勾股定理证明范文

导语：如何才能写好一篇勾股定理证明，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

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关键词：勾股定理；定理证明；推广应用

1引言

自我国改革开放以来，国内政治、经济、社会、文化等诸多环境得以完善，从而吸引了大量外国企业、居民进入国内，给中国当代文化氛围、科学技术发展带来了较为深刻的影响。中外文化的交流，在一定程度上给整个世界学术界、实务界的发展提供更加鲜活的血液与动力。（删除）勾股定理作为世界范围内数学界最为伟大的发明之一，其是一个十分伟大的数学定理。迄今为止，勾股定理已经被利用多种方法给予证明，并在较多领域中得以推广。作为一个具有历史厚重感的数学定理，在当前中学教课书中也是仅仅列举了一种证明方法，而对其他方法的证明及其推广应用的介绍十分之少。为此，作者将在本文中针对勾股定理的证明方法进行研究，作者谨此希望能够利用本文的研究丰富当代中学生的视野，使他们能够利用对定理背后历史的探究，更好的掌握数学应用方法，为步入大学校园继续深造奠定坚实的基础，为社会主义现代化建设需求人才素质的提升做出自身贡献（删除）。

2勾股定理的证明方法研究

勾股定理作为一种举世闻名的数学定理，其（删除）现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类。在下文当中，作者将对前两种方法分别进行一种证明方法的研究。

第一，面积法。该种证明方法是由毕达哥拉斯所发明的，其当初所使用的面积法证明采用了分解的思路，具体如下图所示：

在两个绘制的图形当中，可以发现，毕达哥拉斯共设计出了八个大小完全相等的直角三角形。并对每个直角三角形的边进行了赋值，其中直角边的赋值分别为a与b、斜边的赋值为c。接下来，在上述八个直角三角形的位置周围绘制出了三个等边正方形。最终就形成了如上两个图形。在做好上述准备工作之后，就可开始对勾股定理进行了证明，其证明思路主要为利用正方形所具有的面积对定理进行证明。可以发现，左图当中将所有小矩形的面积进行相加，就等于整个大正方形的面积。并可得出如下公式：

（a+b）2=a2+b2+4×1/2×ab

在得出上述等式基础上，再将面积相等的方法应用于右图当中，也可以得出另一等式：

（a+b）2=c2+4×1/2×ab=c2+2ab

通过上述两个公式之间的合并，最终可以得到勾股定理的公式：a2+b2=c2

第二，拼接法。拼接法证明与面积法证明之间存在着较大差异。为此，可以先绘制以下图形，以便于利用拼接法进行更为准确的证明：

其通常所采用的方法之一具体由上图列示。该图形主要由四个大小相同的直角三角形所构成。并对每个直角三角形的边进行赋值，赋值方法与面积法基本相同。在此基础上，可利用上述拼接图形进行勾股定理的证明。由上图可以发现，DE=AF=HE=b，且角GDE为90度，也存在有FB=FG=BC=a，且角BCG为90度。因此，上图当中的两个四边形就可以利用已经为直角三角形的赋值进行替代表示。从而又可将上图分解为两个图形，并实现勾股定理的证明。

3勾股定理的推广应用研究

勾股定理不但可以在平面图形当中得以应用，更加可以在三维图形，乃至n维图形当中得以应用，并给解决诸多较为复杂的数学问题提供重要帮助。例如：假设ABC为等边三角形，D是该三角形内部的一点。如果假设角BDC为150度，并假设BD长度为2，CD长度为1。那么，AD的长度应当是多少。在上述旋转三角形边长求解的运算当中，就可以借助勾股定理的方法实现对最终答案的求解。该求解的主要利用图形的旋转将现有三角形ABC等位移动至三角形AEC处，从而构造出了一个新的等边三角形ADC。那么，依据这一思路之后，就可以利用对现有容易求解的方法对ED求解，并利用两者之间相等的思想，实现对目标边AD长度的求解。其中针对EC的求解就可以应用到勾股定理，并构造如下等式：DE=（DC2+CE2）1/2=51/2。进而也就求得了边AD的长度。通过这则案例可以得出结论，勾股定理在平面图形之外的立体多位图形当中可以实现推广与应用。

4结论

通过本文的研究，可以发现，勾股定理作为一个举世闻名的数学定理，其现存的证明方法繁复多样，可根据主流的分类方法将其归为三类：其一为面积法；其次为拼接法；另外一种为定理法。通过对不同方法的探究，作者以案例的方式对其中两种方法的大致证明思路提出了思考，并在此基础上对不同方法的推广应用进行了研究。作者谨此希望，能够利用本文的研究，给数学界勾股定理应用范围及深度的提升带来促进作用，也希望能够在未来求学过程中继续深入思考研究数学理论的相关问题。

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    一、逻辑推理与实际应用是数学学习动机

    数学发展的历史包括两种典型的数学文化:一种是重视逻辑推理的希腊数学文化,一种是重视实际应用的中国数学文化.

    数学史家将古希腊数学按时间分期:第一期从公元前600年到前323年;第二期从公元前323年到前30年,也称亚历山大前期;第三期从公元前30年到公元600年,也称亚历山大后期[3].前两个时期,希腊数学文化认为,数学命题只有通过几何形式的逻辑推理论证才能说明其正确性,论证数学成为数学研究的主流,几何形式的逻辑推理证明成为数学成果正确与否的衡量标准.这个标准逐渐发展成为对数学研究的期望或理想,即期望数学成果能够通过几何形式的逻辑推理来论证.在“亚历山大后期”,古希腊数学突破了之前以几何为中心的传统,算术、数论和代数逐渐脱离了几何的束缚.这一时期受罗马实用思想的影响,论证数学不再盛行,如海伦的《量度》中有不少命题没有证明.但论证数学中的逻辑推理在数学研究中仍占有重要位置,如丢番图《算术》书中采用纯分析的途径处理数论与代数问题[4].逻辑推理从几何论证中脱离出来,逻辑推理解决问题的思想发展成为数学研究的新理想,即希望数学问题可以通过纯逻辑推理的方法解决.纵观整个希腊数学文化,数学研究成为满足上述两种理想而付出的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.究其本质,逻辑推理思想是几何论证与分析法解决问题的根本,是上述两种理想中最本质的思想,并且满足动机的定义.因此它是古希腊数学研究的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.

    中国古代数学在整体发展上表现为算法的建构和改进[5].所谓“算法”不只是单纯的计算,而是为了解决一整类实际或科学问题而概括出来的、带有一般性的计算方法[4].算学的目的在于解决实际问题,而实际问题是层出不穷的,因此中国古代数学不仅经受住了统治者废除“明算”科的考验,甚至还有所发展,如元末明初珠算的普及.随着中国数学文化的形成,用数学知识解决实际问题成为算学的理想,即期望数学成果能够被实际应用.中国古代数学研究成为受这个理想而支配的劳动,成为实现个人价值、满足求知欲的社会需求而付出的劳动.实际应用满足动机的定义,因此它是中国古代数学发展的一个动机,也是人类进行数学研究的一个动机.

