小学复数的概念范文

导语：如何才能写好一篇小学复数的概念，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

我们以“主题课例式研训”为载体，按照小学数学的四个领域“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“综合与实践应用”展开研究，按照“确定主题―确定课例―观摩课例―课后研讨―坊主点评及主题培训―撰写反思―网上共享”的研修路径，重点针对概念教学和复习课教学中所存在的问题进行教学模式研究。经过近一年的努力，我们工作坊在概念教学和复习课教学教学模式研究方面，取得了初步的研究成果。

一、概念教学的基本模式

实施新课程以来，小学数学概念教学出现了较大的变化，教材中的很多概念不再像以前那样直接给出明确的定义，这让许多一线教师不知所措。我们认为，小学阶段很多概念表述都不是严格意义上的“定义”，数学概念教学应该重在引导学生对概念本质的理解，而不是纠缠于文字上的精确表述。数学课标明确了对小学概念教学的三项要求：一是使学生准确理解概念；二是使学生牢固掌握概念；三是使学生能正确运用概念。基于此，我们工作坊决定引导一线教师对小学数学概念教学模式进行专题研究。

通常情况下，学生对概念的理解遵循由直观形象到形成表象再到抽象概括的认知规律，因此，我们认为，进行概念教学，应处理好教学过程中实际操作与抽象概括的关系，为学生提供必要的感性材料、提供足够的思维空间，便于学生把直观经验与理性分析有机地结合起来，顺利地将感性认识提升到理性层面。在这样的思想指导下，我们探索形成了概念教学的基本模式“感知（创设情境，感知概念）―表象（探索研究，形成概念）―概念（体会理解，抽象概念）―运用（拓展应用，巩固概念）”。我们试以工作坊参与者张菊老师执教的《认识公顷》一课为例，说明该模式的操作过程。

1.创设情境，引入公顷

（1）课件逐一出示以下几个景点的照片，老师当导游边出示、边解说：

世界文化遗产――南京明孝陵，占地面积大约是1 700 000平方米；

北京中华世纪坛，占地面积大约是45 000平方米；

美丽的台湾日月潭，面积大约是8 270 000平方米；

（2）谈话：这些名胜古迹占地面积非常大，用平方米作单位，这些数据显得不够简洁明了。（板书课题：土地面积单位――公顷）

2.自主探索，认识公顷

（1）认识1公顷。让学生通过回忆100米的长度大小，想象一个四条边都是100米的正方形有多大。然后告诉学生，像这样边长为100米的正方形的面积就是1公顷。接着再引导学生思考“1公顷有多少平方米”，先独立算算，再与同桌交流。最后，学生汇报，教师结合学生的汇报，板书“1公顷=10 000平方米”。

（2）感受1公顷的大小。让学生初步想象1公顷有多大；引导学生感觉、猜测、与同桌交流1公顷相当于身边哪些建筑物的面积。学校教室面积大约是80平方米，让学生计算1公顷大约相当于多少个教室的面积。学生汇报，出示相应的数据（1公顷大约相当于125个同样大的教室的面积）。加深学生对1公顷大小的感知，让学生估一估“学校占地面积大约是多少平方米”，并计算1公顷相当于几个同样大的学校的占地面积。让学生把猜测的结果与计算出来的数据相比较。让学生再次想象、感受1公顷大约有多大。

3.尝试练习，感悟进率

（1）谈话：在计量较大的土地面积时，要用公顷作单位。让学生尝试把几组数据改用公顷作单位，学生独立完成，再与同桌交流，汇报结果。

（2）课件相应出示：世界文化遗产――南京明孝陵，占地面积大约是170公顷；北京中华世纪坛，占地面积大约是4.5公顷；美丽的台湾日月潭，面积大约是827公顷。

（3）把平方米改用公顷作单位如何换算？（说明：把平方米化成公顷是把低级单位改写成高级单位，要除以它们的进率10 000，就是把小数点向左移动4位）

4.深化应用，理解公顷

（1）课件出示下列景点照片，教师继续当导游，带领学生“游览”名胜古迹，请学生思考后完成填空练习，并回答其他问题。

天安门广场是世界上最大的广场，占地面积大约是400 000平方米，合（ ）公顷；北京的故宫是世界上最大的宫殿，占地面积约72公顷，合（ ）平方米；小结“把平方米改写成公顷，把公顷改写成平方米的‘秘诀’”；同桌相互出题，考查“关于平方米和公顷互换”的问题，进行练习。

5.走进生活，解决问题

（1）一块平行四边形菜地，底是250米，高是160米。这块菜地有多少平方米？合多少公顷？

（2）一块三角形菜地，底是110米，高是150米。它的面积是多少平方米？它的面积有1公顷吗？

（3）完成书本上第82页的“练一练”。

6.总结反思，拓展延伸

课后小调查：了解家里一共有多少块田地？合起来一共有多少平方米？合多少公顷？

二、复习课教学的基本模式

复习课是对学生的认知结构重新进行组织，是在整体知识背景下对学生所学知识进行重新组织和构建，它往往通过对照比较、寻找联系等教学手段，帮助学生将原来彼此分散、分割的知识联系成一个统一的整体，从而在头脑中把知识“竖成线，横成片”，或“由点构成线，由线构成面”，从而形成由点、线、面构筑而成的立体式的知识网络。现在的实验教材，重视数学与现实世界的密切联系，提供了许多现实的、有趣的、富有挑战性的学习内容，为学生创设了充分进行数学活动和交流的机会，突出了学生在学习过程中的主体地位，有利于学生探索和掌握基本的数学知识技能和初步的数学思想方法，有利于培养学生的创新意识和实践能力，有利于全面提高学生的素质。

我们工作坊在“小学数学复习教学研讨”中，采用了执教老师个人初备课，网上交流研讨备课，达成共识后再上课的研究方式。如由工作坊的参与者孙武银、周炎锋分别执教的复习课《四则混合运算》《小数乘法》，以及坊外教师古龙镇中心校黄红锦执教的复习课《简便运算》，都运用了“计算感悟―对比归类―总结法则―错题辨析―深化提高”这一基本的复习课教学模式。在探究“空间与几何”这一知识的复习教学时，我们采用了“同课异构”的方式展开研究，由工作坊的参与者周原园、陈超萍分别执教《平面图形的周长和面积计算》的复习课。

“同课异构”的目的是充分发挥每位执教者的主观能动性，工作坊再以不同的课作为研究蓝本，并适当引入部分坊外教师参与进来，大家一起质疑、解疑，“坊主”再结合课例及大家的疑难作《新理念下小学数学概念教学的实践与思考》《小学数学复习教学专题研讨》小型培训，最后总结、归纳出基本的复习课教学操作模式，即“以题代纲、边理边练―分层练习、巩固提高―自主检测、评价反思”。下面以《平面图形的周长和面积计算》的复习课为例，简介复习课教学的大体流程。

