四则运算法则范文

导语：如何才能写好一篇四则运算法则，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

⒉两级运算时，先算乘除，后算加减。

⒊有括号时，先算括号里面的，再算括号外面的。

⒋有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，最后算括号外面的。

⒌要是有乘方，最先算乘方。

篇2

关键词：重要极限；洛必达法则；泰勒公式

在我们刚进入高等数学的学习的过程中，初步接触到一些极限的求解方法，比如借助于定义法和极限的四则运算来求解一些简单的极限。我们知道在利用极限的四则运算中商的运算法则中要求分母的极限不能为零。但是学习时总会遇到分母的极限为零的情形，如果分母的极限为零，分子的极限是一个常数，那么可以用无穷大量与无穷小量的关系求解。时常还会遇到分子和分母的极限都是零的情形，我们把这类极限称之为“ ”型。下面就介绍一下一些 型极限的求解方法，以供参考。

方法一 利用有理化或约零因子求 型极限。

例1求

解析 通过观察发现，当 时，分子和分母的极限都是零，是一个 型极限，这时候无法用极限的四则运算法则来求。可以先将待求极限的分子先进行因式分解，在用四则运算法则求极限

下面看一个利用有理化求解极限的例子

例2求

解析 上式极限也是一个 型的极限，显然无法用因式分解约零因子的方法去求解，可以利用分母有理化的方法去求解

方法二 利用重要极限求 型极限

我们这个极限 称之为重要极限，根据对这个极限内容深刻理解，可以推广到 ，下面看如何利用这个重要极限来求解 型极限。

例3 求

解析 这待求极限看似与重要极限形式不同，实际上先将这个极限的形式变形一下就可以借助重要极限来解答了。

令 ，则 ，且当 时 ，所以有

类似地还有这样的极限 ， 也可以利用重要极限来求解。

方法三 利用洛必达法则来求解 型极限

定理1：若函数 和 满足

上述定理就给出了洛必达法则的使用条件和使用方法。

例4 求

解析 容易验证 与 在点 的邻域内满足上述定理的（1）（2），又因

从而有洛必达法则可知

如果 仍是 型极限，可以再次用洛必达法则，当然这时候 和 在 的某邻域内必须满足定理1中的条件。

方法四 利用泰勒公式求解 型极限

例5 求

解析 本题可以用洛必达法则求解，但是过程角为繁琐，若应用泰勒公式求解可大为简化求解过程。考虑到极限式的分母为 ，可用麦克劳林公式表示极限的分子（取 ）

所以

以上就是我们学习时经常遇到的一z些 型的极限和相对应的方法，当然 型的极限的求解还有其他的方法，我们在学习的过程不断尝试更多的解决 型的极限的方法，这样才能不断提高知识宽度和深度，从而在遇到这类极限的时候，才能迎刃而解。

参考文献：

篇3

加减乘除先算乘除，最后算加减。如果算式中有括号，先算括号内，再算括号外。有多层括号时，先算小括号里的，再算中括号里面的，再算大括号里面的，最后算括号外面的。属于四则运算法则。

四则运算是指加法、减法、乘法和除法四种运算。四则运算是小学数学的重要内容，也是学习其它各有关知识的基础。乘法是加法的简便运算，除法是减法的简便运算。减法是加法的逆运算，除法是乘法的逆运算。

（来源：文章屋网 ）

篇4

关键词：小学数学；方程；教学

中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）12-141-01

一、为什么要用等式基本性质解方程

顺应着基础教育的这一发展，新一轮课程改革中推出的各学科课程标准，都将小学、初中视为一个整体，予以通盘考虑，这是一大进步。数学学科当然也不例外。可以说，义务教育数学课程标准的研制、颁布为我们研究和践行中小学数学教学的衔接，提供了教学内容、教学要求等多方面的支撑和保障。我们应该基于这样的背景，展开有关的讨论。

