数学必修一知识点总结范文

导语：如何才能写好一篇数学必修一知识点总结，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

以往，人们常说数学是一门理解性学科，所以学习数学重在理解。然而，事实却并不是这样。数学除了需要理解，还需要记忆，甚至后者更为重要，先背会再理解更是数学中一种常见的学习方法。究其原因主要有两点：一是由高中数学自身的特点来决定的。高中数学不但内容多、题型多、难度大，而且还变化多样，让人难以捉摸。所以，我们一定要抓住这万变中的不变，才能以不变应万变。这就需要学生必须把每一节的知识点和类型题背下来，掌握每个知识点的考察方式及出题类型，并了解与其结合的常见知识点的出题方式及解题思路。不仅如此，还需掌握高考中关于这个知识点的考察情况：前几年是如何考察的、近几年又发生了怎样的改变。二是有些知识以学生现有的知识水平是理解不了的，所以只能先记住结论，等到日后学习了其他知识再对这个知识进行解释，比如在高一学习集合中求含有n个元素集合的所有子集个数问题时，就只能先记住结论，等到高二学习了二项式定理之后才对它进行解释，而有些知识甚至要等到上大学或者在数学领域有更深的研究之后才能做出解释，对于这些知识就只能先背下来再理解。

二、记笔记的重要性

笔记在高中数学的学习中起着非常重要的作用。一方面，笔记可以把老师讲过的知识点和类型题记下来，便于随时查看，巩固所学。前面已经提到过高中数学内容多、难度大且题型多，就必修一函数部分来说，函数值域的求法就有十几种方法，条件稍微变一下求解方法就大不一样，更别说函数单调性、奇偶性那部分的知识点和类型题了。另一方面，这些笔记还是高三一轮复习的最好资料。每到高三，大家就会为一轮复习资料的选取和做法大伤脑筋，尤其是资料的选取，它不仅是一轮复习的关键，更关系着整个高考的成败。资料太难，复习起来既慢又没效果，而资料太简单就会出现知识点覆盖不全又脱离高考的现象。那有没有一本资料既能恰到好处地把高一、高二的基础知识捡起来，又能紧密地联系高考呢？那就是笔记。笔记中其中不仅有详细的知识点，还有难易适度的类型题，所以只要学生把笔记拿出来反复做两遍，当年的知识就回来了，期间再辅以各知识点在最近两年各省市高考题或模拟题出现的新题，就能使学生快速地与高考衔接起来，既提高了速度，又达到了预期目标，为二、三轮的复习赢得了宝贵的时间。

三、反复重复，加深理解

学习过程其实也是逐渐遗忘的过程，想要使知识记得牢固，那就必须多做多看、不断重复。科学研究表明，只有当某一知识在脑中至少出现8次以上，我们才能把它记牢。寻常知识尚且如此，更何况是数学中枯燥的知识点和题型呢！所以我们就更需要多做多看，才能把它们牢牢地记在脑子里，才能在做题时灵活应用，举一反三。

四、勤于归纳、善于总结

篇2

【关键词】正弦型函数；五行表格法；精确画图；精确教学

数学素以精确严密的科学著称，中小学数学教学内容更是以精确性为特征的，在数学高考大纲中也强调考生要加强基础知识的精确度.但经过高中的几轮教学，我认为教材及高考复习资料对正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的解析是非常不精确的，造成学生难以理解和接受，经过反复思考与探索，认为列表教学可以提供精确数据，而且计算量不是很大，使学生在具体计算操作中理解知识要点.

一、教材中正弦型函数y=Asin（ωx+φ）的讲解

高中必修4教材中重点讲解了正弦型函数图像画法.图像画好对函数性质理解更好，问题出在图像的画法是很模糊的.教材中画正弦型函数的图像步骤是很清楚的，两种画图方法，一种是先平移后伸缩，一种是先伸缩后平移.两种画图方法，都是要画四次图形，几次图形的变化教材中是模糊的，可以查看历年数学教材，图形的变化是没有标坐标，也就是没有精确讲解给学生看，老师在讲解中也是没有标示坐标的，而且很难把握平移、伸缩的比例.我在前几轮的高中数学教学中也是这样没有标坐标，当中有数据较难计算的想法，但我认为是教材的不精确引导的结果.数学教学是要追求严密精确，有条件的老师是借助计算机画图，但也是没有精确图形关键点的坐标，在伸缩变化中学生眼花缭乱，把本来很清楚的画图步骤都搞糊涂了.

我们以必修4 53页例1加以说明.函数y=2sin13x-π6的图像画法是先平移后伸缩，步骤很清楚，第一步画y=sinx图像，此图像关键点坐标是精确的，一般老师也会标出，学生也是能够理解听懂.第二步把y=sinx的图像上所有点向右平移π6个单位长度，得到y=sinx-π6的图像，这时关键点就没有标坐标了，有的老师没有注意平移长度的比例，随意移动一个长度，使学生也就开始模糊了，学生更是无法标出坐标.第三步，图像上所有点横坐标伸长到原来的3倍，得到y=sin13x-π6的图像，这时老师也是讲得模糊了，更谈不上标出坐标了，学生不知道关键点伸到哪里去了，老师也是无法把握各点伸到哪一位置，学生就会对这一步产生疑问，但在教材、老师那都没有精确答案.第四步是图上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍，得到y=2sin13x-π6图像，这一步学生还是能够理解的.主要就是第二步和第三步让学生糊里糊涂，这样很难达到好的理解效果，更谈不上理解函数y=2sin13x-π6的性质了.课堂上时间用了，图也画了，但学生对函数的增减性、最值、对称性无法描述，原因就是没有精确标出关键点的坐标，这样真有一种徒劳无功的感觉.

我在教学中经常问自己怎么样快速精确标出这些关键点的坐标，让同学们更好地理解知识点，从而做到精确严密教学.同样是在必修4的53页例1给了我提示，教材模糊作图后，又讲了一下“五点法”画函数y=2sin13x-π6的图像，思考探究“五点法”画函数图像精确数据的得来，也给了我启示，后来总结出五行表格法，精确画出y=Asin（ωx+φ）的图像.

1.先平移后伸缩

此表是先平移后伸缩的列表，表格中填好的三行是很容易填写的，X，Y是y=sinx一个周期的五个关键点的坐标，y行是纵坐标伸缩后而得到的，此例中就是2Y，关键是先平移行与x行的填写，先平移行的填写是有技巧的，图形向右平移π6个单位长度，本来是将X行数据每个点变为X+π6，所以0列填π6，但每点都这样计算就麻烦了，用每点间相差π2来计算，即π6+π2=4π6，每相临两点相差3π6，这样后面三列就容易填写了，分别是7π6，10π6，13π6，这样计算用口算就完成，学生从心理上易于接受.

x行是后伸缩的结果，本例是伸长3倍，所以x行填写的数据是平移后的点都乘以3得，由于先平移行的数据分母都是6，计算就简单了，数据分别是：π2，4π2，7π2，10π2，13π2.经验是填表时不要急着约分，这样方便计算及找出数据变化规律.这样就可以精确画出图像，也容易理解画图步骤，也增强老师教学的精确度.

本人经过两届的教学，学生掌握知识点效果很好，学生做此类题的得分率有明显的提高，同时也做到了数学教学的精确严密.这是本人的教学思考，愿与大家继续探讨，不断提高我们的教学效果.

【参考文献】

[1]刘绍学.数学（必修4）.北京：人民教育出版社，2007.

