勾股定理证明方法范文

导语：如何才能写好一篇勾股定理证明方法，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

勾股定理的证明方法如下：

1、以a b为直角边，以c为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于2分之一ab。

2、AEB三点在一条直线上，BFC三点在一条直线上，CGD三点在一条直线上。

3、证明四边形EFGH是一个边长为c的正方形后即可推出勾股定理。

（来源：文章屋网 ）

篇2

已知ABC中,∠ABC=90°,AB=BC,三角形的顶点在相互平行的三条直线l,l,l上,且l,l之间的距离为2,l,l之间的距离为3,则AC的长是()。

A.2 B.2

C.4D.7

这道选择题是有点难度的,需要学生作相应的辅助线,才能理清思路。如下图:过A,C两点作垂直于直线l的两条辅助线段AE,CF。有这两条辅助线后,相信只要知道直角三角形全等判定定理的学生都可以得到RtAEB≌RtBFC,所以有EB=CF,由勾股定理可以求得:

AB===,

AC===2。

所以这道选择题正确答案为A。

这道题目最终得以解决,用到了直角三角形的全等的判定,同时运用了两次勾股定理。有趣的是这道题本身还蕴含着勾股定理证明的一种方法,如果将上图中的直角梯形拿出来得到如下图形:两个全等直角三角形RtABC,RtBEF,两条直角边在同一条直线上,连接顶点A,E,构成一个直角梯形。

设直角三角形的三条边长分别为a,b,c,

显然S=(a+b)(a+b)=(a+2ab+b),

又S=S+S+S=ab+ab+c=(2ab+c)。

比较以上二式,便得a+b=c。

这一证明由于用了梯形面积公式和三角形面积公式,证明相当简洁。据说这个证明方法是美国第二十任总统伽菲尔德证明的。后来,人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明,就把这一证法称为勾股定理的“总统”证法。这在数学史上被传为佳话。

关于勾股定理的证明古代中国和古希腊的两个证明同样十分简洁,十分精彩。

1.中国方法

由边长分别为a,b,c的四个直角三角形构成一正方形,如图,其中a、b为直角边,c为斜边。

由图:正方形是由4个全等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab;中间的小正方形边长为b-a,则面积为(b-a)。于是便可得如下的式子:

4×ab+(b-a)=c。

化简后便可得:a+b=c。

这就是初中几何教科书中所介绍的方法。这个对勾股定理进行证明的方法,据说是三国时期吴国的数学家赵爽所给出的方法。

2.古希腊方法

直角三角形三边AB=c,AC=b,BC=a直接在直角三角形三边上画正方形,如图:

容易看出,ABA′≌AA″C。

过C向A″B″引垂线,交AB于C′,交A″B″于C″。

ABA′与正方形ACDA′同底等高,前者面积为后者面积的一半,AA″C与矩形AA″C″C′同底等高,前者的面积也是后者的一半。由ABA′≌AA″C,知正方形ACDA′的面积等于矩形AA″C″C′的面积。同理可得正方形BB′EC的面积等于矩形B″BC″C′的面积。

于是,S=S+S,

即a+b=c。

这里只用到简单的面积关系,不涉及三角形和矩形的面积公式。这就是希腊古代数学家欧几里得在其《几何原本》中的证法。

在欧几里得的证明方法中,以直角三角形三边为边作正方形,证明直角边上两个正方形的面积和等于斜边上的即可。其实勾股定理公式也可以变形为λa=λb+λc,也就是说,对任何相似形这个结论都等价。只要证明了勾股定理,就表明对任何相似形都成立。逆转过来看,只要对任一相似形证明等式的成立,就证明了勾股定理。

篇3

下面是笔者组织的探究活动实录及反思,供大家参考。

一、教学目标

1.知识与技能。

(1)理解并掌握勾股定理,了解利用拼图验证勾股定理的方法;

(2)学会用拼图的方法验证勾股定理,培养学生的创新能力和解决实际问题的能力。

2.过程与方法。

(1)通过丰富有趣的拼图,经历观察、比较、拼图、推理、交流等过程,发展空间观念和有条理地思考与表达的能力,获得一些研究问题和合作交流的方法与经验;

(2)经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题的方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值;通过验证过程中数与形的结合,体会数形结合的思想,以及数学知识之间的内在联系。

3.情感、态度与价值观。

(1)通过拼图活动,体验数学思维的严谨性,发展形象思维;

(2)通过获得成功的体验和克服困难的经历,增进数学学习的信心,在探究活动中,体会解决问题方法的多样性,培养学生合作交流的意识和探索精神;

(3)利用拼图方法验证勾股定理,是我国古代数学家的一大贡献,借助此过程,对学生进行爱国主义教育。

二、教学重点

经历用不同的拼图方法验证勾股定理的过程,体验解决同一问题方法的多样性,进一步体会勾股定理的文化价值。

三、教学难点

经历用不同的拼图方法验证勾股定理。

四、教学过程

1.活动一。

师:每个小组都有四个全等的直角三角形和一个正方形(如图1),其中直角三角形的直角边长分别为a和b,斜边长为c;正方形的边长为b-a。你能用它们拼成一个正方形吗?你能用它们拼成两个正方形吗?你能说出每个正方形的边长吗?