    所以逻辑推理与实际应用是人类进行数学研究的两个动机,按动机的分类它们属于驱力,是从生理需要出发的内在动机.数学学习可以认为是有方向性的对已有数学成果的再次研究过程,可以看作是数学研究的特例形式.依据历史发生原理综合分析得出:人类进行数学研究的内在动机一定会在数学学习中表现出来,即激励人类研究数学的内在动机与激励学生学习的内在动机是一致的.

    从实际情况出发,逻辑推理可以作为生活中一种娱乐形式,如逻辑推理游戏、逻辑推理小说、逻辑推理电影等都深受公众喜欢;而实际应用也是大家十分感兴趣的,如通过应用基本的空气动力学知识制作航模.

    综上所述,逻辑推理与实际应用是数学学习动机,且这两个数学学习动机是学生共有的、内在的,也是在实际教学中易于对学生进行培养的数学学习动机.

    古希腊数学中的公理化思想是希腊数学文化的重要特点之一.公理化思想出现的标志是欧几里得的《几何原本》.在数学中引入逻辑因素,对命题加以证明,一般认为是从伊奥尼亚学派开始的,但毕达哥拉斯学派在这一方面作了重大的推进,他们的工作可以说是欧几里得公理化体系的前驱[3].因此公理化思想的提出要晚于逻辑推理思想,公理化思想是逻辑推理思想的发展.

    算法程序化思想是中国数学文化的另一个重要特点.算法程序化思想出现的标志是成书于公元前后的《九章算术》.实际应用思想虽没有明确的出现标志,但在《九章算术》成书前的《周髀算经》、《算数书》等书中涉及的数学知识都蕴含着明确的实际应用思想.算法的提出是为了解决一类实际问题,算法程序化为了使算法严谨、简明、更富一般性.因此算法程序化思想的提出要晚于实际应用思想,且算法程序化思想是实际应用思想的发展.

    随着数学发展,公理化思想与算法程序化思想已应用到现代数学中,成为现代数学的特点.但它们不是贯穿整个古希腊数学与中国古代数学研究的内在因素,而是逻辑推理与实际应用数学思想发展的衍生物.公理化思想与算法程序化思想也可作为数学学习的动机,但适宜群体明显要少得多.数学发展至今,数学本身的文化区域性特点淡薄了,希腊数学文化与中国数学文化背后的驱力——逻辑推理与实际应用思想,早已相互融合.近代微积分的应用及理论的严密化过程就是一例.

    二、比较古今数学教材以研究初中教材两个学习动机的培养

    教材是教学中最重要的用书之一,是教师教学、学生学习的主要依据.《几何原本》、《九章算术》作为西方与中国的数学教科书都有千年之久.两本着作都反映了当时的数学文化背景.重视逻辑推理与重视实际应用分别成为教学思想包含在这两本书中.

    因为《九章算术》作为教材多将刘徽注释加入其中,所以将现行数学教材与《几何原本》、《九章算术及刘徽注》进行比较研究.为增加3者的可比性,选择它们共有的内容,且知识体系完备,预备知识基本一致,学生认知水平大抵相同的勾股定理部分作为比较对象.这种比较虽不能以点代面,但仍有较强的代表性与启发性.现行数学教材采用经全国中小学教材审定委员会2004年初审通过的义务教育课程标准实验教科书八年级数学下册[6],以第18章第1节勾股定理内容为标准,选择《几何原本》、《九章算术及刘徽注》部分内容进行比较.因《几何原本》的成书结构是公理化体系,利用已知命题证明未知命题,且命题后没有辅助理解该命题的习题,所以选择其中与勾股定理有关或利用勾股定理证明的命题作为比较对象.由于初中教材在讲解勾股定理时,预备知识中未包含圆、无理量及立体几何内容,故选择《几何原本》[7]第Ⅰ卷命题47、48,第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13作为比较对象.《九章算术及刘徽注》的勾股章是利用直角三角形性质求高深广远,因初中教材勾股定理的预备知识中没有相似三角形及勾股数组的内容,所以选择《九章算术及刘徽注》[8]勾股章[一]至[一四]题及[一六]题作为比较对象.

    1.各种教材中勾股定理的内容

    (1)编写目的

    《全日制义务教育数学课程标准(修改稿)》(下简称为《标准》)中勾股定理的教学要求是:探索勾股定理及其逆定理,并能运用它们解决一些简单的实际问题[9].《几何原本》与《九章算术及刘徽注》虽没有类似的编写标准,但可以从它们的内容及成书体系分析得出.《几何原本》利用勾股定理转换面积间关系证明几何问题,即在直角三角形中,两直角边上正方形面积和与斜边上正方形面积可以相互转换.如第Ⅱ卷命题9、10、11、12、13都是利用这种思想.《九章算术及刘徽注》利用勾股定理数量关系求得高深广远,解决实际生活的问题.

    (2)知识框架

    初中教材通过生活发现与几何直观探索,建立从实际到理论再到实际的知识体系,并运用定理解决简单问题.《几何原本》通过已知命题推导勾股定理,建立从理论到理论纯几何形式的知识体系,重在证明未知命题.《九章算术及刘徽注》通过给出3个简单几何问题“术”,建立从理论到实际的应用知识体系,旨在解决实际问题.3者建构的知识框架各不相同.

    (3)定理引入

    初中教材的导入分为两部分,分析毕达哥拉斯发现的定理特例与探究定理的一般形式.《几何原本》受公理化体系的影响,它的导入可以认为是定义、公理、公设及已知命题.《九章算术及刘徽注》的导入是3个已知两边求第三边的简单几何问题.

    (4)定理表述

    初中教材用特例猜想定理的一般形式给出勾股定理[6]:如果直角三角形的两直角边长分别为a、b,斜边为c,那么《几何原本》的勾股定理以命题形式给出:在直角三角形中,直角所对边上的正方形等于夹直角两边上的正方形[10].《九章算术及刘徽注》中的勾股定理以3个简单几何问题术的形式给出:勾股各自乘,并,而开方除之,即弦[8].3者对比,初中教材体现数形结合的勾股定理且形体现在边长上;《几何原本》中体现形的勾股定理且形体现在面积上;而《九章算术及刘徽注》体现数的勾股定理.各自的表述为其内容服务,它们之间存在一定差异.

    (5)定理证明

    初中教材利用我国古代赵爽的弦图(如图1、图2、图3),通过图形旋转证明定理猜想.这种证明方法是近年来学者们倾向于“古证复原”思想提出的.初中教材对定理证明如下[6]:

    赵爽注释的《周髀算经》对勾股定理的证明如下:案弦图又可以勾、股相乘为朱实二,倍之为朱实四.以勾股之差自相乘为中黄实.加差实一亦成弦实[8].

    两种解释代表两种证明思想,赵爽弦图及其证明方法未成最终定论.初中教材选择历史上的数学作为定理证明既应符合历史,又应符合学生认知习惯.图形旋转是否是赵爽的弦图思想,是否符合学生对一般几何问题证明的思维形式,仍需再斟酌.

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摘要：勾股定理及其逆定理的证法很多. 笔者运用平面几何中著名的托勒密定理，构造出托勒密定理满足的基本条件，再借助初中几何的圆及四边形等综合知识，对两个定理加以证明. 利用构造的方法，对培养学生的创新思维具有抛砖引玉的功效.