篇3

关键词：高中数学;反思性学习;思考;策略探究

【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 A 【文章编号】 1671-8437（2015）02-0043-01

古人有很多关于反思的记载，如：“学而不思则罔，思而不学则殆”、“吾日三省吾身”等等。反思在我们日常生活中是经常使用的，如果我们对做的每一个决定、每一个行动，说的每一句话都常进行反思，那么就会做得越来越好。在高中数学学习中，通过反思性学习对学生理解数学知识、培养空间思维能力都能起到较好的效果。

1 反思性学习对于高中数学学习的重要性

高中数学的反思性学习，就是学生对所学习的数学知识进行主动的思考，比如思考数学抽象的知识概念、数学问题多种方法解答、各种做错的数学题等等，学生通过举一反三的数学反思性学习，就能很好地掌握高中数学的解题方法、思路、途径。通过对数学反思性学习，学生一方面能加深对数学知识的理解与应用，另一方面能让学生养成对数学问题探究思考的良好学习习惯，这对提升学生学习数学的主动性和积极性是非常必要的。

2 高中学生在数学反思性学习中存在的问题

如今，在高中数学反思性学习中，学生还存在以下几方面的问题：

（1）在数学学习中学生反思性学习意识较弱，甚至可能缺乏反思性学习的基本概念。

（2）学生在数学学习中会反思，但是反思水平不高，不清楚应该从哪些方面进行反思。

（3）学生对数学反思性学习的主动性差，多数时候是被动地进行反思。

（4）学生对高中数学反思性学习之后，没有对问题进行总结归纳，导致在以后会出现同类型的问题，这就使得数学反思性学习效率不高。

3 改善和提高学生应用反思性学习方法的策略

为了提高学生数学反思性学习能力和提升学生高中数学整体水平，一方面需要老师引导学生在数学学习中进行反思性学习，另一方面需要学生自觉地培养反思性学习思维习惯。笔者就立足于人教版高中数学必修第一册第一章，举例阐述教师如何培养学生数学反思性学习能力，以及学生又如何主动提升自身的数学反思性学习能力。

3.1 立足于课本内容，进行课前预习反思

高中数学必修第一册第一章，主要是学习集合与函数概念相关的内容，每一个小章节的内容都是循序渐进地过渡，在学习中不能操之过急，一定要把每个知识点吃透、熟悉。教师可以在授课之前，提出一些问题，比如：集合的定义是什么？集合有什么特点？集合种类有哪些？函数的概念是什么？函数的表示方法有哪些？等等问题，让学生带着问题先对将要讲授的内容进行全面的预习。而学生自己在课本中找寻回答老师问题的答案，同时还要在预习中对不理解的知识点进行记录，以便能在课堂中认真听老师讲解，或者向老师提问。预习对于数学反思性学习是起着非常关键的作用。

3.2 带着反思性心态听教，不断地修正对数学知识的认识

学生在课堂中，要带着思考去听老师讲解的课本内容，当发现老师的讲解和自己之前预习的认识有偏差的时候，首先要马上记录下来，然后等到老师讲解完相关知识点时再去询问老师。例如，当听到老师对函数概念的讲解是f：AB，x∈A，即是从集合A到集合B的一个函数，记作：y=f（x），x∈A，由于函数是比较抽象的，所以理解起来相对比较费劲。学生可以对老师对函数的讲解持质疑的态度，并结合自己对函数的理解，不断地一点点消化函数的概念。其实在听课的过程中，学生的反思性学习心理过程是这样的：对数学知识的求知认真听老师对知识讲解质疑态度反思自身对知识的理解修正对数学知识认知。在这个学习过程中，反思性学习心理过程有助于学生更好地领悟数学知识。

3.3 完成测试或习题后及时反思，巩固所学的知识

篇4

关键词:离散数学;教学方法;计算机

中图分类号:G642 文献标识码:A

“离散数学”作为计算机科学与技术专业必修的专业基础课,在计算机领域有着广泛的应用。它提供了许多计算机专业课程的数学基础,这些课程包括数据结构、算法与分析、数据库理论、自动化理论和操作系统等。学好离散数学,一方面可以为后续的课程打下基础;另一方面,通过学习离散数学,可以培养学生的抽象思维和逻辑推理能力,提高发现问题、分析问题和解决问题的能力,为今后的学习和工作打下坚实的数学基础。但由于该课程具有概念多、理论性强、高度抽象、枯燥等特点,致使在教学中出现很多问题。比如,学生学习积极性不高,学生单一的把该课程看作是一门与计算机毫无关系的数学课程来学,对该课程在计算机领域的作用认识模糊等,导致教学效果不理想。因此,激发学生对该课程的学习兴趣,改进离散数学的教学方法是十分必要的。

1培养学生的兴趣

在任何一门课程的讲授中,培养学生的学习兴趣都是非常重要的。

为了培养学生学习离散数学的兴趣,在教学中要特别注重前几堂课的教学,尤其是第一堂课,不能直接进入离散数学的理论知识学习,而是要通过一些实例来说明离散数学的用处,如“哥尼斯堡七桥问题”、“四色问题”等。通过前几堂课的教学,让学生充分认识到离散数学与计算机科学其他课程之间的密切关系,从而从思想的高度认识此门课程的关键性。

当然,教师课堂教学的艺术性与感染力也是培养学生对离散数学产生兴趣的重要方面。因为大部分学生对离散数学这门课程的地位和作用认识不足,学习兴趣没有学习与编程语言相关的课程那么高涨,上课容易走神,从而导致最终的考试结果不理想。教师除了对这门课程内容要熟练掌握外,还要提高自己的教学艺术水平,正确运用多种手段来吸引学生的注意力,充分发挥教师的主导作用,驾驭好课堂时间,增强课堂教学的艺术性和感染力,也可适当制作一些动画和图形避免视觉疲劳,达到让学生主动学习这门课程的目的。

2注重离散数学理论与它在计算机中的应用相结合

在“离散数学”课程的教学过程中,我们应该理论联系实际,注重它在计算机学科中的应用,来提高学生学习的兴趣和对该课程的重视。

数理逻辑是所有数学推理的基础,在人工智能、程序理论和数据库理论等的研究中有着实际的应用,如专家系统、机器人等都离不开数理逻辑。集合论在计算机科学中也有广泛的应用,它为数据结构和算法分析奠定了数学基础,如在软件工程和数据库中也会用到。抽象代数是关于运算或计算规则的学科,在计算机科学中也有广泛的应用,如形式语言与自动机、密码学、网络与通信理论、程序理论和形式语义学等方面都要用到代数结构的知识,其中格与布尔代数在通信系统中发挥着重要作用。图论在数据结构、操作系统和计算机网络中都有广泛的应用,如数据结构中的图和树都是以图论为基础,网络中的拓扑结构都是用图来表示。

通过这种关联,并对适当的知识点举例说明来加深学生对知识的理解,还应随时介绍所学知识的应用背景和发展方向,使学生能够感受到学习这门课程的必要性,调动学生的积极性。

3注重课堂教学方法的改进

3.1找到结构,克服“散”

在离散数学中,概念多、理论性强、知识点散,抓不住重、难点,老师讲起来费劲,学生听起来吃力。因此,每节课的内容都要有一条主线,选择本节课要讲的知识点,用一条线将相关的知识点串起来。以命题逻辑为例,可以这样把各知识点串起来,如图1所示:

每个知识单元完成后加以总结,讲出知识点之间的关联结构,达到系统掌握命题逻辑知识的目的。

3.2有取有舍,克服“满”

离散数学的内容太多,若课时有限,那我们要有取有舍,可以选择其中的60%～70%的内容进行讲授,其余留给学生阅读思考或布置作业,这样不仅可以锻炼学生的自学能力,还节省了课堂时间。这就要求我们课堂上一定要把内容讲透,不能蜻蜓点水,除了要讲解基础性知识和本节的重难点外,还要着重培养学生对学科方法的运用以及解决问题的思路,知识点之间的关联也要交代清楚。而对于一些类似的方法或例子、推广的结果、能够自学的知识和某些繁琐的推导要舍得放弃。

例如在讲解代数结构这一部分时,代数系统、群要重点讲授,这是后续内容的基础,环、域和格可以简单讲授,课时少的话可以只把概念讲授清楚,独异点等可以留给学生课下阅读和学习。再如组合数学部分,基本的组合计数、递推方程与生成函数、容斥原理重点讲授,鸽巢原理、Ramsey定理、Polya定理等简单讲授,推广的容斥原理、Ramsey定理的应用、带权的Polya定理留给学生阅读。

掌握好取舍关系,才能让学生把握离散数学的关键点,而不至于偏离方向,不至于丧失学习的信心。

3.3掌握节奏,克服“快”