其实，解方程的依据，严格说来，应该是方程的同解定理。但由于中小学数学的理论要求不高，再说在陈述等式的第一条性质时，只要指出等式两边都乘或除以，加上或减去同一个不等于零的数，就可以作为同解定理来使用。所以，多年以来，即使是中学数学教材，也大多采用等式的基本性质作为解方程的依据。这样处理可以避开“同解方程”等概念，减少教学的麻烦。

过去，在小学教学解方程，依据的是四则运算之间的关系，如“加数=和-另一个加数”，“因数=积÷另一个因数”等等。由于这些关系小学生在学习加减法、乘除法时，早就不断有所感知，积累了比较丰富的感性经验，所以到小学中高年级再加以概括就显得水到渠成，运用这些关系解未知数只出现在等式一边的简易方程也比较自然。

但是，这种“算术”的解方程思路毕竟走不了多远，一到中学就被彻底抛弃，取而代之的是等式的基本性质。而且小学依据四则运算关系解方程教得越多，练得越巩同，初中方程教学的负迁移就越明显，入门障碍就越大。当然，负迁移的程度也取决于初中数学教师的教学策略与教学艺术，但在整体上存在负迁移是一个不争的事实。

既然如此，那是不是意味着四则运算法则就到了穷途末路的境地呢？其实不然，下面我们来综合比较一下等式的基本性质、四则运算法则和移项法这三种简易方程解法的优劣。

二、移项法PK等式的基本性质

例如方程5x+2=7x-8，为了使方程化为ax=b的形式，我们就要把同类项合并，但它们又不在等号的同侧，如何合并？不妨我们利用等式的基本性质，在方程的两边都减去2，然后在方程的两边都减去7x，这样就得到：5x-7x=-8-2，然后再合并同类项就可以了.这里的2就改变符号移到了方程的右边，7x就改变符号移到了方程的左边，这种变形相当于把方程中的某一项改变符号后，从方程的一边移到另一边，这种变形叫做移项。

方程中的任何一项都可以在改变符号后，从方程的一边移到另一边，即可以把方程右边的项改变符号后移到方程的左边。也可以把方程左边的项改变符号后移到方程的右边。移项中常犯的错误是忘记变号，还要注意移项与在方程的一边交换两项的位置有本质的区别。如果等号同一边的项的位置发生变化，这些项不变号，因为改变某一项在多项式中的排列顺序，是以加法交换律与给合律为根据的一种变形，但如果把某些项从等号的一边移到另一边时，这些项都要变号。例如5x=4x+8，如果用等式的基本性质来解，学生只知道等式两边加上或减去同一个数，等式不变，学生就会认为只能加已知数，很难想到两边可以同时减去4x，给教学带来了一定的麻烦。但如果移项的话就容易理解了，4x左移加号变减号，5x-4x=8，解方程就很容易了。这种情况下，移项法占一定优势。又例如20-8=4x，如果采用移项法把未知数左移变成-4x=-20+8，反而把简易方程复杂化了。但如果采用等式的基本性质，根据天平平衡原理，左右交换变成4x= 20-8就容易多了。这种情况下，等式的基本性质占优势，综合比较，各占千秋。

三、四则运算法则PK等式的基本性质

新课标人教版教材五年级数学上册“简易方程”教学内容由原教材用加减乘除四则运算之间的关系解方程改成天平平衡原理（等式的基本性质）解方程。然而，在学生的学习中，都用这种方法解决的话，有些方程不太容易解，大部分学生老是学不会。怎么办呢？

回顾学生学过的四则运算之间的关系，实质是由等式的基本性质得到的，是否可以教用学生已经熟悉的四则运算之间的关系来解方程呢？于是我就尝试让学生回忆加、减之间的关系和乘、除法之间的关系，弄清楚它们之间的关系后，我让学生试着用“一个加数等于和减去另一个加数” “被减数等于差加减数”“减数等于被减数减差” “ 一个因数等于积除以另一个因数”“被除数等于商乘除数”“除数等于被除数除以商”这六句话来解方程，没想到学生尝试后都觉得好用，大部分学生都学会了用这种方法来解方程。

篇5

关键词: 极限 习题课 求极限的方法

极限是微积分课程的一个重要内容,是微积分课程开始部分的重点和难点部分.在某种程度上说,能否学好这部分内容直接关系到微积分学习的好坏,将影响到该课程的学习效果.