关键词：勾股定理；逆定理；另证；方法

勾股定理的证明方法多达四百余种，而它的逆定理的证法却没有那么多，笔者曾用同一法证过其逆定理. 大多数方法都是运用中学数学中常规的数学思想方法加以证明的. 笔者结合多年的教学实践研究，运用高中数学竞赛纲要中所要求的一个重要的著名定理――托勒密定理，对勾股定理及其逆定理加以了证明，让人耳目一新，既拓宽了学生的视野，启迪了学生的思维，又引导了学生如何去拓展书本中的知识，丰富了学生的课外生活，激发了学生课外探究数学的热情，增强了解决数学问题的能力. 下面，笔者将托勒密定理的证明及如何运用它来证明勾股定理及其逆定理提供给同行们.

[⇩]托勒密定理：圆的内接四边形中，四边形的两组对边的乘积之和等于对角线的积

已知：如图1，四边形ABCD内接于O.

[D][A][B][O][G][C][3][4][2][1]

图1

求证：AB・CD+BC・AD=AC・BD.

证明作∠BAG=∠CAD. 因为=，所以∠3=∠4. 因为∠BAG=∠CAD，所以ABG∽ACD. 所以=.

所以AB・CD=AC・BG.①

因为∠1+∠CAG=∠2+∠CAG，所以∠DAG=∠CAB. 因为=，所以∠ADG=∠ACB. 所以ADG∽ACB. 所以=.

所以BC・AD=AC・DG. ②

①+②得AB・CD+BC・AD=AC・（BG+DG）=AC・BD.

[⇩]运用托勒密定理证明勾股定理及其逆定理

1. 勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2+b2=c2.

已知：如图2，在直角三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b，∠C=90°.

求证：a2+b2=c2.

[B][C][O][A][D]

图2

分析直角三角形ABC有且仅有一个以AB中点O为圆心，为半径的外接圆. 如果再在圆O上找一点D，就可以构造一个圆内接四边形，便可以运用托勒密定理得线段间的关系，从而得到勾股定理.

证明作出直角三角形ABC的外接圆O，连结OC并延长CO交圆O于点D，再连结BD，AD. 因为CD为直径，所以∠CBD=∠CAD=90°. 因为∠C=90°，所以四边形ADBC是矩形. 所以AD=BC=a，AC=BD= b，AB=CD=c.

由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，所以a2+b2=c2.

2 . 勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长分别为a，b，c，满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形.

已知：如图3，在三角形ABC中，AB=c，BC=a，CA=b且a2+b2=c2.

求证：∠C=90°.

[B][C][O][A][D]

图3

分析三角形ABC有且仅有一个外接圆O，可将∠C放在圆中，得到一个圆周角. 要证明它为直角，只需要证明它所对的弦AB为直径即可. 要证AB为直径仅由a2+b2=c2得出谈何容易？此路不通另寻他途，不妨在圆O上再找一点D，构造出一个圆内接四边形看能否利用托勒密定理得出线段间的关系再结合已知条件a2+b2=c2来进行证明. 那么D点如何找呢？过B点作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD，运用托勒密定理即可达到目的.

证明作出三角形ABC的外接圆O，过B作BD∥AC交圆O于点D，连结AD，CD. 因为BD∥AC，所以∠BDC=∠DCA. 所以=.

所以BC=AD=a . 因为=，所以∠BCD=∠BAD. 因为BD=BD，所以ABD≌CDB. 所以AB=CD=c. 因为四边形ACBD是圆O的内接四边形，

由托勒密定理可得BC・AD+AC・BD=AB・CD，

所以a2+b・BD=c2. 因为a2+b2=c2，所以BD=b. 所以BD=AC. 所以平行四边形ACBD是矩形，所以∠ACB=90°，从而命题得证.

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关键词:勾股定理 故事 自学 引导 巩固

时钟随着指针的移动嘀嗒在响:“秒”是雄赳赳气昂昂列队行进的兵士，“分”是士官，“小时”是带队冲锋陷阵的骁勇的军官。所以当你百无聊赖、胡思乱想的时候，请记住你掌上有千军万马;你是他们的统帅。检阅他们时，你不妨问问自己——他们是否在战斗中发挥了最大的作用?

——菲·蔡·约翰逊

数学教学实质上是数学思维活动的教学，在数学教学中要充分调动学生的主体作用，注重教学过程，改变被动接受知识的局面，实现课堂教学素质化，才能真正提高课堂教学质量和效率。下面说说我在教学中的做法，通过这个例子来具体地说明数学课上如何提高课堂效率。

课例:《勾股定理的证明》

教学目标:勾股定理是学生在已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的。它是直角三角形的一条非常重要的性质，是几何中最重要的定理之一;它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系;它可以解决直角三角形中关于边的计算问题，是解直角三角形的主要根据之一，在实际生活中用途很大。教材在编写时注意培养学生的动手操作能力和分析问题的能力，通过实际分析、拼图等活动，使学生获得较为直观的印象;通过联系和比较，理解勾股定理，以便正确地进行运用。

例如，勾股定理证明教学过程中，教师可这样实施:

一、故事引入，激发兴趣

为了激发学生学习勾股定理的兴趣，可以由下列故事引入:三千多年前有个叫商高的人对周公说:把一根直尺折成直角，两端连接得到一个直角三角形，如果勾是3，股是4，那么弦等于5。

这样引起学生的学习兴趣，激发学生的求知欲。

教师紧接着问:是不是所有的直角三角形都有这个性质呢?

教师要善于激疑，使学生进入乐学状态。这样做将学生的注意力吸引到课堂上来，学生全神贯注地听课，课堂效率得到提高。

二、自学教材，主动探究

教师将教材知识整合，制作成幻灯片，以此指导学生自学教材。通过自学感悟、理解新知，体现了学生的自主学习意识，锻炼了学生主动探究知识的能力，养成了学生良好的自学习惯。

1.通过自主学习，教师设疑或学生提疑。如:怎样证明勾股定理?通过自学，中等以上的学生基本都能掌握，这时能激发学生的表现欲。

2.通过合作探究，引导学生摆脱网格的限制，研究任意直角三角形三边的数量关系。渗透由特殊到一般的思想方法。

3.教师引导学生按照要求进行拼图，观察并分析;(学生每人准备四个大小一样的直角三角形)(1)这两个图形有什么特点?(2)你能写出这两个图形桔黄色部分的面积吗?(3)你得到什么结论?

这时教师组织学生分组讨论，调动全体学生的积极性，达到人人参与的效果，接着全班交流。先由某一组代表发言，说明本组对问题的理解程度，其他各组作评价和补充。教师及时进行富有启发性的点拨，最后，师生共同归纳，形成一致意见，最终解决疑难。

三、巩固练习，强化提高

1.出示练习，学生分组解答，并由学生总结解题规律。课堂教学中动静结合，以免引起学生思维疲劳。

例1.某楼房三楼失火，消防员赶来救火，了解到每层楼高3米，消防员取来6.5米长的梯子，梯子的底部离墙基2.5米，请问消防员能否进入三楼灭火?