离散数学概念多,理论性强,学生上课容易走神,开小差,因此课堂上一定要掌握好节奏,给学生喘息和思考的时间,这就要求我们在安排学时时要留有一定的余地。课堂上,对不同内容的讲解要穿行,有张有弛,如概念、定理与应用实例可以结合起来讲解,便于学生理解,也可以适当穿插一些解题方法的分析等,也可以在课堂上通过提出一些思考题来放慢节奏,或者是介绍一些历史背景、相应知识点的新进展等。采用适度“慢”策略,是在强调教师的教学目的和方法的同时,更强调学生的独立思考和综合判断能力,因为学生才是学习的主体,教学活动的中心。

3.4启迪思路,克服“灌”

离散数学的教学中,我们要克服“灌”的教学习惯,采用启发式教学。启发是数学教学的灵魂,因为归根结底数学是人类一种高度的精神活动。美国著名数学家柯朗(R•Courant)在《数学是什么》一书中指出,“数学,作为人类思维的表达形式,反映了人们积极进取的意志,缜密周详的推理以及对完美境界的追求。它的基本要求是:逻辑和直观,分析和构造,一般性与个别性。虽然不同传统可以强调不同的侧面,然而这些互相对立的力量的相互作用以及它们综合起来的努力才构成数学科学的生命、用途和高价值。”因而数学教学决不能只告诉学生现成的数学结论,或让他们死记公式定理法则,然而要在很短的时间内让学生理解某些数学理论及逻辑是非常困难的,必须采用启发式教学,让学生运用自己的智力认真思考,这就对数学教师提出了新的要求,其精髓在于“提出问题讲解方法推广应用”。首先我们通过列举实例提出问题;然后讲解解决此问题的思路,即建模(利用离散数学中学习的方法和理论来求解);再通过典型实例细述此方法和理论在实际中的应用;最后总结此方法和理论适用的条件及一般化推广。

如在讲“有穷集的计数”这一小节中,我们可以通过列举实例来提出问题,例:求1到1000之间(包含1和1000在内)既不能被5和6,也不能被8整除的数有多少个?我们可以利用“文氏图法”和“包含排斥原理”两种方法来解决这个问题,首先可以通过讲解如何利用“文氏图法”来解决此问题的思路,为后面引出“包含排斥原理”做好铺垫;接着可以引出“包含排斥原理”,并讲解用此原理如何解决上面的问题;最后,总结一下“包含排斥原理”的适用条件以及它的推论。

再如在讲解图论时,我们可以模拟哥尼斯堡七桥问题的实景,通过场景描述对比,让学生明白七桥问题跟桥的长短、岛的大小无关,从而抽象到欧拉图问题,这也就是图论知识的起源,同样的方法可以应用到哈密尔顿图等问题的讨论。

通过这种启发式教学,让学生对所学知识有直观的了解,然后再引导学生自己列举类似问题,进一步加深对有关定义、定理以及推论的理解,提高学生学习的兴趣和增强学生分析问题、解决问题能力的双重目的。

3.5适时地给学生总结

离散数学的内容多而杂,课时少。讲课时,授重点解难点,对于易懂的内容可以一带而过或者留作课下自学。除此之外,课堂小结是一项非常重要的教学技巧与授业解惑利器。鉴于离散数学的抽象性与复杂性,学生课上容易走神,如果上堂课没听好则必然会影响下堂课的听课兴趣和听课质量,因此,进行课堂小结是必要的,起着承上启下的作用。

每次课的最后留下5分钟左右,对本次课所讲的内容进行小结,尤其是重点内容。每次课开始时对上次课讲的内容进行回顾;每章讲完后适当进行小结,总结前后各知识点之间的关联,以及应该掌握的知识点,给学生们一个总体印象,这样有助于学生对知识点的掌握及自我能力的提高,更重要的是给学生足够的信心来学习这门课程,而不至于陷于越学越听不懂,越听不懂越不想学的恶性循环。

4结语

由于在计算机科学领域中很多地方都采用了离散数学的概念思想和方法,因此离散数学已经成为计算机科学与技术专业学生必须掌握的理论基础和数学工具。本文从计算机科学与技术专业学生学习离散数学的角度论述怎样激发学生学习的积极性及学习兴趣,注重与计算机学科的结合及注重课堂教学方法的改进等方面探讨了“离散数学”课程教学方法的改进。

为了提高这门课程的教学效果,还可以研究怎样更好地利用多媒体创造良好的学习环境,提高课堂效果,以及如何在该门课程中引入实践课,让学生能将所学的知识应用于实践,提高他们的创新精神。我们还可研究怎样建立该课程的教学网站,补充、整合离散数学的教学资源及网上答疑和讨论,方便学生课外进一步学习。

参考文献:

[1] Rosen K H. 离散数学及其应用[M]. 袁崇义,屈婉玲,译. 北京:机械工业出版社,2002.

[2] 王元元,张桂芸. 离散数学导论[M]. 北京:科学出版社,2002.

[3] 屈婉玲,耿素云,张立昂. 离散数学[M]. 北京:高等教育出版社,2008

Analysis of Computer Science and Technology of “Discrete Mathematics” to Improve Teaching Methods

QIU Li-ke, ZHAO Jing, ZHAO Yang-fan

(Qingdao College, Ocean University of China, Qindao 266300, China)

篇5

我国的数学课程改革已实施了十余年，数学教材作为实现数学课程目标、实现数学教学的重要资源和数学教学内容的主要依据，在我国的数学课程改革中起着非常重要的作用.近二十年来，日本数学课程进行了多次颇有成效的改革，发展并形成了自己的特色和优势.在日本出版教材首先要拿给文部省审查，合格后才能出版.日本教材的共同点是比较强调掌握基本知识和技能，培养学生的数学素质.通过两国教材的比较，帮助我们客观的认识我国数学教材的不足和问题，有助于我国数学课程建设的健康发展.

“圆”教学内容设置于日本数研出版社出版的系列高中数学教材《新编数学Ⅱ》中（以下简称新编数学教材）的第三章的第二节，章节名称为“圆”，单元名称为“图形与方程”，与之相应，我国人民教育出版社出版的系列高中数学教材《必修2》（以下简称人教A版教材）的第四章也有相似内容，单元名称为“圆与方程”，二者存在一定的可比性.

2两种教材整体比较――编排方式比较

两种教材对此部分内容的处理方式存在着较大的差异，为了更好地说明这种差异，我们首先将新编数学教材第三章第二节，与我国人教版教材必修2第四章，以及他们的上行与下行单元的整体内容进行了对比，得出表1.

空间两点间的距离公式

下行单元第三节轨迹与领域第一章解三角形*

（注：参考现行浙江省普通高中授课次序，*为必修五的内容）

可以发现新编数学教材“圆”与人教A版教材“圆与方程”在教学内容编排方式上存在着以下差异：

首先，值得一提的是，人教A版教材对“圆”这一教学内容安排了一个完整的章节，即必修2第四章圆与方程.而新编数学教材仅仅安排在第三章图形与方程的一个小节，即第二小节圆.

其次，从前后联系上来看，新编数学教材“圆”的下行章节“轨迹与领域”涉及了点在坐标平面上的轨迹，是直线与圆上的点的轨迹的一般化.此外，在学习完几何圆与直线之后，引入不等式，进行不等式表示范围的探讨，实现了知识的综合运用；而人教A版教材“圆与方程”的下行单元与本单元无显著联系.

最后，从知识呈现的目的上看，新编数学教材安排此部分内容的用意，重在用方程式表示圆，用解析几何的方法考察直线和圆等平面图形的性质和关系.而人教A版教材的目的是通过圆的方程研究直线与圆，圆与圆的位置关系，让学生逐步形成数形结合的思想，掌握用坐标解决平面几何的方法.此外，人教A版教材增加了空间直角坐标系的内容，使学生掌握用解析方法研究空间几何对象的基础.3两种教材具体内容分析

3.1两种教材知识内容范围和编排顺序的比较

我们首先根据知识点对本节内容进行了划分，对两种教材在本节的内容和编排顺序进行比较.