由于该部分的概念抽象、公式繁多,学生往往会碰到听懂了,但公式不会用、不会做题的问题,因此安排习题课必不可少.通过组织有效的习题,不仅能够强调重点内容,而且能够将整个章节内容贯穿起来,体现体系的完整性,使学生对所学内容的认识有质的飞跃.

习题课要密切配合课本内容,着重考查学生对所学知识的掌握情况,起到及时反馈巩固所学知识的作用.同时习题的选择要有一定的代表性、启发性,能做到以基础知识为出发点,辐射到所学知识点.给学生讲解时要分析透彻,授之以“渔”而非授之以“鱼”.下面是笔者总结的求极限的方法.

一、利用极限运算法则求极限

恒等变形法——对于不能直接利用极限四则运算法则的,可通过一定的恒等变形再利用法则求解,包括以下三种情况.

(1)■型,可因式分解;分子分母有理化;三角恒等式.(2)■型,分子分母同除以它们代数式中最高阶无穷大因子.(3)∞-∞型,可通分或有理化转为■型或■型.

例1:■(■-■)

解:分析:属于∞-∞型,不能直接利用极限的四则运算法则进行计算,必须先将函数变形.

原式=■■

=■■=■■=■=1

二、利用单调有界准则证明或求极限

方法:利用单调有界数列必有极限,主要针对递推数列,其步骤为:

(1)用数学归纳法或x■-x■≥0或■>1,证明其单调性.(2)用不等式放大缩小法证明数列的有界性.(3)令■x■=A,求解A的方程得A,即得■x■的值.

例2:设0

证明:由0

令■x■=A,在x■=■中令n∞,得

A=■,解得A=3/2,A=0(舍去),故■x■=■.

三、求数列n项和的极限

方法一:利用夹逼定理

例3:求■(■+■+…+■)

解:因为■

而■■=1,■■=1,故由夹逼定理得原式=1.

方法二:利用拆项法

例4:■■■

解:由拆项法得■=■-■,■■=1+■-■-■

原式=■■■=■.

四、求数列n项积的极限

方法一:夹逼定理;

方法二:拆通项分解因式法,即使因子相乘,中间项抵消;

方法三:分子分母同乘以一因式,使其易求;

方法四:取对数法.

例5:■(1-■)(1-■)…(1-■)

由于1-■=■,故原式=■(■·■)(■·■)…(■·■)=■■·■=■.

五、利用等价无穷小及无穷小的性质求极限

常见的等价无穷小:当x0时,(1)sinx~x;(2)tanx~x;(3)arctanx~x;(4)1-cosx~■x■;(5)■-1~■x;(6)e■-1~x;(7)arcsinx~x;(8)ln(1+x)~x.等价无穷小在作积商运算的时候可以相互代替,对加减运算不宜使用.

例6:■■

解:原式=■■=■■=■

六、幂指函数y=f(x)■求极限,常用取对数的方法

例7:■(sinx)■

解:用罗必塔法则

因为■tanxlnsinx属于∞·0型,■tanxlnsinx=■■=■■=■■=■-sinxcosx=0,原式=e■=e■=1.

合理选取有代表性的习题,往往能加深学生学生对所学知识的理解与应用,使学生能体会到定义、定理及推论的妙用,同时使学生发现问题、分析问题、解决问题的能力得到了发展,进而提高了教学质量.

参考文献:

[1]参韩飞,张汉平,胡方富.应用经济数学.湖南:湖南师范大学出版社,2011,8.