小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。

第4小组:我们首先拼成这样一个正方形(如图2),它的边长为c,然后拼成两个正方形(如图3)。(由两人合作完成)

学生:我在资料上看到,刘徽在证明勾股定理时,也是用的以形证数的方法,只是具体的分合移补略有不同。刘徽的证明原来也有一幅图,可惜图已失传,只留下一段文字:“勾自乘为朱方,股自乘为青方,令出入相补,各从其类,因就其余不动也,合成弦方之幂。开方除之,即弦也。”后人根据这段文字补了一张图(图13)。

3.活动三。

师:其实,在国外也有很多很好的用拼图证明勾股定理的方法。(如图14)直角三角形ABC的直角边分别为a和b,斜边为c,正方形Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的边长分别为a、b、c,我们一起试一试:首先用一条水平直线和一条竖直的直线将正方形Ⅱ分成四部分,再将它们与正方形Ⅰ一起拼成正方形Ⅲ。

小组合作完成后,让学生到黑板上演示并解说。

第6小组:我们按照这种方法,也将正方形Ⅱ这样(演示)分成四块(图15),但发现拼不成。

第4小组:他们的竖直线画得和我们不同(图16),我们认为要用一条水平直线和一条竖直直线将正方形Ⅱ分成四个四边形,再将四个四边形有公共顶点的四个直角与正方形Ⅲ的四个直角相对应,最后将正方形Ⅰ放在中间,正好拼成正方形Ⅲ。

第5小组:我们发现无论横线还是竖线在正方形Ⅱ内部的长度都必须等于直角三角形的斜边长c。

学生:想不到这么高深的数学问题我也能解决!

学生:现在我知道了动手做也可以研究数学问题。我不再感觉数学是枯燥的了,数学其实很有趣。

学生:我知道了原来我们中国古代数学家曾经取得非常高的成就,我要向他们学习,学好数学,成为像他们那样的数学家。

五、教学反思

通过“拼图与勾股定理”探究活动的教学,笔者有以下几点体会。

1.探究活动的起点不宜过高。

探究活动重在引导学生主动参与、乐于探索、善于实践,把握知识的全过程,明晓数学的来龙去脉。在“拼图与勾股定理”的探究活动中,笔者以中国古代和外国已有的证明勾股定理的方法为基础,精心设计了三个拼图活动,使学生在教师引导下,通过动手操作和思考,发现用拼图可以验证勾股定理,并明白其中蕴涵的数学原理和思想方法。所有的问题,学生通过观察、比较、拼图、推理、交流等都能得到解决,既不浅显,又不是高不可攀,使学生能做、乐做,同时又享受到做中的乐趣。

2.探究活动中学生的参与度很重要。

在“拼图与勾股定理”的探究活动中,90%以上的时间是学生在思考、交流、操作、发言和演示。每一个小组都有展示,每一个学生都在做、想、说,虽然其中有困惑、有障碍、有失败,但每个学生乐此而不疲,做的专心致志,想的眉头紧锁,听的津津有味,说的深入浅出,而且总会冒出一些出乎意料的问题和方法。这些得益于各小组的明确分工,使得每个学生都有动手操作的机会和发言的空间,也得益于教师对失败和错误的包容、对成功和精彩发言的表扬鼓励。整个过程中学生的意见得到发表,创造得到肯定,每个学生都有收获。

3.探究活动中学生有创造。

学生以前知道的勾股定理证明方法很有限,对于本活动中的许多证明方法,学生以前并不了解。对于学生来说,这些方法都是新的,而且是他们创造的。在数学学习活动中培养学生的创造能力,就是使学生在学习过程中,独立地发现新知识,独立解决自己未曾解决过的问题或把所学的知识应用到新的情境中去的能力。

篇4

在数学教学过程中，而是通过数学活动，让学生渴望新知识，经历知识的形成过程，体验应用知识的快乐，从而使学生变被动接受为主动探究，增强学好数学的愿望和信心。为此，本节课主要设计了三个活动。活动一：唤起学生对新知识的渴望。学生为了解决现实生活中的一个朴实、可亲、有趣的问题，不断碰到困难，并不断在发现中解决，思维探究活跃，好奇心和探索欲望被激起。活动二：学生在探索中体验快乐。探索“勾股定理”是本节课的重点和难点。在整个探索过程中教师只是一个引导者、启发者，引导学生动手、观察、思考、实验、探索与交流；学生在整个活动中切身体验到发现“勾股定理”的快乐。从而培养了学生的探索精神和合作交流能力。活动三：学生在问题设计中巩固勾股定理。本节课是勾股定理的第一课，知识的应用比较简单，学生设计问题有一定的可行性。引导学生在掌握勾股定理的基础上自己设计问题，完善问题，并从老师的高度进行变题，学生的主体性得到了充分的体现。整个教学设计遵循“重视预设、期待生成”的原则。

