三角函数变换规律范文

导语：如何才能写好一篇三角函数变换规律，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：高中数学；三角变换；解题方法

中图分类号：G632.41 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2012）04-0116-02

由于三角函数的变换具有种类多而且方法灵活多变的特点，所以很难让学生真正的掌握。但是三角变换中的基本规律和思想却是不变的，我们可以把这些规律概括为公式间的联系和运用这两种。

一、三角函数变换中常见的几种类型

1.“角”度的变换。在进行三角变换解题的过程中，三角函数中角度变换，主要体现在差角、和角、半角、倍角、余角、凑角、补角等之间相互的转换，角度的变换起到了纽带的作用。随着三角函数角度的变换，函数的运算符号、名称以及次数等都会有一些相应的变化。在对三角问题进行求解的过程当中，由于表达式时常会出现许多相异角，因此，我们就要根据三角角度间和、差、倍、半、补、余、凑等关系，用“已知角”来表示“未知角”，然后再进行相关的运算，使三角变换的问题可以顺利的求解。

2.函数名称的变换。在函数名称变换中，最为常见的就是切割化弦，这时，我们一般都会从化函数或是化形式方面着手。在三角函数当中，正弦和余弦是六个三角函数中的基础，它们的应用也是最为广泛的，其次是正切。通常来讲，在进行三角问题求解的过程当中，时常会出现一些不同的三角函数名称，这时就需要我们把这些不同的三角函数名称转换成同名的三角函数，我们最常见的转化方式就是“切割化弦”与“齐次弦代切”。

3.“形”变换。在我们对三角函数进行化简、求值或是证明等运算的过程中，有时会根据相关的需要将一些常数如1，■，2+■等转化成相关的三角函数，然后再利用相关的三角函数公式进行运算。在这些常数当中，利用常数1来进行三角函数变换运算最为普通和广泛。在进行三角变换时，我们运算时一定要遵循由繁到简、由简而易的的规律，只有这样我们才能在众多的三角函数公式中找出相关的解题思路，才能明确解题的目标，从而顺利的解题。

如：2009年辽宁高考文科试题中，已知tanθ=2，则sin2θ+sinθcosθ-2cos2θ=（）

A：■B：■C：-■D：-■

分析：利用已知条件，我们很容易想到这道题需要进行“弦化切”，因此，我们利用已知整式中分母为1的条件，将“1”转化为sin2α+cos2α，从而进行解答。

二、三角函数变换的几种常用解题方法

1.“弦函数”与“切函数”间的相互转换。“弦函数”与“切函数”之间互相的转换是我们平常对三角函数问题进行解答时，常用的两种函数转化的基本手法。若是在三角函数式当中存在着正切函数，我们就能让学生在解题的时候，利用三角函数之间最基本的关系或是让“弦函数”转化成为“切函数”等方式来进行对题目的求解或证明。

2.角的等量代换。在我们解决三角函数的问题过程中，要重点的注意已知角同所求角间的相互关系，适当的使用拆角和拼角的解题技巧。就像α=（α+β）-β=β-（β-α）=■+■或是2α=（α+β）+（α-β）或是2β=（α+β）-（α-β）等。

例如：已知3sinβ=sin（2α+β），求证tan（α+β）=2tanα

证明：因为β=α+β-α，2α+β=α+β+α

所以3sinβ=sin（2α+β）

由此推出3sin（α+β-α）=sin（α+β+α），所以3sin（α+β）cosα-3cos（α+β）sinα=sin（α+β）cosα-cos（α+β）sinα，因此推出2sin（α+β）cosα=4cos（α+β）sinα，所以得出tan（α+β）=2tanα。

3.公式的逆用和变用。我们在对三角函数的问题进行解题时，时常会遇到需要对三角公式进行变用或逆用的情况，尤其是公式的变用，常常会因学生的不够熟练出现错误。因此我们要让学生能够熟练的运用2sin2x=1-cos2x以及2cos2x=1+cos2x这些三角函数的公式。

4.引入辅助角公式。辅助角公式的引入，是在三角函数变换过程中，两角和同两角差之间正弦或是余弦公式形式的变换，它是求三角函数的单调区间、周期等时最为重要的解题手段之一，就像我们将三角函数式asina+bcosα转变为■sin（α+φ）的形式，在这个三角函数式里φ被称为辅助角，而这个辅助角的大小则是由tanφ所决定的，它的象限就是由a、b两个符号所确定的。

例如在2009年重庆高考文科卷2试题中，设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω>0）的最小正周期为■。

（1）求ω的值；

（2）若是y=f（x）的图像往右平移了■个单位长度得到了函数y=g（x）的图像，则求函数y=g（x）的单调增区间。

解：（1）f（x）=sin2ωx+cos2ωx+sin2ωx+1+2cos2ωx

=sin2ωx+cos2ωx+2=■sin（2ωx+■）+2

则T=■=■，则解得ω=■

解（2）得g（x）=■sin[3（x-■）+■]+2

=■sin（3x-■）+2

由于2kπ-■≤3x-■≤2kπ+■，（k∈Z），所以■kπ+■≤x≤■kπ+■，（k∈Z），所以y=g（x）的单调增区间就是[■kπ+■，■kπ+■]

综上所述，无论对三角函数进行求值、化简还是证明，其解题的过程都会是从已知向未知进行转化的过程，所以，我们要从中找到它们之间的差异，才能顺其自然的对三角函数进行转变。

参考文献：

[1]葛志峰.三角变换的类型与技巧[J].读与写（教育教学刊），2007，（5）.

[2]祁正红.从一道高考题谈三角变换技巧[J].数理化学习（高中版），2007，（18）.