我们发现，新编数学教材在“圆”这节设计了四个知识点：（1）圆的方程式.本节中只给出了圆的方程式，并没有给出圆的标准方程和一般方程的定义.（2）直线与圆的交点的坐标.这一知识点在人教A版该章教材中则是以例题的形式一笔带过.（3）圆与直线的位置关系.这一知识点在人教A版教材“圆、直线的位置关系”中有相关的内容.但新编数学教材采用表格的形式具体的呈现出判定圆与直线的位置关系的两种方法，人教A版教材则是在例题中给出两种相应的解法，让学生自己归纳总结.（4）圆的切线方程.这一知识点在人教A版教材中没有给出.最后还引入了通过圆和直线交点的圆这一拓展知识.

人教A版教材在“圆与方程”这一章节中涉及了较多的知识，分了三大类展开知识的教学：（1）圆的方程：在该类知识中，分别给出了圆的标准方程和一般方程的定义以及求法步骤，并进一步探讨了方程x2+y2+mx+ly+n=0表示圆所需满足的条件.（2）直线与圆的位置关系：通过例题的形式得出直线与圆位置关系，圆与圆位置关系的判定方法，更进一步的引入了直线与圆的方程的应用这一知识点，增加了知识的实际运用.（3）空间直角坐标系.这一知识点在新编数学教材“圆”这一章节中没有提及.随着空间直角坐标系的引入，可以将平面解析几何的基本思想方法推广到空间去解决空间几何问题.

新编数学教材各类知识点分类较细，我们还可以发现，两种教材虽然在内容的范围和编排上有一定的差异，但也不乏相似之处.整体内容编排设计的总体思路还是遵循知识点由浅入深，难度梯度逐级上升的安排方式.

32两种教材教学内容编写模式的比较

通过比较，我们发现两种教材“圆”与“圆与方程”教学内容编写模式主要存在以下差异：

（1）两种教材在知识引入模式上存在不同.新编数学教材：直接给出定义，或者根据例题直接给出知识，注重对概念本身的掌握；人教A版教材：通过思考、探究，得到定义以及相应的知识，注重对概念的理解.

（2）两种教材在知识延展模式上存在不同.新编数学教材运用了统一的呈现模式：定义――例题――练习.而人教A版教材则没有特定的规律，注重知识的探索和理解.

（3）两种教材在知识点联系上不同.新编数学教材：较少涉及相关知识，注重强化训练本节知识；人教A版教材：尽量多地涉及相关知识，重视点与坐标、曲线与方程之间的联系.

（4）两种教材在例题和习题呈现顺序上不同.新编数学教材：每一个例题后都会有相应的练习加以巩固.人教A版教材：先讲解一节内容中的所有例题，再统一给出练习题.4例题与习题比较分析

4.1习题综合难度的比较

借鉴[1]对习题综合难度的分析，本文主要从习题的类型及数量、习题的性质、习题背景及知识点含量四个维度进行考虑.为了对两种教材的习题难度在上述四个维度进行综合考虑做细致分析和全面比较，下面有必要对两种教材的习题数量与类型进行统计.

4.2习题的类型及数量

通过对两种教材文本的分析，可以得到：新编数学教材习题类型为：练习、补充问题、章末问题.人教A版教材习题类型为：随堂练习、单元练习A、B组、复习参考A、B组题.

由于习题有大题与小题之分，不同数量的习题之间，其分量不同.故

（1）含有关联密切的多问的习题，算作1道题，按照最难的一问，判断其深度级别.，

（2）包含多道小题的题目，每道小题均算作1道题.

通过对两种教材随堂练习、单元练习统计，得出两种教材习题的数量和各自所占的百分比如下：

4.3习题的性质

借鉴[1]，本文对两种教材习题性质做了详细的统计，具体如下表.（习题性质分为3个级别，即模仿、迁移与应用、探究，分别赋值1、2、3.）

4.4习题背景

借鉴[1]，本文对两种教材习题背景做了详细的统计，详见下表.（习题背景分为3个级别，即无背景、生活与常识、科学背景，分别赋值1、2、3）

4.5知识点含量

借鉴[1]，本文对两种教材习题知识点含量做了详细的统计，详见下表.（知识点含量分为3个级别，即1个知识点，2～3个知识点、4个及以上知识点，分别赋值1、2、3.）

4.6习题综合难度的计算

本文中，习题综合难度计算所采用的的模型为：

φ=α1・X+α2・B+α3・H

其中，X表示习题性质，B表示习题背景，H表示习题的知识点含量，α1、α2、α3分别表示习题性质、背景、知识点含量的权重，分别为05，03，02.

根据上文对习题难度三个维度的统计，利用该习题难度模型，可以计算出每道习题的难度，再求和即可得到习题的综合难度.根据以上模型，本文利用MATLAB软件对数据进行计算，得到了三个维度对习题综合难度的影响，见下表：

5结论与启示

5.1从教材的编排方式上来看：新编数学教材重视知识结构的连续性和系统性，人教A版教材重视数学思想和方法的掌握.

新编数学教材在圆这一节内容后，进一步学习轨迹与领域，这两节知识具有一定的连续性，并通过下一节“轨迹与领域”中讲解轨迹、区域等内容的联系，加深对圆及相关知识的理解，形成较为系统的知识结构.而人教A版教材在圆与方程的学习中，引入空间直角坐标系，强调用坐标法解决平面以及空间几何问题的思想和方法.此外，在圆与方程这章内容的学习后，直接学习解三角形.可见人教A版教材中知识点的连贯性不强.

5.2从教材的内容上来看：新编数学教材的知识点少且简单，体现了较强的基础性；而人教A版教材更加注重数学思想的渗透和数学知识的实际背景和应用.

新编数学教材关于“圆”这一知识点只是“图形与方程”这一章节中的一节内容.而人教A版教材安排了一章的内容.人教A版教材所讲授的知识点不仅多于新编数学教材，而且在知识点的难度上也明显高于新编数学教材.人教A版教材注重数学思想方法的渗透.比如：对于圆的一般方程x2+y2+Dx+Ey+F=0，新编数学教材仅限于满足圆的方程一种形式的讲解.而人教A版教材则引入分类思想，对圆的一般方程进行研究：（1）当D2+E2-4F>0时，表示以（-D2，-E2）为圆心，以12D2+E2-4F为半径的圆；（2）当D2+E2-4F=0，表示一个点（-D2，-E2）；（3）当D2+E2-4F

5.3从知识呈现的方式上看，新编数学教材注重对知识的应用，人教A版教材注重知识发生发展的过程.

新编数学教材在各节内容的一开始便采用符合学生心理水平的图形和表格等直观说明方式将各种概念定义直接给出，在定义中穿插典型事例加以具体说明，并在每一知识点后会设置相应的例题和习题加以巩固，增强知识的应用.而人教A版教材普遍采用探究性学习的方法，在提出某一概念和定义前会提出具体的问题让学生思考、回答，启发引导学生运用类比等数学思想学习新的概念和知识，调动学生学习的积极性和主动性.通过例题的形式，逐步启发、帮助学生主动探索问题的求解过程，展示知识形成的过程，让学生自己归纳方法，从而促进学生主动去建构和获取新知识.有助于学生深化对知识的理解，领悟思想方法，强化情感体验.但是由于许多结论没有直接给出，是由学生在教师的引导下讨论，找到正确答案，自行归纳整理得出的，可能会造成学生对这些知识的忽视，甚至遗漏.因此，人教A版教材在发扬、继承其优势的基础上，可适当借鉴新编教材的简洁明了.人教A版教材注重信息技术的引入，因此在教学中，可以借助信息技术工具，通过观察、操作、实验，发现数学规律，形成猜想，并对猜想进行证明，加深对问题的理解，帮助学生简洁、直观的研究几何图形以及位置关系.

5.4从习题分析上看，新编数学教材习题量小，难度低，注重本节基础知识的掌握，体现“对知识点深度要求较低的”特点.

两种教材习题的分类均具有层次性，符合循序渐进的认知特点且有利于学生分不同程度掌握内容.

新编数学教材：（1）总题量少，各例、习题都是对所学知识点的直接巩固，加深对基本概念和基本定理的理解.（2）习题和例题极为相似，注重对学生自信心的培养.（3）与生活实际相联系的习题数较少，数学在实际生活中的应用程度较低.（4）拓展类习题数较少，只注重本节知识的巩固，但不利于学生数学思维的拓展.

