函数最值的应用范文

导语：如何才能写好一篇函数最值的应用，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：最大值 最小值 最值 边际

中图分类号:F224 文献标识码:A

文章编号:1004-4914（2011）12-082-02

在工农业生产、科学技术研究、经营管理中，经常要遇到在一定条件下，怎样用料最省、产量最多、效率最高、成本最低等问题，这些问题在数学上有时可归结为求某一函数的最大值或最小值的问题。随着市场经济的不断发展，利用数学知识解决经济问题显得越来越重要，运用微分中的最值可以对经济活动中的实际问题进行最优化分析，从而为企业经营者的科学决策提供依据。

一、最值的概念

1.最大值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≤f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最大值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最大值点。

2.最小值。设函数f（x）在区间[a,b]上连续，x0为区间[a,b]上某一点。当对于任意x∈[a,b]，有f（x）≥f（x0），则称f（x0）为f（x）在[a,b]上的最小值，称点x0为f（x）在[a,b]上的最小值点。

最大值和最小值统称为最值。

二、最值在经济中的应用

最优化问题是经济管理活动的核心，各种最优化问题也是微积分中最关心的问题之一，例如，在一定条件下，使成本最低，收入最多，利润最大，费用最省等等。下面介绍函数的最值在经济效益最优化方面的若干应用。

1.最大利润问题。

例1：某工厂在一个月生产某产品Q件时, 总成本为C（Q）=5Q+200（万元），得到的收益为R（Q）=10Q-0.01Q2（万元），问一个月生产多少产品时, 所获利润最大?

解：由题设，知利润为

L（Q）=R（Q）-C（Q）=5Q-0.01Q2-200（0

显然最大利润一定在（0，+∞）内取得。

令L'（Q）=5-0.02Q=0，

得Q=250。又由

L''（Q）=-0.02

所以L（250）=425（万元）为L的一个极大值。

从而一个月生产250件产品时，可取得最大利润425万元。

2.最大收益问题。

例2：某商品的需求量Q是价格p的函数Q=Q（p）=75-p2，问p为何值时，总收益最大？

解：总收益R（p）=pQ=75P-P3，（p>0）

令R'（p）=75-3p3=0，

得p=5，又

R''（p）=-6p?圯R''（5）

从而R（5）=250，为收益R（p）的极大值。

即当价格为5时，有最大收益250。

3．经济批量问题。

例3：某商场每年销售某商品a件，分为x批采购进货，已知每批采购费用为b元，而未售商品的库存费用为c元/年・件。设销售商品是均匀的，问分多少批进货时，才能使以上两种费用的总和为最省？(a,b,c为常数，且a,b,c>0）。

解：显然，采购进货的费用W1（x）bx，

两次求导：C'（Q）=-6+2Q

令C'（Q）=0 则Q=3

当Q=3时，平均成本最低。

最小的平均成本C（Q）=15-18+9=6

而边际成本函数C'（Q）=15-12Q+3Q2

当Q=3时，C'（Q）=15-36+27=6

可见最小平均成本与边际成本相等。

边际的意义是：当产量在Q的基础上再增加一个单位时，成本C（Q）的增量。

三、总结

综上所述，对经营者来说，导数在经济学中的应用颇为广泛，而且在日常生活中、生产和科研中，常常会遇到最值的问题，不仅而已，从上面的例子可以看出，对其经济环节进行定量分析是非常必要的。将数学作为分析工具，不但可以给企业经营者提供精确的数值，而且在分析的过程中，还可以给企业经营者提供新的思路和视角，这也是数学应用性的具体体现。因此，作为一个合格的企业经营者，应该掌握相应的数学分析方法，从而为的经营决策提供可靠依据。

参考文献：

1.陆庆平.以企业价值最大化为导向的企业绩效评价体系――基于利益相关者理论[J].会计研究,2006(3)

2.高哲.浅谈微积分在经济中的应用[J].中国科技博览,2009（7）

3.李春萍.导数与积分在经济分析中的应用[J].商业视角，2007（5）

4.向菊敏.微积分在经济分析活动中的应用[J].科技信息，2009（26）

5.褚衍彪.高等数学在经济分析中的运用[J].枣庄学院学报，2007（10）

6.谭瑞林，刘月芬.微积分在经济分析中的应用浅析[J].商场现代化,2008（4）

7.顾霞芳.浅谈导数在经济中的应用[J].职业圈，2007（4）

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由于学生对判别式法求函数值域的原理不是很清楚，所以在求解时常常会考虑不周全而漏解，造成近几年高考试卷中，解析几何大题的最后一问关于斜率K的函数在求最值（或范围）时，不能从容应对，当然除了判别式法以外，也常常利用均值不等式进行处理。

