学数学习总结范文

导语：如何才能写好一篇学数学习总结，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

    一  预习、听课、复习、作业的方法

    与数学课堂教学相适应的学习方法,就是预习、听课、复习、作业的方法等的基本方法。

    1、预习的方法

    预习是上课前对即将要上的数学内容进行阅读,了解其梗概,做到心中有数,以便于掌握听课的主动权。预习是独立学习的尝试,对学习内容是否正确理解,能否把握其重点、关键,洞察到隐含的思想方法等,都能及时在听课中得到检验、加强或矫正,有利于提高学习能力和养成自学的习惯,所以它是数学学习中的重要一环。

    数学具有很强的逻辑性和连贯性,新知识往往是建立在旧知识的基础上。因此,预习时就要找出学习新知识所需的知识,并进行回忆或重新温习,一旦发现旧知识掌握得不好,甚至不理解时,就要及时采取措施补上,克服因没有掌握好或遗忘带来的学习障碍,为顺利学习新内容创造条件。

    预习的方法,除了回忆或温习学习新内容所需的旧知识(或预备知识)外,还应该了解基本内容,也就是知道要讲些什么,要解决什么问题,采取什么方法,重点关键在哪里,等等。预习时,一般采用边阅读、边思考、边书写的方式,把内容的要点、层次、联系划出来或打上记号,写下自己的看法或弄不懂的地方与问题,最后确定听课时要解决的主要问题或打算,以提高听课的效率。在时间的安排上,预习一般放在复习和作业之后进行,即做完功课后,把下次课要学的内容看一遍,其要求则根据当时具体情况灵活掌握。如果时间允许,可以多思考一些问题,钻研得深入一些,甚至可做做练习题或习题;时间不允许,可以少一些问题,留给听课去解决的问题就多一些,不必强求一律。

    2、听课的方法

    听课是学习数学的主要形式。在教师的指导、启发、帮助下学习,就可以少走弯路,减少困难,能在较短的时间内获得大量系统的数学知识,否则事倍功半,难以提高效率。所以听课是学好数学的关键。

    听课的方法,除在预习中明确任务,做到有针对性地解决符合自己的问题外,还要集中注意力,把自己思维活动紧紧跟上教师的讲课,开动脑筋,思考教师怎样提出问题,分析问题,解决问题,特别要从中学习数学思维的方法,如观察、比较、分析、综合、归纳、演绎、一般化、特殊化等,就是如何运用公式、定理,了解其中隐含着的思想方法。

    听课时,一方面理解教师讲的内容,思考或回答教师提出的问题,另一方面还要独立思考,鉴别哪些知识已经听懂,哪些还有疑问或有新的问题,并勇于提出自己的看法。如果课内一时不可能解决,就应把疑问或问题记下,留待自己去解决或请教老师,并继续专心听老师讲课,切勿因一处没有听懂,思维就停留在这里,而影响后面的听课。一般,听课时要把老师讲课的要点、补充的内容与方法记下,以备复习之用。

    3、复习的方法

    复习就是把学过的数学知识再进行学习,以达到深入理解、融会贯通、精炼概括、牢固掌握的目的。复习应与听课紧密衔接、边阅读教材边回忆听课内容或查看课堂笔记,及时解决存在的知识缺陷与疑问。对学习的内容务求弄懂,切实理解掌握。如果有的问题经过较长时间的思索,还得不到解决,则可与同学商讨或请老师解决。

    复习还要在理解教材的基础上,沟通知识间的内在联系,找出其重点、关键,然后提炼概括,组成一个知识系统,从而形成或发展扩大数学认知结构。

    复习是对知识进行深化、精炼和概括的过程,它需要通过手和脑积极主动地开展活动才能达到,因此,在这个过程中,提供了发展和提高能力的极好机会。数学的复习,不能仅停留在把已学的知识温习记忆一遍的要求上,而要去努力思考新知识是怎样产生的,是如何展开或得到证明的,其实质是什么,怎样应用它等。

    4、作业的方法

    数学学习往往是通过做作业,以达到对知识的巩固、加深理解和学会运用,从而形成技能技巧,以及发展智力与数学能力。由于作业是在复习的基础上独立完成的,能检查出对所学数学知识的掌握程度,能考查出能力的水平,所以它对于发现存在的问题,困难,或做错的题目较多时,往往标志着知识的理解与掌握上存在缺陷或问题,应引起警觉,需及早查明原因,予以解决。

    通常,数学作业表现为解题,解题要运用所学的知识和方法。因此,在做作业前需要先复习,在基本理解与掌握所学教材的基础上进行,否则事倍功半,花费了时间,得不到应有的效果。

    解题,要按一定的程序、步骤进行。首先,要弄清题意,认真读题,仔细理解题意。如哪些是已知的数据、条件,哪些是未知数、结论,题中涉及到哪些运算,它们相互之间是怎样联系着的,能否用图表示出来,等等,要详加推敲,彻底弄清。

    其次,在弄清题意的基础上,探索解题的途径,找出已知与未知,条件与结论之间的联系。回忆与之有关的知识方法,学过的例题、解过的题目等,并从形式到内容,从已知数、条件到未知数、结论,考虑能否利用它们的结果或方法,可否引进适当辅助元素后加以利用是否能找出与该题有关的一个特殊问题或一个类似问题,考察解决它们对当前问题有什么启发;能否把分开,一部分一部分加以考察或变更,再重新组合,以达到所求结果,等等。这就是说,在探索解题过程中,需要运用联想、比较、引入辅助元素、类比、特殊化、一般化、分析、综合等一系列方法,并从解题中学会这一系列探索的方法。

    第三,根据探索得到的解题方案,按照所要求的书写格式和规范,把解的过程叙述出来,并力求简单、明白、完整。最后还要对解题进行回顾,检查解答是否正确无误,每步推理或运算是否立论有据,答案是否说尽无遗;思考一下解题方法可否改进或有否新的解法,该题结果能否推广(事实上中学课本中不少题目是可以推广的)等,并小结一下解题的经验,进而发展与完善解题的思想方法,总结出带有规律性的东西来。

    二  “由薄到厚”和“由厚到薄”的学习方法

    “由薄到厚”和“由厚到薄”是数学家华罗庚多次提到的治学方法,他认为学习要经过“由薄到厚”和“由厚到薄”的过程。“由薄到厚”是理解和弄懂所学的数学知识,知其然并知其所以然。学习不仅要理解和记住概念、定理、公式、法则等,而且还要想一想它们是如何得来的,与前面的知识是怎样联系着的,表达中省略了什么,关键在哪里,对知识是否有新的认识,有否想到其他的解法等等。这样细加分析、考虑后,就会对内容增添某些注解,补充一些的解法或产生新的认识等,出现了“书越读越厚”。

    但是学习不能到此止步,还需要把学过内容贯串起来,加以融会贯通,提炼出它的精神实质,抓住重点、线索和基本思想方法,组织整理成精炼的内容,这就是一个“由厚到薄”的过程。在这过程中,不是量的减少,而是质的提高,所以具有更重要的作用。通常在总结一章、几章或一本书的内容时,就要有这种要求,运用这种方法。这时由于知识出现高度概括,就更能促进知识的迁移,也更有利于进一步学习。

    “由薄到厚”和“由厚到薄”是一个螺旋上升的过程,它具有不同的层次和要求,学习中需要经过从低到高多次的运用,才能收到应有的效果。这一学习方法体现着“分析”与“综合”、“发散”与“收敛”的辩证统一,就是说数学学习需要这两者统一起来。

    三  接受学习与发现学习相结合的方法

    数学学习应是有意义接受学习和有意义发现学,如何使两者互相配合、有机结合,充分 发挥各自和综合的效力这是学习方法的一个重要方面。

    接受学习,不论是听系统的讲授,还是以定论的形式给出的教材,都不涉及任何的独立发现。但在学习过程中,学生处于积极、主动的状态,并非只是单纯的接受,他们总不断地向自己提出问题,如定理是如何发现或产生的,证明的思路是怎样想出来的,中间要攻破哪几个关键的地方。许多数学家都十分强调“应该不只胀到书面上,而且还要看到书背后的东西。”在进行接受学习时,还要增添某些发现学习的万分,从中学习创造、发明的思想和方法,而不仅仅停留在知识的接受上。

