三年级下册数学教案范文

导语：如何才能写好一篇三年级下册数学教案，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

课题

几分之一

课时

1

主备人

教学

目标

1、结合具体情境初步认识分数，能正确读、写几分之一这样的简单分数。理解一个整体平分成几个部分，每一部分就是整体的几分之一。

2、通过分蛋糕、折纸等借助实物、图形进行等分的活动，进一步加深对平分概念的认识，直观认识几分之一，初步认识分数单位。

3、初步体会数的发展源于生活、生产实际的需要，进而体会数学与日常生活的密切联系，渗透数学文化，感知数学是有用的，有趣的。

教学

重难点

重点：借助实物、图形，直观认识几分之一。

难点：几分之一含义的理解和表述。

教学

资源

多媒体课件、各种图形的纸片

学情

分析

本课内容是在整数知识的基础上进行的，是数的概念一次扩展，这是学生在数学领域中第一次接触“分数”这个概念，而且知识较为抽象，无论在意义和写法上与整数都有很大差异，学生在生活中可能接触过二分之一，三分之一等分数，但并不理解它的含义，初次学习分数可能会感到困难。分数的产生是从等分某个不可分的单位开始的，而加强直观教学可以更好地帮助学生掌握概念、理解概念，所以我在教学设计中让学生从实际生活经验出发，在丰富的操作活动中主动的去获取分数的相关知识。

教学

过程

一、创设情境、引入新知

1、创设情境

星期天小胖和小丁丁来到了郊外游玩，午餐时间到了，他们俩准备分带来的食品，你们说他们怎么分才公平呢？（每人分的食品同样多，每份分得同样多）

数学上我们把这样的分法叫什么？

“平均分”（板书：平均分）

2、课件出示：8个巧克力、4个苹果、2瓶果汁、1个蛋糕

你能帮他们把食品平均分一分吗？学生集体说。

二、动手操作、探究新知

（一）、初步感知

1、我们把苹果和饮料都平均分好了，可是蛋糕只有一块呀，还能平均分给2个人吗？每人分到多少呢？

如果用这个圆代替蛋糕，你打算怎么分？（出示圆形纸片）

怎么知道把这块蛋糕平均分成了两块？（把两个半块完全重合）

2、课件：把一个蛋糕平均分成2份，每人可以分到多少呢？(

这块蛋糕的一半)

小结：看来啊，把一个蛋糕平均分成2份，每份都是这个蛋糕的一半。

3、这半个蛋糕是几份中的一份？我们就说这半个蛋糕是这个蛋糕的二分之一，（课件）用表示。另外半个蛋糕是多少呢？也是这个蛋糕的。所以，小胖分到了多少个蛋糕呢？（二分之一个蛋糕）

4、这个数的写法。先写—，表示平均分，再写2，表示平均分的份数，最后写1，表示其中的1份。（板书）

学生跟着老师在黑板上书空二分之一的写法。

5、现在谁能说说我们是怎么得到这个蛋糕的的呢？（指名说、同桌说）

（二）、折纸操作，巩固的意义

1、刚才找到了蛋糕的，现在老师这里有一个长方形，它的你会表示吗？你们手里也有一张长方形，听清要求：先折一折，然后把它的涂上颜色，折的时候想一想，还有没有不同折法？

（1）生独立操作

（2）师把各种情况展示在黑板上。（准备）

师：老师看了一下有这三种情况，现在请这三位小朋友来介绍一下你把一个什么图形平均分成几份，每份是它的几分之一？

2、同样一个长方形有三种折法，为什么涂色部分都可以用表示？

练习

判断：下面图形里的涂色部分能不能用表示？（用手势表示）

(

)

(

)

(

)

(

)