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数学复习课案例反思我所教的班级全部由艺体生组成，学生的数学基础普遍较差，这就要求我们在课堂教学中不仅要完成好现有的教学任务，还要不断地巩固初中的数学知识，如何提高学生的学习兴趣，也是我要重点考虑的问题。首先，行为导向分层次教学，给每个学生在他的能力范围之内定一个考试的目标，哪些题是他得分的重点，哪些是他可以放弃的，通过反复训练，学生能从中找到解题的方法与规律。其次，从整体上把握知识之间的关联性，结合生活中的实际，使学生感受到数学逻辑思维的乐趣，让他们用发现的眼光去体会生活中数学是无处不在的。下面就一堂高三总复习的《三角函数与平面向量专题》的复习课谈一点认识与体会。

三角函数是考试的重点，也是我们得分的关键，由于已经是第二轮复习，学生对于公式，定理的掌握基本熟练，我给他们准备了导学案，要求课前完成。

题型一：三角函数的化简求值问题

此题是三角函数公式，定理的考查，两角和差的三角函数公式的内涵是“揭示同名不同角的三角函数的运算规律”，对公式要会“正用”“逆用”“变形用”，记忆公式要注意角、三角函数名称排列以及连接符号“+”，“－”的变化特点。在使用三角恒等变换公式解决问题时，“变换”是其中的精髓，在“变换”中既有公式的各种形式的变换，也有角之间的变换，本题的易错点是符号，角的关系，为了巩固知识，安排了一个变式训练1：

此题的已知条件较少，难点是第二问，求解三角函数式的取值范围，首先要根据三角形内角之间的关系进行化简，然后根据已知条件确定角A或角C的取值范围，要利用锐角三角形的每个内角都是锐角，构造关于角A的不等式确定其取值范围，最后利用三角函数的图像和性质确定三角函数式的取值范围，大部分的学生忽略了角的取值范围，这也是在今后的教学中要重点提醒学生要注意的地方。

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【关键词】三角函数 真实感 海浪 建模

1 引言

虚拟现实是当前最热门的技术之一，随着《阿凡达》、《侏罗纪公园》、《星际穿越》等3D电影的普及，虚拟现实技术及行业迎来了前所未有的发展机遇，目前正面临着爆炸式增长。形象、逼真的三维真实感图形建模是虚拟现实的基础，也是其“沉浸感”体验的前提，广泛应用于影视、游戏、医学等领域。三维真实感图形建模与物体所遵循的物理模型密切相关，如海浪波动、导弹飞行、车辆运动等，分别遵循波动理论、飞行动力学、碰撞理论等的约束。只有遵循严格的物理规律，才能有效模拟出逼真的三维模型。

三角函数是一类经典的数学函数，包括正弦、余弦、正切、余切以及它们的反函数等，各类三角函数间有着复杂的变换关系，如和差关系、倍角关系、半角关系、和差化积关系等。同时，三角函数也是一类典型的波动类函数，通过不同频率、相位、振幅的三角函数运算，可以生成不同类型的波函数。因此，三角函数也是波动类真实感图形建模的数学基础，如海浪、电磁波、舞动的旗帜、毛发、飘动的衣物等。

本文对三维真实感图形建模中的一个典型问题――三维海浪的建模进行了研究，分析了海浪建模中的三角函数及其数学描述，基于三角函数建立了海浪波动的物理模型，给出了三维海浪的绘制方法，并基于三维建模软件OpenGL进行了仿真实现。

2 海浪建模中三角函数的数学描述

选取与海浪建模密切相关的三角函数进行讨论：

・时间自变量三角函数描述：

（1）

其中：A为振幅，ω为角频率，φ为初始相位。此公式可理解为波动类物理现象的基本描述，包括电磁波、水波、声波等，复杂的波动方程是该公式的变换叠加。

・和差运算：

三角函数的和差运算主要用于三维建模中的旋转变换，通过极坐标形式，推导出变换前后的对应关系。以下是由公式（2）推导出的二维旋转变换关系（限于篇幅，推导过程略）：

其中，点P1是点P围绕原点旋转β角得到的新点，P1x、P1y分别是点P1的x和y坐标，Px、Py分别是点P的x和y坐标。三维旋转比较复杂，但可以此类推。

3 基于三角函数的三维海浪建模

海浪的本质是一种水体波动，因此遵循波动约束，对海浪进行仿真模拟，必须遵循其物理运动规律。

3.1 海平面三角函数建模

首先定义坐标系：在海平面上，坐标原点为当前视点，X轴正方向为水平向右，Y轴正方向为竖直向前。设海平面是一个等间距采样的网格点，网格交叉点处的Z值为水体高度。如图1所示。

3.1.1 单个波仅沿坐标轴一个方向传播

在X轴和Y轴上传播公式如下：

其中： A为最大振幅，k=2π/λ为波数，λ为波长；ωi=2πf为角频率，f为频率；φ为初始相位。

3.1.2 单个波在坐标平面内传播

单个波在坐标平面内的传播是X轴和Y轴传播的叠加，如下：

其中：θ为波的传播方向与X轴的夹角，其他参数含义不变。

3.1.3 海面波动模型

依据波动理论，将海浪形成过程分为两步：一是不同波长、振幅的一系列波的叠加；二是相同波长但具有不同的传播方向即与X轴的夹角不同的波的叠加。

设网格交叉点处（x， y）的水体高度初始值为A0，则对于海面点（x， y）在t时刻对应的瞬时波高可表示成：

其中：n为不同波长的波数量；m为同波长沿不同方向传播的波数量；A0为初始浪高；Aij为最大振幅；ki=2π/λi为波数，λi为波长；ωi =2πfi为角频率，fi为频率；θj为波的传播方向与X轴的夹角；φij为初始相位。

3.2 三角形组网

公式（6）给出了海平面的波动模型，基于该公式，我们可以仿真海平面任意时刻、任意位置的海浪波高。现对海平面网格进行三角形剖分，以形成几何模型。其剖分规则为：将正方形网格对角顶点按统一方向相连，从而将每一网格规则剖分为两个三角形。如图2所示。

三角形组网完成后，海面将形成由连续三角形组成的网面，每个三角形顶点的高度坐标由公式（6）决定。此时，海面的波浪起伏状态已经完成计算与建模，只需将三角形网按照图形显示的规则进行绘制即可（通常可借助三维图形建模与绘制的工具软件，如OpenGL）。

3.3 实验结果及其分析

在公式（6）中，在零时刻取A0=0、n=40、m=10、Aij=random（0， 1）、ki= random（5， 10）、θj= random（0， 2π）、φij= random（0， π/2）；在采样网格点数为400×400条件下，基于三维建模软件OpenGL模拟生成了动态海浪，如图3所示。