    发现学习,是依靠自己对所提供的材料或问题的观察、比较、分析、综合等,独立地了现的解决某问题,从而获得新知识。在解决问题时,要真正理解问题中所涉及的要领、原理、公式、定理和法则,懂得每步操作的意义,以及提出假设、检验假设的目的等。解决问题,总需要联想以往学习过和知识与方法,一时回忆不起来的,还要重新复习,以求进一步理解的应用。有是遇到困难问题,甚至还在查看参考书或请教老师者能解决。可见,这期间也穿插着接受学习。

    数学学习既需要接受学习,以便在短时间内获得大量前人积累起来的宝贵知识财富,也需要发现学习,以利于思维、培养创造能力。因此,学习要根据自身的年龄、学习能力特点和教学内容的要求,使两者紧密结合起来。

    第二篇   数学,与其他学科比起来,有哪些特点?它有什么相应的思想方法?它要求我们具备什么样的主观条件和学习方法?本讲将就数学学科的特点,数学思想以及数学学习方法作简要的阐述。

    一、数学的特点(一)

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高中数学是初中数学的提高和深化，初中数学在教材表达上采用形象通俗的语言，研究对象多是常量，侧重于定量计算和形象思维，而高中数学语言表达抽象，逻辑严密，思维严谨，知识连贯性和系统性强。

一、正确对待学习中遇到的新困难和新问题

在开始学习高中数学的过程中，肯定会遇到不少困难和问题，同学们要有克服困难的勇气和信心，胜不骄，败不馁，有一种“初生牛犊不怕虎”的精神，愈挫愈勇，千万不能让问题堆积，形成恶性循环，而是要在老师的引导下，寻求解决问题的办法，培养分析问题和解决问题的能力。

要提高自我调控的“适教”能力。 一般来说，教师经过一段时间的教学实践后，因自身对教学过程的不同理解和知识结构、思维特点、个性倾向、能力品质、教学观念、职业经历等原因，在教学方式、方法、策略的采用上表现出一定的倾向性，形成自己独特的、鲜明的、一贯的教学风格或特点。作为一名学生，让老师去适应自己显然不现实，我们应该根据教的特点，从适应教的目的出发，立足于自身的实际，优化学习策略，调控自己的学习行为，使自己的学法逐步适应老师的教法，从而使自己学得好、学得快。

要将“以老师为中心”转变为“以自己为主体，老师为主导”的学习模式。 数学不是靠老师教会的，而是在老师引导下，靠自己主动思维活动去获取的，学习数学就是要积极主动地参与教学过程，并经常发现和提出问题，而不能依着老师的惯性运转，被动地接受所学知识和方法。

要养成良好的个性品质。 要树立正确的学习目标，培养浓厚的学习兴趣和顽强的学习毅力，要有足够的学习信心，实事求是的科学态度，以及独立思考、勇于探索的创新精神。

要养成良好的预习习惯，提高自学能力。 课前预习而“生疑”，“带疑”听课而“感疑”，通过老师的点拨、讲解而“悟疑”、“解疑”，从而提高课堂听课效果。预习也叫课前自学，预习的越充分，听课效果就越好；听课效果越好，就能更好地预习下节内容，从而形成良性循环。

二、要养成良好的审题习惯，提高阅读能力

审题是解题的关键，数学题是由文字语言、符号语言和图形语言构成的，拿到目要“宁停三分”，“不抢一秒”，要在已有知识和解题经验基础上，译字逐句仔细审题，细心推敲，切忌题意不清，仓促上阵，审数学题有时须对题意逐句“翻译”，将隐含条件转化为明显条件；有时需联系题设与结论，前后呼应挖掘构建题设与目标的桥梁，寻找突破点，从而形成解题思路。

要养成良好的演算、验算习惯，提高运算能力。 学习数学离不开运算，初中老师往往一步一步在黑板上演算，因时间有限，运算量大，高中老师常把计算留给学生，这就要同学们多动脑，勤动手，不仅能笔算，而且也能口算和心算，对复杂运算，要有耐心，掌握算理，注重简便方法。

要养成良好的解题习惯，提高自己的思维能力。 数学是思维的体操，是一门逻辑性强、思维严谨的学科。而训练并规范解题习惯是提高用文字、符号和图形三种数学语言表达的有效途径，而数学语言又是发展思维能力的基础。因此，只有以本为本，夯实基础，才能逐步提高自己的思维能力。

解完题目之后，要养成不失时机地回顾下述问题：解题过程中是如何分析联想探索出解题途径的？使问题获得解决的关键是什么？在解决问题的过程中遇到了哪些困难？又是怎样克服的？这样，通过解题后的回顾与反思，就有利于发现解题的关键所在，并从中提炼出数学思想和方法，如果忽视了对它的挖掘，解题能力就得不到提高。因此，在解题后，要经常总结题目及解法的规律，只有勤反思，才能“站得高山，看得远，驾驭全局”，才能提高自己分析问题的能力。

三、要养成纠错订正的习惯，提高自我评判能力

要养成积极进取，不屈不挠，耐挫折，不自卑的心理品质，对做错的题要反复琢磨，寻找错因，进行更正，养成良好的习惯，不少问题就会茅塞顿开，割然开朗，迎刃而解，从而提高自我评判能力。

要养成善于交流的习惯，提高表达能力。 在数学学习过程中，对一些典型问题，同学们应善于合作，各抒己见，互相讨论，取人之长，补己之短，也可主动与老师交流，说出自己的见解和看法，在老师的点拨中，他的思想方法会对你产生潜移默化的影响。因此，只有不断交流，才能相互促进、共同发展，提高表达能力。如果固步自封，就会造成钻牛角尖，浪费不必要的时间。

“学而不思则罔，思而不学则贻”。在学习数学的过程中，要遵循认识规律，善于开动脑筋，积极主动去发现问题，进行独立思考，注重新旧知识的内在联系，把握概念的内涵和外延，做到一题多解，一题多变，不满足于现成的思路和结论，善于从多侧面、多方位思考问题，挖掘问题的实质，勇于发表自己的独特见解。因为只有思索才能生疑解疑，只有思索才能透彻明悟。一个人如果长期处于无问题状态，就说明他思考不够，学业也就提高不了。

每学完一节一章后，要按知识的逻辑关系进行归纳总结，使所学知识系统化、条理化、专题化，这也是再认识的过程，对进一步深化知识积累资料，灵活应用知识，提高概括能力将起到很好的促进作用。 15、要养成做笔记的习惯，提高理解力。 为了加深对内容的理解和掌握，老师补充内容和方法很多，如果不做笔记，一旦遗忘，无从复习巩固，何况在做笔记和整理过程中，自己参与教学活动，加强了学习主动性和学习兴趣，从而提高了自己的理解力。

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6月4日上午，我镇语文教师在中心小学举行学习交流活动，参加淮安学习的五名骨干教师以还原专家的课堂教学、听课研讨、教学报告等形式请进了先进教育经验。季友志老师执教了《数星星的孩子》，全镇一二三年级语文教师进行了听评。王超老师执教了《桂林山水》，全镇四五六年级语文教师听评。五位教师根据学习内容，结合自己的教学经验，举办了精彩的讲座，全体语文教师收获多多。

6月4日下午，全镇数学教师在中心小学进行学习交流活动。首先听评研讨了王文龙执教的《三角形的三边关系》和周德花执教的《用字母表示数》。两位教师很好的把教育专家的先进教育理念请回来，和全体教师一起分享。高报、臧守金、周德花和王文龙四位教师的讲座，思想前沿，理念先进，让广大教师享受了精神大餐。

王老师执教的《三角形的三边关系》是模仿华应龙老师的课堂教学，能把华老师的课堂理念体现的淋漓尽致，是一节较为成功的课。在课堂注重了学生的主体地位，能期待学生问题的生成。让学生在玩中慢慢的进入思考数学的境界，学生边操作边思考，加深了学生对三角形三边关系的理解。王老师用了三年级的学生学习四年级的内容，有些学生学习效果不好，教师的课堂语言有些不流畅。但不管是成功的经验还是失败的教训，都让我们收获很多。

周老师作为年轻的教师，能在工作很短的时间内迅速成长起来，实在是我们学习的榜样。她执教了《用字母表示数》结合了专家的理念和自己的教学经验，让大家很好的分享她的教学艺术。