篇6

初一数学的第一堂课，一般不讲课本知识，而是对学生初学代数给予一定的描述、指导。目的是在总体上给学生一个认识，使其粗略了解中学数学的一些情况。如介绍：（1）数学的特点。（2）初中数学学习的特点。（3）初中数学学习展望。（4）中学数学各环节的学习方法，包括预习、听讲、复习、作业和考核等。（5）注意观察、记忆、想象、思维等智力因素与数学学习的关系。（6）动机、意志、性格、兴趣、情感等非智力因素与数学学习的联系。

到了初一要引进的新数——负数，与学生日常生活上的联系表面上看不很密切。他们习惯于“升高”、“下降”的这种说法，而现在要把“下降3米”说成“升高负3米”是很不习惯的，为什么要这样说，一时更不易理解。所以使学生认识引进负数的必要是初一数学中首先遇到的一个难点。

初一的四则运算是源于小学数学的非负有理数运算而发展到有理数的运算，不仅要计算绝对值，还要首先确定运算符号，这一点学生开始很不适应。在负数的“参算”下往往出现计算上的错误，有理数的混合运算结果的准确率较低，所以，特别需要加强练习。

另外，对于运算结果来说，计算的结果也不再像小学那样唯一了。如|a|，其结果就应分三种情况讨论。这一变化，对于初一学生来说是比较难接受的，代数式的运算对他们而言是个全新的问题，要正确解决这一难点，必须非常注重，要使学生在正确理解有理数概念的基础上，掌握有理数的运算法则。对运算法则理解越深，运算才能掌握得越好。但是，初一学生的数学基础尚不能透彻理解这些运算法则，所以在处理上要注意设置适当的梯度，逐步加深。有理数的四则运算最终要归结为非负数的运算，因此“绝对值”概念应该是我们教学中必须抓住的关键点。而定义绝对值又要用到“互为相反数”的概念，“数轴”又是讲授这两个概念的基础，一定要注意数形结合，加强直观性，不能急于求成。学生正确掌握、熟练运用绝对值这一概念，是要有一个过程的。在结合实例利用数轴来说明绝对值概念后，还得在练习中逐步加深认识、进行巩固。

学生在小学做习题，满足于只是进行计算。而到初一，为了使其能正确理解运算法则，尽量避免计算中的错误，就不能只是满足于得出一个正确答案，应该要求学生每做一步都要想想根据什么，要灵活运用所学知识，以求达到良好的教学效果。这样，不但可以培养学生的运算思维能力，也可使学生逐步养成良好的学习习惯。

初中生思维正由形象思维向抽象思维过渡。思维的不稳定性以及思维模式的尚未形成，决定了列方程解应用题的学习将是初一学生面临的一个难度非常大的坎。列方程解应用题的教学往往是费力不小，效果不佳。因为学生解题时只习惯小学的思维套用公式，属定势思维，不善于分析、转化和作进一步的深入思考，思路狭窄、呆滞，题目稍有变化就束手无策。初一学生在解应用题时，主要存在三个方面的困难：（1）抓不住相等关系；（2）找出相等关系后不会列方程；（3）习惯用算术解法，对用代数方法分析应用题不适应，不知道要抓相等关系。

初一讲授列方程解应用题教学时，要重视知识发生过程。因为数学本身就是一种思维活动，教学中要使学生尽可能参与进去，从而形成和发展具有思维特点的智力结构。

篇7

【关键词】无限逼近极限的运算法则，极限公式，罗必塔法则，恒等变形

一、极限的概念

（一）从感性上体会和理解极限的含义

人在很累很累的时候会说“累死了”，说明体力消耗殆尽，达到极限了，有时甚至说是体力透支；男子运动-短跑上届伦敦奥运会最好成绩是九秒六三，牙买加运动员尤塞恩・博尔特获得，打破奥运会纪录九秒七五，可以说是目前的极限成绩了；在晴朗的夜晚，我们遥望星空，看到星星在闪烁，也许我们见到的那束光已经走了好多亿光年了（宇宙大爆炸开始时150-200亿年前？），而那颗星是我们地球的几个亿倍大，你想象有多大都可以的，因为离我们太遥远太遥远了，我们见到的只是一个小点点；“一览众山小”，“孤帆远影碧空尽”这些都给我们以极限的感觉。

（二）从理论上理解极限的定义

limxx0f（x）=A的精确定义（″ε-δ″定义）.