1.创设情景，激趣引入

（1）猜一猜，想一想。故事导入：唐僧取经回来后，打算奖励每个徒弟1块土地。唐僧拿出3条一样长的绳子，叫三位徒弟用绳子各围1块地。孙悟空急忙说：“我要围成长方形的。”沙僧接着说：“我要围成正方形的。”猪八戒不慌不忙地说：“我要围成圆形的。”那么，到底三位徒弟中，谁围的土地面积最大呢？大家猜猜看吧。（指名猜）如果想知道它们各占地多少平方米，我们需要用到哪些知识？

（2）揭示课题。长方形、正方形、圆形都是我们学过的平面图形，今天我们要复习的内容是平面图形的周长和面积。

2.梳理知识，引导建构

复习以下知识，并以知识网络图的方式予以呈现。

（1）平面图形的周长和面积的意义；

（2）周长的计算；

（3）面积的计算。

3.应用知识，提高能力

（1）计算下面各图形的周长和面积；

（2）火眼金睛（判断对错）；

（3）对号入座（选择正确答案）；

（4）走进生活（计算）。

李老师家有一块梯形菜地，上底是32米，下底是48米，高20米。如果平均每平方米收小麦400克，这块地一共可以收多少千克小麦？

（5）首尾呼应，解决问题。

猪八戒、沙僧、孙悟空谁围的地最大？要准确地判断出他们三个谁围的地最大，绳子的长是628米，动手算一算，再判断。

（6）得出结论（分组探究）。

让学生自行交流并小结：周长相等，圆的面积最大。

4.全课总结，注重体验

再次呈现知识网络图。

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[例1]用3、9、6这三个数字可以组成多少个没有重复数字的两位数？在组成的两位数中最大的数是几？最小的数是几？

分析：该题分三类情况考虑：第一类，如果3放在十位上，那么可以组成没有重复数字的两位数为：36、39；第二类，如果6放在十位上，那么可以组成没有重复数字的两位数为：63、69；第三类，如果9放在十位上，那么可以组成没有重复数字的两位数为：93、96。最后，将得到的六个没有重复数字的两位数，按照从小到大的顺序排列：36

此题主要采用分类讨论的思想进行解决。此类题型的解题方法还可以拓展到三位或者四位数。

[例2]用小数表示下面的价格：

3元8角5分=（ ）元 4角5分=（ ）元

2元5分=（ ）元 6分=（ ）元

分析：由于学生刚刚学习了小数，而小数的概念在教材中只是做了一个模糊的定义，所以学生在理解小数概念时存在一定的困难。此题设计的出发点是考察学生会不会用小数表示物品的价格，解题的难点在于用小数表示物品价格时小数各个部分和元、角、分之间的对应关系。

针对此种题型，设计了如下的解题模板：

只要学生将元、角、分前对应的数字填入空格中，就可以迅速将其转化为用小数形式表示的价格。

下面以“ 3元8角5分=（ ）元”为例，将 3元8角5分前面对应的数字分别填入上面的空格中，很快将其转化为用小数表示的价格形式。

[例3]在里填上“﹥”、“﹤”、“﹦”。

35×1232×15 15×20150×2

63×1818×36 79×4680×46

分析：此种形式的题目在平时的练习及测试题中屡见不鲜。大部分学生一看见此种题目的第一反应就是，马上动笔计算。殊不知，此种题目更多的是考察学生的观察能力和分析能力。如果将此种题目按照计算题去做的话，那就有点小题大做了。下面将题目中的各题逐一进行分析。

类型一：35×1232×15

分析：左右两边的算式都含有相同的单个数字：1、2、3、5，只是数字排列的顺序不同而已，这种题主要采用做差法，将繁琐的乘法运算转化为简单的减法运算，差越小，积越大，这样可以大大提高学生的解题速度。具体做法如下图：

所以，35×12

63×1818×36也属于这种类型。

类型二：15×20150×2

分析：先对左右两个算式进行观察，就会发现左边的算式是两位数和整十数的乘法，右边的算式是三位数（末尾有0）和一位数的乘法运算，针对左右两边算式的特点，可以这样思考：先不看末尾的0，此题就转化为15×215×2，我们立刻就会发现左右两个算式其实就是同一个算式，显然左右两边是相等关系。

类型三：63×1818×36

分析：左右两个算式含有相同的数字18，可以将表面上看是乘法算式积的比较的题目，转化为63和36的大小比较。采用这种方法就可以迅速将此题解答完毕，避免了繁琐的竖式计算。79×4680×46也属于此种类型。

通过以上三种类型题目解题过程的分析，我们不难发现，科学的分析和合理的思考在数学解题过程中的重要性。

通过以上几道三年级数学常见习题的解法探究过程，不难看出小学数学教育不仅仅是传授给小学生数学知识，更重要的是要教会学生如何利用所学的数学知识去处理相应的数学问题。面对同样的题目，不同水平的学生采用的解题策略千差万别，虽然都能将题目的结果做出来，但是隐藏在解题背后的思维方式更多体现的是一个学生的数学能力。

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关键词：英语绘本；语法知识；强化

中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）14-046-1

在小学的英语教学中，教师往往通过“语法”作为教学核心。但是，这一索然无味的“语法”知识不能使学生专注。所以，教师常常走入教学困境。笔者认为，教师首先要让学生关注；其次再是学习。本文重点谈及通过英语绘本引起学生的关注，从而使学生关注语法并从中学习。

一、巧用英语绘本，揭示语法现象

在英语教学中，教师常常会遇到低年级学生年龄幼小、思维局限的困境。这时，教师应该引用一些学生感兴趣的教学素材来充实教学方式。而绘本的教学方式往往能吸引同学去倾听。在倾听的过程中，教师可以借助绘本图片来进行语言的环境渲染。这样一来，学生就能在倾听中揭示语法现象及探索语法本质。

如：在《牛津小学英语》2B unit 1中出现单复数同行的sheep一词。倘若教师将单复数同形这个概念深析，恐怕会浪费大量的教学时间。这也不是高效课堂所追求的。所以，教师应创造绘本的故事来讲解并揭示语法的现象。故事：古时候，一位英国国王经常因为失眠而困苦。不过，聪明的王后教给国王一个“数绵羊”的入睡方式。不过，国王必须在心里按“one sheep / two sheep / three sheep”的错误读法。一开始，国王疑惑着去“数绵羊”。国王果真通过“数绵羊”这个入睡方法解决了失眠的问题。这样有趣的故事能帮助学生对于语法“单复数同形”的知识记忆深刻。

二、阅读英语绘本，挖掘语法内涵

英语语法绘本不仅包含了图片的情景化，还合理地排版了语法知识。所以，英语语法绘本是每位编者的细心及精心之作。教师应该在利用教材作为知识主线的同时，引入教材中的绘本作为辅助。所以，教师在利用绘本时，应该注意到图片情景化和内容剖析。这样一来，学生能悉心阅读，挖掘内涵。

