第三、注重“新奇”，引导学生养成不满足于问题的简单解决的良好习惯，努力培养学生的好奇心，鼓励学生不墨守成规，启发学生打破常规思维的框框，为学生的创新思维提供有力保障。

第四、注重质疑能力的培养，教学中通过找“疑”，师生间、学生间互相质疑等，努力培养和提高学生的质疑能力。在学生求知的过程中，小学生属于不成熟的个体，在探索中出现这样或那样的错误是在所难免的。教师不要急于评价，急于给出标准答案，而是应该帮助学生分析错误的原因，从而让学生以积极的态度去承认并且改正错误。走进我们的课堂，学生“越雷池一步”的想法是异常多见的，但教师往往有意无意地把它纳入自己的思维模式而加以扼杀了，挫伤了学生的创新精神，错失创新的良机。