图3是三维海浪的模拟效果。其中，图3（a）是线框模式，从中可以清楚看出海面网格在公式（6）的作用下，其网格点的高低起伏状况；图3（b）是纹理填充模式，在纹理和光照条件下，较好地模拟了真实海浪。从图3可看出，基于三角函数的海浪模拟可获得较高的真实感，随着参数选取的不同，可生成多种类型效果。进一步的考虑是，将风的因素融合进公式（6），从而引入浪的卷曲和泡沫化等特效。

4 结论

三角函数是一类经典的数学函数，由于其具有波动性质，可有效用于波动类三维图形建模。本文对三角函数在真实感三维海浪建模中的应用进行了研究，给出了建模与绘制方法，最后进行了仿真实现。进一步的工作是将该建模方法扩展至电磁、震动等领域的仿真模拟。

参考文献

[1]郭宇承，谷学静，石琳.虚拟现实与交互设计[M].武汉大学出版社，2015（07）.

[2]唐荣锡，汪嘉业等.计算机图形学教程（修订版）[M].科学出版社，1990（04）.

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一、 三角函数教学困难

1.概念记忆困难

虽说高中生已经具备了学习三角函数的基础，但很多学生对三角函数的概念还是一知半解，对各种诱导公式、转换公式的记忆相当模糊.初中的三角函数注重考查学生对有关公式的理解，而高中的三角函数更多的是考查学生对公式的应用和变形.高中的三角函数教学是从对简单函数的推导和变形开始的，要求学生有较强的推导能力.如果学生对三角函数的学习仅仅停留在记忆上，却忽略对三角函数方程式和几何意义的理解，必然难以学好三角函数.

2.公式推理困难

在高中三角函数教学中，正弦定理、余弦定理、诱导公式、和差角公式、二倍角公式、三倍角公式、和差化积公式、积化和差公式等一系列公式的推理给学生带来了巨大的困难.很多学生在做题的过程中，难以确定具体的公式内容，自然也就难以学好三角函数.如此众多的公式要求学生准确快速地反应、记忆，必然是难以实现的，教师必须寻求高效的公式转换记忆策略.

3.综合运用困难

三角函数的知识已经渗透到高中数学的方方面面，无论是填空题、计算题还是简答题，都离不开它的帮助.笔者在长期的三角函数教学中发现，很多学生难以意识到何时该用三角函数求解，特别是对于一些隐性的函数问题.此外，很多学生虽然意识到要用三角函数知识，却不清楚具体该用哪一类.高中数学对三角函数的考查往往是综合、全面的，这就要求学生必须熟练掌握各类三角函数的概念、性质、诱导公式等.同时，三角函数与向量、几何图形、重要不等式、二次函数等知识也有着密切的联系，教师必须对学生实施综合的三角函数教学.

二、三角函数教学策略

1.巧施策略，深化学生记忆

对于三角函数的教学，首先要保证的是学生对各类三角函数的定义、公式的记忆.只有学生记得熟、记得准，在函数解题中才会更加得心应手.笔者相信，结合三角形的边角知识对学生进行三角函数定义的教学应该不是问题.笔者在此将对三角函数的诱导公式进行总结，为学生提供巧妙的、深刻的记忆方法.

例如，在三角函数的诱导公式教学中，笔者常常假设一个任意角α，要求学生掌握这些诱导公式的记忆，如sin（2kπ）=sinα、tan（2kπ）=tanα等.对于此类公式的记忆，笔者提出：终边相同的角为同一三角函数.又如，sin（π+α）=-sinα、cos（-α）=cosα、sin（2π-α）=-sinα、sin（+α）=sinα等.因此，我们得到以下记忆规律.

①奇变偶不变：对于三角函数中的变角±α，当k为奇数时，需要变换函数类型；当k为偶数时，函数类型不变.

②符号看象限：诱导公式的正负号是视α为锐角时得到的函数值的正负而定.

③一全正，二正弦，三两切，四余弦：这是用来记忆各类三角函数在各个象限里的正负号规律.

此外，对于一系列复杂的三角函数公式（如：sinα=3sinα-4sin3α、sinαcosβ=等）、三角函数的半角公式、多倍角公式及和差化积公式等，我们必须实施推导教学，将各类三角函数公式的推导过程传授给学生，使学生在遗忘的情况下，也可以进行自主推导和验证，从而达到高效记忆的效果.

2.精选习题，三角函数解题技巧教学

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一、2008年高考选择题的分析和预测

从2007年山东省的高考试题来看，选择题中理科全部属于容易题、文科容易题占83%，普文压轴题第22题难度系数只有0.42，属于中档题，总体来看试题难度适中，为保证试题有适当的难度和区分度，预测2008年高考试题的难度要保持平稳，因为2008年是“奥运”年也是素质教育第一年.命题在创新方面会适当加大力度.创新只可能是一个点而不是面上的问题.高考中命题时将以5∶3∶2原则，并且多考想、少考算，体现数学的逻辑性、严密性.高考数学题会绵里藏针，题目似乎见过，但又有区别，不会呈现各种材料中成题，而是把成题进行变化、变活，可能对同一个知识点进行变样叙述、换个说法,因此,在考试复习中要抓纲靠本，对课本知识进行重新组合，适应高考题中变样说法.同时要注意细节变化,以不变应万变.命题会注重基础，抓变化，在教学内容中重点要把知识和能力融合为一体；几个相近或相关连的知识点融合为一体.突出主干知识，着重不刻意追求知识覆盖率.在考查中函数内容上升，立体几何考查已有所减弱.注意新旧知识链接,新课程教材相对于以前的教材增加了很多内容:幂函数、函数零点与二分法、三视图、算法与程序框图、基本算法语句、回归分析与茎叶图、几何概型、全称量词与存在量词、定积分与微积分（理）、合情推理与演绎推理、条件概率（理）、流程图与结构图（文）、正态分布（理）、独立性检验.这些内容有些虽然考纲要求不高，在教材中所占的课时数也比较少，但是高考考查的机率很大，去年山东卷主要考查了幂函数、函数零点与二分法、三视图、算法与程序框图、基本算法语句、全称量词与存在量词、条件概率（理）;控制新增内容比例，要保证新课改正常进行.当然，试题难度在命题时是很难把握的，只有全面掌握基础知识、基本能力，才能在高考中正常发挥水平.