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小学数学 课堂教学 总结

1、启发性总结。启发性总结，就是在学生掌握了课堂讲授内容的基础上，通过教师精心设计的启发性问题作结。这样做，不仅可以使学生学得的知识得以条理和升华，而且有利于发展学生的探究能力。在课堂结尾时，教师提出一些富有启发性、趣味性的问题，不作解答，留给学生课余时间去思考、印证，以造成悬念，激发学生探求知识的欲望，从小培养孩子热爱数学的兴趣。如在学习“圆周率”后，可以设计这样的问题：一些老木工经常说：“一尺圆三寸”，这句话在数学上有什么样的道理？如果按照我们今天学习的计算方法，要做一个直径为1米的木桶，需要木板的总宽度约是多少？这样，既巩固了本节课乃至本阶段的学习内容，又让学生把数学与现实生活中的实际问题、重大时事等紧密结合起来，避免了单一枯燥的学习，有利于培养学生分析问题的发展思维能力。

2、概括性总结。这种总结方法是绝大多数教师采用率最高、最常见的一种方式。每节课结束时，为了让学生较为系统地掌握本节课的内容，教师要引导学生用准确简练的语言，对该节课的学习内容进行提纲契领的说明，并对教学重、难点和关键问题加以概括、归纳和总结。这样可给学生留下系统、完整的印象，在帮助学生、加深理解、巩固新知识的同时，还能为学生以良好的精神状态，投入到下一阶段的学习提供基础和动力。这种总结方式，多用于新授课。在一节数学课里，或者为了形成某一个数学概念，或者为了确立某个法则、性质，或者为了讲授某种数学方法，课堂总结时，将新授内容归纳、概括、梳理，实有必要。这样做，可以使学生快速、精炼地再现本节课的重点内容，起到深刻理解、巩固、强化知识的作用。如，在教学几种专用名称百分率问题时，其名称和公式较多，有成活率、缺勤率、废品率、烘干率、含水率、命中率等等，它们分别又有各自的计算公式。如何交给学生一条“绳子”，让学生把零散的知识“捆”起来，轻松地“背”着走呢？为此，教师可以引导学生进行归纳，共同总结出“求谁的百分率，就用谁除以相关的总数量。”概括性总结，要简明扼要，画龙点睛。这样做，既能加深学生对所学知识的理解，又能减轻学生的记忆负担，同时也有助于培养学生抽象概括的能力。

3、悬念性总结。文学作品中的“悬念”，可引人入胜，激趣。数学课的总结，也可以通过巧设悬念，拨动学生的好奇心，激发他们学习数学的兴趣。特别是前后联系非常密切的教学内容，可考虑设置悬念。例如，一位教师在“求一个数是另一个数的百分之几”的应用题教学中，给学生一道只有条件、没有问题的不完整的题目：“某班有男生26人，女生24人。”让学生思考，根据这样的条件，可以提出哪几个问题。学生提出了六个问题：男生占女生人数的百分之几？女生占男生人数的百分之几？男生占全班人数的百分之几？女生占全班人数的百分之几？男生人数比女生多百分之几？女生人数比男生少百分之几？对前两问，让学生口头列式教师板书；中间两问让学生书面列式集体订正；对后两题告诉学生放在下节课研究，还可以提出一些问题，均放在下节课研究。这样做使一题多变做到了适度，调动了学生学习的积极性，也为下节课做了铺垫。

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数学是教学中十分重要的课程之一，数学学习的主要功能是培养学生的逻辑思维能力和数学认知能力。在数学学习过程中采用适当的探究性学习，可以更好地激发学生的学习兴趣，帮助他们更牢固地掌握数学知识。然而，课堂上开展探究性学习必须要在学生有一定的基础知识和学习能力的条件下进行才能取得更好的教学效果，而接受性学习方式能使学生更快、更有效地掌握系统知识，能弥补探究性学习的不足。因此，只有通过两者的有机结合，才能使课堂教学真正“活”起来，使之发生由量变到质变，由“厌学”到“愿学”的转变，达到高效课堂的目的。

1.关于探究性学习的研究状况

20世纪美国著名的教育心理学家和教育思想家布鲁纳认为：在教学过程中，要践行素质教育理念，加强对探究式教学模式的研究和应用，培养学生的探究意识和问题意识，通过设置问题的方式，引导学生深入思考，有效解决学习过程中存在的问题。

20世纪70年代我国著名教育家叶圣陶先生曾经提出：“教师不应以讲授课本为专务，而要为学生创设能够独立思考的情景，令其自为理解。”20世纪80年代初期，探究性学习理论开始进入我国，很多教育教学工作者开始对探究式学习理论和实践进行研究。

余文森教授（2002）认为：转变学生的学习方式是当前素质教育时代背景下的必然趋势，转变学生的学习方式主要体现在两个方面。一方面，主动学习。在传统学习模式中，学生处于被动地位，一般是在教师的要求下进行学习，缺少主动性，而现代教育过程中，教师要引导学生学会主动学习。另一方面，改变传统的被动接受学习。在教学过程中，要凸显探究、发现、研究等过程的重要性，使学生能够在学习过程中更多地发现问题、提出问题、分析问题等。

杨忠（2014）也认为：在素质教育时代，初中教育更重视综合教育，数学教学不仅是数学知识的讲解，还是对数学思想的一种培养。而实施探究性学习便是调动学生的学习积极性，实现素质教育的一个有效途径。

这些观点表明了人们开始意识到探究性学习在教学中的重要性。

2.关于接受性学习的研究状况

黄梅认为，在满足有意义学习的条件下，讲解式教学能充分发挥教师的主导作用和学科知识的内在功能，使学生在认知过程中避免许多不必要的曲折和困难，并能够快速有效地获得系统性的科学知识，这也充分体现出有意义学习在数学教学中的作用。

李运萍、刘志红在《接受性学习的产生与发展》一文中提出：“接受性学习虽然在培养学生创新精神和实践能力方面不如探究性学习，但从学生掌握基础知识的状况来看却更胜一筹；虽然在适应知识经济时代方面不如探究性学习，但从实施的现实可能性来看，接受性学习更易于实施。再者说来，学生通过接受性学习获得的基础知识是进行探究性学习的基础，离开了这些知识，探究性学习就无法正常开展。”

纵观当前的教育教学形势可以看出，接受性学习依旧是课堂的重要组成部分，也是当前教育教学的主要模式。

3.关于两种学习整合的研究

扬州大学的刘久成教授认为：探究性学习与接受性学习在一定意义上是优势互补的两种学习方式。为培养学生的综合素质，促进学生的全面发展，教师将两种学习方法结合起来运用于教学实践是一种合理的教学选择。

江建忠认为，在教学过程中，探究性学习和接受性学习可以相互整合，科学合理地运用两种学习方式，最大限度地激发学生的学习潜能，使学生能够保持对学习有源源不断的动力。

李鑫认为，中学学习是一个重要的过渡过程，学生所学习的内容、知识并不都是需要通过探究性学习方式来获取的。一方面，从知识的分类角度来看，有的知识不需要经过探究、启发，只需通过教师的传递，学生就可以熟练掌握，如陈述性知识、程序性知识和政策性知识，这些知识是既定存在的，不需要进行探究。另一方面，一些特定类型的知识和技能，由于比较特殊，如果只是让学生自主探究学习，学习效果比较低下，而以教师的讲授为主、学生的自主探究为辅进行学习，有利于学生对各种知识进行理解、掌握和运用。

课堂教学是素质教育的主阵地，也是培养学生能力，促进学生发展，提高教学质量的关键所在。在教学过程中，教师应辩证地看待这两种学习方式，将两者整合并融入学生的学习中，从而更好地提高学生的学习能力。

二、两种学习方式整合策略的相关研究

刘久成认为，两种学习整合要从以下三个方面进行分析：第一，从知识的分类来看；第二，从培养目标的完整性来看；第三，从学习方式的互补性来看。

翟绪红在《浅谈接受性学习和探究性学习在数学课堂中的策略研究》一文，用了出租车收费的例子来阐述了两种学习方式的整合策略在小学数学课堂中的实施，而具体的操作模式没有说清楚。

陈志容认为，在探究性学习与接受性学习相整合的教?W实践中，教学应注意以下四个方面：第一，要用传统的接受性教学方法引导学生学习基础知识和技能，然后再在实践中运用探究性学习方法；第二，创造全新的学习方法，并将学习方法融入学生已有的学习方法中，使其逐渐形成意识和习惯；第三，适时适当地进行综合探究；第四，探究与课堂学习有机结合。