师：为什么不是？（指1、4）

（三）、再折分数，建构分数意义

1、师：刚才是2个小朋友分蛋糕，现在看看有几个小朋友？（4个）一块蛋糕4人平均分，看看小巧分得对不对？为什么？应该怎么分呢？（生折一折）

每个人分到了多少个蛋糕？每份是这个蛋糕的几分之一？（强调：平均分）

我们是怎么得到这个蛋糕的呢？

怎么写？学生书空。板书

2、折纸活动

师：我们继续来找图形中的，请你折出正方形纸片的并涂上颜色。

小组合作：拿出同样大的正方形，折出不同的并涂上颜色，在相同的时间里看那组折出的方法最多。

问：（1）（学生介绍把正方形平均分成几份，涂色部分是它的几分之一？）

（2）在大家说的时候，老师收集了一些作品，（展示作品）为什么涂色部分形状大小各不相同，却都用表示？一样大吗？为什么？

（强调：整体一样大，它的就一样大）

小结：不论一个图形的形状、大小怎样，只要把它平均分成四份，其中的一份就是它的。整个图形大它的就大。

3、练一练

师：除了，，还有其它的几分之一吗？怎么写？怎么读？现在你能找到这张圆形纸片的

吗，动手折一折。

（四）

观察比较，总结概括几分之一

1、填一填，想一想，什么是“几分之一”？（完成任务单）

2、像，，……这样的数都叫做什么数？请同学们打开数学书p44，在书上找一找。（板书）

3、揭示课题

今天我们就一起来认识“几分之一”这样的分数。（板书）

三、巩固练习

1、说一说，写一写，在每一图形中，涂色部分是整体的几分之一？（书上练习）

2、判断下列各图中表示涂色部分的分数是否正确，说说为什么？（书上练习）

3、（1）把一根绳子分成3段，每段是它的三分之一。

（2）九分之一表示将一个整体平均分成九个部分，取其中的一部分。

3、下面的画面让你联想到了几分之一？（机动）

法国国旗

巧克力

法国国旗：哪一部分是法国国旗的。（小结：每一部分都是它的）

巧克力：

师：继续观察，（课件出示巧克力）联想到几分之一？

师：想想，要是每人吃这块巧克力的，能分给几个人（8人）

师：除了，你还能联想到几分之一？

师：也就意味着把这个巧克力平均分成几份啊？

想想，每人吃这个巧克力的，这个巧克力又能分给几人呢？

师：还能联想到几分之一？猜猜看他把这块巧克力平均分成了几份？（2份）每人吃这块巧克力的，这块巧克力能分给几人呢？（2人）

小结：看来同样一块巧克力，观察的角度不同，联想到的分数也各不相同。

四、拓展延伸（机动）

介绍分数的历史

五、总结

思维导图设计

分数

篇2

教材分析：

“用两位数乘”的主要内容是：整十数乘两位数和两位数乘两、三位数。它是在学生能够比较熟练地口算整十、整百数与一位数相乘，并且掌握了用一位数乘两、三位数的基础上进行教学的。教材在进行设计时，强调算法探究，重视对算理的剖析，使学生获得多种算法的体验。