总之，只有学生在学习过程中，对其原理认真领会、强化通性通法，引导学生对数学问题从多层面，多角度进行延伸探究，有意识的引导学生从“变”的现象中分析“不变”的本质发现规律。所以变式教学要围绕讲的目的性和针对性展开：明确是训练学生的计算能力，还是深化学生思维；是进一步巩固基础，还是提高学生能力；是提醒学生哪些地方易错，还是磨练学生解题意志。有效地拓展更好的服务于讲，深化了练，提升了课堂的质量。高三教学发挥变式功能，更是一种有效地引导学生学会“如何思”“如何想”并走向“自觉地思”“自觉地想”的方式，有利于培养学生灵活多变的创新思维，完善学生的认知结构，提高学生分析问题、解决问题和探索创新能力。

参考文献

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一、直接法

某些函数的结构并不复杂，可以通过适当变形，由初等函数的最值及不等式的性质直接观察得到它的最值。

例1　求y=x3＋2/2＋5暑的最杏值，解析：变形为y＝1=X2＋2/3，故当x=0，时，yma

二、反函数法

由原函数反解出x=￡(y)，根据x的范围求出y的范围，进而得到y的最值的方法称为反函数法，此方法适用于能顺利求得反函数的函数，如形如y=αt＋b/ct＋d(α≠0)的函数， 类似地，此方法也可推广到可以解得g(x)=￡(y)，且已知g(x)的取值范围的函数，

三、配方法

配方法是求解“可化为二次函数形式”这一类函数的最值问题的基本方法，有着广泛的应用，

四、换元法

引入新变量对原函数式中的代数式或三角函数进行代换，将所给函数转化成容易求最值的简单函数，进而求得最值的方法称为换元法，形如y=ax+6的函数求最值常用此法，用换元法解题时要特别注意变元前后自变量的取值范围要保持一致。 　 　五、不等式法

通过对原函数式进行变形，利用等基本不等式求函数的最值的方法称为不等式法，用不等式法求最值时，要注意“一正、二定、三相等”的应用条件，即不等式中的两项必须都为正，两项的和一定时积有最大值、积一定时和有最小值，必须能取得到最值，

点评：利用不等式法求最值时，要注意函数取到最值时，相应的x的值是否存在，如果不存在，则此最值不能取到，此时要考虑用其他方法来解题，点评：用不等式法和判别式法都只能求出例8中函数的最小值，如果要求它的最大值，上述方法就不可行了，需要考虑换用其他方法，

七、单调性法

如果能确定函数在某个区间上的单调性，就可以求出该函数的最值，求解函数在给定区间上的最值问题常可试用这种方法，函数的单调性可以直接用单调性的定义来判别，也可结合函数的图像来研究，或者用导数法来判定。

点评：看到例11中的函数的形式，很多同学会考虑用换元法来解题，但若用换元法无法将其转化为一元二次函数的形式，会让解题过程变得更繁杂，甚至无法顺利进行下去，在判断函数的单调性时，方法的选择也是很重要的，三种方法各有特点：定义法是最容易想到的，图像法最直观，而导数法往往比较简捷。

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首先,可以用初等数学的方法求函数最值。

1.利用二次函数求最值

利用二次函数求最值是一种应用甚广的基本方法,其基本思路是将将问题转化为某个变量的二次函数,通过配方,利用二次函数性质求出最值。

例1 设x1,x2是关于x的一元二次方程x2+ax+a=2的两个实数根,(x2-2x2)(x2-2x1)的最大值是什么?

解:因为 =a2-4(a-2)=(a-2)2+4>0,

所以(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2x12+5x1x2-2x22

=-2(x1+x2)2+9x1x2 。

因为x1,x2是方程x2+ax+a=2的两个实数根,

所以x1+x2=-a,x1・x2=a-2代入配方可得:

(x1-2x2)(x2-2x1)

=-2a2+9a-18 =

根据平方的非负性知:当a= 时,(x1-2x2)(x2-2x1)的最大值为- 。

2.利用换元求最值

一些函数,特别是在函数表达式中含有三角函数的情形,往往可利用三角函数的有关性质来求函数的最值,这就是三角换元求最值;其他的换元就是根据函数表达式的特点,把某一部分看作一个整体或用一个新变元来代替,达到化繁为简,从而使问题得解。

(1)三角换元

例2已知x,y均是正数,x2+y2=1,求x+y的最值。

解:令,

则 所以x+y的最大值为√2,最小值为-√2。

(2)其他换元

例3 已知 的最大值。

解: 当且仅当x=y= 时取等号,所以 的最大值为2。

3.利用数形结合求最值

运用数形结合的思想,将函数的最值问题转化成几何图形的性质问题,通过几何的有关知识来解决。这种方法对于最值的解法显得更直观、易懂、简洁,这对于开拓思路,提高和培养分析能力,解决问题的能力有裨益。