杨文健认为，要把探究性学习与接受性学习加以整合，目的是发挥两者的长处。让学生学会发现问题和解决问题，是初中数学教育的重要内容。在初中数学教学过程中，教师应该积极加强对学生的引导，不断培养学生的问题意识。杨文健提出以下三个重点：第一，在教学过程中应该逐渐将探究性学习方法引入到课堂中，将接受性学习模式转移到课外，目的是为探究式学习服务；第二，在教学问题的选择上应该加以重视，将学生独立发现问题与师生共同发现的问题集合起来进行讨论；第三，教师在传授知识的过程中应该加强对问题的引导。

李鑫认为，在课堂教学中进行两种学习方式的整合需要考虑以下四个方面：第一，根据教学内容，合理确定学生的学习方式；第二，教师在教学过程中要把接受性学习与探究性学习相互融合、相互促进；第三，在教学过程中要把握探究性学习的先决条件；第四，要对探究性学习与接受性学习的结合点进行发掘。

邓永财认为，两种学习方式融合的途径主要有两种形式。第一，松散结合形式，是指在整个课程教学过程中，始终以有意义的接受学习与探究学习相结合作为指导思想，根据教学的实际情况进行探究性学习。第二，紧密结合形式，是指把有意义的接受学习与探究学习有机地融合在同一教学过程中。

三、简要评述

通过对相关文献的查找与研读，笔者对课题的理解有了更深的认识，对课题的研究方向也有了更清晰的思路。在研读过程中，笔者注意到前辈们所做的研究与笔者的研究有些不同的地方，总结归纳出以下四个方面。

1.研究的领域不同

不管是布鲁纳的发现学习理论还是奥苏泊尔的有意义接受学习理论，他们的理论主要针对教育领域，而本课题所针对的是数学教学领域，在课题的前期构想过程中以布鲁纳和奥苏贝尔的教育理论为课题指引方向，然而在课题的实施过程中，由于数学有其特有的知识结构和特点，必须把两种理论有效运用到课堂教学上才能达到较为理想的效果。

2.研究的层面不同

笔者通过细心研读发现，一些关于两种学习的整合策略研究的相关文献主要停留在理论研究层面，如陈志容的《研究性学习和接受性学习整合探讨》，邓永财的《试论探究学习与接受学习的融合》等论文，而本课题的研究主要以奥苏贝尔的有意义接受性学习理论和布鲁纳的认知发现学习理论为指导，重点偏向于教学实践层面的研究，依托课堂教学所反馈的真实情况不断完善课题的相关研究工作。

3.研究的主线不同

关于探究性学习与接受性学习整合的相关文献并不是很多。如江建忠的《物理教学中“探究性学习”与“接受性学习”的整合》，李?g的《“有意义接受学习”和“探究学习”整合下的有效教学策略研究》都是关于物理方面的学习方式整合，杨文健的《试论化学“研究性学习”与“接受性学习”的整合》是关于化学方面的学习方式整合，而本课题的研究方向主要是对初中数学教学过程中两种学习方式整合的研究。

4.研究的焦点不同

相关文献研究的焦点更多的是倾向于小学、高中和中职学校的数学学习方式整合的研究，如刘久成的《探究性学习与接受性学习的融合》和翟绪红的《浅谈接受性学习和探究性学习在数学课堂中的策略研究》研究的焦点是小学数学；穆岩的《高中数学研究性学习与接受式学习的整合》研究的焦点是高中数学；陈丽贤的《接受性学习与探究性学习的思考》研究的焦点是中职数学。由于不同学生在各个年龄阶段的智力发展会有所不同，因此小学数学学习方式一般以接受性学习为主导，高中数学学习方式一般以探究性学习为主导，而初中数学学习方式恰好是两者并重，也正因如此有了本课题的研究方向。

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[关键词]总复习　数学　合理安排教学

初三总复习阶段是知识系统化、条理化、灵活化，促使学生素质、能力发展的关键时期。九年级总复习阶段是初中学生进行系统学习的最后阶段，也是初中学生参加升学考试的冲刺阶段，是知识系统化、条理化、灵活化，促使学生素质、能力发展的关键时期.总复习效果的好坏直接关系到初中学生掌握学科知识的程度，以及升学成绩的好坏.下面就如何做好总复习提出几点建议。

一、明确“主体”，突出重点

总复习，教师必须明确主体，突出重点，对中考“考什么”、“怎样考”，应了如指掌。总复习能否取得最佳的效果，一是要看教师对现代教学新理念、历届《考题》，理解的是否深透，研究的是否深入，把握的是否到位；二是看教师讲解、学生练习是否体现阶段性、层次性和渐进性.要做到减少重复，重点突出，让大部分学生学有新意，学有收获，学有发展；三是看知识讲解、练习检测等是否具有科学性、针对性.要使模糊的清晰起来，缺漏的填补起来，杂乱的条理起来，孤立的联系起来，让学生形成系统化、条理化的知识框架；四是看练习检测与中考是否对路，要不拔高，不降低，难度适宜，效果良好，重在基础的灵活运用和掌握分析解决问题的思维方法.

二、研究中考，加强复习计划，合理安排复习进程

1.精心谋划复习计划。史蒂芬.柯维说过

“人生最悲惨的莫过于：我们辛辛苦苦一级一级爬上成功的阶梯，没想到爬到顶端才发现梯子摆错了方向!”因此，在精心设计和安排复习计划时，应考虑到复习阶段将要安排的工作实现的可能性，即计划的工作是否是必须做的，是否是应该做的，是否是能够做的。如果考虑妥当了，在制定计划时，则必须明确要达到这些目标，相应的工作要做什么?何时做?因此，中考复习阶段，制定的复习计划目标要求明确化，可衡量，可达成，符合实际的，并且有时间限制。只有突出针对性、可操作性，这样的计划才能有助于合理整合和优化复习时间，提高复习效能。

每年即将进入总复习的前期，我们备课组会发挥集体智慧，专门开会探讨复习计划的制定。从学生的特点分析、复习阶段的分法、时间的安排、资料的选择、复习的要求和目标、预期的效果和可能出现的问题等方面各抒己见，结合过去的经验，作好计划。

2.合理规划复习进程，科学安排复习时间

在这么有限的时间要完成几个阶段的复习安排，没有一定的科学性和合理性，复习的效果不言而喻。明确复习的各个阶段。中考复习遵循循序渐进的原则，分阶段要求开展工作。一般可以划分为四个阶段，具体要求是：

第一阶段单元过关，要求：抓纲务本，全面复习，夯实基础。

第二阶段专题复习，要求：重点复习，构建网络，归纳迁移，发展能力。

第三阶段强化训练，要求：完善知识体系，适应考试要求，升华应试技能。

第四阶段考前指导，要求：回归课本，自学为主，适度训练，调整心态，轻装上阵。

三、立足于课堂教学，抓学生的复习效率

对于一节总复习课，分析了考点与中考试题的趋势之后，需要辨清学生知识现状及学生对知识的接受能力，特别是本节课题的教学重点、难点，从整体高度来设计这堂课的主干、细枝；预估学生的学情，选择、组合好教学资源，精选典型例、习题或题组，创设有效的情景来引入；科学有效地设计提问，逐渐引导学生进入探究、猜想、论证的自主发现过程；再借助多媒体(黑板、教材、语音、电脑课件、投影、教案、学案等)的展现(呈现、突现)来辅助教学，其中正确地发挥各自的作用(科学准确和富有启发性的语言、恰当的语调，必要、规范、示范的黑板书写；黑板――真理擦抹谬误的园地.电脑课件的集成节约了一定的书写时间，展现了运动、直观或微观的变化；学案有助于学生的阅读与解决问题，等等)；同时在教与学中，关注学生的学习状态，随时处理好教与学的生成因素，积蓄或展现教师的教学智慧与艺术；既“教”又“导”更管“到”，渗透数学思想方法，培养学生的数学学习能力，发展学生的思维，提高课堂教学的效果。复习课上教师应注意“以题代点、以题论法”，合理的安排讲练的时间，注意知识的纵横联系，注意教学基本思想的渗透，注意基本方法的训练，注意总结出学习的规律性，充分发挥课堂效益，尽量把问题解决在课堂。

四、重视“四基”，突出核心内容，抓学生的知识结构

四基：基础知识、基本技能、基本思想和基本方法。中考有50％的容易题、30％的中档题，考试的成败主要取决于这些题目的解答情况，因此在中考总复习中，必须关注基础知识的落实，对基础知识的灵活运用就是能力，抓住了基础就能以不变应万变。