学情分析：

学生已经学了整十数乘两位数和两位数乘两、三位数，并且掌握了一些简单的计算。因此本课主要是对这些内容进行复习，让学生明白算理，形成知识网络，并巩固计算。

教学目标：

1、通过复习，巩固所学的乘法口算和笔算的计算方法，并能正确熟练地计算。

2、使学生参与复习的全过程，通过合作交流等活动，使学生形成知识网络。

3、在复习的过程中培养学生的迁移能力和探究能力。

教学重点：通过合作交流等活动，使学生形成知识网络。

教学难点：通过合作交流等活动，使学生形成知识网络。

课前准备：多媒体课件

教学过程：

一、旧知引入

1、出示20、14、124

、25、38、300六个数字，请任选两个数字组成一个乘法算式。

预设：第一组

第二组

第三组

14×20=

38×14=

14×124=

38×20=

25×38=

38×124=

14×400=

14×25=

25×124=

……

学生边说，教师边板书。

2、观察三组算式，有什么特点。

学生思考并反馈。

3、出示课题：用两位数乘（复习）

二、知识梳理

（一）整十数与两位数相乘

1、第一组中任选一题，并说说计算方法。

学生独立完成并反馈。

预设1：推算

因为14×2=28，所以14×20=280。

预设2：竖式计算

1

4

×

2

2

8

2、14×400=可以怎么算呢？

学生反馈。

3、两位数乘一位数是我们以前学过的知识，而两位数乘整十数是我们这学期的知识，那么用学过的知识解决新的知识，体现了数学知识的连续性。

（二）两位数与两位数相乘

1、在第二组中任选一题，并用自己喜欢的方法做。

预设：38×14=

方法1：38×14

=38×10+38×4

=380+152

=532

方法2：

3

8

×1

4

1

5

2

表示什么？

3

8

表示什么？

5

3

2

表示什么？

讨论：先算什么？再算什么？

提问：箭头所指的数是怎么来的？

2、观察并比较两种算法，说说有什么关系。

3、小结：竖式计算是对横式计算的优化。

（三）两位数与三位数相乘

1、在第三组中任选一个算式。

预设：14×124=

方法1：14×124

=10×124+4×124

=1240+496

=1736

方法2：14×312=

1

2

4

×

1

4

4

9

6

1

2

4

1

7

3

6

2、小结：两位数与三位数相乘是从两位数与两位数相乘迁移过来的。

三、练习巩固

1、在下面的里填上合适的数（口答）

7

3

4

8

×2

9

×

9

9

6

5

7

……73×

3

6

7

2

……×

1

4

6

……73×

3

6

7

2

……×

2

1

1

7

……+

4

3

9

2

……+

2、下面各题错在哪里？请改正。

4

5

3

5

×1

1

×

4

4

5

1

4

4

5

9

3、用你喜欢的方法做

17×36

21×107

4、解决问题

泰日学校最近在开展读书节活动，活动之一是让小朋友写一句读书名言，学校总共有28个班级，平均每班有43人，请问学校可以收到多少句读书名言？

活动之二是每个班级可以向图书馆借23本书，三、四年级分别有6个班，请问三、四年级一共可以借多少本书？

四、课堂总结

本节课你掌握了哪些知识？

五、拓展延伸

活动之三是每人看一本书，小强在看一本200页的书，每天看12页，17天能看完吗？

六、板书设计：

用两位数乘（复习）

推算

两位数与整十数相乘

迁移

竖式计算

横式计算

两位数与两位数相乘

适时板书

迁移

竖式计算

横式计算

两位数与三位数相乘

竖式计算

教案设计说明：

本课是对两位数乘法的复习，因此让学生通过合作交流形成知识网络是本课的重点和难点。在新课开始，我出示6个数，让学生任选两个数组成一个乘法算式，学生边反馈我边整理，形成三种类型的题目。学生发现这些都是两位数的乘法，从而引出课题。

在知识梳理的过程中，我根据教材设计，先从两位数与整十数相乘开始，学生一般会得出两种计算方法：推算和竖式计算，在让学生介绍算法的过程中，发现这两个方法的算理是相通的，都是先用整十数十位上的数与两位数相乘，再在乘得的积的末尾添上1个0。这里我把14×400两位数与三位数相乘的算式也放在两位数与整十数相乘这一组，因为学生同样可以运用推算和竖式计算来得出结果。

篇3

第三课时

教学目标：

1.

经历认识小数数位表和用直线

上的点表示小数等进一步认识小数的过

程。

2.

认识小数数位表、数位，理解小数部

分每个数位上的数表示的意义；掌

握小数的读写法；会用直线上的点表示小数，会比较小数的大小。

3.

主动参与数学活动，能在已有知识和

经验的背景下自主学习，并获得良

好的学习体验。

重难点分析：

教学重点：

认识小数数位表和用直线上的点表示小数，掌握小数的读写法，会比较小数

的大小。

教学难点：

理解小数部分每个数位上的数表示的意义。

课前准备：

教具：PPT

，教案。

教学过程

设计说明

一、情境创设，新课讲授

PPT

显示课本

65

页数位表。

把下面的数填在小数数位表中，并读出来。

172.31

30.402

0.098

师：大家观察

PPT

上的小数数位表，你能从表中发现

什么。（使学生初步了解小数数位表中小数部分的数位及

排序。趁学生观察之际，教师在黑板上画出小数数位表。）

教师出示教材中的三个数，提出在数位表中写数的要

求，让学生自主学习。（两学生板演。）

交流学生写数的结果。

师：数位表中每个数位上的数都有它们的意义，如十

分位上的

3

表示

3

个

0.1，记住

0.1

是十分位的计数单位。

（请学生回答剩下两个数每个数位上数字的意义。）

师：前面我们学的小数大多数整数部位都是

0，下面

我们来看一下整数部分不为

的小数的读法。

PPT

显示文本：

172.31

读作：一百七十二点三一。

30.402

读作：三十点四零二

0．098

读作：零点零九八

师小结：小数的读法：整数部分按照整数的读法来读

（整数部分是

的读作“零”），小数点读作“点”，小数

部分顺次读出每个数位上的数字。

u

用直线上的表示小数

在黑板上画出课本

65

页数轴。

师：观察数轴，说一说你发现了什么？

（使学生了解数轴上写出了1到5的自然数，每两个数中间有

10

小格或平均分成了

10

份。）

师：大家把书翻到

65

页，把书上的四个数用直线上

的点来表示。（请一学生板演。）

师：大家把写出来的数从大到小排下序。

二、试一试

在里填上>、

=。

10.99

2.11.85

0.080.1

1.621.602

具体说说比较的过程。先比较什么再比较什么。

三、练一练

课本

66

页“练一练”1-4

题，学生独立完成

，再交

流。

四、课后小结

篇4

第3课时

主备人:

武安小学校

周光碧

教学内容：

教材88页例4及课堂活动，练十五的3、5、6、8、9题

教学目的：

1、能在具体的问题情境中找出等量关系，会根据等量关系列出形如ax?bx=c的方程。

2、进一步掌握列方程解决问题的基本方法。

3、在观察、分析、抽象、概括和交流的过程中，经历将现实问题抽象成方程的过程，初步体验方程的思想方法及价值。

教学重、难点：

进一步掌握列方程解决问题的基本方法，能在具体的情境中找出等量关系列方程。

教学准备：

多媒体课件

实物投影仪

教学过程：

一、课堂引入：

1、填空：

果园里有梨树

x

棵，桃树的棵树是梨树的

3

倍。桃树有（

）棵，桃树比梨树多（

）棵。

2.