例 4 求函数y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13的最小值。

解:因为 y=√x4-x2+1+√x4+7x2-4x+13

=√x2+(x2-1)2+√(x-2)2+(x2+3)2,

所以y可以看作点P(x,x2)到点A(0,1)及点B(2,3)的距离之和。

已知点P(x,x2)在抛物线y=x2上,又由于y=x2与线段A,B有交点,故当A,P,B在同一直线上时,距离之和最小,最小值为线段AB的长,所以y的最小值为ymin=√(2-0)+(-3-1)2=√20=2√5。

4.利用基本不等式求最值

不等式和最大值与最小值是密切相关的。比如要证明某个参数P的最小a,可先证明P≥a,然后说明P可以取到a,这是利用不等式求最值的基本思路,更为一般的是利用均值不等式,积定求和最小值,和定求积最大值。

例5 求的最小值。

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最值问题在中学数学教材中占有相当重要的地位，而与“不等式”“函数值域”都有着密切联系。中学中我们学习了不少关于求最值的方法。本文利用我们学过的知识把复数,几何等知识融合在一起给出了求最值的几种巧妙方法，诣在归纳总结，给以后学习最值问题提供参考。

1.用比较半径法求最值。

此方法主要是从代换的角度出发，巧妙应用圆的半径来探索求最值。

这类题目的特点是所求函数和限制条件一般由一个是二次曲线形式的。利用坐标变换把二次曲线变成圆，再把目标函数变为直线，因在同一个坐标系内直线过圆，所以圆上的点到直线的距离小于等于半径。根据公式.

求得最值。

例1.已知求函数 的最值。

分析:此题限制条件是一个二次曲线—椭圆。目标函数为一直线，若令：

则恰能得到一个圆的方程，而目标函数12X-5Y是一过圆心的直线,这些恰好符合我们给出的条件,所以我们不妨用此方法去解.

解：令圆: 。

如图：显然圆上任一点P(X,Y)到直

线 ：12X-5Y=0的距离

即

例2.已知x+3y-10=0,求函数 的最小值。

解：设 则

直线 方程：

如图：圆：

从而本题变为求圆半径的最小值。

当直线 与圆相切时圆的半径取得最小值。

即： 故 .

1.切线法求最值。

①利用“直线关系法”求最值。

这类题目的特点是点 在平面上的二次曲线域（包括边界）上运动，求目标函数 的最值。此解法关键是把约束条件恒等变形，化成二次曲线上或形内的适合条件，再令 （ 为非零实数），转化成求 的最值，则可求出 的最值。

这种思路主要应用了斜率不变的直线系来解决问题。

例1. 若点 的坐标适合 求 。

分析:由题我们可以看出 所适合的条件是在这个圆形区域内,所求函数恰好为一直线,故我们可以用此方法去解.

解： 变形为，适合条件的点 为圆周上和圆内的点。

设目标函数 ，这是斜率为 的平行直线系，如图：

此题转化为求斜率为的直线与圆相切的方程。

又因为我们有

代入则得

即： ，解之得

所以 的最大值是5，最小值是 。

②斜率法求最值。

这类题的特点是所求目标函数一般为分式,如根据 的关系我们把它写成是二次曲线上点,从而这个式子可以看做是点(a,b)到曲线上任一点的斜率的最值,在根据二次曲线的切线求得最值 .此法能形象地说明该式最值的几何意义。解法关键是先把目标函数化成二次曲线上任意一点与曲线外一点（定点）连线的斜率k，再根据题意画出图形，构造切线，从而求得最值。

例1.若x为实数，求的最值。

解：目标函数可看作椭圆上任一点 ，与定点（4，3）连线的斜率 。如图：

设切线为 ，则，

解得

所以

备注：1.直线 与圆 相切充要条件：

2.直线 与椭圆 相切的充要条件：

。

3.直线 双曲线相切的充要条件：

。

4.直线 与抛物线 相切的充要条件：

3.用“动点求导法”求最值

这类题一般是以定线段为底某一曲线上的动点为顶点的三角形面积的最值问题.解此类提的一般步骤如下:

(1) 用导数法求出曲线到定线段距离的极值.

(2) 计算极值点和曲线端点到定线段的距离,并加以比较得出距离的最大值或最小值.

(3) 用三角形面积公式计算出三角形面积 的最值.