二、2008年高考对解答题主体内容考查方向的分析和预测

由2007年高考山东卷来看，新课程高考卷解答题考查的主体内容有：三角、数列、概率统计、立体几何、解析几何、函数导数不等式.预测2008年考查的主体内容不会有太大变化，只是考查的顺序和考查的角度稍做调整.下面分别对各主体内容作简要分析和预测.

（1）三角部分

在高考试题中属于中低档题，题目难度不大，最近几年选择题型较多，填空题少，解答题一般位置靠前.三角函数考查的重点内容是三角函数的图象和性质、三角恒等变换、正余弦定理.预测2008年高考三角部分的命题会侧重于考查三角形中的三角函数问题.三角部分以“变”为主线、抓好训练.变是本章的主题，在三角变换考查中，角的变换，三角函数名的变换，三角函数次数的变换，三角函数式表达形式的变换等比比皆是，在训练中，强化变意识是关键，但题目不可太难，较特殊技巧的题目不做，立足课本，掌握课本中常见问题的解法，把课本中习题进行归类，并进行分析比较，寻找解题规律.

分析高考题目，还要强化变角训练，经常注意角间关系的观察与分析.如何把一个含有不同名或不同角的三角函数式化为只含有一个三角函数关系式的训练，这是高考考查的重点.同时应掌握三角函数与二次函数相结合的题目.

基本的解题规律为：观察差异（或角，或函数，或运算），寻找联系（借助于熟知的公式、方法或技巧），分析综合（由因导果或执果索因），实现转化.在三角函数求值中的解题思路，一般是运用基本公式，将未知角变换为已知角求解；在最值问题和周期问题中，解题思路是合理运用基本公式将表达式转化为由一个三角函数表达的形式求解.

立足课本、抓好基础.从前面叙述可知，我们已经看到近几年高考已逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，而重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能的考查上来，所以在复习中首先要抓好基础.在考查利用三角公式进行恒等变形的同时，也直接考查了三角函数的性质及图象的变换，可见高考在降低对三角函数恒等变形的要求下，加强了对三角函数性质和图象的考查力度.

（2）数列部分

在2007年新课程高考卷中，数列考查的重点集中在：等差数列、等比数列的概念、性质、通项公式、前n项和公式这些知识点上.预测2008年数列部分小题有可能在数列与程序框图、不等式等知识的交汇处命题。解答题的热点是灵活运用等差、等比数列的性质.

有关数列题的命题趋势

①数列是特殊的函数，而不等式则是深刻认识函数和数列的重要工具，三者的综合求解题是对基础和能力的双重检验，而三者的求证题所显现出的代数推理是近年来高考命题的新热点.

②数列推理题是新出现的命题热点.以往高考常使用主体几何题来考查逻辑推理能力，近两年在数列题中也加强了推理能力的考查.

③求数列通项公式和利用错位相减法求前n项和也是命题的热点.

（3）概率统计部分

文科在这块内容中，共学习三章（必修3两章：统计、概率，选修1―2：统计案列）.由于文科的统计比概率的课时多，所以2008年高考不排除解答题考统计的可能.

理科数学这块内容共四章（必修3两章，选修2―3两章）.考查的重点是古典概率与事件的互斥与独立、独立重复试验概型、随机变量的分布列及其期望和方差.

（4）立体几何部分

该部分文科考查的重点有三视图、表面积和体积的计算、平行与垂直的证明.理科考查的重点除以上几点外，主要还有利用空间向量解决空间角的问题.预测2008年立体几何解答题，文科会重点考查平行与垂直的证明及表面积和体积的计算，理科会重点考查平行与垂直的证明以及求二面角问题.另外，立体几何中的探索性问题将是命题的热点，通过三视图给出图形的数据特征是新课程高考命题的新特点.

注意利用空间向量求空间距离的问题，考纲没做要求.

（5）解析几何部分

该部分考查的主要内容是直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线.在考试内容上理科比文科多一个知识点即曲线与方程，在考试要求上，理科对抛物线的要求比文科高.预测2008年高考弦长问题、对称问题、轨迹问题、最值问题、求参数范围问题、探索性问题（探索或证明定值问题、直线过定点、点与直线的存在）将仍然是高考解答题命题选择的对象.把解析几何与平面向量有机地融合在一起，是命题的热点.将导数与二次曲线相结合，特别是与抛物线的结合也不容忽视.2007年文理考查的是椭圆与直线相交问题,预测2008年将会考查的是双曲线（或抛物线）与直线关系的问题.圆锥曲线是平面解析几何的核心内容，因而是高考重点考查的内容，在每年的高考试卷中一般有2～3道客观题和一道解答题，难度上易、中、难三档题都有，主要考查的内容是圆锥曲线的概念和性质，直线与圆锥曲线的位置关系等，从近十年高考试题看大致有以下三类：

①考查圆锥曲线的概念与性质；

②求曲线方程和轨迹；

③关于直线与圆及圆锥曲线的位置关系的问题.

选择题主要以椭圆、双曲线为考查对象，填空题以抛物线为考查对象，解答题以考查直线与圆锥曲线的位置关系为主，对于求曲线方程和求轨迹的题，高考一般不给出图形，以考查学生的想象能力、分析问题的能力，从而体现解析几何的基本思想和方法，圆一般不单独考查，总是与直线、圆锥曲线相结合的综合型考题，等轴双曲线基本不出题，坐标轴平移或平移化简方程一般不出解答题，大多是以选择题形式出现．解析几何的解答题一般为难题，近两年都考查了解析几何的基本方法――坐标法以及二次曲线性质的运用的命题趋向要引起我们的重视.注意圆锥曲线的定义在解题中的应用，注意解析几何所研究的问题背景平面几何的一些性质.