如：《牛津小学英语》6B unit1中出现形容词比较级这一语法难点。学生面对模糊的形容词形式，不能正确分清原级、比较级、最高级这三者的关系。所以，教师在讲解教材知识的同时，应该引用绘本。在绘本故事中，问题一提出“比个子”这个班级活动。当学生在阅读绘本这一问题时，自然会想到“在班级中，谁更高一点？”“在班级中，谁更矮一点？”这样的阅读引导很快让学生明白比较级的概念。接下来，教师可以引导学生阅读绘本的第二问题“谁在班上最高？”这时，学生在找出“最高的同学”的同时，也明白最高级的概念。

三、创编英语绘本，强化语法运用

1.仿编。

教师在教学中不仅要引导学生去学习语法，而且要激发学生的利用语法来仿编的兴趣。所以，教师在引用绘本同时，更加可以从绘本仿编来激发学生的仿写能力。这样一来，高效的英语课堂就能从中实现。

在教学对话的时候，教师会深度分析语法。在这些教学目标完成之后，教师可以要求学生按照大致句型来仿编一对一的对话。让课堂的教学时间在学生的仿编中有效进行。一组学生仿编到：

A：Is there a library near your grandmothers house？

B：Yes， its our city library. There are many books in there.

A：Are there any books about Altman？

B：Hum， I dont know. But there are many science fiction books.

A：Good. I like these. Shall we go and read there？

B：Good idea.

这样的仿编不仅没有脱离课堂语法知识，反而沿着课堂知识的主线来巩固。教师从学生的句子中可以获取不少语法不足点，从而加强教学形式和效果。

2.补白。

图画般的绘本特点往往是简洁的文字和跳跃的场景。这一特点就给教师留下很好的教学机会。所以，教师应该引导学生在跳跃的场景中补写对白，使之更加有情景化。而学生那无尽的联想一定会使绘本更加有情景。学生在情景化的补写时，正是教师引导其利用语法的好机会。

如：教学《牛津小学英语》6A Unit1 Part D时，教师会遇到四段填写的对话。在对话场景中，学生的实情往往与对话中的情况不一。这时，我们可以利用对话来补白。

……

这时，教师应该引导学生补白场景（1）的对话。这时候，学生热情很高昂，积极参与其中。教师分别要求学生写到纸上，并大声读出出来。

学生甲：Mum， today is Friday. Tomorrow is Saturday. I can have a rest. I also want to go to the park.

学生乙：Mum， if you allow me go to the park， Ill have dinner quickly and do my homework quickly.

……

这样的补写不仅使课堂的气氛活跃，而且能让学生充分发挥自己的想法。教师也可以从中获取教学语法和书写句子的教学的机会。

3.续编。

学生在阅读绘本故事的时候，会十分憧憬自己想象的结局。而统一的故事结局却与憧憬的结局不相尽同。所以，教师在教学中应该舍去故事结局，而让学生自己去续编故事结局。这样的续编能使学生学习兴趣高昂，从而有效地利用语法去续写。

教师在把握高效的课堂的同时，应该把这种续编的作业布置到课后，让学生课外完成。以下是一学生的续编：

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【关键词】数学概念；概念教学；有效学习

一、对概念教学的不同观点

目前，对中学数学概念教学，有两种不同的观点：一种观点是要“淡化概念，注重实质”，另一种观点是“要保持概念阐述的科学性和严谨性”。笔者认为，对这一问题的处理应该“轻其所轻，重其所重”，不能一概而论。提出“淡化概念，注重实质”是有针对性的，它指出了教材和教学中的一些弊端，一些次要的和学生一时难以深刻理解但又必须引入的概念，在教学中必须对其定义作淡化（或者说浅化）的处理，但一些重要概念的定义还是应以比较严格的形式给出为妥，否则，虽然老师容易判定这些概念的定义是被淡化的，但是学生容易对概念产生误解和歧义，关键在于教师在教学中把握好度，突出教学的重点。还有一些概念，在数学学科体系中有重要的地位和作用，对这类概念，不但不能作淡化处理，反之，还要花大力处理好，让学生对概念能较好地理解和掌握。

二、加强对概念的引出

教学中教师不应只简单地给出定义，而应加强对概念的引出，使学生经历概念的形成和发展过程，加深对新概念的印象。创设情境是解决这一问题的有效方法。

1.创设故事情境引出数学概念

学生往往对历史故事和历史人物感兴趣，这恰恰是增添数学教学活力的切入点，教学中，教师可以结合概念适当引入一些数学史、数学家的故事，激发学生的学习兴趣。如讲授复数知识时，教师可以介绍复数发展的故事，涉及卡尔丹、笛卡尔、莱布尼茨、欧拉、达朗贝尔、哈密顿等大数学家，使学生在轻松和谐的气氛中欣赏这门新的数学分支。

2.创设实验情境引出数学概念

心理学家认为，学生自己动手做实验，能够在脑海中留下更深刻的印象，因此，在讲解新概念时，教师可改变自己讲、学生听的传统做法，引导学生动手做实验，从实验中抽象出数学概念。如讲授正弦定理前，教师可以让学生分组合作在多媒体教室通过“几何画板”软件亲身去探索、发现、总结、验证，继而由学生通过实践归纳出三角形中这一非常重要的数量关系。再如，向量的加法运算可以通过力的合成验证实验类比引出。此外，教师还可以从学生熟悉的实际问题出发，创设问题情境，让学生对概念有更深刻的认识。

3.创设中小数学教学的衔接

以前小学阶段的解方程，其基本依据是加与减、乘与除之间的逆运算关系。中学学习解方程用的是代数的方法。《数学课程标准》明确要求：在小学里学习解方程也是利用等式的性质，这样中学学习不用再另起炉灶。小学里解方程的教学与中学数学教学的衔接，不仅仅表示为解方程方法的一致，更有价值的是：思考问题的方法趋向一致。根据四则运算的互逆关系解方程，属于算术领域的思考方法；用等式性质解方程，属于代数领域的解方程。两者有联系，但后者是前者的发展与提高。这样，在解方程方面的教学中，学生逐步接受并运用代数的方法思考、解决问题，使思维水平得到提高。

三、有效学习数学概念的一些方法

1.温故法

不论是皮亚杰还是奥苏贝尔，在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知结构的基础上进行的。因此在教授新概念之前，如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化，再引入新概念，则有利于促进新概念的形成。如：关于角的定义，定义1：有公共端点的两条射线组成的几何图形叫做角。定义2：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形叫做角。我们以前所学过的角都是大于0°小于或等于360°的角。生活中的角显然不都是在(0°,360°］范围内。工人师傅在拧紧或拧松螺丝时，转动的角度如何表示比较合适？这时自然就想到通过旋转产生任意角的概念。这样就可以看出高中和初中所接触到的角的不同，很容易就知道小于90°的角并不都是锐角，它也有可能是零度角或负角。