例1.椭圆 上有两点

及动点C，求椭圆内接 的最大面积。

解：设椭圆上点 到AB的距离取极值，

则过点C的切线AB平行，将方程

两边对y求导得： ，

所以切线斜率

以此代入椭圆方程，求得C点的坐标 和 。

直线AB的方程为： ,点 和

到AB的距离：

所以 ， 。

所以 最大面积为 。

4.令“坐标法”求最值

这类题目的特点是目标函数为若干个二次根式之和.解法关键是精心设计各点的坐标,使以原点为起点相邻两点的距离之和恰好构成目标函数,从而起点与终点间的距离正好是其最小值.

例1.若 为非负实数，求 的最小值。

解：设点 ，点 ，点 则

，由图可看出从O 到C的线段中，

OC 为最短的，即：

所以

所以得： 的最小值是 。

5.利用“参数法”求最值。

此方法主要是利用圆锥曲线的参数方程把所求问题转化为三角函数,最后再利用三角函数的最值来求出所要求的问题.

这类题一般为求一个闭合的圆锥曲线的内接矩形的面积最值问题.如椭圆,圆等.

例1:求椭圆的内接矩形的最大面积

解:如图:令

则椭圆方程变为

将此方程转化为参数方程:

那么第一象限内椭圆上一点C的坐标

为 则内接矩形的面积

是:

当 时

又 图一边为图二相当于对椭圆进行了平移变换,故椭圆的大小,形状完全没有变化,所以其内接矩形的面积也不变.

椭圆内界矩形的最大面积是

参考文献：

[1]吴高林等.双曲线切线存在性及引向[J].数学通报，1983，（9）

[2]何亚魂.一类最值问题的解法[J].湖南城市学院学报，1988，（5）

[3]益阳师专学院报（自然科学版）[J].1988，（1）

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关键词： 不等式 函数 导数

导数是高中数学选修知识中一个重要知识块，应用广泛，教材中重点介绍了利用导数求函数的单调性、极值、最值和切线的方程等基本知识，但在高考中，为了体现以考查能力立意的命题思想，导数的相关综合题目通常都以其它数学分支如数列，不等式等为背景命制，以区分学生“转化与化归”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想的应用能力。本文探讨了以导数为工具解决可借助函数处理的不等式的相关问题.

一、题目中本来就出现的函数，绝对不能忽视

例1.已知函数f（x）=ln（x+1）-x，求证：当x＞-1时，恒有1-≤ln（x+1）≤x.

解题分析：构造辅助函数，化不等式的证明为利用导数研究函数的最值或范围，从而证明不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的难点，充分利用题目中所给的函数来构建是一个不可忽视的方向.

解后思：如果是函数在区间上的最大（小）值，则有（或），那么要证不等式，只要求出函数的最大值不超过0即可得证.

解答过程：略.

二、作差后待构建的函数的导数不含参数，采用作差构造单一函数

例2.已知函数f（x）=lg（x+1），g（x）=lg（2x+t），若当x∈［0，1］时，f（x）≤g（x）恒成立，求实数t的取值范围.

解题分析：f（x）≤g（x）在x∈［0，1］恒成立，即-2x-t≤0在x∈［0，1］恒成立?圳-2x-t在［0，1］上的最大值小于或等于零.

解后思：左右均随同一变元x而改变，适合采用作差构建新函数，如果函数中含有参数，分离参数是处理这类问题时另一个应当考虑的问题.

三、不等式中含字母系数，作商可实现字母系数的分离，采用作商构建新函数

例3.设=（1，x-3），=（-y，x），若，且对任意x∈（1，）时，y≥mx-16恒成立，求实数m的取值范围.

解题分析：本题可转化为求f（x）=y-mx+16=x-（3+m）x+16在区间（1，）的最小值来做，但直接求其最小值需分多种情况讨论，过程太复杂，若能注意到系数x∈（1，），则可把参数m与变量x分离，从而迅速求出其最值.

解：，・=0，y=x-3x.

当1＜x＜时，x-3x≥mx-16恒成立，

即m+3≤x+恒成立.

记f（x）=x+（1＜x＜），则f′（x）=2x-=，

当1＜x＜2时，f′（x）＜0；当2＜x＜时，f′（x）＞0，

当x=2时，f（x）=f（2）=12，

m+3≤12，得m≤9，

m的取值范围为（-∞，9］.

解后思：最值法是解不等式恒成立问题的一种非常重要的方法，其解题原理是：f（x）≥a恒成立?圳f（x）≥a；f（x）≤a恒成立?圳f（x）≤a.此方法特别适用于解f（x）的最值容易求出的不等式恒成立题型，对于某些最值不易求出的问题，我们可以考虑先实行参变量分离再求其最值.