二、教学过程与反思

1.第一次试上，由我独立备课，从开始备课到上课结束，始终有两个疑问没有得到很好解决。一是如何引出勾股定理。教学过程是让学生在正方形网格上画一个两条直角边a、b分别是3厘米和4厘米的直角三角形，量一下斜边长c是多少?紧接着让学生观察直角三角形的三条边在大小上有什么关系。事实上，由于缺乏足够的材料，而且量得的结果可能不一定是整数，因此很难得出正确的结论。另外，也有学生在探究时，根据两边和大于第三边得出a+b>c这个结论，认为这也是直角三角形三条边之间的关系，这便偏离了教师预先设定的学习目标。二是勾股定理的证明。解决的方案:采用教材提供的方法，即教参上所说的数形结合的方法。通过恒等变形（a+b）2=4×12ab+c2，在教师的引导下作出联想，将四个全等的直角三角形拼在边长为（a+b）的正方形当中，中间又是一个正方形，而它的面积正好是c2，从而得出a2+b2=c2。其中的难点在于，让学生自己很自然地想到用拼图证明，对于大多数学生来讲，做到这一点几乎是不可能的。教师只能带领学生进行变形、联想、拼图等一系列的教学活动。教师的讲授时间明显多于学生的探究时间，尽管教师一直在讲，但是其中的来龙去脉还是很难交代清楚。第一次反思：（1）教师的讲授时间多于学生的探究时间原因在于：凭学生已有的知识尚无能力探究这个问题，学生“一路走来”只能回答“是”“对”，思维屡屡受阻，心智活动暴露在无所依托的危机之中。（2）备课时，教师就发现了难点所在，但直到具体实施时仍束手无策，心有余而力不足，无法引导学生进行有意义的自主探究，这与教师自身的经验不足有很大关系。（3）教师不仅要抓住教学中的难点，更要找到化解难点的办法。为学生向既定的探究目标迈进铺设适当的知识阶梯，当凭自己的能力无法做到时，应向专家请教，及时有效地解决教学中存在的问题，使自己在教法上能有所改进。2.第二次上课通过集体备课，大家集思广益，针对前面两个难点重点设计，基本上解决了原有的问题。设计方案是:将整个教学过程分成八节，每一节都清晰地展现在学生面前。（1）创设问题情境，设疑铺垫。情景展示：小强家正在装修新房，周日，小强家买了一批边长为2.1米的正方形木板，想搬进宽1.5米，高2米的大门，小强横着放，竖着放都没能将木板搬进屋内，你能帮他解决这个问题吗？（2）以1955年发行的毕达哥拉斯纪念邮票为背景，观察图形，你发现了什么？并说说你的理由。图一图二（3）以小方格背景，任意画一个顶点在格点上的直角三角形，并分别以这个直角三角形的各边为一边向外作正方形，刚才你发现的结论还成立吗？其中斜放的正方形面积如何求，由学生探讨。（介绍割与补的方法）（图一）（4）如图二，任意直角三角形ABC为边向外作正方形，上面的猜想仍成立吗？用四个全等的直角三角形拼图验证。（5）介绍一些有关勾股定理的史料（赵爽的弦图、世界数学家大会会标、华罗庚建议用“勾股定理”的图作为与外星人联系的信号等），让学生感受到勾股定理的历史之悠久，激起学生的民族自豪感。（6）应用新知，解决问题。①解决刚才“门”的问题，前后呼应；②直角三角形两边为3和4，则第三边长是%%。例：一块长约120步，宽约50步的长方形草地，被不自觉的学生沿对角线踏出了一条斜路，类似的现象时有发生，请问同学们回答：①走“斜路”的客观原因是什么？为什么？②“斜路”比正路近多少？这么几步近路，值得用我们的声誉作为代价换取吗？（7）设计问题，揭示本质。请学生概括用上述勾股定理解决问题的实质：已知两边求第三边长，并请学生设计能用勾股定理解决的简单问题。（8）感情收获，巩固拓展。①本节课你有哪些收获？②本节课你最感兴趣的是什么地方？③你还想进一步研究什么问题？说明:（1）通过具体的生活情景，激起了学生对本节课的学习兴趣，使他们急于想知道直角三角形的三边到底存在着怎样的数量关系，激发了他们的好奇心和求知欲。（2）学会了在小方格的背景下，用割补法求出邮票中斜放的正方形R的面积，同时为勾股定理的引出做好了充分的准备，为学生进行有意义的探究做好了铺垫。（3）证明方法可以说已经摆在这里，但由于前面的教学中计算强调过多，而忽略了计算原理，致使撤去小方格背景时，学生在证明时出现障碍，想不到补4个直角三角形，或割成四个直角三角形和一个正方形计算斜放的正方形面积。为了解决这个问题，本节课在定理证明时有意用拼图的方法再次验证勾股定理。（4）由于是勾股定理的第一课，应用较简单，学生设计具有一定的可行。引导学生在掌握定理的基础上自己设计问题，完善问题，并从老师的高度变题，学生的主体性得到了最好的发挥。第二次反思：（1）当猜想出直角三角形三边数量关系时，是不足以让学生信服的，因为猜想时直角三角形的三边均为整数，学生可能还存在疑虑：当直角边的长不是整数时，情况又如何呢？所以让学生从理性上确信这个猜想是必不可少的环节。为此，设计了任意三边的直角三角形是否存在这个问题。（2）去掉背景和具体数值，在证明字母为边的直角三角形的勾股定理时，主要是没有了正方形网格作背景，学生不能快速产生正确的思维迁移，不易想到用割补法证勾股定理。但是前面有了邮票问题做铺垫，学生很自然地会联想到用割或补的方法计算以斜边为边长的正方形的面积，从而得出了一般的直角三角形的情况，获得了勾股定理。如此设计，对于执教者来讲，最大的好处在于可以使学生的思维过程显性化，有利于教师对学生进行过程性评价，有利于及时指导学生在思维过程中存在的细节问题，还有利于教师进行教学过程的改进。（3）在做勾股定理练习时，采用开放式教学法，由学生自己出题自己解决，既巩固新知识，又提高他们的学习兴趣。但由于学生在已知直角三角形的任意两边，求第三边时，不知道一个数开平方这一知识，会出现第三边不会算的情况。关于这点，我课前早有预料：如果有这种情况出现，就为下堂课做好铺垫；如果没出现这种情况，老师上课时也不提。（4）在课堂小结时一改先前一贯做法，三个问题结束本节课。特别是后两个问题，当时学生是这么回答的：我最感兴趣的地方是割补法证明勾股定理；毕达哥拉斯怎么会从地砖上发现勾股定理的，我们平时也要多观察生活；我想知道勾股定理还有哪些证明方法；我想知道我的这副三角板中，如果已知一条边，能不能求出另外两条边。听课的老师们深深地被学生的这些问题感染了，情不自禁地给予了赞扬。这样的总结设计，把所学的知识形成了一个知识链，为每位学生都创造了获得成功体验的机会，并为不同程度的学生提供了充分展示自己的机会，尊重了学生的个体差异，满足了学生多样化的学习需要。特别是最后一个问题，把本课知识从课内延伸到了课外，真正使不同的人得到了不同的发展。（5）学生在学习过程中旧问题解决，而新问题产生，使我真正认识到上好勾股定理这一堂课是不容易的。课改几年来虽然理念上有所转变，但要真正在课堂上能运用自如，还需要不断实践。几个问题间的过渡语言，也是不断地修改，甚至一个问题要怎么问，问了后学生可能会出现哪些想法都做好了预设准备，更制定了应急方案。