定义 函数y=f（x）在点x0的去心邻域U0x0，η内有定义.若对任意给定的正数ε，总存在正数δδ

函数f（x）的左、右极限定义

设函数y=f（x）在点x0的左半邻域（x0-δ，x0）内有定义，（右半邻域（x0，x0+δ）内有定义），如果当自变量x在此半邻域内从x0左（右）侧无限接近于x0时，相应的函数值f（x）无限接近于某个固定的常数A，则称A为当x趋近于x0时函数f（x）的左（右）极限.记为limxx-0f（x）=A或f（x0-0）=A.（limxx+0f（x）=A或f（x0+0）=A）.函数f（x）的极限，无论是哪一个定义，函数f（x）的值与常数A要有多接近就有多接近，都可以做到。还可以在几何上作出解释，在直角坐标系里，指出自变量的范围，函数值的范围就确定了；或者f（x）与A有多接近你总可以找到相应的自变量的范围，无论给定多么多么小的ε，总可以找到相应的δ，使得当0

二、极限的运算

（一）利用极限的运算法则运算

形式.需分子分母同时除以x，将无穷大的x约去，再用法则求）.

（二）利用两个重要极限公式运算

重要极限1limx0sinxx=1.

一般形式为limu（x）0sinu（x）u（x）=1（其中u（x）代表x的任意函数）

篇8

    ,性质

    首先是初等函数相关问题分析:

    1.绝对值函数的概念及性质

    绝对值函数是个很广的概念,可分为两大部分,一部分是绝对值施加在X上的,另一部分是绝对值号施加在Y上的,如y=|x| |y|=x 就记住绝对值号在谁上头就把原图像根据哪一个轴做轴对称变换,记住这一点,不管多复杂的解析式都可以照此办理.绝对值函数可以看作初等函数。

    1.1绝对值函数的定义域,值域,单调性

    例如f(x)=a|x|+b是

    定义域:即x的取值集合,为全体实数;

    值域: 不小于b的全体实数

    单调性:当x<0,a>0时,单调减函数;

    > > 增 ;

    < < 增 ;

    < < 减 ;

    1.2绝对值函数图象规律:

    |f(x)|将f(x)在y轴负半轴的图像关于x轴翻折一下即可,在y轴正半轴的图像不变。

    f(|x|)将f(x)在x轴负半轴的图像关于y轴翻折一下即可,在x轴正半轴的图像不变。。

    1.3带绝对值的函数求导,即将函数分段。

    2.取整函数的概念与性质

    2.1取整函数是:设x∈R , 用 [x]或int(x)表示不超过x 的最大整数,并用"{x}"表示x的非负纯小数,则 y= [x] 称为取整函数,也叫高斯函数。任意一个实数都能写成整数与非负纯小数之和,即:x= [x] + {x},其中{x}∈[0,+∞)称为小数部分函数。

    2.2取整函数的性质:a 对任意x∈R,均有x-1<[x]≤x<[x]+1.b对任意x∈R,函数y={x}的值域为[0,1).c 取整函数(高斯函数)是一个不减函数,即对任意x1,x2∈R,若x1≤x2,则[x1]≤[x2].d 若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}.后一式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.e若x,y∈R,则[x]+[y]≤[x+y]≤[x]+[y]+1.f 若n∈N+,x∈R,则[nx]≥n[x]. g 若n∈N+,x∈R+,则在区间[1,x]内,恰好有[x/n]个整数是n的倍数.h 设p为质数,n∈N+,则p在n!的质因数分解式中的幂次为p(n!)=[n/p]+[n/p^2]+…

    3.导数的概念与性质

    3.1导数,是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时,因变量的增量与自变量的增量之商的极限。。在一个函数存在导数时,称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程,导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。导数另一个定义:当x=x0时,f‘(x0)是一个确定的数。这样,当x变化时,f'(x)便是x的一个函数,我们称他为f(x)的导函数(简称导数)。

    3.2求导数的方法

    (1)求函数y=f(x)在x0处导数的步骤:① 求函数的增量Δy=f(x0+Δx)-f(x0);② 求平均变化率;③ 取极限,得导数.