2.比喻法

很多同学概念不清的原因是觉得概念单调乏味，没有兴趣，从而不去重视它、深究它，所以教师在讲解概念的时候，不妨和生活相联系作些形象的比喻，以达到吸引学生提高学习兴趣的效果。如函数的定义：设x和y是两个变量，D是实数集的某个子集，若对于D中的每个值x，变量y按照一定的法则有一个确定的值y与之对应，称变量y为变量x的函数，记作y=f(x)。那么这个定义该怎么用比喻法来让同学们愉快地接受呢？我们可以这么看：我们可以把函数理解为一个黑匣子或交换器，投入的是数，产出的也是数，投入一个数只能产出一个数，但是当投入不同数的时候可以产出同一个数。这样生动形象的语言就能激发同学们的兴趣，给同学们想象的空间，从而透彻地理解函数的概念，也为以后学习指数函数、对数函数、幂函数、三角函数等函数打下了坚实的基础。

3.联系法

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方法。

一、举例法

举例通常分成两种情况，即举正面例子和举反面例子。举正面例子可以变抽象为形象、变一般为具体，使概念生动化、直观化，达到较易理解的目的。例如，在讲解向量空间的时候就列举了大量的实例。在解析几何里，平面或空间中从一定点引出的一切向量对于向量的加法和实数与向量的乘法来说都作成实数域上的向量空间；复数域可以看成实数域上的向量空间；数域F上一切M×N矩阵所成的集合，对于矩阵的加法和数与矩阵的乘法来说，作成F上一个向量空间，等等。举反面例子则可以体会概念反映的范围，加深对概念本质的把握。

二、温故法

不论是皮亚杰还是奥苏伯尔，在概念学习的理论方面都认为概念教学的起步是在已有的认知结构的基础上进行的。因此，在教授新概念之前，如果能先对学生认知结构中原有的概念作一些适当的结构上的变化，再引入新概念，则有利于促进新概念的形成。例如，在高中阶段讲解角的概念时，最好重温一下在初中阶段角的定义，然后从角的范围推广到正角、负角和零；从角的表示方法推广到弧度制，这样有利于学生思维的自然过渡，较易接受。又如，在讲解线性映射时，最好先温习一下映射的概念，在讲解欧氏空间的时候同样最好温习一下向量空间的概念。

三、索因法

每一个概念的产生都具有丰富的背景和真实的原因，当你把

这些原因找到的时候，那些鲜活的内容，使你不想记住这些概念都难。例如，三角形的四个心：内心、外心、旁心和重心，很多同学总是记混这些概念。内心是三角形三个内角平分线的交点，因为是三角形内切圆的圆心而得名内心；外心是三角形三条边垂直平分线的交点，因为是三角形外接圆的圆心因而得名外心；旁心是三角形一个内角平分线和两个不相邻的外角平分线的交点，因为是三角形旁切圆的圆心而得名旁心；重心是三角形三条中线的交点，因为是三角形的重力平衡点而得名重心。当你了解了上述内容，你又怎么可能记混这些概念呢？又例如，点到直线的距离是这样定义的，过点作直线的垂线，则垂线段的长度便是点到直线的距离。那么为什么不定义为点和直线上任意点连线的线段的长度呢？因为只有垂线段是最短的，具有确定性和唯一性。像这样的例子还有很多，不再一一列举。

四、联系法

数学概念之间具有联系性，任意数学概念都是由若干个数学概念联系而成的，只有建立数学概念之间的联系才能彻底理解数

学概念。例如，在学习数列的时候，我们不妨作如下分析：数列是按一定次序排列的一列数，是有规律的。那规律是什么呢？项与项数之间的规律、项与项之间的规律、数列整体趋势的规律。项与项数之间的规律就是我们说的通项公式，项与项之间的规律就是我们所说的递推公式，数列整体趋势的规律就是我们所说的极限问题。当项与项之间满足差数相等的关系时，数列被称为等差数列；当项与项之间满足倍数相等的关系时，数列就被称为等比数列。这样我们对数列这一章的概念便都了然于胸了。

五、比喻法

很多同学概念不清的原因是觉得概念单调乏味、没有兴趣，从而不去重视它、深究它，所以我们在讲解概念的时候，不妨和生活相联系做些形象的比喻，以达到吸引学生提高学习兴趣的效果。例如，在讲解映射的时候，不妨把映射的法则比喻成男女恋爱的法

则。两个人可以同时喜欢上一个人，但一个人不可以同时爱上两个人。这不正是映射的法则:集合A中的每一个元素在集合B中都有唯一的像与之对应吗？又如，函数可以理解为一个黑匣子或交换器，投入的是数产出的也是数；投入一个数只能产出一个数；当投入不同数的时候也可以产出同一个数。再如，满足和的像等于像的和、数乘的像等于像的数乘的映射称之为线性映射。这不正像一个人怎样舞动他的影子就怎样舞动吗？所以有的时候可把线性映射理解为“人影共舞”的映射。

六、类比法

在学习向量空间的时候，很多同学疑问重重。向量不就是那些既有大小又有方向的量吗？怎么连矩阵、连续函数、甚至线性变换也可以理解为向量呢？这一切是不是太不可思议了。但是当你做如下思考的时候，一切便顺理成章了。让小学生算一道“5-7”的题，他会说你这道题出错了，但是让一个初中生去做，他就会告诉你等

于-2；当你让一个初中生对负数进行开平方运算，他会说不能对负数进行开平方，然而高中生却能够进行运算。这就说明了一个问题，随着年龄的增长和认识层次的提高，人们对于同一概念的理解和认识也在逐步地深入和扩大。正如数的概念由小学学的整数、分数和小数扩大为初中学的实数最后扩大为高中学的复数。同样对于向量的理解也就不能只限于既有大小又有方向的量，应该把这一观念转变过来。

像这样的方法还有很多，不再一一列举。总之一句话，数学概念是重要的，分析概念是有趣的，在乐趣和玩赏中去理解概念是容易做到的。

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一、挖掘同一语义场的相关词汇，便于读者联想记忆

受语言学语义场理论的影响，学者们开始关注语言语义上的相互联系;英语教学中，在学生进行词汇学习时，教师把与所学单词具有同义、反义、上下义等关系的相关词汇集中起来讲授，便于学生联想记忆，扩大词汇量。反映在词典上，编者把语义上相互关联的词通过各种方式显现出来，便于学习者查阅、掌握。

同义词一直是英语学习者学习的难点，对语义的区别掌握好了，词能用得正确;对语体把握好了，词能用得得体;对细微差异拿捏好了，能写出用词富于变化的文章，词能用得出彩。同义词辨析不但必要，而且实用。英美人编写的词典同义词辨析占有一定的篇幅，但并没有针对异族人编写。