要落实基础知识，教师首先要明确复习课要复习的内容，这部分内容在初中阶段是在哪几个学段学习的，如何将这些不同阶段学习的知识串起来，不同阶段的要求是否有差异等，要通过复习，将学生头脑中孤立的、零碎的知识梳理好，明确这些知识要不同阶段学习的特点，以及他们的内在联系，使得他们形成某种组块，便于学生的整体认知，使得相关知识系统化、条理化，促进学生的理解，帮助学生建立良好的认知结构。例如，复习《统计》章节，由于统计的内容分别七、八、九年级不同的阶段都有学习，教师要将这些知识，以网络、图表或列表的方式串起来，这部分一方面可以交给学生以小组的方式完成，教师指导或课堂交流，通过学生自我总结，完善知识结构，更有利于学生建立良好的知识结构。这部分内容，在中考中的题型可有单项选择题、填空题、计算题、解答题.从我省命题看，相关问题多为解答题，试题位置、分值相对稳定，问题背景却与生产

五、定期模拟检测，教会学生考试

1.教会学生尽快适应正确、高效填写答案机读卷；

2.综合模拟检测训练，定位预估分析；

3.适当分层次、区别对待不同能力水平的考生；

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关键词:学习兴趣；结构；模型

美国认知心理学家布鲁纳（Brunner B.F 1996）曾指出："学习的最好刺激乃是对所学材料的兴趣"。强调了兴趣在学习活动中的巨大作用。因此，近年来，国内外学者对学习兴趣进行了诸多的研究，本文主要讨论对学习兴趣结构的研究。

一、国外对学习兴趣结构的研究

海蒂和贝尔德(Hidi&Baird,1988)及科拉普(Krapp,1989 )[1] 从兴趣结构特征的角度,把兴趣分为个体兴趣和情境兴趣。目前，这一分类理论得到了国内和西方心理学界的普遍认同。教育领域中，研究者们也大多从情景兴趣和个人兴趣的分类进行更深入的研究[2]。(e.g.,Alexander, 1997, 2004; Bergin, 1999; Hidi, 1990, 2000; Krapp et al., 1992; Renninger,2000; Schraw & Lehman, 2001). 个人兴趣是指个体相对固定的指向一定客体、活动或某一知识领域的心理倾向性（Hidi, Renninger, and Krapp,1992; Krapp et al., 1992）,它主要是以个体已经存在的知识、个体的经验以及情感为基础的。个人兴趣的另一个重要特征就是其内在性，个体由于主体的内在需求而不是外部原因投入到某个主题中（Schiefele,1986）。情境兴趣是指活动或学习任务的特征对个体产生吸引力，从而激发个体形成一种即时性的、积极的心理状态。它具有即时性、自发性等特点，易受外部条件的影响而改变,它的产生主要依赖于活动本身的特征和个体对其的特殊感受，情境兴趣经过长期的培养，也能够成为个体兴趣产生的基础，也就是说，情境兴趣在一定的条件下可能发展为相对持久的个体兴趣（Deci,1992）。实验研究发现情景兴趣包括两个阶段：在第一个阶段兴趣被引发（引发性兴趣），在第二个阶段兴趣继续被保持了下来（维持性兴趣）。(Harackiewicz, Barron,Tauer, Carter, & Elliot, 2000; Hidi & Baird, 1986; Mitchell, 1993)[4]。海蒂与贝尔德及科拉普假设：与引发性兴趣相比，维持性兴趣将会与整个情景兴趣有较高的相关。

图1. 海蒂和贝尔德兴趣结构模型(1988)

米切尔（Mitchell,1992）研究了中学生（14-16岁）数学学习兴趣，通过问卷调查和定性分析，建立了下面的扩展式兴趣模型。

图2. 米切尔兴趣结构模型(1992)

后来,研究者进一步将个人兴趣细分为潜在的与现实的个人兴趣[5],而潜在的兴趣又被分为与情感和价值相联系的兴趣[6]。Gregory Schraw 和 Stephen Lehman（2001）[7]在总结以往有关兴趣研究的基础上提出了一个系统的兴趣分类模型。

图3. Gregory Schraw和Stephen Lehman的兴趣结构模型，2001）情境兴趣和个人兴趣的交互作用在话题兴趣中得到最典型的表现。所谓话题兴趣是当特殊话题呈现时所诱发的兴趣。目前对话题兴趣的分类各研究者持不同的意见。海蒂和麦克劳伦(Hidi,McLaren,1990,1991)把话题兴趣看作情境兴趣的一种,也有人把话题兴趣看作是个人兴趣的一种,艾琳(Ainley)则认为话题兴趣中既有情境兴趣又有个人兴趣。另外，琴斯科(Kintsch,1980)把兴趣分为两类:情绪兴趣和认知兴趣,情绪兴趣是信息所引起的阅读者的情感反应,认知兴趣是阅读者感知到从材料中获得什么知识。Harp and Mayer (1997)[7]在阅读兴趣中对此作了进一步的验证和研究。

对于兴趣构成维度的研究，多集中于对情景兴趣及数学、阅读、写作、音乐等教学领域，并因学科的不同而表现出较大的差异性。Schraw，Bruning 以及 Svoboda(1995)等人关于大学生对阅读的情境兴趣的测试采用了六维度结构，包括内容的紧凑性、理解的难度、生动性、知识阅历、精力集中程度和情感引导。Hidi 和 Anderson认为写作中的情境兴趣包括新鲜感和情感唤醒两个维度。在数学及其他学科领域，有关情境兴趣对学习效果影响的研究方面，有的学者从单一的 "趣味性"（Frick,1992; Hidi ＆Baird, 1986）角度或从"把握"（holding）与"捕捉"（catching）兴趣的双重角度对情境兴趣的构成维度进行评价（Mitchell,1993）。Deci 却认为应从三个维度上对个体情境兴趣体验水平的程度进行统一的界定，包括内容特征（新鲜性、挑战性）、心理定向（探索倾向、情绪唤醒、时间知觉）以及个体的主观体验（注意力需求、快乐感觉）。这些因素在个体情境兴趣的产生中起着重要的作用，只有从这些维度对情境兴趣进行研究才具有科学性（Deci,1992）。

二、国内研究

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在本次读书文化节的策划阶段，院团委以及院学习部拟定了详细的计划，通过宣传板，通知文件以及我系学生会和各班班委的传达等方式来告知我系同学，使同学们对读书文化节有了一个大致的了解，通过强有力的宣传，充分的调动了学生的积极性。

读书文化节于-月-日正式拉开帷幕，在读书文化节期间，院学习部安排了“好书不负读”主题演讲、外语嘉年华、辩论赛、专题研讨会等一系列活动，而我系为配合读书文化节的召开主要举行了第二届“金鹰杯”辩论赛、专题研讨会模拟演练等一系列的活动。主要活动如下：

⑴ “励志青春”主题演讲

XX年，读书文化节中，我院学习部开展了“励志青春”主题演讲演讲活动，在全体学生中广泛开展了这次活动。让我们青年学生要努力学习科学文化知识，打牢知识基础;勤于学习，敏于求知，注重积累，奠定人生进步的根基。

此活动由院学习部主办，在活动中，同学们都积极活跃阐述自己的观点，感受到他们的激情，活动中秩序井然，气氛浓厚，让我们感受到了“青春”的重要性！虽然我们系没有得奖，但是他们参与的激情还是有的，值得鼓励！

⑵“金鹰杯”辩论赛

在读书文化节如火如荼的开展后，为配合院学习部辩论赛，我系特由学习部主办，生活部、女生部、宣传部协办举行了“金鹰杯”辩论赛。在活动的筹划阶段，我学习部起到了主导作用，而其余部门也扮演了重要角色。首先由宣传部进行前期宣传，其次由生活部负责赛场布置，女生部进行赛场服务，各个部门配合顺利，这就为活动的顺利举办创造了良好的条件。在活动中，选手们的热情高涨，为辩论赛营造了良好的氛围，到场的评委也对辩论赛进行了公平公正的评判，使活动在激烈活跃的气氛中结束。同时选出了最佳辩手一名、优秀辩手2名。

当然，本次活动中也有着不足。本次活动在一些小的细节上，没有进行完善。在主持方面存在一定的问题，以及在时间的调控上也不是非常得当。

⑶专题研讨会

在专题研讨会通知下发之际，引起了我系领导的高度重视，并一再叮嘱我们要积极参加。这就为同学们参加研讨会燃起了热情。为更好的完成系领导下达的任务，我系共进行了五次模拟演练。在大一每个班内举行一次，然后在系里举办两次，这就为两队优秀选手的脱颖而出奠定了良好的基础。