（6）函数导数不等式

函数、导数与不等式在高考命题时是密不可分的三部分，该部分考查的重点内容有函数的概念和性质、幂指对函数、函数的应用、导数的运算及应用、不等式的解法和应用.预测文科在导数的实际应用方面会有所突破.理科有可能是函数、导数与不等式的综合应用性问题，题目会具有一定的难度和区分度.函数在高考解答题中，文科大多以对数函数为背景，结合对数运算，以考查对数函数的性质及图象等题型为主；理科解答题多以方程或二次函数为背景，综合考查函数、方程和不等式的知识，重视代数推理能力，此类试题，一般要经过变形转化，归结为二次函数问题解决，这是近年高考的重点和热点.在此基础上，理解和掌握常见的平移、对称变换方法.以基本函数为基础，强化由式到图和由图到式的转化训练.加强函数思想、转化思想的训练是本章复习的另一个重点.善于转化命题，引进变量建立函数，运用变化的方法、观点解决数学试题以提高数学意识，发展能力.

理解掌握常见题的解题方法和思路，即通性通法，构建思维模式，并以此为基础进行转化发展，即在造就思维依托的基础上，还要打破框框，发展能力.

要认真准备应用题型、探索题型和综合题型，要加大训练力度.要重视关于一次函数、二次函数、对数函数的综合题型，重视关于函数的数学建模问题，重视代数与解析几何的综合题型，重视函数在经济活动和实际生活中的应用问题，学会用数学思想和方法寻求规律找出解题策略.

对函数有关概念，只有做到准确、深刻地理解，才能正确、灵活地加以运用.函数是数学中最重要的概念之一，它贯穿中学代数的始终.数、式、方程、不等式、数列等，是以函数为中心的代数，高考考查的内容，几乎覆盖了中学阶段的所有函数，如一次函数、二次函数、反比例函数、指数、对数函数，还有三角函数等，以及函数的所有主要性质，且以考查三基为主，通性通法为主，因此更应加强函数与三角函数、不等式、数列等各章间知识的联系，养成自觉运用函数观点处理问题的习惯和培养自身的能力.

所谓函数观点，实质是将问题放到动态背景上去考虑，利用函数观点可以从较高的角度处理式、方程、不等式、数列、曲线等问题.函数是用以描述客观世界中量的依存关系的数学概念，函数思想的实质就是用联系、变化的观点提出数学对象，建立函数关系，达到解决问题.近几年高考中，考查函数的思想方法已更加突出，特别是1993年开始考查应用题以来，考查力度逐年加大，都用到函数的知识与方法才能解决，从如何建立函数关系式入手，考查函数的基本性质，以及数形结合、分类讨论、最优化等数学思想，重视对实践能力的考查是高考的新动向.因此要强化函数思想的应用意识的训练，才能适应高考新的变化.

导数内容在高考中以填空题和解答题为主.

主要考查：①函数的极值.

②导数在研究函数的性质及在解决实际问题中的应用.

③计算曲边图形的面积和旋转体的体积.

复习应立足基础知识和基本方法的复习，以课本题目为主，以熟练技能，巩固概念为目标.

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同学们在面对这部分试题时，应该细心回顾平面几何中的知识和方法，应用向量的概念和方法，化归为向量的几何运算或三角函数问题求解．

■ 专项模拟

A． sin2A－cosB=0

B． sin2A+cosB=0

C． sin2A－sinB=0

D． sin2A+sinB=0

A． 9∶4∶1 B． 1∶4∶9

C． 3∶2∶1 D． 1∶2∶3

4． 水平放置一个球，现用如下方法测量球的大小：用锐角为60°的直角三角形的斜边紧靠球面，P为切点，一条直角边AC紧靠地面，并使三角板与地面垂直，如果PA=3 cm，则球的半径为（）cm.

=3i+kj，则k的可能值有_____个．

心率为_______．

8． 若A，B，C是锐角三角形ABC的三个内角，p=（1+sinA，1+cosA），q=（1+sinB，－1－cosB），则p与q的夹角是____角．

9． 若钝角三角形三个内角的度数成等差数列，且最大边长与最小边长的比值为m，则m的取值范围为___．

为______．

11． 如果向量a与b的夹角为φ，那么我们称a×b为向量a与b的“向量积”，且a×b=a・bsinφ. 如果a=10，b=2，a・b=－12，则a×b=_________.

锥体底面的直观图如图2所示，则此几何体体积为________．

ABC的垂心；

心；

重心．

则所有正确命题为_______．

（Ⅰ）若x∈［0，π］，求函数f（x）的值域；

（Ⅱ）在ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（C）=1，且b2=ac，求sinA的值．

19． 已知向量a=（1+cosα，sinα），b=（1－cosβ，sinβ），c=（1，0），α∈（0，π），β∈（π，2π），向量aα．

（Ⅰ）求角A的大小；

■ 解题反思

该专项模拟重在考查三角与向量的热点问题，涉及三角公式变换、三角函数图象性质、向量的有关概念和运算，凸显向量包装和以平面几何为基础的三角和向量问题．

1. 同学们如果做得不够理想，可能是平面几何不过关，三角和向量概念理解不到位，建议同学们从最基础的概念做起，梳理这两部分的基础知识和方法，重视复习平面几何中的知识和方法（如三角形内角平分线性质定理等）.

2. 其次，应该宏观把握三角函数与向量的框架，体验“三角变换中的整体思维和目标意识”“向量中的平方法及数量积”，理解“形助数和数研形”的数学思想．

3. 最后，同学们要结合答案及提示，反思自己的思维障碍，体会各个试题的已知条件和隐含条件的关系以及

1． A

2． C

3． C，提示：依据和向量的意义构建不同图形，注意3个三角形的底和高的关系

4． B，提示：用轴截面化归直线和圆相切问题，化归四点共圆，解直角三角形

7． 2

8． 锐角

9． （2，+∞），提示：取直角三角形30°，60°，90°验证，或变换化归复合函数值域求解

11． 16

15． 等边三角形

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一、三角函数生活特性的掌握

知识来源于生活，数学知识也是，和生活有着密切的联系，并且无时无刻不在服务于我们的学习生活.中学数学三角函数在现实中的应用繁多，方方面面都可以找到三角函数的影子，例如体操运动员运动，钟表的分针、时针运动等.教师在进行数学三角函数教学过程中，可以充分利用这一点，情景创设中多引入生活中的问题，提高学生的学习积极性.