2.出示例1:学生试解，师生共同评价，以加深对例题的理解与运用。针对例题再次进行巩固练习，进一步提高学生运用知识的能力，对练习中出现的情况可采取互评、互议的形式，在互评互议中出现的具有代表性的问题，教师可以采取全班讨论的形式予以解决，以此突出教学重点。

四、归纳总结，练习反馈

引导学生对知识要点进行总结，梳理学习思路。分发自我反馈练习，学生独立完成。

五、课后作业

1.课本第81页1、2、3题。

2.通过报刊、资料或上网查阅中外名人对勾股定理的证明方法以及勾股定理的发展史。

教学反思:本节课教学目标明确，重点突出，注重对知识形成过程的教学。但是在准备这节课时还是不够充分，比如引例比较简单，可以适当增加。在本节课后，我又搜集了一些关于勾股定理的典故，充实本节课的内容。

勾股定理的典故:

1.5000年前的埃及人，也知道这一定理的特例，也就是勾3、股4、弦5，并用它来测定直角，之后才渐渐推广。

2.金字塔的底部，四正四方，正对准东西南北，可见方向测得很准，四角又是严格的直角。而要量得直角，当然可以采用作垂直线的方法，但是如果将勾股定理反过来用，也就是说:只要三角形的三边是3、4、5，或者符合的公式，那么弦边对面的角一定是直角。

3.到了公元前540年，希腊数学家毕达哥拉斯注意到了直角三角形三边是3、4、5，或者是5、12、13，他想:是不是所有直角三角形的三边都符合这个规律?反过来，三边符合这个规律的，是不是都是直角三角形?他搜集了许多例子，结果都对这两个问题作了肯定的回答。他非常高兴，杀了一百头牛来祝贺。以后，西方人就将这个定理称为“毕达哥拉斯定理”。

另外，合作探究和拼图部分给学生留的时间太少，应该给学生足够的时间进行思考，让学生发现问题并解决问题。

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【关键词】勾股定理；文献资料；教学设计；实验操作

在“理解数学、理解学生、理解教学”的基础上备好一节课本是最好的备课方式，但由于教师理解能力的差异，以及对“三个理解”的认识程度不同，备课效果自然不可同日而语.那么，怎样才能备出一节好课呢？笔者认为，通过比对同一课时的文献资料，分析不同教案的优缺点，博采众长，巧妙融合，自然会备出一节好课.下面以“勾股定理”起始课为例，谈谈如何利用文献资料进行备课.供参考.

1常见教学设计

查阅近几年的文献资料，发现勾股定理起始课教学设计大致分为三类：以证明定理为主的教学设计、以探究发现定理为主的教学设计、以实验操作来发现定理的教学设计.现对这三种教学设计做客观分析.

1.1以证明定理为主的教学设计

章建跃博士在谈到勾股定理教数学时指出：“其一，勾股定理的发现具备偶然性；其二，毕达哥拉斯是大数学家，对数极其敏感，对“形”非常自动化地想到“数”，这是一般人做不到的……我觉得，不应该让学生去发现，重点应该放在让学生去证明这个定理.”[1]在这一观点的支撑下，一线教师中的许多实践者也取得了良好的教学效果.

课例1刘东升[2]先从一段BBC纪录片《数学的故事》展示古埃及人结绳绷成直角三角形导入新课，随即导入勾股定理的特例“如果作一个直角三角形，使得两直角边分别为3和4，你能否求出斜边的长？”在学生尝试无果后，教师指出有人曾经用拼图的方法求出该三角形的斜边长为5，接下来用拼图的方法予以计算.最后从特殊到一般用面积法（割补法）证明勾股定理.

分析教师设计以证明为主的教学思路，大致是基于以下几点思考：一是恰当安排讲授法，节约时间，采用教师讲授证明思路，学生跟进理解，是基于对学情的理解；二是勾股定理的发现具有偶然性，只有毕达哥拉斯这样的大数学家，才能从“形”非常自动地想到“数”，这是一般人做不到的，在课堂上有限的时间里让学生去发现该定理是不现实的，也是无法完成的任务.所以，该设计把时间重点分配在证明勾股定理和欣赏勾股定理文化上.从学习的角度看，这样的安排是有效的，是基于学情来考虑的，有利于学生学习数学知识，培养学生演绎推理的能力.

《义务教育阶段数学课程标准（2011版）》[3]（以下简称标准）在课程基本理念中指出：学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程.除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式.学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程.显然，上述过程少了学生观察、实验、猜想的过程，而这却是数学教学的重要功能所在.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理，从这个角度看，上述安排是不完美的.

1.2以探究发现定理为主的教学设计

特级教师卜以楼认为：研究一个定理，一般要从猜想――验证――证明这三个方面去把握，如果离开了猜想、发现定理这两个环节，那么培养学生的创新意R和实践能力就会在教学中打折.事实上，发现一个定理的价值远远大于证明这个定理.卜老师同时给出了基于上述思考的教学设计.

课例2卜以楼首先通过画两个直角三角形，引导学生发现直角三角形三边间有关系，然后顺势提出问题：既然直角三角形三边数量之间有一个等量关系，这个等量关系是什么呢[4]？接着，引导基础薄弱的学生在单位长度为1 cm的坐标纸上，理性地选择几个直角三角形去画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系；引导基础较好的学生理性分析三边间的关系：a、b、c三边间关系可以是一次等量关系、二次等量关系，甚至是高次等量关系，根据三角形两边之和大于第三边否定三边间存在一次关系，然后探讨三边间的二次等量关系，先从特殊形式入手，首先猜想a2+b2=c2，经过验证发现猜想成立，再用“证伪”否定其它的二次关系，最后引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”，然后利用图形面积（割补法）来分析和解决问题.

分析首先，本课例关注学生四能培养，教学过程就是基于发现和提出问题，分析和解决问题的思路来设计的，教学过程就是引导学生思维的过程；其次，符合“猜想――验证――证明”的数学学习规律，过程严谨，丝丝入扣，数学味浓，注重学生思维能力和创新能力的培养.

但仔细分析其教学设计后发现，其课堂教学过于理想化，既要启发基础较差的学生画一画、量一量，观察量出的数值，估计、猜想三边间的关系，又要引导基础较好的学生理性分析三边间的关系，直至发现直角三角形三边的平方关系，还要引导学生证明勾股定理，复杂的教学过程可能会导致教学时间不够，文章展示的探究过程很难在现实的课堂中得以实现.另外，在引导基础较好的学生理性分析三边间关系的过程中，作者根据三角形两边之和大于第三边就可以否定三边间存在一次关系，这句话是有问题的，比如，边长分别为a=3、b=4、c=5的关系可以表述为a+b=75c这样的等量关系.对于a、b、c之间二次关系的三种形式的分类是可行的，但直接从特殊情况a2+b2=c2入手，是执果索因的结果，这和直接告知结论是一样的效果.

1.3以实验操作来发现定理的教学设计

苏科版数学教材主编董林伟先生指出：数学实验不是学生被动地接受课本上的或老师叙述的现成结论，而是学生从自己的数学现实出发，通过自己动手、动脑，用观察、模仿、实验、猜想等手段获得经验，逐步建构并发展自己的数学认知结构的活动过程[5].数学实验已成为数学教学中的一个重要方式.关于勾股定理的教学，数学实验大致有两种方法：测量法和计算法.