自始至终，选手们都积极完成了自己的工作和任务，从开始的演练，到最终的比赛，都非常努力，最后取得了一个“优秀组织者”、一个团队第二、两个“优秀个人”的骄人成绩，没有让系领导以及大家失望。

专题研讨会本身对我们来说就是一个陌生的词，因此，在活动初期，我们做的有些盲目，这就耽误了不少宝贵的时间，同时前几次的模拟演练准备也不是很充分，没有专题研讨会的气氛，致使演练与比赛不太一致，使选手们有点措手不及。

在本届读书文化节中，我们努力的配合院学生会的工作，同时也使自己增添了许多专业以外的知识，体会到院学生会举办活动的严谨性，因此，我们要不断做出完善，不断学习，同时向院学习部学习，办出真正属于自己的高品质活动来丰富同学们的校园文化生活。以上便是我系学习部对此次读书文化节的总结。

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一、七年级信息技术学科教学目的要求

1、增强学生的信息意识，了解信息技术的发展变化及其对工作和社会的影响。

2、初步了解计算机基本工作原理，学会使用与学习和实际生活直接相关的工具和软件。

3、学会应用多媒体工具、相关设备和技术资源来支持其他课程的学习，能够与他人协作或独立解决与课程相关的问题，完成各种任务。

二、学生情况分析

本学期七年级49班-54班共有学生275人，由于学生大多来自边远山区，信息闭塞，知识面狭窄，对外界了解甚少，给学生学习信息技术带来了很大的影响。

从本学期上课的情况开看，教学成绩仍不够理想，还需多多努力。

三、提高教学质量的具体措施

他山之石，可以攻玉。针对学生实际，我在教学中认真做了以下几方面的工作。

1、结合计算机的硬件实际，开展好常规教学。

⑴开学初，便结合我校的计算机硬件实际，制定出切实可行的教学计划，并严格按教学计划进行上课。在教学过程中，对具体的教学内容都进行了认真的教学分析，思考在现有计算机软硬件的实际情况下如何实施教学，并写成教案上课。收到较好的效果。

⑵在教学中，我经常研究学生的思想发展变化，为了提高学生学习信息技术的兴趣，在不影响教学的情况下，自己从光盘上或到其它学校去找了一些有利于学生智力发展的小游戏，把这些游戏在学生完成学习任务后给学生玩，让学生既巩固了所学知识，又提高了学习兴趣，并有助于学生智力发展。经本期实践，取得了很好的效果。学生不但掌握了规定的信息技术知识和达到了规定的操作技能水平，而且还从游戏中学到了许多其它的知识。信息技术课已经成了学生十分喜欢的课程之一。

2、加紧学习课程标准，贯彻课程标准，进一步转变观念，实施素质教育，开展对教材的研究，解决问题，深化教学改革。

3、加紧对教师自身业务素质的提高，做到认真备课，因材施教，选择最佳的教学方法，传授知识和技能。

4、加快教学方法研究，在教学中认真吸收别人先进的教学方法，大胆尝试，加以变通，并从理论的角度，加以深华。

四、从教学上讲我主要做了这一些工作：

1、做到期初有计划，有教学进度，使教学工作能有条不紊地顺利进行下去。

2、按照学校工作管理规定，认真备好课，写好教案，努力上好每一节课。电脑科学校安排的课时比较少（一周每班一节）这对于学生来讲的很重要的一节课；对老师来讲是比较难上的一节课。所以才能上好每节课对老师对学生都是很关键的。除了备好课、写好教案外，我还要查阅各种资料，能上因特网时还上网寻找好的教学材料，教学课件，把它们和我所从事的工作结合起来，为我所用。

3、在转差促优上，我也注意在教学中或教学之余以各种形式学生进行思想教育，转化差生，促进他们的发展。

4、在教学之余，我也注重自身发展进步。除了听课，评课，参加教研组教研活动外，我还注意到要自学。从思想上，利用行评机会端正自己；从行动上参加自考学知识，学电脑技术，学教学技能等；在生活上注意形象，为人师表。

作为教师教学工作是主要的，但除了教学工作外，我也积极参加学校组织其它活动如：政治理论学习，年级组工作等等。

五、存在的问题和今后的努力方向

1、信息技术学科不仅是一门崭新的学科，更是一门具有很多不同与其它学科特点的特殊学科，由于学科教学发展较缓慢，没有现成的教学模式，摸着石头过河，工作收效不是很大。

2、我校是从本学期才开始信息技术教学，由于教学时间有限，不能按时结束课程，考试成绩不是很理想。建议学校在以后的学期中，按照课程标准的要求，开足教学课时，圆满完成教学任务。

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关键词：流形学习；数据降维；图嵌入

中图分类号：TP18文献标识码：A文章编号：1009-3044(2012)07-1576-05

在这个信息爆炸的时代，人们的生活逐渐被迅猛增长的数据所包围。这些数据中很大部分都具有很高的维度，人们难以直接对这些数据进行处理，往往需要借助计算机的力量来对这些高维海量数据进行分析，挖掘出高维数据背后隐藏的有用的信息，从而为人们的后续决策提供依据。在完成这类高维数据分析的任务时，经常采用的方法都是传统的线性方法，比如经典的主成分分析（PCA）[1]及多维尺度变换（MDS）[2]等方法。这类方法的优势是算法步骤简单，易于实现，且复杂度较低，但是它们的缺陷也同样明显：它们都依赖于“数据分布在高维线性空间（欧氏空间）上”这一基本假设。然而现实中的许多高维数据显然并不能满足这个线性假设。在实际的数据集中，数据各个维度间很难保证完全独立，它们往往以某种形式相互影响相互作用，从而使整个数据集表现出一定的非线性分布规律。这样，使用线性方法便很难正确发现高维非线性数据集中所蕴含的真正有意义的信息，便会导致所谓的“维数灾难”，这样就使得信息技术的进一步应用受到很大限制。因此，如何有效地从高维非线性数据中提取出有用信息一时间成为信息科学技术所面临的基本问题。

2000年，Seung等人在SCIENCE上发表文章称，现实世界中的高维数据集都可以看成是近似分布在一个低维非线性流形上的，而通过对这个低维流形进行分析就能够获得它所对应的高维数据集的各种性质。至此，一种全新的处理高维非线性数据集降维问题的方法——流形学习就第一次被正式提了出来。

流形学习可以被描述为一种从高维数据集中恢复其低维流形结构的数据降维方法。也即，从高维数据集的分布中挖掘出其符合的低维流形结构，并将此低维流形结构在低维欧氏空间中表示出来，获得对应的低维坐标，从而实现数据降维的目的。流形学习算法突破了线性方法的诸多先天不足，能够从本质上发掘出数据集的内在规律，得出与高维数据集最为相近的低维嵌入坐标，因此，该类算法一经提出，就获得了广泛的关注和讨论，并很快成为了处理高维非线性数据集降维问题的标志性算法。在流形学习算法被提出后的数十年间，它的有效性和算法效率也被无数的实验和实际应用所证实，时至今日依然展现出了强大的生命力。流形学习的代表性算法包括局部线性嵌入（LLE）[3]、等距特征映射（ISOMAP）[4]、拉普拉斯特征映射（LEM）[5]以及局部切空间排列（LTSA）[6]、最大方差展开（MVU）[7]和扩散映射（DFM）[8]等算法。这些算法在遵循了流形学习的一般框架之外，都具有各自非常鲜明的特点，都取得了良好的算法效果。

1流形学习算法概览

下面先结合三个典型的流形学习算法，详细介绍它们的算法思想，算法步骤以及算法特点，并为后文探索该类算法的共性做好铺垫。

1.1局部线性嵌入（LLE）

首先介绍LLE算法。它是一种非监督的学习算法，能够计算高维数据的的低维嵌入，这种嵌入保留了数据的邻域性质。假设数据是分布在一个非线性流形上，它最终是被映射到一个独立的低维全局坐标系上去的。这种映射是通过局部线性重构的的对称性而获得的，而且嵌入结果的计算最终是归结于一个稀疏矩阵特征值问题的。

LLE算法在计算低维嵌入的过程中遵循的一个最重要的原则：高维空间中相邻的点在低维空间中仍然保持相邻，并且整体上来说，数据点的分布也与高维空间中的分布相似。在适当的条件下，仅仅从高维空间的邻域中的几何性质也能够获得这种低维嵌入。