人教A版教材：（1）总习题量相对较多，提供学生反复巩固知识点的素材.（2）例题是对上述所讲知识点的进一步扩充与延伸，甚至有些知识点是通过习题的方式呈现，让学生通过例题自行归纳.（3）习题类型多样化，有利于从多方面考查学生的能力.（4）相当一部分的习题会涉及到其他知识点，有助于加强各数学学科知识点的联系，但不利于知识系统性的构建.

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关键词：高中数学；课堂教学；效率提升

高中数学和小学初中的数学相比，有着本质的区别。首先，高中数学的难度陡然上升了一个层次，不再像小学初中那样只做做课本后面的例题，再写一写老师布置的作业，就能轻松掌握所学内容。高中数学，更多在于学生对于概念的领悟，对于定义的理解和对题型的熟悉，需要掌握好每个知识点，熟练了解每个知识点的应用模型。

一、抓住课堂，提高课堂效率

对于高中课堂时间，国家规定每节课45分钟，而高中学生所要学习的科目又庞多，所以，课堂上的45分钟对于学生来说都是很重要的。首先，教育者要做好课前的准备工作，安排好课程用时，并且最好做到精选几个比较经典的例题，作为课上启发学生思维的例子。其次，对于每一个知识点，在课上老师要做到化抽象为具体，尽量让每一个学生都能理解所学的知识。课外，教育者应该多多和其他老师进行交流，取长补短，提高自身教学素质。

二、创造轻松的学习课堂

对于高中生来说，整整45分钟都在数字的世界里徘徊，很容易产生疲劳。导致上课不能集中精力，抓住重点，影响课堂学习效率。这些问题对于每一个教育者来说都是极大的挑战。老师可以在合适的时候给学生讲一些数学家的故事和一些名人轶事，来提高学生对于数学的学习乐趣，从而引出课题数列求和。还可以通过游戏，竞争的方式来学习相关知识，同时也要适时表扬那些表现优秀或者有极大进步的学生，让学生在轻松的学习环境中高效地渡过45分钟，在乐趣中学习。

三、课下多进行交流活动

要学好数学仅仅靠课堂上的45分钟是远远不够的，更多功夫要下在课后。课堂上的45分钟大家都是平等的，差距就出现在课外。课下的确要多多做题，来巩固基础，要做经典题目，而且要做到做一题，会一题。做完了题目，更有价值的在于题后的总结与交流，只有在不断与同学和老师的交流中，学生才会发现自己的不足，才能了解到一题多解，由一个题目做会一类题目。

数学的学习要求做到理解、科学、高效。只有把高效的课堂和科学的方法结合在一起，我们才会在学习过程中逐渐进步。

参考文献：

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关键词： 高中数学课程 变革方向 解三角形

在学校众多教育课程当中，数学教育有着重要位置，使学生思维更加清晰，表达思考更有条理，同时使学生掌握有关数学的基本思想、知识和技能，锻炼学生面对问题锲而不舍的求知精神及对问题实事求是的认真态度。教会学生运用数学知识认识世界和改造世界。我国高中数学新课程做出了重大尝试和改变，并且取得了一定的成果，是对数学课程主流改革方向的反映。

一、数学课程改革前后的异同点

解三角形是第一册下册里面的第二个板块，在平面向量之后包括正弦定理、余弦定理及解斜三角形的应用实例。在解三角形的应用部分的实习作业方面，补充一部分材料阅读，关于人们早期采用何种方式测量地球半径。这些内容都涵盖在解斜三角形的范围内，在教材139页到151页，共有十三页内容[1]。这些内容之前有关于向量的小结复习题，被安排在了高一下学期数学教材的最后一章。

现行新教材中有关解三角形的内容放在人民教育出版社出版的数学教材必修5的第一章《解三角形》内，其中第一章的内容包括正弦、余弦定理的探究和发现，是对有关解三角形内容的进一步讨论；应用举例，包含阅读思考内容；有课后复习题、实习作业和小结。内容从第1页到24页，总共24页，对三角形的编写篇幅增多，按出版社的意图从必修一学习到必修五，那么解三角形的内容在所有必修课本的最后一册，意味着学生要到高二才会学习这部分内容。但在实施过程中，大部分老师会按照自己的进度而不是课本必修1到必修5的顺序教学[2]，从教师角度看，虽然新课程中有关解三角形的顺序有所改变，但教师还是按照以前的教学方式教学。

二、高中数学新课程变革方向

1.教材贴近生活，使数学生活化。

新课改之后的数学教材更能激发学生的学习乐趣，使学生由被动学习为主动学习，教材内容贴近生活，使学生在不厌烦数学学习的前提下更容易进入学习状态，激发探索研究意识，让学生知道学习这部分的原因，以及这部分对现实生活有什么作用，遇到实际问题该如何解决，使数学教学生活化，将生活数学化。

新教材中关于解斜三角形的知识点引用了中国古代的神话故事嫦娥奔月、十七世纪法国天文学家测出的月球与地球之间的距离，通过地月之间的距离该如何测量、轮船的航向和航速、海上岛屿的距离等引申出需要研究的内容。这些内容贴近生活，展现数学对生活的重要作用。

2.学生是课堂主人公，学习能力得到提高。

传统教学方式以教师课堂讲述为主，教师掌握课堂整体节奏，采用灌输式教学方式，这种方式并没有多大成效，而且会引发学生对数学课程的厌烦心理。新教材中更多地采用教师引导的方式，引导学生对问题进行探究，学生把握课堂整体节奏，成为课堂的主人公，更容易调动学生学习主动性。

旧教材中关于三角形的正弦定理在例题安排方面都是正弦定理的应用，没有涉及解三角形。因此，例1和例2中都试对三角形中的一个元素求解，例3涉及三角形的分类讨论。新教材在例题设置方面只安排了两个，内容涉及解三角形，例2涉及分类讨论，同时在第8页设置了关于解三角形的学习探究。这种探究方式为主并且引导学生思考是否可以运用其他方式对正弦定理进行证明，将重点放在学生对数学的学习上，而不是老师的教授。

3.适当设定问题，培养学生总结思考能力。

新课程改革之后更注重对学生思考总结能力的培养，通过增设问题引导学生思考其他方法对问题进行证明，逐渐培养学生的思考能力。同时对于同一问题的不同方法，教材要求学生对其进行利弊分析，并对三角形的问题进行分类总结。

在余弦定理方面，新老教材均设置了两个例题，而且难度相当，不同的是新教材使学生做题时有了选择性，在第7页的解三角形的问题中，可以对两种方法的利弊进行思考，同时让学生对三角形的问题类型进行总结，增强学生总结思考能力。

在距离测量和方向测量方面，新教材在例1、例2中都设置成距离测量，例1给出实际数据，例2进行灵活考察，是对学生思考能力的极大考验。新教材在距离问题方面设置了两个例题，在以老教材为基础的前提下，老教材例1和新教材练习2一样。在高度方面设置了3个例题，更具层次性，利于一步步发展学生思考能力。

4.将内容与几何知识挂钩，培养学生几何思维能力。

新课改之后的课本内容应用性更广，设计的层次感更强，更注重对学生思考能力的培养，而不仅仅是教会学生算题。通过设定一些较难的、水平较高的问题，加之增添一些其他相关的扩展内容，使学生的知识面得到扩展[3]，能力得到真正提高。

关于对三角形面积公式的推理证明，老教材要求学生自己进行推导，新教材则直接给出公式，并将这一公式多次进行应用，同时在三角形的证明过程中，涉及中线长度及海伦公式等几何问题，例9设置了通过正余弦定理对三角形进行恒等证明，习题B组中12到14题均为三角形证明题，并多处运用面积公式。将这两者进行科学衔接有利于培养学生对数学的钻研精神及几何思维能力。

高中数学在新课程改革过程中将会更加注重学生学习能力的提高，引导学生摸索出适合自己的数学学习方法，通过教师的科学引导提高学生学习能力。

参考文献：

[1]王保艳.新课程理念下高中数学学习方式的研究[D].华中师范大学，2012.