课例3测量法[6]：任党华引导学生从“直角三角形的角度特殊，会不会它的边在数量上也有特殊的关系呢？”开始思考，然后让学生动手画一个任意直角三角形，测量其三边长度，计算交流，接着学生展示所得数据及本组猜想，师生用几何画板演示，发现a2+b2=c2这一结论成立，再用拼图法证明结论，最后介绍有关勾股定理的数学史.

课例4计算法[7]：万广磊从展示2002年的数学大会的弦图开始，然后直接给出直角三角形和以该三角形三边向形外作三个正方形，通过填空的方式来计算三个正方形的面积，学生通过画一画、想一想、试一试、辨一辨来发现a2+b2=c2，再用实验的方法验证钝角三角形和锐角三角形不具备两短边的平方和等于最长边的平方，然后用拼图法证明勾股定理，最后介绍有关勾股定理的数学史.

分析这两个课例都是通过画一画、想一想、算一算来发现勾股定理的，动手实验的过程有利于培养学生的动手能力，获得研究问题的方法，积累活动经验.但课例3存在两点不足，一是学生画图、测量过程中无法保证图形的准确和数据的精确，不能为发现规律提供保证；二是学生从测量出的三边数据中，怎么会轻易发现三边的平方关系？课例4教师通过填空计算面积的方式已经把解题思路和盘托出，难点化为乌有，就像几何题中老师提前告知辅助线一样，是避开难点，而不是突破难点.罗增儒教授称以上教学为“虚假性情境发现”和“浅层次的情境发现”.

2勾股定理教学中需要突破的难点

通过上述课例的分析，我们不难发现在勾股定理的教学中回避不了几个难点：一是如何创设合适的情境，引导学生发现直角三角形三边间的平方关系？二是怎样引导学生从a2、b2、c2这些“式结构”想到“边长分别为a、b、c的正方形面积”这个“形结构”？三是选择探究教学，探究的时间较长，有时甚至不可控，需要时间成本；四是数学定理的呈现虽是美丽的，但发现的过程确是漫长和痛苦的，所以，课堂上定理的发现不能过于理想化，所谓还原数学家火热的思考，实在过于理想化，在短短的一节课内要完成一个定理的发现，必然要降低发现坡度，缩短发现时间，中间教师的引导甚至干预就必不可少.3吸收精华，改进教学设计

上述四个课例均有可取之处，在认真学习比对优劣的基础上，多方吸收各种教法中的精华，充分考虑勾股定理教学中需要突破的四大难点，经过认真整合，确定“从特殊到一般，经历猜想――验证――证明”这样的探究教学设计，在实际教学中取得了较好的效果.

3.1情境入

在一个确定的三角形中，有确定的角的关系：①三角形内角和等于180°；②三角形外角和等于360°，那么，三角形三边间有确定的关系吗？

3.2探究发现

（1）从最特殊的三角形研究起，猜想直角三角形三边间关系

直角边长为1的等腰直角三角形的面积是多少？如果斜边用字母c表示，请用c表示三角形的面积.（SABC=12×1×1=12，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=2）

用同样的方法研究直角边长为2的等腰直角三角形，有什么发现？

（SABC=12×2×2=2，SABC=12×c×12c=14c2，所以c2=8）.

依次研究直角边长分别为3、4的等腰直角三角形，会发现下面结论.

12+12=2=c2；22+22=8=c2；32+32=18=c2；42+42=32=c2（这里是需要教师干预和引导的）

（2）在网格中研究直角边不等的特殊直角三角形图1

如果两直角边不等，上述猜想还成立吗？老师在黑板空白处画图分析，指出上面的方法行不通，能否借助格点正方形来发现呢？分析“式结构”，在上图（图1）中22=4，用四个正方形表示，12=1，用一个正方形表示，那么以斜边为边的正方形的面积是等于5吗？引导利用割补法研究（小学已经学过）.

（3）几何画板验证猜想的结论

（4）不完全归纳法得出勾股定理

3.3定理证明与介绍

证明过程略.（图形割补见图2，证明思路见上面分析）

本设计在研究最简单的三角形时，学生是不可能想到运用面积来发现等腰直角三角形的三边关系的，这时教师直接引导先用两直角边求面积，再启发用斜边求面积，这个过程不自然，但确实没有更好的办法.所以，发现式教学不能不加干预，任由学生自由思考，正如佛赖登塔尔所说：“强调用发生的方法来教各种思想，并不意味着应该从它们产生的顺序来呈现它们，甚至不关闭所有的僵局，删除所有的弯路.”显然，这就是教师主导作用的意义所在.

综上所述，通过文献资料的研究，我们可以对相关内容的教学有清楚的认识，并在比较中去粗存精，获得比较合理的教学方法，这不失为一种行之有效的备课方式.

参考文献

[1]章建跃.理解数学内容本质提升思维教学水平[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：14-19.

[2]刘东升.基于HPM视角重构“勾股定理”起始课[J].教育研究与评论：课堂观察版（南京），2016（1）：45-48.

[3]义务教育数学课程标准（2011年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2011.

[4]卜以楼.基于四能的“勾股定理”教学创新设计[J].中学数学教学参考（中旬），2016（7）：11-14.

[5]董林伟.初中数学实验教学的理论与实践[M].南京：江苏科学技术出版社，2013.

[6]任党华.勾股定理（第一课时）[J].中学数学教学参考（中旬），2015（6）：12-13.

篇6

【关键词】面积法；证明；几何定理

Application area method certificate several axioms



Yang Dao-liang

【Abstract】In mathematics teaching material in the high school that everyone be familiar with of hang up an axioms and sine axioms be use an area method certificate of, use an area method certificate several some axioms with try simple clear, this text will use an area method certificate 6 several axioms

【Key words】Area method;Certificate;Several axioms

所谓面积法就是用面积相等的关系式推导得出所需结论的方法。大家熟知的中学数学教材中的勾股定理和正弦定理就是用面积法证明的。用面积法证明某些几何定理和试题简单明了，面积法是解决一部分几何定理和试题的有效途径和方法。本文将用面积法推理证明6个几何定理。