三、教学理念的升华

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思考一：教师的根本素养在教材的深入研究

我们要思考一下下面几个问题：

（1）为何要学习“勾股定理的逆定理”？

（2）“勾股定理的逆定理”认知基础是什么？

（3）本内容对学生培养学生的数学思维的哪些方面？

（4）证明“勾股定理的逆定理”的方法是怎么想到的？

（5）符合学生的认知结构吗？

首先，作为一流名校的学生，有很好的认知能力，勾股定理的逆定理证明基于构造全等的直角三角形三角形，这正是七年级上册的重点、难点内容，学生掌握的较好，能把新旧知识联系起来，应该启发学生自己去讨论钻研，但是我们教师缺乏引导。

其次，我们的教师有很好的科研能力，有老师说这是旧教材的内容，与新教材不符，站在学习数学的角度来看，我们可以根据学生的水平，不同程度的去参透，像这样的问题需要学科组讨论，该怎样讲？讲到什么程度？特别是给青年教师一个指引，学会用教材教，而不是教教材。

记得上学期末的时候，特级教师李慧珍老师到了我们年级听了每位数学老师的课，她给我评课的时候，除了给予好评之外，她很严肃的提出，为什么不用书上的课堂练习？而自己额外补充练习？说实话，当时我不是很理解。经过一段时间的思考，我能感悟到其中的道理，我们常常谈到的教学基本功，往往提到语言表达能力，课堂调控能力，以及板书、情感、教态等。其实，最关键的是教师对教材的理解准确不准确、深刻不深刻。不准确会产生误导，不深入必然流于浅薄。没有对数学内容的准确把握、深刻理解，即使有高技巧的华丽教学，也不会有高水平的数学教学。因为，学生新认知结构的构建需要提供知识结构的优质素材，“教什么”比“怎样教”更重要。所以，教学中教师要实现有“教教材”向“利用教材来教”的观念和行为转变，努力做好联系实际，还原教材生活本色。似真发展，还原知识的生长过程。民主教学，促进教材动态生成。改编习题，促进学生发散思维能力的发展。拓展教材，促进课程资源有效开发。

思考二：教师应该关注知识的生长过程，培养推理能力

注意知识方法过程教学，特别是数学定理、公式的推导过程和例题的求解过程，基本数学思想和数学方法、基本的解题思路方法被想到的过程，要敢于、勇于向学生暴露自己的思维、展现自己的思维，让学生了解感悟教师的求解过程的思路方法，避免教师一说就对、一猜就准、一看就会，只给学生现成结论局面的出现。教学中，要将数学教学作为一种数学思维活动来进行，要让学生亲身经历数学问题的提出过程、解决方法的探索过程、方法能力的迁移过程。让学生在参与数学思维活动、经历知识产生发展过程中，逐步提高数学能力。由于受“应试教育”惯性的影响，传统教学过程中存在一些弊端，突出表现在：萎缩和削弱知识产生、发展的过程，过分膨胀应用的过程，即概念公式一带而过，大量时间用于练习应用。要改变上述现象，必须提高认识，变“结果”教学为“过程”教学，即在课堂教学中充分揭示数学思维过程，加强知识产生发展过程的教学，也就是要认真研究概念被概括的过程、结论被推导的过程和解题方法被想到的过程。

就说勾股定理的逆定理的证明过程，是不是容易能被想到呢？笔者认为未必。在不了解同一法时，能想出来的可能性很小。但是在讲解这个证明的过程中对学生的推理能力，能够有很好的锻炼，也积累了新的一种数学方法。对本节内容，教学目标之一经历直角三角形的判别条件（即勾股定理的逆定理）的探究过程，进一步发展学生的推理能力。这里我就想谈谈推理。