例如：教师可以创设这样的情景，课前预备一副圆形广场平面图，半径约为50 m，现在需要在广场中央设置探照灯，探照灯的光为圆锥形，和轴截面形成的夹角120°，若想应用该光源照亮整个广场，则光源高度应为多少米？通过提出这样富有生活气息的问题，激发学生探究兴趣，打破传统数学课堂的枯燥呆板感，让所有学生都能够乐于参与其中，不仅收获了知识，还能够提高自身综合素质.

二、三角函数整体特性的掌握

数学具有系统、严密性，且逻辑性也较高，对于中学生的学习能力培养大有裨益.和三角函数有关的知识点繁多，需要利用三角函数验证数学结果的知识点也很多，所以中学生在学习数学函数过程中，需要打好基础，明确知识之间的内在联系，深刻地了解三角函数章节的内涵，这不仅对于学生数学学习有所帮助，而且对于旁系学科的应用也很重要.学生们在知识点形成知识网络后，便可以更好地提高自己的理解能力.中学生需要了解一些基本解题策略，例如关于三角函数的性质、图像等，均需要学生认真分析、总结，与此同时，在教学过程中，教师需要予以适度引导，提高有益的知识基础辅佐帮助.

三、三角函数应用特性的掌握

某种意义上来说，数学和旁系学科的教学目标基本一致，即均需要提高在提升学生学习能力的基础上，强化学生对知识点的理解和应用能力，为此，教师在教学过程中需要侧重于学生解题能力的培养方面，并在解答三角函数题时经常变换函数，帮助学生掌握三角函数的伸缩和平移规律，明确三角函数最值的快速求解.目前，解决三角函数经常使用的方法主要包括：换元法、坐标法以及待定系数法等，学生通过这几种方法掌握进行解题.

例如：某港口深度y为时间t的函数，则可以表示为y=f（t），数据如下表所示：

t/h03691215182124y/m101397101310710不难看出，y=f（t）近似于三角函数，通过数据分析得出函数表达式.依据相关规定，船只航行过程中，若海底与船底的距离不小于五米，则可以认为是安全的，假如目前所乘船只吃水深度为6.5 m，在同一时间内安全的出港和进港，则其可以停留港内多长时间？作函数解析式之前，可以先利用表中所给数据绘制函数图象，随后进行判断.

四、综合分析法

目前，数学解题过程中，常用的几种方法主要包括：转化法、代入法以及数形结合法等，所以在学习三角函数过程中，学生们也可以将这几种方法综合运用.比如在解题的过程中，整合初中、高中所学数学知识，构建数学学习体系，提高学习效果.三角函数的覆盖内容很多，所以将会应用到各种各样的公式，利用综合分析法的目的在于，学生们学习时常有的感受，即总是觉得已经全面理解所学的知识，但还对于所学知识的灵活运用、解决实际问题方面的能力略有匮乏.为此，在三角函数教学的过程中，教师要合理引导学生，从整体出发，展_问题分析，探究解题方式.在此之前，要求中学生务必扎实掌握三角函数相关概念以及相关性质，可以通过三角函数性质进行解题，在此基础上，学生们方可更好地综合分析三角函数问题，提高解题能力.

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【关键词】中职数学；数学知识；三角函数；学习方法

一、概述中职数学三角函数知识的意义

在中职数学教学中，学习三角函数知识具有十分重要的现实意义.从中职数学三角函数知识的意义上看，主要表现在三个方面，即符合中等职业教育需要、提高学生数学思维能力、训练学生逻辑推理能力，其具体内容如下：

1.符合中等职业教育需要

符合中等职业教育需要是中职数学三角函数知识的意义之一.中职学生在校学习主要是实践技能的学习和提高，这是中职教育有别于普通高等教育的因素之一.在中职数学教学中，开展三角函数知识教学，与中等职业教育的需求密切相关，电工技术和电力工程中的电流和电压都采用正弦函数的形式，因此，学习三角函数知识是中等职业教育的需要.

2.提高学生数学思维能力

提高学生数学思维能力是中职数学三角函数知识的又一意义.数学思维能力是指运用数学相关知识解决实际问题的能力，数学思维能力的培养对我国当前的数学教学具有重要的指导意义.三角函数知识由于其公式多、变化多样，对于培养学生思维的灵活性有很大作用，对中职数学教学而言，在从事数学活动时，三角函数知识的传授有助于提高学生数学思维能力.

3.训练学生逻辑推理能力

训练学生逻辑推理能力是中职数学三角函数知识的又一意义所在.在现实生活中说话办事都要有逻辑性，数学知识学习更是如此，三角函数知识是中职数学教学的重点和难点内容，严密的逻辑推理在三角函数解题中必不可少.与此同时，学习三角函数知识的同时也能在一定程度上训练学生的逻辑推理能力.因此，探索中职数学三角函数知识的学习方法势在必行.

二、中职数学三角函数知识的学习方法

为进一步提高中职数学三角函数知识的学习方法，在了解中职数学三角函数知识的意义的基础上，中职数学三角函数知识的学习方法，可以从以下几个方面入手，下文将逐一进行分析：

1.实例设计要紧贴生活

实例设计要紧贴生活是中职数学三角函数知识的学习方法之一.数学知识学习往往是抽象的间、概括的，对数学概念的解读往往难以让学生理解和接受，对中职数学教学而言，实例设计要紧贴生活，用生活化的语言引入数学概念，导入数学课程，将大大提高中职数学教学的有效性.如在学习角的概念时，设置问题提问：（1）请学生们说说，生活中还有哪些与角的旋转相关的实例？（2）以学生非常熟悉的时钟为研究对象.若时间慢了10分钟，则校对时间后，分针旋转形成的角为多少？在学生生活经验基础上提问，无疑可以提高学生的学习兴趣.