四、数列是特殊的函数，换元后构造函数证明

例4.证明：对任意的正整数n，不等式ln（+1）＞-都成立.

解题分析：本题是与自然数相关命题，很多学生习惯性思考数学归纳法的应用，但是从所证结构出发，只需令=x，则问题转化为：当x＞0时，恒有ln（x+1）＞x-x成立，现构造函数h（x）=x-x+ln（x+1），求导即可证明.

解后思：整体代换，再做差后构建新的函数h（x），这是解决比较不等式左右两边均含有未知数的一种常见方法.

解答过程：略.

五、形如“f（x）＜g（x）”型不等式，适合分别构建函数处理

例5.已知函数f（x）=x-x-3x+2，g（x）=-，若对任意x，x∈［-2，2］，都有f（x）＜g（x），求a的取值范围.

解题分析：对任意x，x∈［-2，2］，都有f（x）＜g（x）成立，［f（x）］＜［g（x）］，f′（x）=x-2x-3，令f′（x）＞0得x＞3或x＜-1;f′（x）＜0得-1＜x＜3.

f（x）在［-2，-1］为增函数，在［-1，2］为减函数.

f（-1）=3，［f（x）］=3，3＜-，c＜-24.

解后思：此类问题中不等式左右两边的变元变化并无关联，适合构建两个函数分别求最值.

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【关键词】思维能力;高职数学教学;实例展示

高职学生的数学基础普遍较差，数学思维能力较弱，尤其是在高职教育提出“以应用为目的，以必需、够用为度”的教学原则，高数教学课时不断压缩的情况下，高职的数学教学变得越来越困难.本文从培养学生的思维能力入手，借助教学内容、教学方法和数学思维的实例展示，全面调动学生的学习积极性，激发学习热情，理清学习思路，抓住学习主线，培养学生的各项思维能力，不仅掌握更多数学知识，更要学生触类旁通，学会思考和解决各类问题，不断提高各项能力和素质.

一、高职数学教学内容分析

考虑到高职高专院校的教学实际，高职数学教学以“理解概念、强化应用”为原则.理论描述力求简约，重视思维能力、基本方法和基本技能的训练，充分体现以应用为目的，以必需、够用为度的高职教学基本精神.

目前，我们高职高专院校中，理工科一般开课两学期，文科视专业需要开课两学期或一学期.针对生源（高中毕业生或中等职业学校毕业生）教学内容和深度都有适当调整.高数的教学内容一般包括：函数、极限与连续、导数与微分、导数的应用、不定积分、定积分、常微分方程、向量代数与空间解析几何、多元函数微积分、级数、线性代数初步、概率统计初步和数学建模等.其中前五项为基础内容，开课两学期的专业，除了要学习基础内容外，根据专业需求和学时长短来选择后面的学习内容.开课一学期的专业，因教学时长有限，仅能学习基础内容外加一章专业急需的数学内容.

二、培养学生思维能力的实例展示――以“最值问题”为例

首先，我们要分析――何为最值、我们为什么要学习最值、函数在哪些点可能取得最值、这些点跟已经学过的内容有什么联系、如何利用已学知识求得最值、在求解的过程中需要注意什么？

最值，顾名思义，最大值或最小值.在实际生活中，我们经常会遇到如何使利润最高、用料最省、速度最快等问题，反映在数学上就是求函数的最值问题.由前面函数的连续性内容，我们知道闭区间上的连续函数一定存在最值.所以，如果我们能确定一个函数在某个闭区间上连续，那么它在这个闭区间上一定存在最值.这里就培养了学生的分析、理解、判断、推理和概括能力.那么函数到底在哪儿取得最值呢？我们可以利用前面刚刚学习的极值的问题，通过图形来判断.作图的方式是数学课程中经常用到的教学方法，这个过程又培养了学生的画图能力、图形识别能力和抽象思维能力.通过图形分析，我们发现，闭区间上的连续函数在区间内的极值点或区间端点处可能取得最值.所以我们必须求出来所有的极值点，然后比较极值点处的取值和端点处的取值，最终确定哪个是最值点.这个过程同样培养了学生的综合、比较、判断、推理能力.然后，我们需要归纳出求最值的一般步骤.这个过程可以由学生自主完成，这可以锻炼学生的概括能力和思维的条理性和严密性.求最值的一般步骤为：（1）求出函数在对应开区间内的所有驻点和不可导点（这些是求极值点的过程），并计算出这些点的函数值及区间端点处的函数值;（2）比较这些函数值，最大者就是函数在此闭区间上的最大值，最小者就是最小值.那么这个过程需要注意什么呢？在发问的过程中，很多学生都迅速说出了他们的想法和观点：（1）函数是否在闭区间上连续？因为这个直接影响了极值点的确定;（2）要求出所有的不可导点，因为不可导点有可能是极值点;（3）别忘了求端点处的函数值，因为端点也有可能是最值点.在发问的过程中加以引导，学生思路更加清晰，思维更加缜密，对原来所学极值的内容掌握更加牢固，能够站在更深的思想维度里考虑极值问题.接下来，我们需要给学生给出一些函数求最值，让他们练习巩固.这个过程少不了教师的引导和点评.再往后，就要进入实际问题的最值求解.实际问题的设置要符合生产生活实际，最好能契合学生专业，以能启发学生学习兴趣为主要出发点.这个过程要注意：最值的求解必须符合实际意义.在实例求解的过程中，要注意培养学生的逻辑思维能力、分析问题能力和推理能力.最后，我们可以对最值问题做适当扩展和发散，以进一步启发、培养和锻炼数学基础较好或兴趣较高的同学的思维能力和思维方式.