    (2)几种常见函数的导数公式: ① C'=0(C为常数函数);② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈Q); ③ (sinx)' = cosx;④ (cosx)' = - sinx;⑤ (e^x)' = e^x;⑥ (a^x)' = a^xlna (ln为自然对数);⑦ (Inx)' = 1/x(ln为自然对数;⑧ (logax)' =(xlna)^(-1),(a>0且a不等于1).

    补充:上面的公式是不可以代常数进去的,只能代函数,新学导数的人往往忽略这一点,造成歧义,要多加注意。

    (3)导数的四则运算法则: ①(u±v)'=u'±v'; ②(uv)'=u'v+uv'; ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2.

    (4)复合函数的导数

    复合函数对自变量的导数,等于已知函数对中间变量的导数,乘以中间变量对自变量的导数--称为链式法则。

    4.高等函数的概念以及含义问题

    4.1一元微分

    1)一元微分是设函数y = f(x)在x.的邻域内有定义,x0及x0 + Δx在此区间内。如果函数的增量Δy = f(x0 + Δx) ?f(x0)可表示为 Δy = AΔx + o(Δx)(其中A是不依赖于Δx的常数),而o(Δx0)是比Δx高阶的无穷小,那么称函数f(x)在点x0是可微的,且AΔx称作函数在点x0相应于自变量增量Δx的微分,记作dy,即dy = AΔx。

    通常把自变量x的增量 Δ   x称为自变量的微分,记作dx,即dx = x。于是函数y = f(x)的微分又可记作dy = f'(x)dx。函数的微分与自变量的微分之商等于该函数的导数。因此,导数也叫做微商。 当自变量X改变为X+X时,相应地函数值由f(X)改变为f(X+X),如果存在一个与X无关的常数A,使f(X+X)-f(X)和AX之差是X0关于X

    的高阶无穷小量,则称A·X是f(X)在X的微分,记为dy,并称f(X)在X可微。一元微积分中,可微可导等价。记A·X=dy,则dy=f′(X)dX。例如:d(sinX)=cosXdX。

    2)其几何意义为:设Δx是曲线y = f(x)上的点M的在横坐标上的增量,Δy是曲线在点M对应Δx在纵坐标上的增量,dy是曲线在点M的切线对应Δx在纵坐标上的增量。当|Δx|很小时,|Δy-dy|比|Δy|要小得多(高阶无穷小),因此在点M附近,我们可以用切线段来近似代替曲线段。

    4.2多元微分

    1)多元微分的概念:与一元微分同理,当自变量为多个时,可得出多元微分的定义。

    2)多元微分的运算法则

    dy=f'(x)dx

    d(u+v)=du+dv

    d(u-v)=du-dv

    d(uv)=du·v+dv·u

    d(u/v)=(du·v-dv·u)/v^2

    3)微分表

    d(x^3/3)=x^2dx

    d(-1/x)=1/x^2dx

    d(lnx)=1/xdx

    d(-cosx)=sinxdx

    d(e^(x^2)/2)=xe^(x^2)dx

    高等函数中还有值定理与导数应用、泰勒中值定理、曲率、方程的近似解、不定积分、定积分、平面曲线的弧长、、可降阶的高阶微分方程、二阶常系数非齐次线性微分方程、向量代数与空间解析几何、重积分及曲线积分以及无穷级数等,本文就简单的函数问题做一总结。

    【参考资料】

    1.复变函数论.高等教育出版社,2004,01.

    2.实变函数简明教程.高等教育出版社 2005,5,.