推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程。培养和提高学生演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。初中阶段，我们应该从合情推理入手，波利亚呼吁。“让我们教猜想吧！”再联想到有关团体对中外学生调查结果显示的中国学生科学测验成绩较差的信息，不能不使我们感到加强对推理能力的培养已是刻不容缓。因此，“既教证明，又教猜想”，不至于在上了高中以后，觉得很不适应。若在教学中能正确地使用推理的教学模式，至少不会削弱学科教学的技术功能，而文化教育功能将得到明显的加强，学生有效地应用推理的技能得到提高，创造能力得到加强。

罗增儒教授在解题学引论中指出：“编拟数学题需要深厚的数学知识功底，良好的思维素质和熟练的编题技巧。有时候，创造一个问题比解决一个问题更为困难。”这就告诉我们试题的创新应扎根于教学研究之中，不断学习，加强解题研究是试题创新的条件。我们要不断努力探索，将培养和发展学生数学思维能力，提高教师的专业素养。

【参考文献】

[1]中学教学参考

[2]乔治.波利亚，阎育苏译.怎样解题[M].北京：科学出版社，1982

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一、归纳法的含义与标准形式

1.归纳法的含义

归纳法，简单说就是对事物的特殊性质或现象进行总结和观察，从中找出一般规律的思维方法。其核心精髓在于实验与总结。

归纳法主要包括不完全归纳法与完全归纳法，前者主要是针对事物某一些特殊性质或个别现象来进行一般规律总结的猜测式推断方法；后者则是针对覆盖事物一切特殊现象进行研究，最后总结出一般规律的推理方法，这一总结往往更加准确。

2.归纳法的标准形式

归纳法最早来自于关于自然数的归纳，经过发展成为多种表现形式，主要的形式是标准形式。标准形式也就是根据归纳原理，能够证明：当P（n）是自然数n的命题，（基础）如果当n=1时，P（n）成立，（总结）当P（k）成立的条件下能够证明P（k+1）也成立（其中k为任意自然数），那么P（n）关于所有自然数都成立这样的形式。

二、归纳法在数学概念教学中的应用举例

1.归纳法在三角函数概念教学中的应用

三角函数是初中数学中非常重要的概念，将归纳法应用在三角函数的证明中，能够说明三角函数的一些性质。

例1 已知三角形ABC的三个边长a、b、c均为有理数，证明：（1）cosA为有理数；（2）当n为任何正的自然数时，cosnA都为有理数。

归纳法的证明过程如下：

对于（1）的证明：因为a，b，c均为有理数，根据有理数的概念和余弦定理可得：cosA=，因为是有理数，所以cosA也为有理数。

对于（2）的证明则采用归纳法进行论证，也就是cosnA为有理数的具体证明过程。

2.归纳法在勾股定理证明中的应用

勾股定理以其简单、便捷的逻辑关系呈现了直角三角形的两条直角边长与斜边长的关系，体现了数形结合的思想。

例2 证明勾股定理。

勾股定理概念的内容阐述为：任何一个直角三角形两条直角边平方之和等于斜边的平方，即直角三角形ABC中，如果∠C=90° 那么直角对应边c与两锐角对应边a、b的关系为c2=a2+b2.

为了能够让学生更加深入地理解这一原理，可以通过归纳法来证明，具体的过程如下：

欲证明RtABC中c2=a2+b2（a，b，c都为正数）对于任何正数都成立，只需证明c2=sin2A・c2 +sin2B・c2 对于任何正数都成立，（由于sinA所以a=sinA・c，b=sinB・c）

归纳法证明：

c2=sin2A・c2+sin2B・c2可以看作是关于c的命题，

（1）当c=1时，1= sin2A+sin2B，sinB=sin（90°-A）=cosA，即：1= sin2A+ cos2A 即命题成立。

（2）假设c=k（k属于正数集，且k≥1）时命题成立，也就是k2= sin2A・k2 +sin2B・k2 成立，那么当c=k+1时，

（k+1）2= sin2A・（k+1）2 +sin2B・（k+1）2

k2+2k+1= sin2A（k2+2k+1）+ sin2B（k2+2k+1）

k2+2k+1=sin2Ak2+ sin2A・2k+ sin2A+sin2Bk2+ sin2B・2k+ sin2B.

因为k2= sin2A・k2 +sin2B・k2，2k+1=2k（sin2A+ cos2A）+ sin2A+ sin2B，

又因为1= sin2A+ cos2A 成立，所以，2k+1=2k+1.