《多功能》的同义词辨析不取润英美人词典的余沫，在语义、语体、语域等方面有的放矢地讲出同义词、近义词之间的差别，针对性强。例如，用“同义词”专栏围绕共有义“保卫”辅以例证说明了guard和另外两个动词defend、protect的区别：

guard意为警惕地守卫。defend意为使用防卫手段、武器等抵御进攻。protect指用保护用具、设施等保护。The palace is guarded by the police， protected by its walls， and defended by small firearms. 这座宫殿由警察守卫，有围墙作保护，用轻武器抵御攻击。另外，这本词典还用“注释”的方法对同义词进行区别，如great条，在例证a great city后，对great和big的差异有如下注释：在a big city之上添加了文化、历史等意味;又如在动词grip条第一义项下，对grip 和grasp比较如下：比grasp用的劲大。语言不多，但道出了本质差别。

《多功能》对处于同一语义场的词汇覆盖得更广泛。除了同义词辨析之外，该词典还设置了词根栏，如grade条，围绕词根“grad”列出gradual（逐渐的）、graduate（毕业生）、degrade（降低身份）、upgrade（升级，提高）这几个单词;也设置了拟音词栏，如chat条，围绕共有音素“ch-”，列出chatter（喋喋不休）、cheep（吱吱[唧唧]地叫）、chirp（唧唧叫）、chuckle（吃吃地笑）等表示“唧唧喳喳，喋喋不休”等词。列出相关词汇，便于学习者联想记忆，也方便教师备课查阅。

二、名词标注分类详尽、清晰

英语学习词典是上个世纪上半叶编者们从对语言教学研究中受到启发而编纂的。帕尔默1917年出版的《语言的科学研究与教学》以及1938年的《英语语法》是英语学习词典的理论支撑。提供语法信息是英语学习词典的主要特点。“五大家”提供了名词、动词等的语法结构或说明。例如，《牛津高阶英语词典》为动词结构提供了“句型”，主编霍恩比设计了一套代码系统，把动词分成25个句型：VP6A表示“主语+及物动词+名词/代名词（如I love you.）”。这套代码系统历经60余年的发展，至第8版时，变成了简单明晰、毫无阅读困难的表述形式：love释义为“爱;热爱”时所用的动词结构表述标注为“love sb/sth”。而《朗文当代高级英语辞典》不仅给动词结构编代码，也给名词编代码，以作语法说明。例如，用[S]代表“特殊单数名词，能与a或an合用，但不能与one合用（Have a think about it.）”。

对于中国英语学习者来说，“五大家”的动词结构模式对英语学习助益大，但名词标注对英语学习的促进作用则显得较弱。名词的数一直是我国英语学习者的难点之一。和英语不同，汉语名词没有单、复数形式的区别，谓语动词不受主语影响，一些名词在汉语中是可数的，在英语中却是不可数的，由于学习者已经养成了母语语言行为的习惯，因此在外语学习过程中，新的语言习惯的形成势必会受到母语语言习惯的影响。美国语言学家拉多指出，当母语的某些特征与所学外语相类似或一致时，容易产生正迁移;母语与所学外语有差异时，则产生负迁移，差异越大，母语的负迁移带来的干扰也越大。所以，仅像“五大家”用[C] [U] [S] [P]来分别表示可数名词、不可数名词、单数名词、复数名词，虽然节省了篇幅，但对于母语中没有这些概念的读者来说，可能花费很大气力才能明白[S] [P]等的含义，查阅词典时，极有可能由于不理解而跳过了这些代号所传达的语法信息，最重要的是，这样的标注不能有效地减少学习者母语负迁移带来的干扰，不能有的放矢地解决我国英语学习者名词学习过程中遇到的实际问题。《多功能》是日本人编写的一本英语学习词典，日语和汉语一样，名词没有单、复数形式之分，这本词典针对读者需求，力求把母语中缺失的“名词的数”这个语法现象用详尽易懂的标注方法表示出来，有利于读者掌握这个语言难点，对我们学习英语名词非常有用。

《多功能》特有的名词标注有：

1.种类C：不可数名词前若出现不定冠词或以复数形式出现时表示“种类名词”的符号。《多功能》的这种分类方法有助于英语学习者理解名词的可数和不可数的概念。

2.总称C：如family这样的集体名词的表示方法。

3.[用作集体名词]：这类名词作主语与跟在后面的谓语的一致关系需要学习者注意。

4.[the ～] [a ～] [an ～]：单数名词，这类名词无复数形式，出现时与前面的定冠词或不定冠词是一个整体。

5.[～s]：复数名词，这类名词总以复数形式出现。

6.数量表示法：对种类C和总称C作数的用法的说明。

7.[用作单数] [用作复数] [用作单数或复数]：对主谓一致的说明。

8.计算方法：对不可数名词数量表达方法的说明。

以上标注清晰易懂。例如对单数名词标[the ～] [a ～] [an ～]，这比标注[S]更直观，读者容易理解。

可数、不可数的概念，主语与谓语动词数的一致，是我国英语学习者感到困难的地方，只有名词类别标注清楚，数的具体使用方法标注明了，才是一本适合读者的好词典。《多功能》名词标注详尽、清晰，能让学生有效地掌握名词学习的重点，搞清名词种类以及名词的数这个概念。

三、重视搭配，实用语块丰富

习语、短语动词的收录是英语学习词典的另一重要特点。随着二语习得语块教学理论被广泛接受，词典编纂者除了收录习语和短语动词，都另辟专栏或用例证的形式突显语块的作用。根据二语习得语块教学理论，英语中语言交际的90%是由固定或半固定模式化了的多词组合结构来实现的，这些多词组合结构叫语块。语块分为短语、搭配语、惯用语、语句框架等。导致英语学习者语言输出能力薄弱的主要原因是对习惯用语、常用词组和句型搭配等掌握不足，即“实用语块”匮乏，而不是词汇量不够。

《多功能》突出“实用语块”在语言学习中的作用，用单词/词组替换、句型转换、语法点加注等多种形式来训练学习者的语言输出能力。如：

单词/词组替换

graduate条 She is a graduate in law [a law graduate]. 她是法学系毕业生。

guess条 “Is he coming？” “I guess so [not]. “他会来吗？”“我想会来[不会来]。”

句型转换

hand条 He handed me the key. He handed the key to me. 他把钥匙交给了我。

语法点加注

generation条 from generation to generation 世世代代（注意没有冠词）

knife条 eat with knife and fork 用刀叉进餐（注意词语顺序）

以上形式是“五大家”所缺乏的：前两种形式对语言表达进行互换，能让学生举一反三;第三种形式用注释说明固定用法，起强调、警示的作用。例子中既有短语搭配，也有惯用语、语句框架。语块是词汇学习的最小单位，熟练掌握“预制语块”，说话人能在语言产出时大大压缩语言处理时间，从而非常有效地加强语言输出的流利性、准确性和地道性。《多功能》通过这些形式培养学生对语块的敏感性，以促进整体记忆，这符合学习者的认知规律。