（1）等腰三角形的性质定理：等腰三角形的两个底角相等。

如图1，已知ABC中，AB＝AC，求证：∠B＝∠C。

证明： 12·AB·BC·Sin∠B

＝12·AC·BC·Sin∠C

Sin∠B＝Sin∠C

∠B＝∠C或者∠B＋∠C＝180°

∠A＋∠B＋∠C＝180°，∠A＞0°

∠B＋∠C＝180°不成立，

故∠B＝∠C。

图1

（2）平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。

如图2，已知AB∥CD∥EF，求证：AC/CE＝BD/DF。

证明：连结AD、BC、CF和DE，

作DCAE交AE于G，CHBF

交BF于H，则SACD SCDE＝ 12AC·DG12CE·DG

＝ ACCE， SBCD SCDF＝ 12BD·CH12DF·CH＝BDDF ，

又AB∥CD∥EF

SACD＝SBCD，SCDE＝SCDF，

AC/CE＝BD/DF。

图2

（3）三角形内角平分线定理：三角形的内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。

如图3：已知AD是ABC中∠A的平分线，求证：BD/DC＝AB/AC。

证明：作AEBC于E，

BDDC＝ 12AE·BD12AE·DC＝ SABD SACD

＝12AB·AD·Sin∠BAD12AC·AD·Sin∠DAC＝AB AC，

BD/DC＝AB/AC。

图3

（4）同理可证明三角形外角平分线定理：如果三角形的外角平分线外分对边成两条线段，则这两条线段和相邻的两边对应成比例（证法略）。

（5）三角形重心定理：三角形重心与顶点的距离等于它与对边中心点的距离的两倍。

如图4，已知G是ABC的重心，求证：AGGD = 21， BGGE = 21， CGGF = 21。

图4

证明：SADC＝21SABC＝SBCE

SAGE＝SBDG

作CHAD且交AD于H

又SBDG＝SCGD，SAGE＝SCGE

AGGD＝CH ·AG/2CH ·GD/2＝ SAGCSCGD

＝2·SAGESAGE＝21；

同理可证BGGE＝ 21，CGGF＝21 。

（6）四边形的面积等于二对角线与其夹角正弦的积的一半。

证明：如图5

图5

SABCD＝SABE＋SBCE＋SCDE

＋SADE＝12AE·BE·Sin∠1

＋ 12BE·CE·Sin（180°－∠1）

＋ 12 CE·DE ·Sin∠1＋ 12AE·

DE·Sin（180°－∠1）＝

12AE（BE＋DE）Sin∠1＋ 12CE

（BE＋DE）Sin∠1＝ 12AC·BD·

篇7

一、导入新颖，诱发兴趣

一句巧妙的导语，一个好的导入活动，会收到“一石激起千层浪”的效果，是学生产生强烈的求知欲望，进入最佳学习意境。如何在有限的课堂教学中诱发学生产生与学习内容、学习活动本身相联系的直接学习兴趣，是学生从一开课就产生强烈的求知欲望是一堂课成功与否的关键。例如；我在上七年级不等式的性质时，就先请两个身高悬殊较大的学生站在同一高度的砖头上，让其他学生观察，通过这一现象能发现什么数学道理？其他学生很容易就发现了不等式的其中两条性质。如此开课，不仅形象，直观地介绍了不等式的性质，而且还能引起学生浓厚的学习兴趣。

二、明确目的，产生兴趣

心理学研究表明，兴趣是在需要的基础上产生的，通过人的实践活动形成和发展的。当一个人有了某种需要时，才会对相关的事物引起注意，并产生兴趣。因此，教师在导入新课后，应明确具体地交待学习目标，使学生明确本节课的学习内容在知识体系中以及在实际应用中的地位、作用，以引起学生的重视，产生心理的需要，引发学习的欲望，使学生产生强烈的学习责任感，从而产生浓厚的兴趣。明确的学习目的，不仅是培养学生学习兴趣的手段，而且也是在学习上产生持久动力的保证。它更容易让学生在学习中产生毅力和恒心。

三、创设情境，提高兴趣

在教学中，适时地创设和谐、愉悦的求知情景，激发学生乐学、爱学数学的内驱力，诱发学生学习兴趣。如在上圆的定义时，就有一位老师设置了这样一个情景：“车轮是什么形状？”同学们觉得这个问题太简单，便笑着回答：“圆形！”教师又问：“为什么要做成圆形的呢？难道不能做成别的形状？比如说，做成正三角形，正方形等？”同学们一下子被逗乐了，纷纷回答：不能！因为它们无法滚动！”教师再问：“那就做成这样的形睿老师随手在黑板上画了一个椭圆行吗？”同学们大笑回答“不行，这样一来，车子前进时就会忽高忽低。”教师再问：“为什么做成圆形的就不会忽高忽低呢？”同学们一时找不到答案，教师建议学生小组探讨，最后终于找到了答案：“因为圆形车轮边缘上的点到轴心的距离相等。”由此引出圆的定义，学生的兴趣一下子就提高了

四、动手操作，促进兴趣

篇8

关键词：素质教育；数学教学；提高质量

在实施素质教育的今天，面对每周每天一节的数学课，要想高质量、轻负担地完成教学任务，使每位学生既学知识又长智慧，就急需每位教师提高自身业务素质，在钻研教材、研究教法的同时，更应注重研究学法，使每一位学生参与到课堂教学中去。

课堂教学除发挥好教师的主导作用外，主要就是出色地发挥每位学生的主体作用，使每一位学生积极、直接、主动地参与课堂教学，提高课堂效率，挖掘学生的潜力，使每位学生都得到发展提高，使课堂真正成为学生学习的乐园。怎样才能使学生积极、直接、主动地参与到课堂教学中来？下面笔者综合自己的教学实践，谈谈几点体会。

一、创设情境，激发学生参与学习的兴趣

托尔斯泰说，成功的教学，所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。学生兴趣是直接推动学生参与学习全过程的动力。要让学生对学习感兴趣，就在于为他们创造一个生动活泼轻松愉快的学习环境。例如：在讲等腰三角形性质定理时教师主要是揭示定理证明的思想：证明两个角相等转化为证明两个三角形全等的化归思想，在提示了证明的思想、方法后，学生不难找到证明的途径，即添辅助线。通过实验发现定理，具体如下：

要求学生画一个等腰三角形,先观察图形三边关系、三角关系，然后用工具测量两个底角的大小从而发现命题：等腰三角形两底角相等。

已知：在ABC中,AB=AC,求证：∠B=∠C(图略)。对于初中年龄的学生，让他们看看、画画、量量是培养兴趣的一种手段，当量出两个底角相等，就有了为什么相等、如何证明的冲动，这时教师再引导、点拨学生进行分析：

证明两角相等常用什么方法?如此问题化归为证明两个三角形全等,如何产生两个三角形？添辅助线,如何添辅助线？学生较快地找到了以下方法：

方法1：取BC中点D,连结AD,通过SSS公理证明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

方法2：ABC的角平分线AD，通过SAS公理证ABD≌ACD，得∠B =∠C。

方法3：作ABC的高AD,通过HL公理证明ABD≌ACD，得∠B＝∠C。

又问：刚才添了不同的辅助线，若画在同一个等腰三角形中，是三条不同的辅助线吗？为什么？让学生在实验中得出推论，又从证明中加深对推论的认识、理解。像三角形内角和定理、角平分线定理、线段的垂直平分线定理都可由学生先实验、归纳再研究、探索，寻求达到目的的方法和手段，学生始终处于获取知识的过程中，从中体会到乐趣，从而积极主动地投入到学习中。

二、运用迁移规律，在参与学习过程中培养学生的能力

学生参与学习过程，不仅要重视激趣，更重要的是要重视培养能力。在教学中，如果能巧妙利用迁移规律，抓住新旧知识的连接点作为沟通新旧知识的内在联系，精心安排以学生的“学”为轴心的教学活动，给学生搭建一个用已学的知识解决新知识的阶梯，激发、引导学生自觉、主动地参与课堂教学，就能达到培养学生能力的目的。如在讲分式通分时：

复习分数通分类比分式通分

关键：找2、4、8最小公倍数 关键：找x,x2,x3的最简公分母x3

方法：分数基本性质 方法：分式基本性质

问：为什么最简公分母是x3,而不是x4式x5式x3 x2等等?