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关键词：回归课本；概念；公式；例、习题

经过一轮全面复习、二轮专题复习，高三数学最后阶段的复习应当回归课本。在教学实际中大多数学生都存在困惑：一是怀疑是否有用；二是不知道如何回归课本，回归哪些内容，是全面看教材还是看例题？

如何让学生认识到回归课本的重要性，引领学生做好复习，以及如何实施回归，巩固知识，做好最后的冲刺，这是我们教师在总复习最后阶段应当关注的。

一、回归课本的重要性

《课标》、《考试大纲》、《考试说明》一致体现了高考要全面检测考生的数学素养，发挥数学作为主要基础学科的作用，考查考生对中学数学的基础知识、基本技能的掌握程度. 回归课本就是抓住教材中知识点之间内在联系，形成网络体系，强化“三基”的掌握，让教材中例习题的基础性、典型性和示范得到落实，达到高效的复习成果。

高考数学总复习，很多同学都采用题海战术，但是效果并不明显。其很多原因是没有结合课本来进行全方面复习。高考命题的原则是稳定加创新，高考试题的命制主要依据教材，纵观几十年高考，许许多多的高考题源于课本。在总复习最后的阶段中，要减少盲目性，减少题海战术，重视回归课本、要向准确性、规范性要成绩。

实时回归课本有三方面的含义。一是“基础性”， 在高考试题考查要求中，强调了“突出试题的基础性、综合性和层次性”， 回归课本要求学生掌握基础知识、解题的通性通法。二是“全面性”，《考试大纲》中把这个要求具体落实到了每一个知识点，便于考生备考，学生对教材中一些“不太重要”的知识点，不能存在侥幸心理。例如向量投影的概念在2013年的高考中多省出现，如湖北卷理科第6题、江西卷理科第12题、四川卷理科第17题。三是“重点性”，首先对于高考必考的知识点进行重点梳理外，其次对一些易错的地方更要重点进行筛查。比如用直线的点斜式、斜截式方程一定要考虑斜率不存在的情况，等比数列求和要讨论公比是否为1，向量的夹角一定要具有相同的起点（终点），这些都是使用公式必须注意但往往又不够重视的地方，学生容易落入丢分陷阱，这也是构成“会而不对、对而不全”的主要原因。

二、回归课本的措施

（一）回归课本基础知识，进行查缺补漏、构建完整知识体系

《考试大纲》要求对数学基础知识的考查，既要全面又要突出重点.对于支撑学科知识体系的重点内容，要占有较大的比例，构成数学试卷的主体.因此，在复习中要紧抓住课本，把课本细过一遍，回顾课本知识，查找是否有遗忘的地方，及时纠正.对于考纲要求重点掌握的，更要认真细读。在阅读课本时，还要注意掌握知识点的内涵与外延.例如，在复习数列中，不仅要掌握等差数列、等比数列的通项公式和前n项和公式，而且还要掌握在这四个公式的推导过程中蕴含的四种数学方法--叠加法、叠乘法、倒序相加法、错位相减法.在回归课本时，这些方法的本质特征是要提炼出来的。

数学学科的系统性和严密性决定了数学知识之间深刻的内在联系，包括各部分知识的纵向联系和横向联系，回归课本知识点时，要善于从本质上抓住这些联系，进而通过分类、梳理、综合，构建数学的框架结构。一些学生在复习中，不注重知识点之间的联系和综合运用，复习当前的内容的就忘记前面的知识。虽然一些学生能掌握一些知识点，但是各知识之间依然是孤立的、零散的、解题的时候很难用上。因此在回归课本时，要理清高中数学的知识主线，透彻地掌握知识结构，熟记概念、公理、定理、性质、法则、公式，理解每个知识点的内涵与延伸，注意前后知识点之间的联系，建立一个完整的知识体系。

例如，在复习函数章节时，首先要理解函数的定义、定义域、值域（求值域的几种方法）、性质（单调性、奇偶性、周期性、对称性、凹凸性）、高中学习过哪些函数（包括每一类型函数的图象）、体现了哪些函数思想方法（数形结合、转化与化归）等。

（二）回归课本，强调概念的复习

1.避免对于概念的理解模糊不清

数学概念掌握得不熟练或者似是而非，在考查概念性问题的时候，一些学生的出错率较高，是导致解题失分的一个重要因素。因此，在高三复习回归课本中必须强化对数学概念的理解和记忆。

从教学实际来看，大多数学生会认为数学概念单调枯燥，不容易记，考试不会考，而造成学生不重视，不求甚解，从而导致对概念认识和理解的模糊；部分学生对基本概念虽然能记住，但是机械的死记硬背，而不能从它的内涵外延深刻去理解。这样造成概念学习障碍，严重影响其对数学基础知识和基本技能的掌握和运用。

在历年的高考中对于概念的考试是必不可少的，下面以福建省高考理数为例。

例1 （2014福建卷理科第1题）.复数[z=（3-2i）i]的共轭复数[z]等于（ ）

[A.-2-3i] [B.-2+3i] [C.2-3i] [D.2+3i]

本题考查了共轭复数的概念。

例2 （2014福建卷理科第7题）已知函数[fx=][x2+1， x>0cosx， x≤0]则下列结论正确的是（ ）

A.[fx]是偶函数 B. [fx]是增函数 C.[fx]是周期函数 D.[fx]的值域为[-1，+∞]

正确答案D。本题考查了函数的奇偶性、单调性、周期性的概念以及函数的值域。部分考生易选错误答案A，他在印象中机械认为[f（x）=x2]、[f（x）=cosx]是偶函数，所以[f（x）=x2+1，（x>0）]，[f（x）=cosx（x≤0）]也是偶函数，而没有深刻认识奇偶性的定义。 值得一提的是，在2012福建卷理科第7题中也考查函数同样的概念。

在研究函数y=Asin（ωx+[?]）（A>0，ω>0）的图象变换的物理意义时，A称为振幅、[T=2πω]是周期，[f=1T]频率，[ωx+?]为相位， [?]为初相.但上述概念是在A>0且ω>0这一前提下的定义.否则，当[A

例3 已知函数[y=2cos（2x-π6）]，求它的振幅、周期和初相，

如果对于概念的不熟悉，学生若没有将函数转化为[y=2sin（2x+π3）] 那么就很容易得出错误答案了。

2.加强对概念的内涵延伸的复习

对概念的复习，可以从内涵、外延、定义方式、正反例证、合理性等方面分析加深对概念的理解，也要多留意课本上不太引起关注的知识点，思考这一知识点考的是什么，会怎么考等，设计多向分析，深化概念理解。

例4 （2014福建省文第21题节选）.已知曲线[Γ]上的点到点[F（0，1）]的距离比它到直线[y=-3]的距离小2。

（Ⅰ）求曲线[Γ]的方程。

本小题考查抛物线的定义，但高于定义，它对抛物线的定义进行了延伸变化。

例5 （2012新课标文）在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn）（n≥2，x1，x2，…，xn不全相等）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，n）都在直线[y=12x+1]上，则这组样本数据的样本相关系数为

（A）-1 （B）0 （C） （D）1

本题主要考查样本的相关系数，是简单题.由题设知，这组样本数据完全正相关，故其相关系数为1，故选D.而部分同学对相关系数一无所知，易选C ， 认为相关系数就是直线的斜率，白丢了容易得到的分数。在考试中如果发现有概念不是很清楚，都要及时查看课本。

（三）回归课本，加强公式的记忆与运用

首先要加强公式的记忆，学生可以使用一些辅导资料上的公式表，也可根据自己的做题习惯整理一份适合自己的公式表，记住并明白如何应用。

其次对公式不能只停留在表面的认识上，要重视数学公式的来源，深入地理解公式的实质极其全部含义，掌握它们的基本特征和重要性质。利用公式的本质特征记忆公式，还应有意识地训练自己能够用语言准确地叙述数学公式，这样有利于对公式的理解和记忆。如果能用简练明确的口诀把公式中主要数量关系突出地表达出来，这更是记忆数学公式行之有效的方法。当然公式之间也是相互联系的，要注意各个公式间的相互转化，正用、逆用、变形应用。比如高中数学中三角公式最多，实质上学生只要记住两角和与差公式、正余弦定理就可以了.至于诱导公式、倍角公式，与两角和差的公式本质上是一模一样的；降幂半角公式是倍角公式的逆用。

例6 （2014福建卷理科第19题节选）、已知双曲线[E：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两条渐近线分别为[l1：y=2x，l2：y=-2x].（1）求双曲线[E]的离心率；