2.灵活化简三角函数式

灵活化简三角函数式对中职数学三角函数知识的学习至关重要.将复杂的三角函数式转化为简单的代数属性，使中职数学知识化繁就简，从而淡化学生的畏难心理，可见是学习三角函数知识的有效举措.

3.学习和记忆诱导公式

学习和记忆诱导公式是中职数学三角函数知识学习的重要内容.三角函数是初等数学的重要组成部分，而三角函数的诱导公式是三角函数的基础内容之一，也是本章节的重点内容.在中职数学三角函数知识的学习中学习和记忆诱导公式应力求口语化，在教学中可将诱导公式所有类型归纳为kπ2±α型，此诱导公式类型可用口诀“奇变偶不变，符号看象限”来记忆.

4.重视画三角函数图形

重视画三角函数图像在中职数学三角函数知识学习中的作用也不容忽视.三角函数的图像和性质分别从“形”和“数”不同的侧面反映出三角函数的变换规律，在学习中职数学三角函数知识时，我们应注重将三角函数的问题转化为代数问题，重视画三角函数图形（如图所示）.

正弦函数y=sinx，x∈R的图像叫作正弦曲线

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【关键词】 数学 思想 正弦型

三角函数是中职数学的重要内容之一，在其他学科应用普遍，特别是正弦型曲线不论是在电工专业基础课的电工学中，还是在机械运动中都有广泛的应用，并且是其他学科的基本工具，物理学和运动学都离不开它，正弦型曲线部分也就成了高考命题的重要内容之一，那么如何学好正弦型曲线呢？我就这个问题进行研究，积累了一些做法。一是要熟悉三角函数的性质（单调性，奇偶性，周期性）和公式，切实夯实基础；二是灵活运用三角函数的图象和性质；三是注意挖掘正弦型曲线中丰富的数学思想方法，这对掌握知识，培养能力，优化思维品质有着重要意义。

1 数型结合思想

类型一：由y=Asin（wx+Ф）的图象求函数式。这类由图象求函数式的问题中，如果对所求的函数式中的A，w，Ф不加限制（Aw正负，Ф的范围等），那么所求函数式应有无数多个不同的形式，这是因为所求的函数是周期函数，那解这样的问题就要数形结合，通过“五点法”的逆用，寻找“五点”中的第一零点（-Ф/w，0）或已知点作为突破口。

例1：下列函数中，图象的一部分如图是（ ）。

（A）y=sin（x+π/6）

（B）y=sin（2x-π/6）

（C）y=cos（4x-π/3）

（D）y=cos（2x-π/6）

解：从图象看出，T/4=π/12+π/6=π/4，所以函数的最小周期为π，函数应为y=sin2x向左平移了π/6个单位，即y=sin2（x+π/6）=sin（2x+π/3）=cos（-π/2+2x+π/3）=cos（2x-π/6），所以选D。

例2：y=2sin（wx+Ф），｜Ф｜＜π的图象过点A（7π/9，0），且图象关于点B（5π/18，0），且A、B是图象在x轴上相邻的两点，则Ф的一个值为：A.2π/9 B.4π/9 C.-2π/9 D.-4π/9

分析：如图T/2=7π/9-5π/18=9π/18=π/2，w=2π/T=2π/π=2，分类：若B为起点，即wx+Ф=0，代入B（5π/18，0）得2×5π/18+Ф=0，Ф=-5π/9，若B为第三点，即wx+Ф=π代入B（5π/18，0）得2×5π/18+Ф=π，Ф=4π/9。

2 类比对比思想

类型二：求三角函数的最值。

例3：已知：y=2sin（x+π/4）的图象x∈R，①当函数y取得最大值时，求自变量x的集合。②该函数的图象由y=sinx的图象经过怎样的平移和伸展变换得到？

解：①对比函数y=sinx的性质，当y=1时，x=π/2+2kπ，k∈z，所以由y=sin（x+π/4）取得最大值必须且只需x+π/4=π/2+2kπ，k∈z即x=π/4+2kπ，k∈z，所以当函数y取得最大值时，自变量x的集合为｛x｜x=π/4+2kπ，k∈z｝。

②变换的步骤是：把函数y=sinx的图象向左平移π/4个单位，得到y=sin（x+π/4）的图象，再把y=sin（x+π/4）的图象各点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到y=2sin（x+π/4）的图象。

3 转化思想

类型三：图象的转化。由y=sinx的图象变换出y=sin（wx+Ф） （w＞0）的图象可以有两条途径：①先将y=sinx向左（Ф＞0）或向右（Ф＜0）平移｜Ф｜个单位，再将图象的横坐标变为原来的1/w倍（w＞0），便得y=Asin（wx+Ф）；②也可以先将y=sinx的横坐标变为原来的1/w倍（w＞0），再将图象向左（Ф＞0）或向右（Ф＜0）平移｜Ф｜/w个单位，便得出y=sin（wx+Ф）的图象。

例4：将函数y=sinx图象向左平移π/3个单位，先将图象的横坐标变为原来的2倍，那么与最后图象对应的函数解析式为（ ）。

（A）y=sin（x/2-π/3） （B）y=sin（x/2+π/6）

（C）y=sin（x/2+π/3） （D）y=sin（2x+π/3）

解：这是第一途径，应选C。

4 正难则反思想

类型四：逆向思维图象的转化。

例5：把函数y=3sin（Ax+Ф）（w＞0且｜Ф｜＜π）的图象向左平移π/6个单位，再将图象所有的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的解析式为y=3sinx，则（ ）。

（A）w=2Ф=π/6 （B）w=2Ф=-π/3

（C）w=1/2Ф=π/6 （D）w=1/2Ф=π/2

分析：直接思考，不易求解，这时就逆向思考，运用相位变化与周期变化的基本规律，把y=3sinx的图象所有点的横（下转第6页）

（上接第11页）

坐标缩短到原来的1/2（纵坐标不变），再将图象向右平移π/6个单位，所得图象的解析式为y=3sin2（x-π/6）=3sin（2x-π/3），再与y=3sin（wx+Ф）（w＞0且｜Ф｜＜π），易知选B。