学生通过思考回答体现了“最简”,又要体现“公”,在此基础上变式为通分。

，，

。

。

观察归纳出如何找最简公分母？(求所有因式的最高次幂的积)

又问:两个公式的分母有不同的系数能通分吗？如何通分？

再变式为通分：，，。

此时做一组练习巩固所学内容(通分),在初步巩固基础上,提出变式题：

,的最简公分母是什么?怎样通分?变式为,又怎样通分?再做一组练习使学生熟练。

后一组题与前一题相比，有一定的变化，所以解题并不单调，尽管题目在发展，障碍在增加，但题目之间的坡度不大，能使全班学生都投入到探究活动中，在不知不觉中学到了新知识，体会到了获取知识的乐趣。在这个教学过程中，教师巧妙创设合理的情境，组织好迁移条件，使学生主动参与学习的全过程。随着老师的不断启发、引导、点拔，学生积极主动地参与探索、发现，很快地懂得今天的新知识“分式的通分”就是“分数的通分”的引申。这个过程学生在教师的引导下，在正迁移规律的作用下，正确运用所学的旧知识，学习新知识，在掌握知识的同时，发展了学生的智力，培养了学生的能力，为今后的学习中能融会贯通、举一反三奠定了坚实的基础。

三、动手操作,提高学生主动参与的意识

动手操作，一方面可以培养学生的动手操作能力，激发学生的学习兴趣，提高学生主动参与的意识，另一方面利于根据认识规律，引导学生从形象思维为主向抽象思维为主过渡，从而从操作中丰富、完善认知过程，从感性到理性建立知识框架。例如，在讲《勾股定理》证明时，我课前布置同桌共同做八个全等的直角三角形，三个分别以直角三角形三边为边长的正方形，授课时，引导学生动手拼图，拼好后，观察图形特点，教师起画龙点睛的作用，提出问题，学生借助于自己拼好的图形，回答问题，最后得出“直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方”。之后，再举一例子让学生应用勾股定理，加深印象。这样，通过教师的启发、引导，让学生真正理解了勾股定理的证明，并达到会应用勾股定理，这样学生不但学到了知识，又培养了动手动脑能力,促进学生在主动参与的学习进程中准确地掌握知识。

四、引导讨论，提高学生参与的积极性

课内开展小组讨论是参与教学的一种有效方法。教学中，我们把不同智力层次的学生搭配成若干小组，在教师的指导下，引导学生就教学中的某个问题发表看法，通过必要的组织、引导、探讨、交流、归纳，得出正确的结论，从而完成某一教学任务的一种教学组织形式。在协作学习中，学生展开充分的讨论和交流，人人积极主动地参与教学过程，并发挥集体的智慧，开展合作学习，形成智慧互补，这对于提高各层次学生的学习参与能力，大面积提高教学质量有着重要作用。

篇9

一、利用平面几何知识证明线线垂直

由于立体几何中的很多问题都可以通过“化空间为平面”的思想方法来解决，因此平面几何中证明线线垂直的方法仍适用.如：勾股定理、菱形或正方形的对角线互相垂直、等腰三角形的三线合一、直径所对的圆周角是直角、三角形全等、过切点的半径垂直于切线，等等.

1.利用等腰三角形中“三线合一”的性质证明线线垂直。

例1：已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB和PC的中点（如图），求证：MNAB.

分析：由于M是AB边上的中点，因此可以联想到利用等腰三角形中“三线合一”性质来证明.不妨先构造一个三角形，然后证明它是等腰三角形.

证明：连接PB、BN、AC、AN，由PA平面ABCD，BCAB且BC?奂平面ABCD。

PBBC

N是PC中点

BN=PC

PAAC

AN=PC

AN=BN，ANB是等腰三角形

M是AB中点

MNAB

点评：本题是先借助直角三角形的性质“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”得到AN=BN，再利用等腰三角形“三线合一”得出MNAB.

2.利用勾股定理证明线线垂直。

例2：在正方体ABCD-ABCD中，P为棱的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：BOPA.

分析：要证明BOPA，可以先证BOPA.可以计算一下BO，PO，BP三边的长度，观察是否满足BO+PO=PB.

证明：连接PO，PB.

BBAO，BDAO

AO平面BBDD，即PO是AP在平面BBDD内的射影.

设AB=a则BD=BD=a，OB=OD=a.

BO=OB+BB=a，PO=OD+OP=a，PB=BDB+DP=a.

BO+PO=PB，BOPO，PAOB.

点评：本题的证明过程，既用到了平面几何中的勾股定理，又用到了立体几何中的三垂线定理，两者有机地结合在一起.

3.利用菱形的性质、三角形全等证明线线垂直。

例3：已知平行六面体ABCD-ABCD的底面是菱形，且∠CCB=∠CCD，证明：CCBD.

分析：要证CCBD，只要证BD平面OCC，即证BD和平面OCC内的两条直线都垂直，可以利用菱形的性质和三角形全等来证.

证明：连AC交BD于O，连CO、BC、DC.

四边形ABCD为菱形

AC与BD垂直且平分，即ACBD.

BC=CD，且∠CCB=∠CCD.

CDC≌CBC.

CD=CB即CBD是等腰三角形.

又O是BD的中点，OCBD，又CC∩OC=C，CC、OC?奂平面OCC

BD平面OCC.

CC?奂平面OCC.

BDCC.

点评：通过利用菱形的性质、三角形全等的性质、等腰三角形的性质证明了线面垂直，最后由此得出线线垂直.

4.利用若两直线平行，其中一条直线垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线。

例1除了用等腰三角形的性质来证明外，还可以利用平行线的性质来证.

分析：要证明ABMN，可以证明与MN平行的一条直线垂直于AB即可，不妨根据已知条件添加辅助线，构造一个平行四边形.

证明：连PD取中点F，连NF，AF.

NF∥CD∥AM，且NF=CD=AB=MA.

四边形AMNF为平行四边形.

MN∥AF.

PA平面ABCD.

PAAB.

又ABAD且PA∩AD=A.

AB平面PAD.

ABAF.

MNAB.

点评：本题重点考查空间中的垂直关系，还考查了平面几何中两直线平行的判定和性质，可见平面几何知识在立体几何中的重要性.

二、利用立体几何中证明垂直的方法

1.利用线面垂直或面面垂直的性质证明线线垂直。

例1的前两种证明方法都是借助平面几何的知识来完成的，我们也可以用立体几何的知识来证.

分析：要证线与线垂直，可以先证线与面垂直，然后利用线面垂直的性质，得出线与线垂直.

证明：取AC中点E，连接ME、EN

M是AB中点.

ME∥BC.

ABBC.

MEAB.

EN∥PA，PA平面ABCD.

EN平面MEN.

又AB?奂平面ABCD且ME∩NE=E.

AB平面MEN，而MN?奂平面MEN.