本小题考查双曲线的离心率公式[e=ca=a2+b2a2=1+b2a2]，双曲线[x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）]的两条渐近线为[y=±bax]，若考生记住公式，进行公式之间的转化，由 [ba=2，]易得出[e=5]

最后， 对于有联系的或容易混淆的公式，可以根据公式的不同特点，进行适当的对照比较，揭示其内在联系，找到它们的异同点，这样可以对公式有更加清晰的印象又可有效地防止某些类似数学公式的混淆。

例如2014福建卷理科第17题，本题考查利用直线与平面所成角的公式，这就要求学生能区别直线与直线、直线与平面、平面与平面所成角的公式。又比如在向量的投影中，要区别[a]在[b]方向上的投影、[b]在[a]方向上的投影，否则公式容易用混淆。

（四）回归课本，强化课本例题的示范性

学生在复习中往往会轻视课本例题的作用，而教材例题是课本的精髓、是无数专家学者研究的成果，具有很强的特性：基础性、示范性、典型性、拓展性、规律性。课本例题虽然基础，但无疑是最有代表性的。它一方面起到了加深学生对概念、知识的理解，并综合运用新知识；另一方面也是培养学生规范解答、提高能力的重要载体。

课本例题的解答过程为学生提供了样板，使学生自己明确解题表述的基本过程和规范要求，从而养成良好的解题习惯和规范语言表达能力。同时教材的例题，体现了一个完整的解题过程，弄清题意、思路分析、解题过程表述、反思总结。通过回归课本例题让学生明白了解题的基本步骤。

例如，在立体几何求角时要“一作二证三计算”。对于解析几何大部分同学都感到难，其实只要涉及直线与圆锥曲线问题，“一设（设直线方程，已知直线过点的用点斜式，但要讨论斜率是否存在；已知直线斜率的，用斜截式）；二联立；三消元；四设而不求，判别式，韦达定理。五代入化简（将根与系数的关系代入题目中的已知条件）”。

这种规律有时候要听老师讲，有时候要学生自己总结，引导学生做完题多想一想，这样以后少走弯路，从而提高自己解题的速度，表述有了规范性，减少了扣分的可能。

（五）回归课本，注意课后习题的挖掘、变式教学

数学课后习题是课堂教学的延伸和补充，数学课后习题的设计不仅能帮助学生巩固知识、技能及分析解决问题的能力，而且还能帮助教师了解教学情况，及时进行教学反思改进。近几年高考，许多高考题都能在教材中的习题找到题源。例如：2012年福建省卷理科第17题，题源是人教版A必修4第138页习题B组第3题。2013年全国新课标卷理科Ⅱ第17题、陕西卷理科第7题、辽宁卷理科第6题；2011年安徽卷第16题；2011年山东卷第17题、江西卷第17题等，这些题源均来自于是人教版A必修5第18页练习第3题。

在教学中，教师应充分认识课本习题所蕴涵的价值，注重对课本习题进行充分的挖掘和研究，对其变式、发散思维训练，挖掘其内涵及外延，把新旧知识有机地组合起来，以达到优化认知、开拓视野、锻炼思维、提高能力的目的.

总之，在高考最后阶段的复习，为了让学生学得轻松、又能达到事半功倍的效果，回归课本是行之有效的一种方法。通过回归能让学生基础扎实、规范解答，将学生引向高考的至高点。

参考文献：

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关键词：不等式证明题；函数；方程；几何；概率

在高中数学学习中，我们发现高中数学知识涉及很多方面，如：函数、方程、几何、三角函数、概率、不等式等。在学习中，除掌握这些知识点及运用以外，最重要的是把学到的知识运用到解决具体的试题中，并在此基础上获得一种思路与方法。学生在解题时，往往容易思路僵化，片面联系知识，而造成解题困难。学生如何在做题中才能避免这种困境呢？这就需要学生平时养成多思考、多联系、多归纳、多总结的习惯。

在高中数学必修五第三章不等式教学中，发现如下这样一个例子，我们如何去证明呢？本文尝试用不同知识来进行解决，以达到引发大家思考与探索的目的。

例：设变量x、y、z在区间（0，1）中取值，试证：x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

一、利用不等式的性质

证：由题知（1-x）（1-y）（1-z）>0可得：x+y+z-xy-yz-zx

二、利用变量替换

证：不妨设x=，y=，z=，其中：a，b，c均为正数，代入整理有：b+bc+c+ca+a+ab

三、利用函数的性质

证：不妨设f （x）=x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）-1=（1-y-z）x+y（1-z）+z-1，其中x∈（0，1），从而有：①当1-y-z=0时，f （x）=-yz

四、利用几何图象性质

证：如右图，正三角形ABC边长为1，设点A1、B1、C1分别在边BC、CA和AB上，且有AC1=x，CB1=y，BA1=z，显然SAB1C1+SBA1C1+SCA1B1

x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）

即x（1-y）+（1-z）+z（1-x）

五、利用三角函数性质

证：不妨设x=sin2A，y=sin2B，z=sin2C，则

原式=sin2Acos2B+sin2Bcos2C+sin2Ccos2A

=sin2Acos2B+sin2Bcos2C+（1-cos2C）（1-sin2A）

六、利用概率知识

证：设随机事件A，B，C相互独立，且P （A）=x，P （B）=y，P （C）=z，由概率加法公式有：P （A+B+C）=x+y+z-xy-yz-zx+xyz。

又0≤P （A+B+C）≤1，所以0≤x+y+z-xy-yz-zx+xyz≤1，即证。

七、利用基本不等式与二次函数的结合

证：用基本不等式x（1-y）≤（）2，当且仅当x=1-y时，等号成立。

x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）≤（）2+y（1-z）+z（1-x）

=x2+（1-x）（1-z）+z（1-x）=x2-x+1

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关键词：数困生；教学设计；转化

据研究，高中“数困生”很多不是真正意义上的数学学习困难生，他们在初中时大都有着良好的数学基础，也有着良好的智能开发，他们或是由于从初中到高中教学方法的不适应，或是由于经过几次考试失败而丧失了学习信心，或是存在大量没有攻克的学习难点等各种原因才造成了暂时的学习困难，因此，在教学时设计适合学生发展水平的教学过程和教学方式，转化进而避免“数困生”是完全可以实现的. 本文就笔者多年教学经验，谈一些体会，供参考.

[?] 设计生动的问题情境，激发“数困生”学习兴趣

在课堂教学中设计一些生动的问题情境，不仅能够在较短的时间内吸引“数困生”的注意力，不让其思维游离在课堂之外，而且能诱发强烈的参与动机，加速思维的运转.

案例1必修2 “平面的基本性质”教学中，“直线”、“平面”等概念是几何学所研究的最为初始的对象，在公理系统中对于这类初始事物的概念，不给予定义，只是予以描述. 因此，学生理解起来有些困难，“数困生”更加会觉得这部分内容抽象，难理解，教师可设置一系列的情境并提出相应问题，通过学生活动，帮助“数困生”进行感知和理解.

情境1 平静的水面、广阔的平原、平坦的足球场地、平滑的桌面、黑板的表面等.

情境2 棱柱的底面、圆柱和圆台的底面.

图1

问题1 这些事物给我们一种怎样的形象？

问题2 平面有什么样的特征？

问题3 我们可以通过怎样的方式形成平面？

情境3 电脑演示课件，如图2.

[l][平移]

图2

通过观察、归纳、抽象出平面的基本特征：平坦，没有厚薄，是无限延展的，从而描述出平面的概念.

问题4 可以用怎样的数学语言描述上述事物？

问题5 直线可以看成是以点为元素的集合，那么平面是否可视为点构成的集合？可以用怎样的数学符号表示点、直线与平面之间的关系？

通过这些问题情境的设置，“数困生”就很容易理解平面的相关概念和表示方法. 再比如，在讲等比数列时，可用古印度“国际象棋的传说”、生物学中的“细胞分裂问题”及实际生活中的一些情境问题导入课题，这样既激活了课堂气氛，又让学生体会到数列在实际生活中有着广泛的应用，从而提高学生学习的兴趣.