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关键词： 分层教学 语法课 课堂设计 教学效果

分层次教学是我校各教研组近年来正在尝试的教学模式，数学和英语教研组更是承担了分层次跑班教学的试点工作。

初一年级作为初中的起始年级，学生入学时基础差异较大，就英语学科而言，有的同学词汇量大、语法结构丰富、阅读兴趣浓厚、口语表达流利；有的同学却连基本的字母发音、单词拼写、课本朗读都无法过关。如果一味采取传统的班级授课制，则忽视了学生的个体差异，不利于长远的英语教学，也妨碍了学生个性化的发展。在这样的背景之下，我们十分重视分层教学，力图为学优生搭建展示和发展的平台，为后进生提供有力的支援和保障。

在近一个学期的分层教学尝试下，我有幸开设了两节分层教学课。同一课内容，不同的备课和讲授，使我对分层教学有了更深刻的反思。

一、教学对象的层次性

根据我校分层跑班的教学模式，英语课堂在原有的行政班基础上，分为提优层和培优层两个教学层次，两个层次的学生区别明显。若以100分为满分进行测验来看，提优层均分稳定在90以上，高分多而集中，学生英语学习兴趣浓，课堂参与度好。培优层均分较提优层低5～8分，中等生和学困生较多，低分较明显，学生的英语学习习惯和方法需逐步培养。教学对象的层次性，直接导致备课、授课和反馈等多方面的差异性。

二、教学目标的层次性

教学目标分层，即根据教学大纲和各层学生的实际学习可能性，制定出分层教学目标。将学生进行分层后，需要根据各层次学生的接受能力和认知水平，制定适合他们的教学目标。学生原有的学习准备状态和学习可能性的差异，决定了他们学习新知识的起点有所不同。

在我的教学目标表述中，提优层强调“灵活使用目标语言形式”，培优层强调“借助一定的语言帮助或提示，正确使用语言形式”。

三、授课过程的层次性

授课过程主要分为备课、上课和反馈三个重要环节，想要达到较理想的分层教学效果，这三个方面都必须时刻围绕“分层”展开工作。

1.备课过程的层次性

备好课是上好课的前提，只有做好充分的分层次备课，针对不同学生进行不同的教学设计，才能为课堂活动的展开和落实做好保障。

针对两个不同层次的学生，考虑到他们已有的经验，我对教材进行了不同深度的挖掘，围绕内容展开了教学活动的设计。

在教学内容上，两个层次的学生需要掌握相同的知识结构，即掌握：（1）名词分为可数名词和不可数名词；（2）可数名词有单数和复数之分，可数名词单数前如何准确地选择冠词“a”或“an”，可数名词复数“s”的增加方法；（3）如何使用量词对不可数名词进行修饰。

考虑到学生不同层次的认知水平，我在备课中确定了不同的授课理念。对于提优层，我采取“放开手”，在情景教学下开展活动设计，利用学生表达过程中的错误，进行纠正和引导，优化教学效果；对于培优层，我采用“牵着走”，为学生层层铺垫，从概念的引入到简单的结构，再到机械操练，最后到情景运用，一步一步引导学生，拾级而上。

根据不同层次学生上课时的特点，提优层我主要选择与学生校园生活相一致的话题，以话题为主线，以语言的功能性为目标，提供大量语言输出的机会，给予学生展示的平台；培优层我重视大量的语言输入，为学生提供较多的语言支撑，以保证学生敢于参与课堂活动，使用目标语进行表达，准确地进行及时输出。

对于教材的挖掘，也应该考虑到不同的层次性。如果只一味地增加活动，让学生在已经掌握的知识上不断操练，未能补充到新的知识，未免有些浪费课堂时间。因此，在确保学生能够掌握大纲要求的名词概念基础上，我为提优层设计了拓展目标，希望通过课堂活动的设计，引导他们掌握s加到可数名词后的发音变化，并为其设计了补充性阅读。

2.探究方法的层次性

填鸭式的授课方法早已被实践证明有其弊端，在我们不断呼吁重视教学方法的时候，各种探究的方法已被实践于课堂。

在教学过程中，我尽量做到探究方式的层次性。对于提优层学生，做到少讲多练，让他们独立学习，注重培养他们综合运用知识的能力，提高解题技能技巧，同时侧重小组合作的探究模式，让学生互相帮助，共同提高；对培优层学生，则实行精讲精练，重视双基教学，注重课本上的例句和练习的处理，着重在掌握基础知识和训练基本技能上下工夫。

本节语法课在讲授可数名词单数变复数如何加s的知识时，我采取了截然不同的方式。提优层学生基础较好，能够说出多种加s的方式，只是比较乱。因此我采取小组合作模式，让学生4人小组，讨论、整理并总结出可数名词复数的变化形式，为每一种形式配上三个以上的例词，并以PK大赛的形式，随机选词、抢答造句。从操作的过程中看，学生合作意识强，参与积极，在举例和造句时思维活跃，主动性强，很快就掌握了复数的变化形式。

3.评价方式的层次性

分层授课要求教师在授课过程中做到及时有效的分层评价。教师在不同层次的授课过程中，通过形成性评价及时了解学生实现分层目标的情况，并及时通过口头或笔头的反馈，与学生之间达到另外一种有效的教学互动。正如德国教育家第斯多惠说所说：“教育的艺术不在于传授，而在于激励、唤醒、鼓舞。”

我在授课过程中，尽量发觉各种闪光点，对于培优层学生造出的正确的句子、有新意的句子、敢于尝试和挑战的句子，都大力表扬，哪怕句子中有错误，可以个别指出，尽可能多地让培优层学生体验到成功的喜悦，以增强他们的自信心，使其自尊心得到满足，内心产生进步的渴望，并期待下一次参与课堂活动。所以在自由造句的环节，他们表现得相当积极。

对于提优层学生则进行精雕细刻，鼓励使用复合句式，鼓励多话轮造句，加强拓展性引导。通过课堂互动，提优层学生觉得自己想要表达的内容还无法完全表述，因而课后通过自查、增加阅读量等方式，调动语言学习的主动性，提高学习能力。

四、结语

两节分层课上完之后，我明显感觉到分层教学给课堂教学带来的可喜变化，课堂的参与、评价都变得更加明朗化，也对后面的复习巩固起到积极的引导作用。我还要继续在教学中不断实践，不断努力，根据学生的差异组织教学，进一步落实分层方针，争取让每位学生都能在英语学习中获得成功的喜悦。

参考文献：

[1]李琼.谈小学英语中的分层.2004.