三、思维能力培养贯穿高职数学教学始终

我们认为，只有在教学过程中时刻兼顾学生的数学基础，时刻强调学生思维能力的培养，将教师的思维过程和学生的思维过程全面展示和结合，才能真正做到让学生融入到有限的课时中去，才能彻底激发学生的学习热情，才能真正体现数学的教学目的和意义.本文主要针对高职数学教学中学生思维能力的培养，实例展示如何在教学过程中体现对学生的理解力、分析力、综合力、比较力、概括力、抽象力、推理力、论证力及判断力等各种思维能力的培养，让学生真正会思考、会抽象、会判断，变得更加智慧，处理问题更加游刃有余.

【参考文献】

[1]康德.论教育[A].刘克苏等译.北京：改革出版社，1997.

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关键词：导数 高中数学 解题 应用

1.引言

近些年来，导数作为高中数学中的新增知识点成为了各地高考命题的重点。相关数据显示，在2006年和2007年两年的高考中，全国各地的试卷都涉及到了对于导数知识的考查[1]。导数是微积分中的基础知识，对于实际问题的解决及函数问题的研究具有推动作用。对导数知识的考查一般都从不同的角度进行，而且也会和解析几何、函数、不等式等相关知识点综合起来进行命题，需要学生在牢固掌握导数相关知识的基础上能够灵活的加以运用，并且还要将数学知识应用到解决实际问题之中。所以对于高中学生来说，在高考复习过程中，要加强对导数知识的温习与巩固，并增强在解决数学问题中将相关知识灵活运用的能力[2]。

2.导数在解决高中数学问题中的应用

2.1对函数的单调性进行判断时导数的应用

高中数学中函数的单调性一直是重点内容，它表示的是在一定的区间内，随着自变量的变化，因变量产生的变化情况。在还没有将导数的知识引入其中前，常根据函数单调性的定义对函数的单调性进行判断。即在特定的区间内，如果函数中的因变量随着自变量变大也跟着变大则该函数为增函数，因变量随着自变量的增大而变小则是减函数，而相应的区间则是其相应的单调区间。这种方法对于简单的函数进行单调性判断尚可，一旦遇到较复杂的函数，则这种判断方法会极为繁杂，而且往往难以予以准确证明。而引入导数的概念后，就可以利用导数进行函数单调性的判断了，这种判断方法既准确又迅速。在用导数对函数单调性进行判断时，如果是要判断f（x）这一函数在区间[m，n]上的单调性，则只需对其在此区间上求导，所得的导数如果大于零，则该函数在区间[m，n]上单调递增，反之则是单调递减。在利用导数对函数的单调性进行判断时，最重要的是要对一些常见函数的求导方法清楚并能够熟练掌握，同时要说明函数具有的单调性及其相应的区间。

2.2证明不等式时导数的应用

近年来，高考的命题趋势是考题的综合化和知识运用的灵活性考查。高中数学高考常见的命题形式之一就是将函数和不等式结合起来进行考查。而在过去几年的高考试题中，很多与不等式有关的题目都可以将导数运用其中，达到简捷明了解题的效果[3]。在使用导数证明不等式的过程中，通常的步骤是先把待证明的不等式稍加变形，转换成判断两个函数大小的问题，然后构建出一个辅助函数并进行求导，判断导数在相应区间上的正负，确定辅助函数在相应区间的单调性，从而对两个函数大小进行判断，达到不等式证明的目的。尤其是在证明对数函数、指数函数和三角函数等相关的不等式时，运用导数知识进行解答更加简便，效率也更高。利用导数解题不仅可以帮助学生理解不等式、函数和方程等知识点的联系[4]，还可以帮助学生在解题过程中对其性质及概念进行进一步的理解。