当然，教师在设置情境、提出问题时的注意点是起点要低、入口要宽，如此才能让“数困生”能够顺利产生思维着力点，努力想出解决问题的方法，从而使所激发的解决问题的热情为后面的问题解决起到良好的惯性作用，即使遇到一点挫折，他们也会努力去克服.

[?] 设计丰富的学生活动，增加“数困生”数学体验

著名教育家苏霍姆林斯基说过：“让学生体验到一种自己在亲身参与掌握知识的情感，乃是唤起少年特有的对知识的兴趣的重要条件. 当一个人不仅在认识世界，而且在认识自我的时候，就能形成兴趣. 没有这种自我肯定的体验，就不可能有对知识的真正的兴趣.”据观察，“数困生”大多都是数学课堂活动的旁观者，真正参与的很少. 教师可以根据教学内容，设定一些有趣的学生活动，增加他们数学学习的体验，这样既激发了他们的学习兴趣，又调动了学习的积极性.

案例2必修3 “随机事件及其概率”教学中，讲解完必然事件、随机事件、不可能事件之后，设计了学生自己动手抛硬币的实验，以期帮助学生形成随机事件概率的定义. 为了使每个人都有机会参与到实验中去，小组成员责任要具体化，如某小组的分工如下：

[第X小组分工＼&操作员＼&负责抛硬币＼&观察员＼&负责观察硬币的正反面＼&记录员＼&负责记录硬币出现正面的次数＼&总结人＼&根据观察到的现象总结并汇报实验结果＼&]

此外，还可以根据需要设置其他角色，如检查者：学习委员或者数学课代表负责纠正别人在解释或者总结中的错误；联络员：负责小组与老师之间的联络与沟通等. 最后由每组的总结人汇报实验结果，并输入EXCEL电子表格计算频率.

在试验的过程中，学生发现规律：当实验次数越多的时候，出现正面朝上的频率值接近于常数0.5，并在其附近摆动.再由学生自由讨论交流这个常数是什么？此时教师提出新的问题：“我们可以如何定义概率呢？”经过学生讨论后得出概率的统计定义，这是本节课的重点，也是理解“概率”定义的难点.让学生动手做实验，主要是为了让所有的学生都参与其中，经过观察，在这个过程中，“数困生”确实也能积极地、兴致盎然地进行抛硬币的实验.

当然，课堂活动的设计要有较强的可操作性，时间安排要合理，难易程度要控制好，此外，还要考虑所有学生（特别是“数困生”）的知识水平和接受能力，教师的课堂活动指令应清晰明了，从而使“数困生”能理解并积极参与到课堂活动中，培养他们的合作意识，增加他们的数学体验.

[?] 设计多样的例题变式，培养“数困生”的解题能力

有部分“数困生”的学习态度端正，但是考试成绩较差. 他们在课堂上能够听懂，但是当他们自己独立解题时就束手无策，这说明这部分学生不会灵活应用知识，解题能力欠缺，这需要教师对教学内容进行精心设计从而提高他们的解题能力. 在教学中，教师要精讲精练，抓住典型例题，进行迁移、加深、拓展、创新，进行变式训练，从而加深“数困生”对所学知识的理解并举一反三，增强思维能力.

案例3必修5 “基本不等式”教学中，在学习了基本不等式的公式之后，可设计如下例题及对应的变式：

例题 已知+=2（x>0，y>0），求xy的最小值.

变式1 已知3x+5y-2xy=0，x>0，y>0，求xy和x+y的最小值.

变式2 已知y=loga（x+3）-1（a>0且a≠1）的图象恒过点A，且点A在直线mx+ny+1=0上，求+的最小值.

变式3 已知a>0，b>0，是3a与3b的等比数列，求+的最小值.

变式4 若直线ax+2by-2=0（a>0，b>0）始终平分圆x2+y2-4x-2y-8=0的周长，求+的最小值.

变式5 已知a，b都是正实数，且满足log9（9a+b）=log3，求4a+b的最小值.

以上变式题从形式上看分别考查了函数、直线、圆、等比数列的有关知识，但是其内在本质都是基本不等式的应用，教师通过这些变式，引导“数困生”寻求解决方法，并让他们感悟它们之间的内在联系，形成数学思想方法. 通过一个题，掌握一类题，以点带面，这样可以使“数困生”觉得原来数学并没有那么难学，很多时候只是披了一件华丽的外衣，关键要抓住本质，多角度、全方位地去考虑问题.这样的教学有助于“数困生”增强学习数学的信心，提高分析问题和解决问题的能力.

[?] 设计恰当的教学环节，帮助“数困生”克服难点

教学实践中发现“数困生”总是在某个知识点上屡次犯同样的错误，这里固然有他们自己不求甚解的原因，但也有教师的原因，那就是在讲解过程中为了教学进度无暇顾及“数困生”，造成知识点的讲解不容易让“数困生”理解. 因此，进行详细、细致的错题分析是非常有效地帮助学生突破知识难点的手段.

案例4 在必修1“集合的含义及其表示”的教学中，笔者注意到学生经常会出现如下错误：

题1 {x

x+1=0}=______；学生的错解：答案是{x=-1}. 分析：题目中的x是指方程x+1=0的解，是一个以数为元素的集合，而答案是用列举法表示的以表达式x=-1为元素的集合，其本质发生了改变. 错误原因是不了解集合中描述法的含义，正确答案是{-1}.

题2 已知M={x

2x2-5x-3=0}，N={x

mx=1}，若N?M，求实数m组成的集合P. 学生的错解：M=

x

3，-

. 分析：混淆了集合表示的两种方法，即不是描述法，也不是列举法，是个四不像，有的学生由N?M，得出N={3}或N=

-

，漏掉了N= 的情况，错误原因是没有理解空集是任何集合的子集的含义.

题3 已知A={x

x=3n+1，n∈Z}，B={x

x=3n+2，n∈Z}，C={x

x=6n+3，n∈Z}. 若c∈C，则是否存在a∈A，b∈B，使c=a+b？

学生错解：设a=3n+1，b=3n+2，则c=a+b=6n+3∈C，故若c∈C，一定存在a∈A，b∈B，使c=a+b成立. 分析：集合A、B中的n不一定是同一个数，它只是表示整数；另外题中是由c∈C，问是否存在a∈A，b∈B，使c=a+b？而上述解法中是先取了a∈A，b∈B，推出c∈C，题意没有理解清楚，条件和结论刚好颠倒.

这些都是在集合中容易犯的错误，其主要原因都是对相关知识点的理解不到位，所以当发现这些错题时，教师要把它当成一个宝藏，充分挖掘其内在价值，要让“数困生”自己找出其错误的原因，分析其错误本质并进行纠正，从而避免再次犯同样的错误. 当然，教学过程中除了引导学生进行错题分析，还可以结合一些其他的教学手段，比如应用多媒体技术、留时间给学生反思、多鼓励学生、给予情感关注等等，让“数困生”乐学数学，主动地钻研数学，突破知识上的难点.

[?] 设计多层的练习作业，增强“数困生”学习信心

作业是巩固课堂知识的重要手段，但是在布置作业时，教师经常会“一刀切”，全班所有学生做的是同样的作业，忽视了学生间的差距和潜能，如此的作业，对数优生来说，可能缺乏挑战性，对数困生来说可能会有太多的障碍，从而都产生厌倦情绪. 为了“让每个学生都能得到最优发展”，教师在设计作业时要针对不同程度的学生设计不同层次的作业，力争让每个学生在适合自己的作业中获得成功、轻松、愉快、满足的心理体验.

案例5 在选修部分“椭圆”的教学后，在布置作业时，可设置以下两个练习：

练习1 已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0），若AB=，求直线l的倾斜角.

练习2 已知椭圆+=1（a>b>0）的离心率e=，连接椭圆的四个顶点得到的菱形的面积为4.

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线l与椭圆相交于不同的两点A、B，已知点A的坐标为（-a，0）. 若点Q（0，y0）在线段AB的垂直平分线上，且・=4，求y0的值.

由于练习1思路简单、方法常规，属于容易题，在布置作业时要求“数困生”做练习1，其他学生做练习2，如果“数困生”有兴趣，也可以做练习2，这样就可以保护“数困生”做作业的积极性.