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关键词： 小学英语 教学方式 微课

随着我国互联网这个终端支撑设备的不断完善，教育资源的来源变得十分广泛，教育资源的形式变得多样化。从视频公开课产生的那时起，人们对于教育资源的传播和形式有新的认识。尤其是后来微课的产生，为现代社会教学提供全新的教学思路。

一、微课的概念与特征分析

微课首先是在国外产生的，后来引向国内。它的定义比较简单：是一种通过简短的教学视频及PPT等电子教学手段，围绕着某一个知识点，或者教学环节开展的一系列教学活动及配套资源的总和。它是支撑起现代化教学方式的新型数字化教育资源。

微课堂的教学，首先教学目标明确，素材的运用十分便捷。为迎合小学生生理特点，一般来说，时间都在十分钟左右，三分钟到六分钟是最好的。而且，在知识点的教学上，一般都是片段化的，呈现的都是一个独立的、针对性较强的教学内容。上海师范大学的黎加厚教授曾经总结过关于微课教学的几个特征，总结起来就是聚焦、简要、技术、创新、清晰。正是由于微课教学这些与教学对象性格特征，认知特点相吻合特点，才使得微课在教育界的盛行。对于小学英语教学，可以将微课形成一个系列，而且保障教学内容上的连贯性，可以采取循序渐进、由浅入深的策略进行。这样更符合小学生的认知特点，真正将微课这种新型教学形式运用于小学英语教学。

二、将微课运用于小学英语课堂教学的策略分析

1.制作时间较短，针对性强的微课。

对于小学生来说，他们往往具有很强的好奇心，但是往往无法长时间集中注意力，而且自控能力较弱。教师要充分认识到小学生的这些生理特点，才能保障教学策略的有效性。因此，教师在制作小学英语微课时，最好将时间控制在十分钟以内，以三分钟到六分钟左右为最佳。而且，每一个视频的针对性都要强。只针对其中某个具体的知识点进行讲解，在视频当中，只安排学习内容而没有教师，这样可以使学生更集中注意力。以《牛津小学英语》（译林版）四年级上册教学为例，其中有一个较难的教学内容，学生很难区分How much和How many的区别。根据以往的教学经验，学生难以区别二者的主要原因在于不知道much和many在语义内涵上的差异。因此，教师可以专门为此做微课视频进行讲解：

（1）所修饰词的不同

How many用来修饰可数名词的复数，它的句式是：How many+复数名词+一般疑问句+？

例：How many books are there on the desk？

How many days are there in a week？

How much用来修饰不可数名词，表示数量，也可单独使用。

例：How much milk is there in the glass？

How much does the pig weigh？

How much is the eraser？

（2）记忆口诀

How many在句首，名词复数跟着走，一般问句紧相随，其他成分不要丢。

对于小学生来说，对于运用视觉得来的记忆，往往比运用听觉得来的记忆要持久。微课是在学生注意力集中的时间范围内，充分结合视觉和听觉的手段。因此，往往能够得到更好的教学效果。

2.依据学生的需求，创作个性化的微课。

微课程本身就是一种突出个性化教学的手段。对于教师来说，他们可以根据学生学习的实际状况，制作针对性较强的微课，并随时进行更新、上传。由此虽然是从学生的认知情况出发，突出学生的主体性地位，但是小学生是一种对于个人需求十分在意的个体，他们可以根据现有的学习路径参与课堂的学习，也可以按照自身的情况控制学习进度。如果微课教学能够结合学生个人的兴趣爱好，将会更得到学生的青睐，从而提高教学的有效性。最基本的需求就是，教师要选择一种适应于学生理解的方式进行讲解。对于微课来说，再好的制作需要一种适合学生的方式承载。一切教学目标的安排都要从学生的自身特点出发。因此，应当结合微课的具体教学内容，制定适合学生的讲解方法，以使得微课教学达到事半功倍的效果。以《牛津小学英语》（译林版）四年级上册Unit2“Let’s make a fruit salad”一课为例，教师可以在微课教学当中涉及一个游戏对话：Lily和Jim一起玩游戏，有一个不透明的袋子，里面有很多的物体。Lily将手伸进去摸，然后向Jim描述，让Jim猜测是什么。

如，Lily第一次伸进袋子里摸：

Lily：It is a kind of food.

Jim：Is it a fruit？

Lily：Yes！

Lily：It is yellow.

Jim：I know. It is a banana. Can you show me that？

Lily：Here you are.

Lily第二次伸进袋子里摸：

Lily：It is a kind of food.

Jim：Is it a fruit？

Lily：Yes！

Lily：It is green. It is big and round.

Jim：I know. It is a watermelon. Can you show me that？

Lily：Here you are.

Lily第三次伸进袋子里摸：

Lily：It is gray. It has thorns.

Jim：I know. It is a durian. I want to eat it.

Lily：Haha. Here you are.（It is a Hedgehog.）

运用这样简短的、有故事性的微课视频，可以与小学生的兴趣爱好相结合，使学生在学习语言知识的同时，感受到英语语言学习的乐趣。

篇9

一、发现法

它是根据中学生具有好奇心的特点，给学生提供一定的材料，让学生充分发现和解决问题的一种方法。如，在学习“空间两个平面的位置关系”时，可先让学生仔细观察教室的墙壁、天花板、桌面、地面等之间的关系，积极发现空间的两个平面的两种位置关系。学生心理上有了满意感，为后面学习奠定基础。

二、研究法

它是根据学生已有认识和研究方法诱导迁移，让他们充分讨论的一种方法。学习对数函数时，前面已学过了指数函数，都是从定义及其一般形式、图像形状和作法、性质及应用三方面研究的，对数函数仍然研究这几个方面。学生顿有所悟，让学生以小组为单位进行讨论，从而展开了“对数函数”内容学习。以这种方式导入新课，学生整体轮廓清晰，方向明确，能在接受新知识的同时体会数学方法。

三、强调法

它是根据中学生对有意义的事物感兴趣的特点，首先叙述本课或本章的重要意义的一种方法。如学习“复数”时，先强调：有一种新数，十八世纪以后，它就在数学、力学和电学中得到了应用，现在已成为科学技术中普遍使用的一种工具，它就是复数。然后由数的概念推广引入复数，可以吸引学生的注意力。

四、直接法

它是一种上课就把要解决的问题提出来的一种方法。如学习“三垂线定理”时，先把定理的内容板书在黑板上，让学生分清定理的条件与结论后，然后证明过程十分容易进展。

五、反馈法

它是根据信息论的反馈原理，给学生提出一些问题，根据学生反馈效果，给予肯定或纠正后导入新课的一种方法。如，在学习“同角三角函数的基本关系式”后，学习它在求值、化简、三角恒等式证明的应用就水到渠成了。

六、设疑法

它是根据中学生爱追根求源的心理特点，一上课就给学生创设矛盾、设置悬念，引起思考，使学生产生迫切学习的浓厚兴趣，诱导学生由疑到思，由思到知的一种方法。如，学习“球的体积”时，先给学生提出：我们能否利用前面柱、锥体的体积公式推出球的体积公式呢？将一个底面半径和高都等于球半径的圆柱，挖去一个以圆柱的上底为底面、下底面圆心为顶点的圆锥，剩余的体积与半球的体积会相等吗？学生带着这样的疑问，使球的体积公式的推导十分顺利。