2.3解决切线问题时导数的应用

随着高考命题中导数相关知识的考查比重逐步增加，对于一些特殊曲线进行切线问题探讨的题目也不断增加，包括对指数函数曲线、三角曲线、圆锥曲线和对数曲线等的切线研究等，而在这些切线问题中，传统的解答方法不仅费时费力，而且往往无法得出准确答案。而导数的实质意义就是在曲线上某一点处切线的斜率[5]，这一点决定了它可以很好的利用到对切线问题的解答中，为之提供新的解题方法和解题思路，从而使高考命题具有更加广阔多样的空间。

2.4在求解函数最值中导数的应用

函数求解最值一直以来都是作为高考难点出现的，传统的求解方式也有很多。而导数的引入为函数最值的求解提供了一种新的解题思路和解题方法，很多时候也是最为简便快捷的解题方法。如最具典型的二次函数求解最值的题目，由于其所求的在某一区间内的最值是要求得相应区间的最小值或最大值，具有参数，所以也是一个难点。而解决这一问题的传统方法是数形结合方法，解答过程十分繁琐复杂。而导数可以用来对此函数在该区间上的单调性及其最值进行判断，并明确其最值与相应区间的对应关系即可，所以解决此问题十分简洁明了。对于特殊的复合函数要求最值时，难以运用传统解题方法寻找突破口和出发点，而且解题过程复杂，而用导数只需要先将相应的定义域求出，就可以快捷简单的求解其最值。

3.结束语

在高中数学解题中，导数具有非常广泛的应用，除了文中罗列的几种应用之外，还可以应用在立体几何与解析几何的向量问题中。它可以作为一个纽带将高中数学和下阶段的大学数学的知识内容连接起来，便于学生在大学中学习微积分知识的快速入门与深刻把握。然而由于导数的内容在课本较后面，学生在解题时常会用比较习惯和熟悉的解题方法来解答，对于导数的应用相对较少，所以在平常的学习和模拟考试中，要加大导数的应用力度，以便为高中数学问题的解决准备多种方法，多种思路，加强解决实际问题的能力。

参考文献：

[1]冯国东.导数在高中数学解题中的运用分析[J].新课程研究（基础教育）

[2]余修伟，高海霞.导数在高中数学解题中的运用分析[J].华章

篇9

类型一、y=asinx+bcosx+c型

其解法是借助辅助角φ化为y=a2+b2sin(x+φ)+c（其中sinφ=aa2+b2,cosφ=ba2+b2），然后再利用然后再利用正弦函数的有界性即可求解。（注意：有时也可化为y=a2+b2cos(x－φ)+c）

例1函数y=sinx+3cosx在区间0,π2上的最小值为[CD#4]。

解析：y=sinx+3cosx=212sinx+32cosx

=sinx?cosπ3+cosx?sinπ3

=2sinx+π3，

又x∈0,π2，π3≤x+π3≤5π6。

当x+π3∈π3,5π6时，12≤sinx+π3≤1，ymin=1。

点评：此类型三角函数最值主要是将函数收缩为y=a2+b2sin(x+φ)+c后再利用正弦函数有界性，但要注意自变量本身范围的限定（如本题x∈0,π2）对sin(x+φ)范围的影响。

类型二、y=asin2x+bsinx+c型（其中sinx可部分或全部换为cosx）

其解法是换元法，令t=sinx（或t=cosx）化为二次函数y=at2+bt+c在（或其子区间）上的最值问题。

例2（1）函数y=2－sinx－cos2x的最小值为[CD#4]。

（2）已知k

（A）1[WB]（B）－1

（C）2k+1[DW]（D）－2k+1

解析：（1）y=2－sinx－cos2x=2－sinx－(1－sin2x)=sin2x－sinx+1，令t=sinx，则y=t2－t+1=t－122+34，t∈［－1,1］，

易知当t=1时，ymin=34。

（2）y=cos2x+kcosx－k=2cos2x+kcosx－k－1=2cosx+k42－k28－k－1，k

k4

故选A。

点评：此类型转化为二次函数最值后，千万要注意对称轴x=－b2a是否在区间［－1,1］内，以免求出最值出现错误。

类型三、y=asin2x+bsinxcosx+ccos2x型

其解法是用降次升倍公式先化为y=Asin2x+Bcos2x+C=A2+B2sin(x+φ)+C的形式，然后求解同类型一。

例3求函数y=cos4x+2sinxcosx－sin4x的最值。

解析：y=cos4x+2sinxcosx－sin4x

=(cos2x+sin2x)(cos2x－sin2x)+2sinxcosx

=cos2x+sin2x=2sin2x+π4，

x∈0,π2,2x+π4∈π4,5π4。

2x+π4=5π4，即x=π2时，ymin=1；

2x+π4=π2，即x=π8时ymax=2。

点评：此类型解法关键是降次扩角将其转化为类型一。

篇10

函数的单调性、奇偶性和最值不仅是新课标下高中数学教学的难点，也是高考的热点，特别是在抽象函数中对单调性、奇偶性和最值的应用是绝大数学生困惑、难以解决的问题. 因此，熟练掌握这类题目的解题策略是非常重要的. 我们举例说明函数三大性质在解题中的灵活应用.