即：（k+1）2= sin2A・（k+1）2 +sin2B・（k+1）2成立。也就是当c=k+1时，结论是成立的。

综合（1）和（2）得出，c2 =sin2A・c2 +sin2B・c2 对于任何正数都成立，也就是c2=a2+b2 （a，b，c都为正数）对于任何正数都成立。所以，直角三角形中的勾股定理是成立的。

三、归纳法在数学概念教学中的应用原则

1.由浅入深，逐步引导

归纳法体现的是一个思维过程，教师在运用归纳法帮助学生进行概念推理与理解时，要根据学生的接受能力，对学生进行逐步地教育和引导。

例3 利用归纳法推导 “三角形中位线性质”。

教师带领全班学生拿出一张白纸，随心所欲地剪出一个三角形，并用尺测量出自己所裁剪出的三角形ABC的各个边长，分别做好记录，然后在这个三角形的三条边上取中点E、F、G，将任意两个腰上的两点连接，继续测量其长度，将其同对应的底边长对比，试问学生发现了什么规律？

经过学生的详细测量与计算发现，中位线，几乎所有的学生都得出了这样的测量结果，说明了中线同底边的关系，归纳得出：三角形的中线是底边长的一半。

2.实例引导，归纳总结

归纳法在于通过对某一数学关系殊例子的运用总结出其中的一般规律，是人们对客观事物或规律的认知的体现。教师在教学数学概念知识的时候，可以将这一思想纳入数学概念教学中，使学生经历认识事物的过程，让他们的思维得到锻炼，逐步掌握归纳法的数学思维。

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关键词：素质教育；数学教学；提高质量

在实施素质教育的今天，面对每周每天一节的数学课，要想高质量、轻负担地完成教学任务，使每位学生既学知识又长智慧，就急需每位教师提高自身业务素质，在钻研教材、研究教法的同时，更应注重研究学法，使每一位学生参与到课堂教学中去。

课堂教学除发挥好教师的主导作用外，主要就是出色地发挥每位学生的主体作用，使每一位学生积极、直接、主动地参与课堂教学，提高课堂效率，挖掘学生的潜力，使每位学生都得到发展提高，使课堂真正成为学生学习的乐园。怎样才能使学生积极、直接、主动地参与到课堂教学中来？下面笔者综合自己的教学实践，谈谈几点体会。

一、创设情境，激发学生参与学习的兴趣

托尔斯泰说，成功的教学，所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。学生兴趣是直接推动学生参与学习全过程的动力。要让学生对学习感兴趣，就在于为他们创造一个生动活泼轻松愉快的学习环境。例如：在讲等腰三角形性质定理时教师主要是揭示定理证明的思想：证明两个角相等转化为证明两个三角形全等的化归思想，在提示了证明的思想、方法后，学生不难找到证明的途径，即添辅助线。通过实验发现定理，具体如下：

要求学生画一个等腰三角形,先观察图形三边关系、三角关系，然后用工具测量两个底角的大小从而发现命题：等腰三角形两底角相等。

已知：在ABC中,AB=AC,求证：∠B=∠C(图略)。对于初中年龄的学生，让他们看看、画画、量量是培养兴趣的一种手段，当量出两个底角相等，就有了为什么相等、如何证明的冲动，这时教师再引导、点拨学生进行分析：

证明两角相等常用什么方法?如此问题化归为证明两个三角形全等,如何产生两个三角形？添辅助线,如何添辅助线？学生较快地找到了以下方法：

方法1：取BC中点D,连结AD,通过SSS公理证明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

方法2：ABC的角平分线AD，通过SAS公理证ABD≌ACD，得∠B =∠C。

方法3：作ABC的高AD,通过HL公理证明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

又问：刚才添了不同的辅助线，若画在同一个等腰三角形中，是三条不同的辅助线吗？为什么？让学生在实验中得出推论，又从证明中加深对推论的认识、理解。像三角形内角和定理、角平分线定理、线段的垂直平分线定理都可由学生先实验、归纳再研究、探索，寻求达到目的的方法和手段，学生始终处于获取知识的过程中，从中体会到乐趣，从而积极主动地投入到学习中。

二、运用迁移规律，在参与学习过程中培养学生的能力

学生参与学习过程，不仅要重视激趣，更重要的是要重视培养能力。在教学中，如果能巧妙利用迁移规律，抓住新旧知识的连接点作为沟通新旧知识的内在联系，精心安排以学生的“学”为轴心的教学活动，给学生搭建一个用已学的知识解决新知识的阶梯，激发、引导学生自觉、主动地参与课堂教学，就能达到培养学生能力的目的。如在讲分式通分时：

复习分数通分类比分式通分

关键：找2、4、8最小公倍数 关键：找x,x2,x3的最简公分母x3

方法：分数基本性质 方法：分式基本性质

问：为什么最简公分母是x3,而不是x4式x5式x3 x2等等?

学生通过思考回答体现了“最简”,又要体现“公”,在此基础上变式为通分。

，，

。

。

观察归纳出如何找最简公分母？(求所有因式的最高次幂的积)

又问:两个公式的分母有不同的系数能通分吗？如何通分？

再变式为通分：，，。

此时做一组练习巩固所学内容(通分),在初步巩固基础上,提出变式题：

,的最简公分母是什么?怎样通分?变式为,又怎样通分?再做一组练习使学生熟练。

后一组题与前一题相比，有一定的变化，所以解题并不单调，尽管题目在发展，障碍在增加，但题目之间的坡度不大，能使全班学生都投入到探究活动中，在不知不觉中学到了新知识，体会到了获取知识的乐趣。在这个教学过程中，教师巧妙创设合理的情境，组织好迁移条件，使学生主动参与学习的全过程。随着老师的不断启发、引导、点拔，学生积极主动地参与探索、发现，很快地懂得今天的新知识“分式的通分”就是“分数的通分”的引申。这个过程学生在教师的引导下，在正迁移规律的作用下，正确运用所学的旧知识，学习新知识，在掌握知识的同时，发展了学生的智力，培养了学生的能力，为今后的学习中能融会贯通、举一反三奠定了坚实的基础。