篇9

一、小学生数学概念的发展

小学生数学抵念的发展，不是一个自然发展的过程，而是在教育的条件下，通过数学知识的学习，逐步形成和发展的。

1.数概念的发展

低年级阶段（7～8岁）的儿童，初步形成3位致以内的整数概念系统，对于3位数以内的“相邻数”“认数”“数序”、数的大小”“数的组成与分解”“图与数”已基本掌握，但对较复杂的须借助于推理的“数的组成”及“应用”，还有一定困难。

中年级阶段（9～10岁）的儿童，通过多位数的学习，扩大了数的范围。儿童可以根据各个数位的名称和顺序及有关读写规则，把十进位制的认知结构，顺利地迁移到百、千、万以上的多位数的读写中去，形成整个自然数列的概念系统和认知结构。在计数方法上，也开始从逐一点数向按群计数过渡。例如，在进行分数大小比较时，会用整数的比较方法比较分子相同分母不同的分数。

高年级阶段（11～12岁）的学生，对整数、小数、分数的概念系统渐趋统一，并初步形成整数、小数、分数的认知结构，不仅知道它们的联系，而且能区分。例如，学生会对分数和小数进行互相转化，知道整数分母是1的分数，当分子是分母的倍数时，这个分数就是整数。

2.几何概念的发展

小学生几何概念的发展仅次于数概念的发展。小学生学习几何初步知识是结合数的认识和四则运算进行的，这不仅有利于几何概念的掌握，也使数的认识和运算能力得到进一步的提高。

儿童在低年级阶段，就能指出正方形、长方形、圆形、三角形等图形，但这种认识只是图形与言语的一种联系，并未建立有关图形的概念，即并不掌握图形的关键特征，学习中只是把这些图形作为计数的学具或教具。这时的儿童空间观念发展还很不完善，一般只能从二维空间认识图形，他们对形体部分，如会把长方体看作长方形。

中年级学生开始学习有关几何的初步知识和概念，但这种学习只是描述性学习，一般还不作严格定义。二维空间概念基本形成，并逐步向三维空间认识图形过放。这一阶段的学生能正确识别几何图形的人数多于正确说明图形特征的人数，这种差距表明小学生学习几何初步知识，一般也是由知觉为主的直接认知，过渡到以思维为主的间接认知的。

高年级学生已逐步形成三维空间观念，空间想象力逐步增强。由于三维空间概念学习与儿童的透视能力发展有关，据国内外的许多研究表明，这些能力的发展一般在11～13岁，所以在小学高年级阶段学习最为适宜。

3.代数概念的发展

代数概念的概括性相适应性都比算术高，从现行教材看，低年级在数的计算中，就用（）、表示数。到了中年级，开始解答含有未知数x的试题或文字题，并能用速度x时间=路程、全程――已行路程=剩下路程等较抽象的关系式表示数量关系。在几何图形的周长、面积计算或运算定律的学习中，开始用字母表示数。但是上述学习，只是在算术学习中渗透了一些有关代数的知识，只是为高年级学习简单的代数知识作一些认知上的准备，或是对算术认知结构作些适当改变，以适应高年级的代数学习。

二、运算能力的发展

小学生运算能力的发展，主要体现在运算法则的掌握和运算技能的形成两个方面。

1.运算法则的掌握

儿童运算能力的发展取决于多种因素，但与数概念的掌握的水平相关极大。儿童对整数、小数、分数的概念掌握得越好，运算能力也就越强，因为对数概念的掌握，是学习运算法则的前提。低年级小学生在数的认识中，从逐个计数发展到按群计数，只有当儿童达到按群计数的水平，才可能真正按一定法则作四则计算。因此，学生在掌捏四则运算之前，必须提高10以内计数和序数的认识水平，在掌握了10以内计数和序数的基础上，再发展到以“10”为新的计数单位的摄念水平，掌握10的组成与分解，就能使儿童理解“凑10加，分10减”进退位加减法的计算法则，并推理迁移到20以内的加减运算。10以内和20以内的加减法，是自然数四则运算的最基本的法则。

2.运算技能的形成

运算技能的形成，主要表现在运算的正确性、敏捷性、灵活性和合理性上。运算技能的形成过程，也是儿童运算能力的发展过程。运算技能是在儿童掌握运算法则的基础上，通过练习而形成的。