5 对称思想

类型五：有关对称轴条件的使用。正弦型曲线对称轴为y取最大值1和最小值-1对应的x=π/2+kπ，k∈z。

例6：函数y=sin（2x+Ф）图象的一条对称轴方程是x=π/8，其Ф∈（0，π），则Ф=（ ）。

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1教学目标

从简单的正弦曲线与特殊的三角函数之间的关系出发，考察三个函数参数A、ω、φ .对函数y=Asin（ωx+φ）图像的影响。揭示函数y=Asin（ωx+φ）图像与正弦曲线的变换关系，掌握由数到形、由简单到复杂、由特殊到一般的数学思想。

2教学过程

问题情景：三角函数y=sinx的图像与y= sin（x+φ）图像之间存在什么关系？

三角函数y=sinx的图像与函数y=sinωx的图像之间的关系？

三角函数y=sinx的图像与函数y=Asinx的图像之间的关系？

简评：温故知新，夯实基础，为新教学内容作好铺垫。

猜想1：函数y=sinx与y= sin（x+φ）图像之间的关系？

学生互动：学生由“五点法”画出y= sin（x+π52）和 y= sin（x-π52）两种图像，对比函数y=sinx的图像，观察得出猜想：当φ>0时，图像y=sinx向左移|φ|个单位，当φ

教师： 大家的猜想是否下正确呢？老师演示课件，如下图示：

将y=sinx黑色正弦曲线整体向左平移|π53个单位，就变换成y= sin（x+π53）图像红色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线整体向右平移|π54|个单位就变换成y= sin（x-π54）图像蓝色曲线，从而验证猜想正确。师生在教学活动的基础上得出结论：函数y= sin（x+φ）的图像是由y=sinx 的图像上所有点向左或向右平移|φ|个单位得到，反之亦然，即左加右减的方法进行平移。

巩固练习一、填空：

1要得到函数y= sin（x+π）的图像与函数y= sin（x-2π）图像，只需将y=sinx的图像 分别向（）平移π个单位、向右平移（ ）个单位就可得到。

2若将函数y= sin（x+3π）的图像向（ ）平移3π个单位可得到函数y=sinx的图像。

猜想2： 函数y=sinx的图像与函数y=sinωx的图像之间的关系？

学生互动：学生由“五点法”画出y= sin2x和 y= sin（152）x两种图像，对比函数y=sinx的图像，观察得出猜想：函数y=sinωx的图像是由函数y=sinx的图像横向伸缩变换得到。如图示：

将y=sinx黑色正弦曲线上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的152倍。就变换成y= sin2x图像蓝色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线所有点的纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，就变换成y= sin（152）x图像红色曲线。从而验证猜想正确。所以，当ω>1时，函数y=sinx图象纵坐标不变，横坐标缩短为原来的15ω倍；当0

猜想3：函数y=sinx的图像与函数y=Asinx的图像之间的关系？

同样通过学生互动得出猜想：函数y=Asinx的图像是由函数y=sinx的图像纵向伸缩变换得到。如图示：

将y=sinx黑色正弦曲线上所有点的横坐标不变，纵坐标缩短为原来的152倍。就变换成y= sin（152）x的图像蓝色曲线。将y=sinx黑色正弦曲线所有点的横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍，就变换成y= sin2x的图像红色曲线。从而验证猜想正确。所以：当A>1时，横坐标不变，纵坐标伸长为原来的A倍. 当0

简评：采用各种方法，创设情景，形象生动，激发学生兴趣，充分调动学生的主动参与的积极性，每一位学生都能投入到课堂学习中，学习情绪高涨，课堂气氛十分活跃。

巩固练、填空：

1要得到函数y=sin3x的图像，只需将函数y=sinx 的图像纵坐标（），横坐标（）即可；

2要得到函数y=5sinx的图像，只需将函数y=sinx 的图像纵坐标（），横坐标（）就可得到。

3要得到函数y=5sin3x的图像，只需将函数y=sinx的图像先变换成y=（）图像或y=（ ）图像，再变换成函数y=5sin3x的图像。

简评：让知识转化为能力，举一反三，寻求解题规律，强化解题技巧、方法。

猜想4：函数y=sinx的图像与函数y=Asin（ωx+φ）图像之间的关系？

简评：水到渠成，本节重点知识由此突破。

例题教学：例已知函数y=2sin（4x+3π）， 你能设计出几种画出该函数简图的方法？

教师引导学生分析，解答本题可利用“五点法”画出；也可利用函数y=sinx 的图像平移伸缩变换得到。可有三种方法解答此题：

方法一：教师利用几何画板展示“五点法”画出函数y=2sin（4x+3π）的图像；

方法二：先平移，再伸缩。

由y=sinx向左平移3π单位得到y=sin（x+3π），然后纵坐标不变，横坐标缩短为原来的1/4得到函数y=sin（4x+3π），最后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍即为函数y=2sin（4x+3π）的图像；

方法三：先伸缩，后平移。

由y=sinx横坐标缩短为原来的1/4，纵坐标不变得出y=sin4x，再将其图像向左平移3π/4个单位长度后便可得到y=sin（4x+3π），然后横坐标不变，纵坐标伸长为原来的2倍即为函数y=2sin（4x+3π）的图像。

师生共同归纳总结得出结论：函数y=Asin（ωx+φ）图像可由函数y=sinx的图像经过先平移后伸缩或先伸缩后平移两种变换得到，其中A影响纵向的伸缩变换，ω影响横向的伸缩变换，φ影响左、右平移变换。

其变换方法：（1）把函数y=sinx的图像向左（当φ>0时）或向右（当φ

（2）把函数y=sinx的图像的横坐标伸长（当00时）或向右（当φ1时）或缩短（当0

简评：突出课堂核心要点，归纳总结方法技巧，形成能力。

练习拓展：（1）函数y=sinx的图像经过怎样变换可得到函数y=152sin（x+π）图像？

（2）函数y=2sin（2x-3π）图像是由函数y=sin x的图像经过怎样变换可得到？

（3）函数y=3sin（152x+π/6）图像经过怎样变换可得到函数y=sin x的图像？