三、动手操作,提高学生主动参与的意识

动手操作，一方面可以培养学生的动手操作能力，激发学生的学习兴趣，提高学生主动参与的意识，另一方面利于根据认识规律，引导学生从形象思维为主向抽象思维为主过渡，从而从操作中丰富、完善认知过程，从感性到理性建立知识框架。例如，在讲《勾股定理》证明时，我课前布置同桌共同做八个全等的直角三角形，三个分别以直角三角形三边为边长的正方形，授课时，引导学生动手拼图，拼好后，观察图形特点，教师起画龙点睛的作用，提出问题，学生借助于自己拼好的图形，回答问题，最后得出“直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方”。之后，再举一例子让学生应用勾股定理，加深印象。这样，通过教师的启发、引导，让学生真正理解了勾股定理的证明，并达到会应用勾股定理，这样学生不但学到了知识，又培养了动手动脑能力,促进学生在主动参与的学习进程中准确地掌握知识。

四、引导讨论，提高学生参与的积极性

课内开展小组讨论是参与教学的一种有效方法。教学中，我们把不同智力层次的学生搭配成若干小组，在教师的指导下，引导学生就教学中的某个问题发表看法，通过必要的组织、引导、探讨、交流、归纳，得出正确的结论，从而完成某一教学任务的一种教学组织形式。在协作学习中，学生展开充分的讨论和交流，人人积极主动地参与教学过程，并发挥集体的智慧，开展合作学习，形成智慧互补，这对于提高各层次学生的学习参与能力，大面积提高教学质量有着重要作用。

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一、运用多媒体，激发学生的学习动机，提高学生学习数学的积极性

兴趣是推动学生进行学习活动的内在动力。在数学教学中，适时、适当地选用多媒体来辅助教学，能使抽象的教学内容具体化、清晰化。例如，在学生初次接触几何图形时，教师应适当运用多媒体，引进“图形运动”，对平行线、平行四边形、等腰三角形和圆中一些比较直观的基础知识，使原来呆板的图形变活。这既优化了教学过程，也激发学生的兴趣和求知欲。

二、运用多媒体，突出重点，突破难点，引导学生克服学习障碍

利用多媒体进行教学，突出重点、突破难点，促使学生对知识的理解是决定学习效果的关键。如，教学平移、旋转、轴对称等几何变换时，在电脑上动画演示图形变换比在黑板比画易懂，直观得多。几何图形的变换在数学教学中有着重要位置，通过图形的变换，不仅可以激发学生的学习兴趣，还可以锻炼学生的思维。

三、运用多媒体，减轻教学负担，提高教学效率，关注校外

传统的教学方法很难提供给学生足够的空间和时间，而多媒体技术则可以提供给学生无限的学习空间和时间。利用多媒体技术进行教学，可以增加容量，提高教学效率。

通过多媒体技术我们还可以将课内与课外结合起来，在勾股定理教学时，我在课前就布置了预习，让学生自己通过网络寻找勾股定理的内容及证明方法，上课时向全班展示，由于证明方法各异，本来一节枯燥的定理证明课变得气氛活跃。

四、运用多媒体，化难为易，增强学生自信

遵循学生的认知规律，采取多媒体计算机能融声、形、色等为一体的教学手段，可以将教学内容具体化，并能根据教学内容的需要，将教学内容在大与小、远与近、快与慢之间实现灵活的相互转化，使教学内容涉及的事物、现象等再现于教学中，减轻了学生的负担，激发学生的信心。

五、运用多媒体，设计娱乐性练习，有效巩固新知

《义务教育数学课程标准》在实施建议中指出：“教师应该充分利用学生已有的生活经验，随时引导学生把所学的数学知识应用到现实中去，以体会数学在现实生活中的应用价值。”因此我们可以利用多媒体技术来编写有针对性的练习，它的最大成功之处在于化学习被动为主动，化抽象为具体，通过带娱乐性的练习，轻松巩固已学知识。

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现行初中数学教材中，数形结合问题占有不小比例。代数、几何这两个学科联系密切，是互相统一的，所以在数学教学中必须重视数形结合。

一、理解数形结合的概念。所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决数学问题的思想。实现数形结合，常与以下内容有关：（1）实数与数轴上的点的对应关系；（2）函数与图像的对应关系；（3） 以几何元素和几何条件为背景建立起来的概念，如三角函数等； （4）所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义，如等式。

二、利用数轴、平面直角坐标系培养学生运用数形结合解题的能力。初中教材中不论用代数方法研究几何问题，还是几何图形研究数和式，都贯穿着数形结合方法分析问题和解决问题的思想，要强化数形两意识的渗透和能力的培养。

数形结合是数学解题中常用的思想方法，数形结合的思想可以使某些抽象的数学问题直观化、生动化，能够变抽象思维为形象思维，有助于把握数学问题的本质；另外，由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等。

【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）.在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化.