【关键词】

抽象函数 单调性 奇偶性 最值 应用

一、抽象函数的单调性

例1 定义在R上的函数y=f（x），f（0）≠0，当x>0时，f（x）>1，且对任意的a，b∈R，有f（a+b）=f（a）・f（b）.

求证：（1）f（0）=1； （2）f（x）是R上的增函数.

分析：多设问问题注意前一设问的应用，本题没有函数解析式，理解f（a+b）=f（a）・f（b）的含义，充分利用该条件.

证明： （1）由任意的a、b∈R，f（a+b）=f（a）・f（b），

令a=b=0，得f（0）=[f（0）]2，

又f（0）≠0，f（0）=1.

（2）x>0时，f（x）>1，

当x

即 ，综上所述，当x∈R时，f（x）>0.

设任意的x1，x2∈R，且x1

f（x2）-f（x1）=f（（x2-x1）+x1）-f（x1）

=f（x2-x1）・f（x1）-f（x1）

=f（x1）[f（x2-x1）-1].

又x2-x1>0，f（x2-x1）>1，

f（x1）[f（x2-x1）-1]>0，

即f（x2）-f（x1）>0，f（x2）>f（x1），

f（x）是R上的增函数.

点评：对于抽象函数的单调性的判断仍然要紧扣单调性的定义，结合题目所给性质和相应的条件，对任意x1，x2在所给区间内比较f（x1）-f（x2）与0的大小，或 与1的大小.有时根据需要，而作适当的变形，如x1=x2・x1x2或x1=x2+x1-x2等.

二、抽象函数的奇偶性

例2 已知函数f（x）对一切x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）.求证：函数f（x）是奇函数；

分析：有关抽象函数奇偶性的判断和求值问题，常常采用“赋值法”.

解：由已知f（x+y）=f（x）+f（y），

令x=y=0，得f（0）=f（0）+f（0），

即f（0）=0.用-x代替y，得f（0）=f（x）+f（-x），

f（-x）=-f（x），

故函数f（x）是奇函数.

点评：抽象函数奇偶性的判断方法：利用函数奇偶性的定义，找准方向（得出f（-x）、f（x）），通过巧妙赋值，合理、灵活地变形配凑，找出f（-x）与f（x）的关系，进而得出结论.

三、抽象函数的最值

例3已知奇函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）.如果x为正实数，f（x）

分析：此题已经给出了抽象函数是奇函数，下面我们求该函数的最值前需首先探讨它的单调性.

解：设x1

则f（x2-x1）=f（x2+（-x1））=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）.

x2-x1>0，f（x2-x1）

即f（x）在R上单调递减.

f（-2）为最大值，f（6）为最小值.

f（1）=-12，f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，

f（6）=2f（3）=2[f（1）+f（2）]=-3.

f（x）在区间[-2，6]上的最大值为1，最小值为-3.

点评：对于抽象函数求最值，由于没有具体函数，一般是通过研究函数的单调性来确定其最值.而对于抽象函数的单调性的证明一般采用定义直接证明即可.

四、抽象不等式

例4 设f（x）是定义在（0，+∞）上的增函数，且f（x）= +f（y），若f（3）=1，f（x）- ≥2，求x的取值范围.

分析：将函数不等式中的抽象函数符号“f”运用单调性“去掉”，是本小题的切入点.要构造出f（M）

解：f（x）= +f（y），

令x=9，y=3，则f（9）=f（3）+f（3）.

又f（3）=1，f（9）=2.

又f（x）-f（y）= ，由f（x）- ≥2，得f（x2-5x）≥f（9）.

f（x）在（0，+∞）上为增函数，

x-5>0，x2-5x≥9，x>0， 解得x 5+612，

故x的取值范围是5+612，+∞.

点评：解此类问题要特别注意不得忽略函数的定义域.

抽象函数的学习，必须熟练把握函数的单调性、奇偶性的定义及证明，并通过不断的学习积累，对抽象函数的学习才能达到事半功倍的效果.

参考文献

[1]刘绍学；；普通高中课程标准实验教科书.数学必修1.人民教育出版社A版，2007；