ABMN.

点评：线线垂直、线面垂直、面面垂直之间可以相互转化.

2.利用三垂线定理及逆定理来证明线线垂直。

例4：在正方体ABCD-ABCD中，P为棱的中点，O为底面正方形ABCD的中心，求证：BOPB.

分析：要证明BOPA，只要证明PAAM，再证明AM是BO在平面AD中的射影即可.

证明：取AD中点M，连接OM，AM.

O，M均为中点.

OM∥AB∥AB.

又AB平面AADD.

OM平面AADD，即AM就是OB在AADD平面上的射影.

又AAM≌ADP.

∠PAD+∠AMA=90°.

PAAAM.

由三垂线定理得PAOB.

点评：三垂线定理来证明线线垂直，基本程序为“一垂，二射，三证”，即第一步是找平面和垂线，第二步是找射影，第三步是证明垂直.

三、利用向量证明线线垂直

“两向量垂直的充要条件是它们的数量积为零”，通过计算两向量的数量积来证明两条直线或线段垂直.

例5：l，l是相互垂直的异面直线，MN是它的公垂线段，点A、B在l上，C在l上，且AM=MB=MN，证明：ACNB.

分析：如果建立适当的坐标系后能算出与的数量积为零，就能证明ACNB.

证明：建立空间坐标系M-XYZ.

令MN=1则A（-1，0，0）B（1，0，0）.

MN是l，l，的公垂线段，且ll.

l平面ABN.

l∥Z轴.

设C（0，1，m）则（1，1，m），=（1，1，0），•=（1，1，m）•（1，-1，0）=0.

ACNB.

点评：用向量证明垂直的时候，要选取合适的坐标系，可以使计算变得非常简单，通常可以利用已知的边或特殊的边建立坐标.

篇10

例1 （上海市）如图1，已知平行四边形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，E是BD延长线上的点，且ACE是等边三角形．

（1） 求证：四边形ABCD是菱形.

（2） 若∠AED=2∠EAD，求证：四边形ABCD是正方形．

（说明：本文所有例题皆选自2008年中考题）

分析： 证四边形ABCD是菱形的方法有多种：证明四边形ABCD的四条边相等；证明平行四边形ABCD有一组邻边相等（如，通过EAD≌ECD证AD=CD）；证明平行四边形ABCD的两条对角线互相垂直.

若从AC既是平行四边形ABCD的对角线，又是等边ACE的一条边的角度展开思考，可优先考虑对角线，利用等腰三角形的三线合一，证ACBD.事实上，有相当一部分题目，在从边、角、对角线三个方向上构思解题策略时，可优先考虑对角线.

证明：（1） 由四边形ABCD是平行四边形，得OA=OC.

由EAC是等边三角形，且OA=OC，得EOAC.

四边形ABCD是平行四边形，ACBD，

平行四边形ABCD是菱形.

（2） 由EAC是等边三角形，得∠AED= ∠AEC=30°.

由∠AED=2∠EAD，可得∠EAD=15°，∠OAD=60°-15°=45°.

因为∠ODA=30°+15°=45°，所以∠OAD=∠ODA，OA=OD.

因为OA=OC，OB=OD，所以AC=BD.所以菱形ABCD是正方形.

注：也可以这样证明：因平行四边形ABCD是菱形，故∠BAC=∠DAC，∠BAD=90°.所以四边形ABCD是正方形.

策略2若直觉无效，则不妨从最原始的地方思考

例2 （重庆市）如图2，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E.

求证：（1） BFC≌DFC；（2） AD=DE.

分析： （1） 由BC=DC，CF平分∠BCD，CF=CF，易得BFC≌DFC.

（2） 证明AD=DE，估计同学们凭借直觉在较短时间内无法找到证明方法.这时不妨从最原始的地方展开思考：利用全等三角形证明AD=DE.连接BD，得ADB、EDB.不难发现，BD=BD，∠ADB=∠DBC=∠CDB.欲证明ADB≌EDB，尚需∠ABD=∠EBD或∠A=∠DEB（提醒：不要考虑待证线段AD=DE）.从运用DF∥AB的角度思考，可考虑证∠ABD=∠EBD.

由BFC≌DFC，得FB=FD，所以∠FBD=∠FDB.

又因DF∥AB，故∠FDB=∠ABD.

∠ABD=∠EBD.

证明：略.

注：本题也可以延长DF交BC于点H，利用BHF≌DEF证BH=DE，利用平行四边形ABHD的对边相等，得AD=BH，从而完成证明.

策略3构造基本图形

例3 （山东省）在梯形ABCD中，AB∥CD，∠DAB=90°，AB=2，BC=3，CD=1，E是AD的中点.求证：CEBE.

分析： 延长CE交BA的延长线于点F（如图3）.

由DCE≌AFE，得CE=FE，CD=FA.

因BF=AB+AF=2+1=3，BC=3，故BF=BC.

BCF是等腰三角形三线合一的基本图形.

证明：略.

注：本题也可通过具体计算的方法，借助勾股定理的逆定理证明两条直线互相垂直.

策略4计算证明法

例3再证：如图4，过点C作CFAB，垂足为F，得矩形AFCD，AF=CD=1，BF=2-1=1.

在RtBCF中，AD=CF= =2 .

在RtCDE中，CE 2=DE 2+CD 2=2+1=3.

在RtBAE中，BE 2=AE 2+AB 2=2+4=6.

CE 2+BE 2=3+6=9=BC 2.

∠CEB=90°.

注：本题还可通过过E作中位线进行计算证明.

策略5化归策略

例4 （莆田市）如图5，已知矩形ABCD，点P是BC边上的一个动点.

（1） 求证：PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（2） 请你探究：当点P在矩形ABCD的内部（如图6）时，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，请给出简单的证明过程；若不成立，请简述理由.

（3） 当点P在矩形ABCD的外部（如图7）时，PA2+PC 2=PB 2+PD 2是否成立？若成立，请给出简单的证明过程；若不成立，请简述理由.

分析： （1） 因线段PA，PB位于RtPAB中，PC，PD位于RtPCD中，所以从运用勾股定理的角度可以将待证结论PA2+PC 2=PB 2+PD 2化为PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

在RtABP中，PA2-PB 2=AB 2；在RtCDP中，PD 2-PC 2=CD 2.

由AB=CD，可得PA2-PB 2=PD 2-PC 2.

（2） 如图6，过点P作EF∥BC，分别交AB，CD于E，F，则问题（2）即可以化归成问题（1）.

运用（1）中的结论，得PA2-PE 2=PD 2-PF 2，PB 2-PE 2=PC 2-PF 2 .两式相减，得PA2-PB 2=PD 2-PC 2，即PA2+PC 2=PB 2+PD 2.

（3） 仿第（2）题，在图7中，过点P作EF∥BC，分别交BA，CD的延长线于E，F，即可将问题化归为问题（1），仿第（2）题的方法可获解.

证明：略.

策略6整体考察法

例5 （广州市）如图8，每个小正方形的边长为1，把阴影部分剪下来，用剪下来的阴影部分拼成一个正方形，那么新正方形的边长是（）.

A. B. 2 C. D.