【说明】利用勾股定理证明垂直关系是比较常用的“以数助形”的手法，另外，熟练的代数运算在这道题中起到了比较重要的作用，代数运算是学好数学的一个基本功，就像武侠小说中所说的“内功”，没有一定的内功，单单依靠所谓的“武林秘笈”是起不了多少作用的。

【分析】本题是研究抛物线和直线相交的相关问题，只是由于a、b、c的符号不确定，导致抛物线和直线在坐标系中位置不确定，考虑问题需要进行分类讨论，比较麻烦.如果将问题代数化，看成有关方程的问题，进行相关的计算，就省去了分类的麻烦。

三、数形结合的思想方法应用广泛。常见的如在解方程和解不等式问题中，在求函数的值域、最值问题中，在求三角函数解题中，运用数形结合思想，不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算与推理，大大简化了解题过程。

四、中考试题中的巧妙运用。纵观多年来的中考试题，巧妙运用数形结合的思想方法解决一些抽象的数学问题，可起到事半功倍的效果，数形结合的重点是研究“以形助数”。几何直观运用于代数主要有以下几个方面：

（1）利用几何图形帮助记忆代数公式，例如：正方形的分割图可以用来记忆完全平方公式；将两个全等的梯形拼成一个平行四边形可以用来记忆梯形面积公式等.

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数学是抽象的，一些学生感到数学公式、数学概念枯燥乏味，然后就放弃了。要使他们学好数学，首先得激发学生的数学兴趣，使他们把学习数学看作是一种享受、一种乐趣。多媒体集文字、图形、图像、声音、动画于一体，能以形象、生动、直观的形式向学生传递信息，刺激学生的各种感觉器官，能将数学课本中的一些抽象的概念、复杂的变化，或者在通常条件下很难演示的实验、动态变化的过程等，直观地展现在学生的面前，使得教学内容直观化、趣味化、多样化、强化对学生眼、耳、脑、手等的感觉器官，使他们的情绪兴奋起来，对数学产生兴趣，形成一种爱数学的良好学习氛围，变“要我学”为“我要学”，真正把学习数学作为一种乐趣。

一、运用多媒体手段创问题情境，激发学习兴趣。

在教学中创设与教学内容贴近的情境，会使课堂教学过程形象化、直观化、趣味化。利用多媒体计算机声像结合，图文并茂的功能营造一种良好的学习情境，符合中学生的心理需要。如：三角表内角和定理，学生通过剪纸、拼接和度量的方法让学生直观感受，在学生动手操作后，及时利用几何画板随意画一个三角形，度量出它的三角形的形状和大小，发现：无论怎样变，三个内角的和总是180度，这无疑大大加深了学生探究“为什么”的欲望。如，通过播放“海上日出”的录像让学生对直线（地平线）与圆（太阳）的位置关系有一个直观的印象，然后利用课件让学生讨论直线与圆的位置关系有哪些数学量有关？图形中，A是动点，拖动它可改变圆的大小：直线与圆的位置关系与圆的大小（半径）有关L是动直线，拖动它可改变直线与圆之间的距离：直线与圆的位置关系与直线到圆距离（圆心到直线的距离）有关，录像中优美的画面刺激着学生的感官，让学生将熟悉的场景与抽象的数学问题联系起来，并通过操作可运动的课件，体会抽象的过程，大大提高学生的学习兴趣，产更快地投入到学习之中。

二、运用多媒体手段呈现教学过程，突破难点

多媒体教学可以在一定程度上克服时间和空间上的限制，充实直观内容，丰富感观材料，能够较彻底分解知识技能信息的复杂程度。减少信息在大脑中从形象到抽象，再由抽象到形象的加工转化过程，充分传达教学意图，运用多媒体技术的丰富表现手段可以很好的突破数学教学中的难点。

我们的数学课堂中，有些知识的获得学生感觉很困难，有些地方需要向学生展示过程，但有些不便于操作，有些操作又太浪费时间，有些操作又不太可行，这种情况下，多媒体技术就可以帮你大忙了。比如夫一个几何体，在开始截一些简单的几何体，可以师生共同动手操作，但当问题越来越复杂时，操作难度就加大了，这时学生不一定能在短时间内操作成功，我们就可以用多媒体来帮助展示。比如我们截正方体最多能截出几边形这个问题，学生很难想象最多能截出六边形，操作起来也有难度，时间不允许，我们就用多媒体课件展示截出六边形的这一过程，以突破难点，让学生加深印象，这就很好地发挥了多媒体的形象直观的优势。再比如在九年级止册《概率的意义》中的掷硬币的实验，由于实验条件及次数的限制，最后正面向上的频率可能跟我们所期待的结果有一定的出入，但若用多媒体课件演示这个游戏，不但节约了时间，效果会更直观。又如：如果对截面是三角形、正方形、梯形、矩形的情形，学生还能理解的话，那么对截面是五边形或六边形的情形就很难想像了，利用多媒体中教学平台里，通过演示，学生能真正感受截割的过程。这样通过多媒体课件的演示，不断激活学生的思维。让学生逐层参与瓣知识的构建过程，最终完成由形象思维向抽象思维的过渡。

三、运用多媒体手段增加容量，提高课堂教学效率

最优的教学过程应该是在规定时间内，在教养、教育和发展三个方面获得最高可能的水平，因为提高活动效率、和节省时间这两个法则，是劳动活动的普遍法则。图形不是语言，但比语言更直观、生动，利用多媒体我们设计出能给学生的感官以丰富的刺激，提高学生的学习兴趣的课件，提高了学生的学习热情也就可以在单位时间内增加一堂课的容量，优化教学信息，从而提高教学效率。