列式计算：

比一个数的2倍少10的数是70。求这个数是多少？

二、探索新知

1、学习例4

（1）出示例4：小刚和小明买一种奥运会纪念邮票。小刚买了8张，小明买了5张，小明比小刚少用了6元。每张邮票多少元？

你从题目中知道了那些数学信息？已知什么？要解决什么问题？

（2）小刚买邮票用的钱和小明买邮票用的钱有什么关系？你是怎么知道的？（小敏比小刚少用6元）

你能从这段话中找出数量之间的等量关系吗？根据找出的等量关系可以列出怎样的方程解答？

（3）学生自己尝试解答。

（4）小组合作交流。

（5）汇报评议。请学生上台板演自己的解法并说明思路。

等量关系：

小刚用的钱-小明用的钱=6元

解：设每张邮票x元

8x-5x=6

3x=6

X=2

答：每张邮票2元。

学生讲完后，找让其他学生说说思路。

2、完成课堂活动。

花卉园里中了牡丹和郁金香，牡丹的株数是郁金香的3倍

（1）牡丹和郁金香一共有240株，牡丹和郁金香各有多少株？

（2）牡丹比郁金香多240株，牡丹和郁金香各有多少株？

议一议：这里有两个未知数，怎样设？

试一试：列出方程，并解决。

三、达标训练

练十五的3、5、6、8、9题

四、课堂总结

说说自己的收获。

般列方程解应用题的一步骤是：

（1）

审：审请题意，弄清题目中的数量关系

（2）

设：用字母表示题目中的一个未知数

（3）

）找：找出题目中的等量关系

（4）

列：根据所设未知数和找出的等量关系列方程

（5）

解：解方程，求未知数

（6）

答：检验所求解，写出答案

五、课后作业：

1、动物园里猴子的只数是熊猫的6倍，猴子比熊猫多30只，猴子与熊猫各有多少只？

2、学校买一台电脑和一台彩电共用去8860元，已知一台电脑的价格是彩电的2倍，一台电脑和一台彩电各是多少元？

3、小芳和小兰共储蓄505元，小兰储蓄的钱数是小芳的3倍少15元，小兰储蓄多少元？

4、一个小组的同学凑钱买一件纪念品，如果每人出8元，就多3元钱；如果每人出7元钱，就少3元，这个小组有多少人？

板书设计：

列方程解决实际（3）

例4

解：设每张邮票x元。

8x-5x=6

3x=6

X=2

验算：8x2-5x2=6

篇5

教学内容：教材第21页的内容及练习六第1题有关题目和第3题。

教学目标：

1.理解并掌握连减试题的简便算法，并能正确进行计算。

2.培养学生灵活计算的能力，发散学生的思维。

3.渗透“从特殊到一般，从一般到特殊”的数学思想。

教学重点：正确理解减法的运算性质。

教学难点：应用减法的性质，灵活、熟练地进行计算。

教学准备：多媒体课件。

教学过程

学生活动

（二次备课）

一、复习导入

1.(+)+=+(+)用了什么运算定律？

2.+=+用了什么运算定律？

师：看来同学们对加法运算定律掌握得很好，我们今天来了解一下减法有没有什么特殊的运算性质。

二、预习反馈

点名让学生汇报预习情况。（重点让学生说说通过预习本节课要学习的内容，学到了哪些知识，还有哪些不明白的地方，有什么问题）

三、探索新知

出示教材第21页例4。

1.学生自己列出算式，然后和同桌交流一下，说说自己是怎么想的。

2.独立解答，指名汇报。可能有以下3种方法：

234-66-34

234-(66+34)

234-34-66

让学生依次说清楚解题思路。

师：前两种算法有什么相同之处与不同之处？

(前两种算法中三个数分别相同，计算结果也相同；不同之处是运算符号不同，运算顺序也不相同)

师：由于前两个算式的结果相同，我们就可以用等号把它们连接起来，即

234-66-34=234-(66+34)

师：234-66-34变为234-(66+34)后，计算结果保持不变。这是一个偶然的巧合呢，还是在所有的三个数连减的运算中都存在？下面，我们就任意找三个整数来试一试。

师：通过刚才的验证，说明一个数连续减去两个数与这个数减去两个减数的和，它们的结果总是相等的，这条规律是普遍存在的。你能用语言来概括这一规律吗？小组进行讨论。

小结：一个数连续减去两个数，当两个减数相加可以凑成整十、整百、整千时，我们可以先把两个减数加起来，再从被减数里减去这两个数的和，使计算简便。有时，也要根据算式的特点，逆向运用减法的性质来简便计算。

3.字母表示。

师：我们也可以用字母表示减法的这个运算性质。a-b-c=a-(b+c)

四、巩固练习

1.教材第21页做一做第1题。(独立填写，同桌互相检查、订正)

2.教材第21页做一做第2题。(独立计算，订正时指名说说是怎么想的)