首先，假设数据由N个实值向量Xi构成，每一个向量的维数都为D，从一个光滑的潜在流形上采样而来。当数据点的个数很充足（也就是此流形是良好采样）的时候，就可以认为每一个数据点和它的邻域都是分布或者近似分布在一个流形的一个局部线性的小块上的。对于每一个数据点，总存在一些邻近的点，它和这些邻近的点就可以定义一个流形上的近似的线性平面。在这种情况下，每个数据点就能够用它的邻域来进行重构，得到的线性系数就用来刻画每个数据点邻域内的局部几何特性。最后就是运用这个权重矩阵来恢复低维空间中的嵌入数据。LLE算法的详细过程可叙述如下：

1）邻域搜索。LLE方法中的第一步就是确定每个数据点的邻域。确定邻域的方法主要有两种，一种是K邻域法，也就是对每个数据点取它的K个最邻近的点作为邻域，这是用欧氏距离来度量的。另一种方法就是对每个数据点定义一个半径固定的球域，所有在此球域范围内的点都被当成是它的邻域。但是在实际应用中也可以根据一定的先验知识灵活决定邻域搜索的办法。

2）约束最小二乘优化。LLE算法的第二步是将每一个数据点由它的邻域重构出来。这是通过解决一个约束最小二乘优化的问题来实现的。最小代价函数为：

ε=|x-∑jwjηj|2=|∑jwj(x-ηj)|2=∑jkwjwkGjk

(1)

其中Gjk=(x-ηj)?(x-ηk)。然后求解以下线性方程组：∑kGjkwk=1，再调整w的权值使其和为1。则得到的结果向量wk就是每个点的重构系数，将所有wk写成矩阵形式得到的矩阵W即为权重矩阵。

3）特征值问题。LLE算法的最后一步就是基于第二步中建立的权重矩阵W来计算高维输入Xi的低维嵌入。低维输出Yi是在W固定的情况下，通过最小化如下代价函数所获得的：

Φ(Y)=∑

(6)

在满足上述两个限制条件的同时，再对代价函数公式（2）进行优化，就得到了最优化的嵌入。这是通过求解矩阵M的第2到第d+1小的特征值所对应的特征向量来实现的。1.2等距特征映射（ISOMAP）

下面再接着介绍ISOMA算法。ISOMAP算法是另一种非常经典的流形学习算法，它建立在古典MDS方法的基础上，通过获取所有点对之间的测地距离，力求能够保留数据的内在几何特征。此方法的难点在于如何在仅仅知道输入空间中点的距离的情况下，对离的很远的点估计它们的测地距离。对近邻点，输入空间中的距离很大程度上能够看成是测地距离的近似。而对于离的较远的点，测地距离则通过将邻近点间的距离逐一相加来近似得到。

ISOMAP算法同样可以分为三个步骤：

1）确定数据点间的邻域关系。这是通过输入空间X中任意两点i和j之间的距离dX(i,j)来决定的。具体来说，这又有两种简单的方法。第一种是规定一个固定的半径ε，以一个点为中心，所有在此半径范围内的点都称作这个点的近邻点；另一种方法是选择一个点的K个最邻近的点作为它的近邻点。这些近邻关系是通过定义在数点上的赋权图G来表示的，相邻的点之间存在一条边，边的权重就赋予它们的距离dX(i,j)。

2）Isomap通过计算图G中的最短路径距离dG(i,j)来估计流形M上所有点间的测地距离dM(i,j)。一个用来寻找最短路径的简单算法如下：首先初始化dG(i,j)，令当i,j之间有边连接时，dG(i,j)=dX(i,j)；否则dG(i,j)=∞。然后依次为每一个k=1，2，…，N，用min{dG(i,j),dG(i,k)+dG(k,j)}来代替dG(i,j)。得到的最终结果DG={dG(i,j)}就包含了图G中所有点之间的最短路径距离。

3）将古典MDS方法运用到图G的距离矩阵DG上，构建出d维欧氏空间Y上的嵌入数据，构建出的嵌入数据能够最好的保留流形的预计内在几何特征。而低维空间Y中点的坐标向量yi的选取必须使得如下的代价函数取得最小值。

E= sdvd]中的行向量就是最合适的d维嵌入坐标，也是整个算法的最终输出。1.3拉普拉斯特征映射（LEM）

将要介绍的第三个流形学习算法是LEM算法。它运用图的Laplacian概念，可以计算出数据集的低维表示，能够在某种意义下最好地保持局部邻近信息。算法所产生的映射可以看作是对流形几何的连续映射的一种离散逼近。LEM算法的核心是使用Laplace Beltrami算子在流形上达到最优化的嵌入。此算法用数据点的邻域图来近似流形，用邻域图的含权Laplace矩阵来近似Laplace Beltrami算子。由于Laplace Beltrami算子在热传导方程中的关键作用，这就为选择热核作为权的衰退方程提供了理论支持。另外，Laplace特征映射保持局部特征的性质使得它对噪声不敏感，即使只使用局部距离，也不易引起短路。

LEM算法的具体过程可表述如下：

1）建立邻接图。如果xi和xj“邻近”，就在节点i和j之间置一条边，这一步骤与上述的两种算法相同，都有两种做法：ε-邻域法或者K-最近邻域法。

2）选择权值。同样的，也有两种为边确定权值的方法。（a）热核（Heat Kernel）法[参数t∈R ]：

2从图嵌入的视角看流形学习算法

上面介绍了三种很有代表性的流形学习算法，可以看出，虽然它们的算法目标不同，各自保持的数据集性质不同，计算过程也是各有偏重，但是，它们同作为流形学习算法的代表，还是有很多能体现这一类算法共性的相似之处的。

其中，比较明显的就是，这三种算法的步骤都大致相同。比如，算法的第一步都是确立数据点的邻域关系，第二步都是根据邻域关系对数据集进行某一方面的刻画，比如LLE刻画邻域点间的重构线性系数；ISOMAP刻画邻域点间的相互距离，从而得到全局各点间的最短路径距离；LEM刻画邻域点间的相互远近关系。算法的第三步就是将第二步中得到的关于数据集某一方面信息的刻画保持到低维输出结果中去，从而使得低维输出结果在我们想要保持的那种性质方面尽可能的逼近高维原始数据。这样一来，各算法间的区别就可以看成是它们想要在低维嵌入结果中保持的原始数据集的哪种性质了，而这些算法从整体上看，可以说是共同遵循了某种特定的框架。

而在文献[9]中，作者就提出，目前所有这些流形学习算法，都可以统一在图嵌入的框架下，都可以从谱图理论的角度作统一的解读。下面就将作者文中的一些观点做一个综述。

对于流形学习算法，算法的输入为：X=[x1,x2,...,xN]，其中xi∈Rm，N是输入点的个数，D是输入数据的维数；算法的输出则是Y=[y1,y2,...,yN]，其中yi∈Rm’，m’

其中d是常数，B是为了避免代价函数出现平凡解而定义的约束矩阵，通常是一个用于控制解的规模的对角矩阵。由这样的图保持标准所带来的相似性保持性质就有两方面的解释，如果样本点xi和xj有较大的相似性，那么它们对应的嵌入点yi和yj就应该距离相近；反之，如果xi和xj相似性较小，则yi和yj也应相互远离。

上述分析就给出了图嵌入的一般框架，可以看出，图嵌入的核心思想就是在低维输出结果中保持相似性图上各点间的相似性。这显然与各种流形学习算法的目标是一致的。而这也是流形学习算法能够统一在图嵌入框架下的根本原因。下面就将具体描述前一节中介绍的三种流形学习算法是如何描述成图嵌入的方法的。

首先看LLE方法。LLE方法在将输入数据映射到低维空间中去的时候注重保持的是邻域点间的相互关系。首先要计算的是局部重构系数矩阵M，满足∑j∈Nk(i)Mij=1，其中Nk(i)是样本点xi的k个最近邻的索引集，然后低维表示y就是通过最小化代价函数∑i来实现的。如果令图嵌入中的相似矩阵W=M+MT+MTM，B=I，那么LLE的代价函数公式（2）就可以和图嵌入的代价函数公式（10）完全的等同起来。所以，LLE和图嵌入的等价关系由此可以直接建立起来。