七、故事法

篇10

“妈妈，我来分碗。”“哦，这可不行，你会把碗打碎的。”

“你看，你看，从这个杯子舀到那个杯子，弄得满桌都是水！妈妈把桌子擦干净了。可不准再弄了！”

生活中这样的情景是不是比比皆是？我们希望孩子从小学会数数，学会加减乘除计算；我们又害怕孩子把东西损坏，破坏我们辛苦收拾好的干净整洁，于是我们下着一个个成人的命令。可是您是否知道也许就在这不经意之中，我们扼杀了儿童智力结构中的一个重要能力――数学逻辑能力的发展？

在您不厌其烦地教孩子数1、2、3、4、5……机械地背诵1＋1=2的公式时，您是否以为您的孩子真的明白1、2、3的意义，是否真的有了数字概念了呢？当您自得于“我的儿子才1岁半，已会从1 数到10了。”您是否以为孩子真的已具有了数学逻辑能力呢？

一、什么是儿童的数学逻辑能力

数学逻辑能力即感知数学关系和空间关系，用数字和符号进行逻辑推理的能力，它突出表现在数学家、科学家、工程师、猎人、侦探、律师及会计身上。

“数学是思维的体操。”数学因具有抽象概括性，是发展个体智力的一个重要途径。酷爱文学的伽利略对数学曾一度是个门外汉，有次去拜访他的朋友数学家利奇，听见利奇正在给孩子们讲几何学。伽利略听了以后就像着了迷一般深受其吸引，认为找到了揭开自然秘密的钥匙，从此潜心研究，在物理学、天文学、数学方面作出了卓越的贡献。

二、怎样培养儿童的数学逻辑能力

在我们生活的环境中，任何客观事物都具一定的数量、形状、大小，数学逻辑能力的发展可以使个体更准确地认识客观事物，从而更好地解决各种问题。可是具抽象概括性的数学因不符合儿童具体形象的思维特点，不容易为儿童理解。那么，怎样根据儿童认知发展的特点，逐步而有序地培养其数学逻辑能力呢？

1与实物结合起来的数数。3岁的麦克・菲莉曼看着计时器上出现的号码，告诉妈妈：“上面写着10∶27，就是说33分钟后便是11∶00了。”麦克身上这种非凡的数学智能要得益于他那懂得教育的妈妈。在麦克刚满6个月，妈妈递给他一块饼干时，就竖起食指告诉他“这是一块饼干”。刚满周岁时，就让他竖起食指表示“宝宝1岁了”。孩子这时虽然不会说，但他会听，经常的刺激，使他在不知不觉中熟悉了数目。

2岁～3岁的儿童一般都能从1数到10，但这仅仅是数数而已，就像儿童会背“一个火柴盒，里面有个小人国”的儿歌一样，这只是机械地记忆，儿童还没有真正理解到数的含义。而我们成人常常一味自得于儿童表面的正确，而怠惰于将儿童的数数与实物结合起来。事实上，儿童一旦指着实物数数，就会出现很多口手不一致的地方，主要表现在：

手指数错：跳数或重复数；

口头数错：重复数或倒数；

口手不一致：口快手慢或口慢手快。

小麦克在学习数数时，和妈妈一起在各种活动中指着各种各样的实物数数：吃饼干时数饼干，穿衣服时数钮扣，上楼梯时数台阶，洗澡时数自己的小手指、小脚趾，饭桌上数刀叉……数到最后一个，妈妈总是问麦克：“一共是几个？”让麦克明白数的最后一个数即总数。小麦克就是在各种各样的游戏活动中，调动了各种感官――视觉、听觉、触觉，建立了一一对应的数概念。可见儿童获得最初的数学逻辑知识，真正地理解数，必须通过相关客体的摆弄操作，儿童必须通过对物体的动作来理解数的关系。而我们成人最大的误区就是试图用语言来教会儿童数学。“数学不是教会的，而是儿童自己发明的。”皮亚杰的警告可谓发人深省。

2从游戏中自然习得数的守恒、数序和类包含。如果对已学会数数的幼儿进行这样的实验：妈妈和孩子各坐一边，各有4块饼干，各饼干排列间距相同，那么儿童很容易理解“妈妈的饼干和我的一样多”；而一旦把妈妈的饼干间距拉大，他就会叫喊“妈妈的饼干比我的多”。他不明白“4”就是“4”，不会因为空间排列、距离远近、形状、大小的改变而发生变化。麦克的妈妈就是通过把相同数目的饼干、石子、扣子等摆成各种图形，使孩子认识到，同一数目的东西无论排成什么形式，总数不变。

麦克很喜欢和妈妈玩纸牌游戏，如牌的接龙：先分出花色，然后把各个花色按1、2、3、4……的顺序排列起来；或者妈妈抽去几张，让小麦克找出相应的牌给添上。就这样不知不觉中，小麦克通过游戏认识了数字，也初步建立了序的概念。再如小麦克喜欢画画，特别喜欢画鸭子，妈妈就把标出数字的小卡片给他，标有2的卡片上画2只鸭子，标有4的就画4只，小麦克乐此不疲，不知不觉中明白了画了1只再画1只就是2只，再画2只就是4只……试想若是我们让小麦克机械地重复1＋1=2、2＋2=4……小麦克会表现出勃勃的、强烈的兴趣吗？

小麦克画了5只鸭子，3只是黄色，2只是褐色。当妈妈问他黄色的鸭子和褐色的鸭子哪种多时，小麦克毫不犹豫地回答是黄色的多；可当妈妈问他黄色的鸭子和鸭子哪种多时，他竟然回答还是黄色的多，并对妈妈的忍俊不禁表示不解――浑然不知自己的错误。可见孩子若要真正理解数，还必须在实际操作中明白这种整体与部分的关系。如在2＋3=5中，2

3让孩子去测量。儿童用小勺一勺一勺地舀水时，其实就是在用勺子测量水――尽管他这个动作或许出于无意。他会用小手去量爸爸的脸有几扌乍，会用脚步去丈量房间有几步，会用小脚一脚挨一脚地测量过道有几脚……儿童表现出来的这种测量意识亦是数学逻辑能力的表现。他们未必要用尺去丈量，他们更喜欢用实物来测量。父母提供的实物可以从一种到多种，如从提供筷子这一种物品来测量桌长，到提供筷子、铅笔等多种物品供其测量桌长。最后不提供实物，完全由儿童自己寻找。如有一个孩子在测量杯子周长时，试了好多办法――火柴棒啊、积木等等，都失败了，最终发现用线可以测量。当他欣喜若狂地告诉妈妈他的发现时，脸上充满了成功的喜悦。