五、拓展提升

李阿姨在记录一周的家庭开支时，发现一张购物

小票被弄脏了，你能帮李阿姨算一算被弄脏的价

钱吗？

300-74-126-35=65（元）

六、课堂总结

通过本节课的学习，我们了解到一个数连续减去两个数，可以先把这两个减数加起来，再从被减数里减去它们的和。

七、作业布置

练习六第1题有关题目和第3题。

学生独立完成并汇报。

教师根据学生预习的情况，有侧重点地调整教学方案。

学生独立完成例题，点名阐述解题思路。

学生举例，师生一起验证。

板书设计

连减的简便计算

234-66-34

234-(66+34)

234-34-66

=168-34

=234-100

=200-66

=134

=134

=134

234-66-34=234-(66+34)

234-66-34=234-34-66

一个数连续减去两个数，可以写成减去这两个减数的和。

字母表示：a-b-c=a-(b+c)。

教学反思

成功之处：在学习简便计算方法的过程中,让学生将自己的计算方法跟其他同学的方法进行比较,说说自己解法的优点、缺点,通过不同解法的比较来认识和选择最简便的方法。在教学要求上,因人而异,抓住知识的核心问题,引导学生主动探索，积极投入到知识的理解、对比和运用的过程中。

篇6

九年级数学

第二十八章

锐角三角函数

章末巩固训练

一、选择题

1.

如图，要测量小河两岸相对的两点P，A间的距离，可以在小河边取PA的垂线PB上一点C，测得PC＝100米，∠PCA＝35°，则小河宽PA等于(

)

A．100sin35°米

B．100sin55°米

C．100tan35°米

D．100tan55°米

2.

一个公共房门前的台阶高出地面1.2米，台阶拆除后，换成供轮椅行走的斜坡，数据如图所示，则下列关系或说法正确的是(

)

A.

斜坡AB的坡度是10°

B.

斜坡AB的坡度是tan10°

C.

AC＝1.2tan10°

米

D.

AB＝

米

3.

(2019湖南湘西州)如图，在ABC中，∠C=90°，AC=12，AB的垂直平分线EF交AC于点D，连接BD，若cos∠BDC=，则BC的长是

A．10

B．8

C．4

D．2

4.

（2020·扬州）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A、B、C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D.则sin∠ADC的值为

（

）

A.

B.

C.

D.

5.

在课题学习后，同学们想为教室窗户设计一个遮阳篷，小明同学绘制的设计图如图所示，其中AB表示窗户，且AB＝2.82米，BCD表示直角遮阳篷，已知当地一年中午时的太阳光与水平线CD的最小夹角α为18°，最大夹角β为66°，根据以上数据，计算出遮阳篷中CD的长约是(结果保留小数点后一位．参考数据：sin18°≈0.31，tan18°≈0.32，sin66°≈0.91，tan66°≈2.25)(

)

A．1.2米

B．1.5米

C．1.9米

D．2.5米

6.

（2020·咸宁）如图，在矩形中，，，E是的中点，将沿直线翻折，点B落在点F处，连结，则的值为（

）

A.

B.

C.

D.

7.

如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是15米的旗杆ED，从办公大楼顶端A测得旗杆顶端E的俯角α是45°，旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离DC是20米，梯坎坡长BC是12米，梯坎坡度i＝1∶，则大楼AB的高度约为(精确到0.1米，参考数据：≈1.41，≈1.73，≈2.45)(

)

A.

30.6

B.

32.1

C.

37.9

D.

39.4

8.

(2019·浙江杭州)如图，一块矩形木板ABCD斜靠在墙边(OCOB，点A，B，C，D，O在同一平面内)，已知AB=a，AD=b，∠BCO=x，则点A到OC的距离等于

A．asinx+bsinx

B．acosx+bcosx

C．asinx+bcosx

D．acosx+bsinx

二、填空题

9.

如图，在ABC中，BC＝＋，∠C＝45°，AB＝AC，则AC的长为________．

10.

齐河路路通电动车厂新开发的一种电动车如图，它的大灯A射出的边缘光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1

m，则该车大灯照亮的宽度BC是________m．(不考虑其他因素，参考数据：sin8°＝，tan8°＝，sin10°＝，tan10°＝)

11.

某电动车厂新开发的一种电动车如图7所示，它的大灯A射出的光线AB，AC与地面MN所夹的锐角分别为8°和10°，大灯A与地面的距离为1

m，则该车大灯照亮地面的宽度BC约是________m．(不考虑其他因素，结果保留小数点后一位．参考数据：sin8°≈0.14，tan8°≈0.14，sin10°≈0.17，tan10°≈0.18)

12.

如图，一艘渔船位于灯塔P的北偏东30°方向，距离灯塔18海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东55°方向上的B处，此时渔船与灯塔P的距离约为________海里．(结果取整数．参考数据：sin55°≈0.8，cos55°≈0.6，tan55°≈1.4)

13.

如图，在一次数学课外实践活动中，小聪在距离旗杆10

m的A处测得旗杆顶端B的仰角为60°，测角仪高AD为1

m，则旗杆高BC为__________m．(结果保留根号)

14.