再看ISOMAP方法。ISOMAP在寻求数据集低维表示的过程中所注重的是对数据点间测地距离的保持。令最短路径矩阵DG为获得的近似测地距离矩阵，函数τ(DG)=-HSH/2就将距离矩阵转换为了相应的内积矩阵（其中H=I-eeT/n，Sij=D2G(i,j)。如果令W=τ(DG)，B=I，那么ISOMAP中求解τ(DG)的最大特征值对应特征向量的问题就可以和求图嵌入的代价函数公式（10）的最优解等价起来。所以ISOMAP方法也可以看成是图嵌入的另一个例子。

最后再来看LEM方法。它保持的是邻域点间的相似性。LEM方法和图嵌入的联系算是所有流形学习算法中最紧密最直观的了，因为它的代价函数和图嵌入的代价函数具有完全相同的形式。只是在具体的选择相似矩阵W时有两种不同的方法，一种是选

3流形学习算法成功的条件

前面两节中详细介绍了几种代表性的流形学习算法，可以说，经过人们不断的研究和扩展，流形学习算法作为一种能够处理非线性数据降维问题的一类算法已经得到了很广泛的应用，并在很多数据集上都取得了成功。但是，流形学习算法也并不是对任何数据集都能取得很好效果的，甚至对一些很简单的数据集，算法却有可能会输出一些很离奇的结果。这种情况就是流形学习算法的一些固有缺陷的反映，比如，流形学习算法的低维输出结果只考虑使代价函数取得最小值而完全不考虑所选择的特征向量是否有意义。对于这种固有的缺陷，下面将要介绍的这篇文章[10]就作出了详细的分析，并列出了想要算法取得成功就必须满足的一些条件。

在本文中，作者首先对何为算法的“失败”给出了一个明确的定义：令X=XN×d为原始样本。输入是由ψ(X)?RD给出的，其中ψ:RdRD是光滑映射，D≥d是输入数据的维数。令Y=YN×d是原始样本X的一个仿射变换，这样就能满足上述正则化约束。当算法成功的时候，就意味着输出应该与Y很相似。令Z=ZN×d为任何满足正则约束的矩阵，如果存在这样的Z使得Φ(Y)>Φ(Z)，就认为算法失败了。其中Z是和Y显著不同的，因而也是和X显著不同的。或者说，如果存在一个显著不同的Z，它的代价比最适当的嵌入Y要小，那么算法就失败了。这篇文章中并没有明确的给出“显著不同”的定义，通常来看，当Z的维数比Y小时就认为Z与Y是显著不同的。这里的矩阵Z并不一定要与算法的输出相似，它仅仅是一个数学的构造，来显示流形学习算法的输出结果并不一定总能恢复流形的真实结构。

然后作者以一个用LEM来处理二维流形嵌入的例子来说明，流形学习算法的成功都是有一定条件的，面对特定数据集时算法可能会产生失败。设输入数据集X是一个二维格子[-m,…,m]×[-q,…,q]，其中m≥q，将输入点xij记为xij=(i,j)。为了简单，将输入数据集X记为X=（X(1),X(2)），这是一个N×2矩阵，其中N=(2m+1)(2q+1)代表了格子中的点数。在这个特定的例子中，原始样本和输入数据集是一样的。接下来看两种不同的嵌入Y和Z。嵌入Y就是格子本身，规范化之后以满足Cov(Y)=I。嵌入Z则将每一列映射到一个点，而得到的点形成了二维平面上的一条曲线，并满足Cov(Z)=I。嵌入Z显然不能保持格子数据的原始结构。首先正式的定义这些嵌入。定义Y?=X(X’DX)-1 2，而它是满足Y?’D1=0和Y?’DY?=I的对X的唯一线性变换。再定义Y=XCov(X)-1 2，可知Y’1=0，Cov(Y)=I，当K

4流形学习中的一些问题

流形学习算法自2000年首次被提出以来，经过人们不断的研究与完善，如今已相对比较成熟，而且已经在很多其他领域中得到了广泛的应用。但是，关于流形学习算法仍然有一些公开的问题并没有能够得到很好的解决，这些问题已经成为制约着流形学习取得进一步发展的重要因素。

比如说，在算法的邻域搜索步骤中，邻域选择的参数K或者ε往往是人们凭经验或者某种对数据集的先验的了解给出的，而并不是通过某种规则推导得出的。这就使得这两个参数的选择有很大的随意性，可能会影响算法的效果。更关键的是，流形学习算法都是建立在一个根本的假设之上的：流形上足够小的一个局部邻域可以被看成是一个线性空间。流形学习算法一个最普遍的做法就是，使用线性的方法对每个局部邻域进行分析，然后将每个局部邻域的信息汇集起来得到对整个流形的刻画。所以，流形学习算法取得成功的基础就在于，每个局部邻域真的能近似的看成一个线性的子空间。而控制局部邻域是否构成一个线性子空间的，正是算法的邻域参数K或者ε。如果对邻域参数的确定没有明确的选择方法，那就意味着算法对所选取的每个局部邻域是否能真实的逼近一个线性子空间没有一个理论上的保证。这才是确定邻域参数中真正的问题所在。比如一个弯曲程度较大的二维流形，为了算法的成功，所选取的邻域应该能够近似的逼近一个二维平面，而对于某个给定的邻域参数K，在流形上比较平坦的区域，K个点所构成的邻域能很好的逼近二维平面，而在流形上弯曲程度较大的区域，K个最近邻点就有可能无法构成一个二维平面而只能看作是一个曲面。在这个曲面上运用线性的方法，比如计算相互间的欧氏距离，来获得关于此邻域的刻画显然是不真实的。再比如在一些密度分布不均匀的数据集上，取多少个邻域点才能构成一个近似的线性空间，同样是一个现有算法无法解决的问题。目前针对这一问题还没有一个十分完美的解决方案。有一些方法试图对此作出优化，比如可以根据数据集局部的密度或者曲率的不同灵活的调整邻域个数的选择，但是对于邻域参数的选择与邻域能否构成一个线性子空间之间理论上的联系仍然没有一个很完善的结论。这算是流形学习算法中留待解决的一个疑问。

流形学习算法中另一个公开的问题是流形本质维度确定的问题。流形学习算法的目标是将寻求分布在流形上的高维数据集的低维表示，而这里低维的维数就应该是流形的本质维度，在一般算法中，流形的本质维度是作为算法的参数先验的给出的。在为了验证流形学习算法的有效性而经常用到的几个人造数据集中，它们所在流形的本质维度是很容易看出的，因而算法作为参数的低维维度很容易确定。而在绝大多数的实际数据集中，数据集所在流形的维度是无法直接看出的，需要通过计算才能给出。目前比较普遍的确定流形本质维度的方法主要是计算残差法，即作出算法输出结果的残差随输出维度的变化而变化的曲线，将曲线的拐点处对应的维度作为流形的本质维度。这样做一个主要的问题就是，拐点只是一个相对的概念，有的时候不同的维度所对应的曲线斜率变化相差并不大，难以确定真实的拐点。而且，单凭所谓拐点来确定流形本质维度同样没有理论上的证明，目前的方法只能被证明是选出了“最适合”的嵌入维度。能否更有效率且更准确的获得数据集所在流形的本质维度，这也将是决定着流形学习算法能否扩展其应用领域的重要因素。

除此之外，流形学习算法中还有一些其他的问题也是值得深入探究的。比如多流形上的数据集的降维问题，即如何将分布在多个流形相互交叉和重叠的“多流形”上的数据集统一的在一个低维坐标系中表示出来，就是一个很有意义却还没能得到很好解决的问题；而如何发掘出数据集中隐藏的其他有意义的信息，并将其作为对高维数据性质的新的刻画，从而丰富和发展流形学习算法的方法和种类（就像当初扩散距离被引入到流形学习中而形成的扩散映照算法），也同样是一个很有挑战性的问题。

5总结

本文对当前的流形学习作了一个较为全面的综述。包括介绍了几种最具代表性的流形学习算法，并介绍了如何从图嵌入的角度将这些算法统一起来，探讨了算法能否取得成功的一些判定条件。本文的主要工作在于对流形学习领域的主要工作及相关成果作了一个总体的介绍，对涉及到的相关问题作了一个简单的梳理。当然，本文主要选取了各个方面的一些代表性文章作了介绍，对流形学习领域的所有成果显然无法全部涉及。相信随着对流形学习研究的不断深入，流形学习目前所遇到的一些难题一定会得到解决，流形学习作为一种很有潜力的学习算法，一定能够得到更广泛的应用。

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