（1）口算技能的发展

口算能力的发展，不仅要看口算的正确率，而且要看学生的口算方法，如同样完成8+7的口算式题，就有4种不同的口算方法。第一种，是从1开始逐一计数到15；第二种，是从1加起数到15；第三种，是用凑十法计算；第四种，是口诀法（八七十五）直接说出结果。上述4种方法，反映了4种不同的发展水平。第四种方法省略了中间的运算环节，从灵活性和合理性上优于前几种口算水平。

（2）笔算能力的发展

笔算能力的发展，一般可分为三个阶段。第一阶段，是形成新的笔算阶段。这一阶段，学生通过对新的笔算法则方法的学习，排除了口算的干扰作用，如口算可以从低位算起，也可以从高位算起，而笔算有严格的操作顺序。这一阶段的学习，表现为速度慢，而且不能正确地运用法则。第二阶段，是掌握阶段。通过练习、比较，逐渐排除了口算对笔算的干扰，笔算的操作过程趋向稳定，计算时已不如前阶段那样紧张，运算速度和正确率有所提高。第三阶段，是熟练阶段。这个阶段的特点是：意识对运算的控制大大减少，运算渐趋自动化，计算时精神紧张状态基本消除，注意力的分配达到自觉程度。

三、结语

在新课程改革强调因材施教的前提下，小学数学教师要深刻认识到认知发展的阶段性与个别差异制约着教学内容的深度、广度和数学方法的选择与运用，同时还影响着师生在教学上的活动和结果。因此，对小学生数学学习认知发展进行探讨显得尤为重要。

参考文献：

[1]谭露.小学数学教法浅探[J].南方论刊，2002，（12）：97.

篇10

关键词：高等数学 极限 导数 算法

中图分类号：G642.41 文献标识码：A 文章编号：1003-9082（2016）12-0194-01

数学是一门严谨的学科，在解答问题中学会严格的按照定义、公式进行推理演算，做到前后有依据，变化有规则，不仅可以提高对解题正确性的把握，能反过来加深对概念、定理的理解，学习高等数学，更要注重这方面的要求。

以下是教学中遇到的两个问题：

一、计算

这是高等数学某教材中第一章的课后习题，题目的用意是让利用重要极限求解。有不少学生是这样解的

答案是对的，但步骤却有些牵强，体现在倒数第二步，对幂指函数的底部和指数分别求极限，这是想当然的做法。在极限的运算法则中，有四则运算、复合运算，而上面的算法就缺少依据，巧合的是幂指函数只要底部与指数有极限，上面的算法算出的结果一般是对的。这是因为利用运算法则，我们有

先利用对数恒等式把其化为复合函数，根据复合函数求极限方法，把极限符号提到指数上，再用乘积运算求出指数的极限，得到结果。尽管复杂了一些，但保证了每一步计算有依据，提高了对做题正确的把握。

二、推导幂函数求导公式

导数基本公式 是高等数学里最为熟悉的公式之一。查阅不同的教材可以发现，对该公式的证明主要有两种：一是用定义证明；二是利用隐函数求导。定义证明是很基础的推导，但计算过程却不简单，在数学专业教材中可见；另一种证法却很简单明了，有不少高等数学教材都有使用，证明如下，设

两边取对数

两边对 求导

所以

过程非常简单，算法的巧妙使得我们不想细看它的每一步。然而，这里要提出的是，这种推导缩小了 的范围，第一步取对数默认了幂函数及

取正值，而一般的幂函数也有负值的情况。

回忆一下幂函数的定义，设 为互质的正整数。当 为正有理数，记 ， 为奇数， ； 为偶数， 。当 为负有理数，记 ，

为奇数， （非零实数集）； 为偶数， 。当 为无理数， 。

当 ， 。

由幂函数定义，分情况讨论其导数：

1.当 ，有 。两边取对数得 ，对 求导得 ，于是 （*）

2.当 ， （ 为奇数）。 有 符合公式（*）；

为偶数时， ，两边取对数得 ，对 求导得 ，

仍有 ； 为奇数时， ，两边同乘-1后取对数

，求导得公式（*）。

3.当 ， 为正有理数， 。当 时，

适合公式（*）；当 时， 适合公式（*）；当 时，