(2019江苏宿迁)如图，∠MAN=60°，若ABC的顶点B在射线AM上，且AB=2，点C在射线AN上运动，当ABC是锐角三角形时，BC的取值范围是__________．

15.

（2020·杭州）如图，已知AB是的直径，BC与相切于点B，连接AC，OC．若，则________．

16.

【题目】（2020·哈尔滨）在ABC中，∠ABC＝60°，AD为BC边上的高，AD＝，CD＝1,则BC的长为

.

三、解答题

17.

某地的一座人行天桥如图所示，天桥高为6米，坡面BC的坡度为1∶1，为了方便行人推车过天桥，有关部门决定降低坡度，使新坡面AC的坡度为1∶.

(1)求新坡面的坡角α；

(2)天桥底部的正前方8米处(PB的长)的文化墙PM是否需要拆除？请说明理由．

18.

阅读理解我们知道，直角三角形的边角关系可用三角函数来描述，那么在任意三角形中，边角之间是否也存在某种关系呢？如图K－19－12，在锐角三角形ABC中，∠A，∠B，∠ACB所对的边分别为a，b，c(注：sin2A＋cos2A＝1)，过点C作CDAB于点D，在RtADC中，CD＝bsinA，AD＝bcosA，BD＝c－bcosA.

在RtBDC中，由勾股定理，得CD2＋BD2＝BC2，

即(bsinA)2＋(c－bcosA)2＝a2，

整理，得a2＝b2＋c2－2bccosA.

同理可得b2＝a2＋c2－2accosB，c2＝a2＋b2－2abcosC.

(注：上述三个公式对直角三角形和钝角三角形也成立，推理过程同上)

利用上述结论解答下列问题：

(1)在ABC中，∠A＝45°，b＝2

，c＝2，求a的长和∠C的度数；

(2)在ABC中，a＝，b＝，∠B＝45°，c＞a＞b，求c的长．

19.

如图，在ABC中，∠C＝90°，AB的垂直平分线分别交边AB，BC于点D，E，连接AE.

(1)如果∠B＝25°，求∠CAE的度数；

(2)如果CE＝2，sin∠CAE＝，求tanB的值．

20.

如图，AD是ABC的中线，tanB＝，cosC＝，AC＝.

求：(1)BC的长；

(2)sin∠ADC的值.

21.

如图，某无人机于空中A处探测到目标B，D，从无人机A上看目标B，D的俯角分别为30°，60°，此时无人机的飞行高度AC为

60

m，随后无人机从A处继续水平飞行30

m到达A′处．

(1)求A，B之间的距离；

(2)求从无人机A′上看目标D的俯角的正切值．

22.

数学建模某工厂生产某种多功能儿童车，根据需要可变形为如图12①所示的滑板车(示意图)或图②的自行车(示意图)，已知前后车轮半径相同，AD＝BD＝DE＝30

cm，CE＝40

cm，∠ABC＝53°，图①中B，E，C三点共线，图②中的座板DE与地面保持平行，则图①变形到图②后两轴心BC的长度有没有发生变化？若不变，请写出BC的长度；若变化，请求出变化量．(参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈)

23.

(2019铜仁)如图，A、B两个小岛相距10km，一架直升飞机由B岛飞往A岛，其飞行高度一直保持在海平面以上的hkm，当直升机飞到P处时，由P处测得B岛和A岛的俯角分别是45°和60°，已知A、B、P和海平面上一点M都在同一个平面上，且M位于P的正下方，求h(结果取整数，≈1.732)

24.

阅读材料：关于三角函数还有如下的公式：

sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ

tan(α±β)＝

利用这些公式可以将一些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，

例如：tan75°＝tan(45°＋30°)＝＝＝2＋

根据以上阅读材料，请选择适当的公式计算下列问题：

(1)计算sin15°；

(2)某校在开展爱国主义教育活动中，来到烈士纪念碑前缅怀和纪念为国捐躯的战士．李三同学想用所学知识来测量如图纪念碑的高度，已知李三站在离纪念碑底7米的C处，在D点测得纪念碑碑顶的仰角为75°，DC为

米，请你帮助李三求出纪念碑的高度．

人教版

九年级数学

第二十八章

锐角三角函数

章末巩固训练-答案

一、选择题

1.

【答案】C　[解析]

PAPB，PC＝100米，∠PCA＝35°，PA＝PC·tan∠PCA＝100tan35°(米)．

故选C.

2.

【答案】

B　【解析】斜坡AB的坡角是10°，选项A是错误的；坡度＝坡比＝坡角的正切，选项B是正确的；AC＝

米，选项C是错误的；AB＝

米，选项D是错误的．

3.

【答案】D

【解析】∠C=90°，cos∠BDC=，设CD=5x，BD=7x，BC=2x，

AB的垂直平分线EF交AC于点D，AD=BD=7x，AC=12x，

AC=12，x=1，BC=2；故选D．

4.

【答案】

B

【解析】本题考查了锐角三角函数的定义和圆周角的知识，解答本题的关键是利用圆周角定理把求∠ADC的正弦值转化成求∠ABC的正弦值.连接AC、BC，∠ADC和∠ABC所对的弧长都是，根据圆周角定理知，∠ADC＝∠ABC，在RtACB中，根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC，AC＝2，CB＝3，AB，sin∠ABC，∠ADC的正弦值等于，因此本题选B．

5.

【答案】B　[解析]

设CD的长为x米．在RtBCD中，∠BDC＝α＝18°.

tan∠BDC＝，

BC＝CD·tan∠BDC≈0.32x.

在RtACD中，∠ADC＝β＝66°.

tan∠ADC＝，

AC＝CD·tan∠ADC≈2.25x.

AB＝AC－BC，

2.82≈2.25x－0.32x，解得x≈1.5.

6.

【答案】C

【解析】本题考查了余弦的定义、等腰三角形的性质上、矩形的性质和折叠的性质，由折叠可得：AB=AF=2，BE=EF，∠AEB=∠AEF，点E是BC中点，，BE=CE=EF=，∠EFC=∠ECF，AE=，∠BEF=∠AEB+∠AEF=∠EFC+∠ECF，∠ECF=∠AEB，==，因此本题选C．

7.

【答案】D　【解析】如解图，设AB与DC的延长线交于点G，过点E作EFAB于点F，过点B作BHED于点H，则可得四边形GDEF为矩形．在RtBCG中，BC＝12，iBC＝＝，∠BCG＝30°，BG＝6，CG＝6，BF＝FG－BG＝DE－BG＝15－6＝9，∠AEF＝α＝45°，AF＝EF＝DG＝CG＋CD＝6＋20，AB＝BF＋AF＝9＋20＋6≈39.4(米)．

8.

【答案】D

【解析】如图，过点A作AEOC于点E，作AFOB于点F，四边形ABCD是矩形，∠ABC=90°，

∠ABC=∠AEC，∠BCO=x，∠EAB=x，∠FBA=x，AB=a，AD=b，FO=FB+BO=acosx+bsinx，

故选D．

二、填空题

9.

【答案】2　[解析]

过点A作ADBC，垂足为D，如图所示．

设AC＝x，则AB＝x.

在RtACD中，AD＝AC·sinC＝x，

CD＝AC·cosC＝x.

在RtABD中，AB＝x，AD＝x，

BD＝＝x.

BC＝BD＋CD＝x＋x＝＋，

x＝2.

10.

【答案】1.4　【解析】如解图，作ADMN于点D，由题意得，AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝∠ADB＝90°，BD＝＝＝7

m，CD＝＝＝＝5.6

m，BC＝BD－CD＝7－5.6＝1.4

m.

11.

【答案】1.6　[解析]

如图，过点A作ADMN于点D.

由题意可得AD＝1

m，∠ABD＝8°，∠ACD＝10°，∠ADC＝90°，

BD＝≈，

CD＝≈，

BC＝BD－CD≈1.6(m)．

12.

【答案】11　【解析】∠A＝30°，PM＝PA＝9海里．∠B＝55°，

sinB＝，0.8＝，PB≈11海里．

13.

【答案】10＋1　【解析】如解图，过点A作AEBC，垂足为点E，则AE＝CD＝10

m，在RtAEB中，BE＝AE·tan60°＝10×＝10

m，BC＝BE＋EC＝BE＋AD＝(10＋1)m.

14.

【答案】

【解析】如图，过点B作BC1AN，垂足为C1，BC2AM，交AN于点C2，

在RtABC1中，AB=2，∠A=60°，∠ABC1=30°，AC1=AB=1，由勾股定理得：BC1=，在RtABC2中，AB=2，∠A=60°，∠AC2B=30°，AC2=4，由勾股定理得：BC2=2，当ABC是锐角三角形时，点C在C1C2上移动，此时

15.

【答案】

【解析】本题考查了锐角三角函数的意义，切线的性质，因为BC与O相切于点B，所以ABBC，所以∠ABC＝90°．在RtABC中，因为sin∠BAC＝，所以＝．设BC＝x，则AC＝3x．在RtABC中，由勾股定理得直径AB＝＝＝，所以半径OB＝．在RtOBC中，tan∠BOC＝＝＝，因此本题答案为．

16.

【答案】5或7

【解析】本题考查了特殊三角函数，三角形的高，因为钝锐三角形的高的不同，此题有两种情况，①点D在BC延长线上，在ABD中

tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD－

CD＝6－1＝5；②点D在BC上，在ABD中

tan∠ABD＝，＝解得，BC＝BD＋

CD＝6＋1＝7，因此本题答案为5或7．

三、解答题

17.

【答案】

解：(1)新坡面AC的坡度为1∶，

tanα＝＝，

α＝30°.(2分)

答：新坡面的坡角α的度数为30°.(3分)

(2)原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．

理由如下：

如解图所示，过点C作CDAB，垂足为点D，

坡面BC的坡度为1∶1，

BD＝CD＝6米，(4分)

新坡面AC的坡度为1∶，

CD∶AD＝1∶，

AD＝6米，(6分)

AB＝AD－BD＝(6－6)米＜8米，故正前方的文化墙PM不需拆除．

答：原天桥底部正前方8米处的文化墙PM不需要拆除．(7分)

18.

【答案】

[解析]

(1)根据给出的公式，把已知条件代入计算，求出a的长，根据勾股定理的逆定理证明ABC是直角三角形，根据等腰直角三角形的性质即可得到答案；

(2)把数据代入相应的公式，得到关于c的一元二次方程，解方程即可得到答案．

解：(1)在ABC中，a2＝b2＋c2－2bccosA＝(2

)2＋22－2×2

×2×＝4，则a＝2(负值已舍)．

22＋22＝(2

)2，即a2＋c2＝b2，

ABC为直角三角形．

又a＝c＝2，∠C＝45°.

(2)b2＝a2＋c2－2accosB，a＝，b＝，cosB＝cos45°＝，

c2－c＋1＝0，

解得c＝.

c＞a＞b，c＝.

19.

【答案】

解：(1)DE垂直平分AB，

EA＝EB，

∠EAB＝∠B＝25°.

又∠C＝90°，

∠CAE＝90°－25°－25°＝40°.

(2)∠C＝90°，

sin∠CAE＝＝.

CE＝2，AE＝3，AC＝.

EA＝EB＝3，BC＝5，

tanB＝＝.

20.

【答案】

[解析]

(1)过点A作AEBC于点E，根据cosC＝，求出∠C＝45°，根据AC＝，求出AE＝CE＝1，根据tanB＝，求出BE的长；

(2)根据AD是ABC的中线，求出CD的长，得到DE的长，进而求得sin∠ADC的值．

解：(1)如图，过点A作AEBC于点E.

cosC＝，

∠C＝45°.

在RtACE中，CE＝AC·cosC＝×＝1，AE＝CE＝1.

在RtABE中，tanB＝，即＝，

BE＝3AE＝3，

BC＝BE＋CE＝4.

(2)AD是ABC的中线，CD＝BD＝2，

DE＝CD－CE＝1.

AEBC，DE＝AE，∠ADC＝45°，

sin∠ADC＝.

21.

【答案】

解：(1)如解图，过点D作DEAA′于点E，由题意得，

AA′∥BC，

∠B＝∠FAB＝30°，(2分)

又AC＝60

m，

在RtABC中，sinB＝，即＝，

AB＝120

m.

答：A，B之间的距离为120

m．(4分)

(2)如解图，连接A′D，作A′EBC交BC延长线于E，

AA′∥BC，∠ACB＝90°，

∠A′AC＝90°，(5分)

四边形AA′EC为矩形，

A′E＝AC＝60

m，

又∠ADC＝∠FAD＝60°，

在RtADC中，

tan∠ADC＝，即＝，

CD＝20

m，(8分)

DE＝DC＋CE＝AA′＋DC＝30＋20＝50

m，(10分)

tan∠AA′D＝tan∠A′DE＝＝＝，

答：从无人机A′上看目标D的俯角的正切值为.(12分)

22.

【答案】

解：图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了变化．

如图①，过点D作DFBE于点F，则BE＝2BF.

由题意知BD＝DE＝30

cm，

BF＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，

BE＝2BF≈36(cm)，

则BC＝BE＋CE≈76(cm)．

如图②，过点D作DMBC于点M，过点E作ENBC于点N，则四边形DENM是矩形，

MN＝DE＝30

cm，EN＝DM.

在RtDBM中，BM＝BD·cos∠ABC≈30×＝18(cm)，DM＝BD·sin∠ABC≈30×＝24(cm)，EN≈24

cm.

在RtCEN中，CE＝40

cm，

CN≈32

cm，

则BC≈18＋30＋32＝80(cm)．

80-76＝4(cm)．

故图①变形到图②后两轴心BC的长度发生了改变，增加了约4

cm.

23.

【答案】

由题意得，∠A=30°，∠B=45°，AB=10km，

在RtAPM和RtBPM中，tanA==，tanB==1，

AM==h，BM=h，

AM+BM=AB=10，h+h=10，

解得h=15–5≈6．

答：h约为6km．

24.

【答案】

解：(1)sin15°＝sin(45°－30°)(2分)

＝sin45°cos30°－cos45°sin30°(3分)

＝×－×

＝.(4分)

(2)在RtBDE中，

∠BDE＝75°，DE＝CA＝7，

tan∠BDE＝，即tan75°＝＝2＋，(5分)

BE＝14＋7，(6分)

又AE＝DC＝，