正数和负数教案范文

导语：如何才能写好一篇正数和负数教案，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。

篇1

(一)引导学生归纳整理20以内退位减法表，提高学生综合、归纳的能力．

(二)使学生系统掌握20以内退位减法的算法，能够正确迅速地口算20以内退位减法题．

教学重点和难点

重点：掌握计算方法，熟记20以内退位减法所有题．

难点：找规律，初步形成口算的技能技巧．

教学过程设计

(一)复习准备

师：同学们，20以内的退位减法我们已经学完了，这节课我们一起复习20以内退位减法．并整理20以内退位减法表．

师：首先拿出手中的口算卡片(事先给每位学生准备36张20以内退位减法口算卡片)同桌互相出题进行口算练习．

师：谁知道20以内退位减法共有多少道？(学生回答有各种不同答案，反映快的学生很快数出手中的卡片一共有36张，知道有36道．善于动脑筋的学生可能说出十几减9有8道，十几减8有7道，…，十几减2有1道，加起来一共是36道)

教师对学生的回答应及时给予肯定和表扬．

师：下面请同学们把手中的口算卡片分类，想一想怎样算，能很快记住这36道题？分的过程中，同桌同学可以互相商量一下．

(二)动手操作归纳整理

同学们边思考边商量，很认真地按自己的想法分类．在适当的时候停止．

师：同学们分得非常认真，下面谁来说说你是怎么分类的？(有的同学按减数相同，即按11～18减9，11～17减8，11～16减7，…，11～2的顺序分的；还有的同学按被减数相同，即按11减2～11减9，12减3～12减9，13减4～13减9，…，18减9的顺序分的)

师：同学们，你们都分得很对，下面就按你们说的两种分法，归纳整理20以内的退位减法表好吗？

师：咱们先按第一种分类方法将口算卡片贴在表格中．(学生边说教师边把卡片帖在事先画好的格中，最后整理出20以内退位减法表．如果时间允许，也可以按第二种分类方法再贴一遍)

师：我们依靠集体的智慧，把20以内退位减法表整理出来了．看看我们整理的和教科书上总结的减法表一样吗？(打开书后，每位同学动脑、动口算一遍36道退位减法题)

师：同学们动脑筋用不同的分类方法归纳整理的20以内退位减法表和书上总结的一样，说明同学们对20以内退位减法掌握得比较好．下面我们还要一起研究在20以内退位减法表中有什么规律，好吗？

(三)认真观察探索规律

师：按四人一小组讨论，在20以内退位减法表中你们能发现什么？

在老师的引导下，同学们经过热烈的讨论可能会发现如下排列规律．

(1)竖着看：

第一行都是十几减9．由于被减数一个比一个多1，而减数不变，所以差也随着一个比一个多1．十几减9的题共8道．

第二行都是十几减8的题共7道．

第三行都是十几减7的题共6道．

第四行都是十几减6的题共5道．

第五行都是十几减5的题共4道．

第六行都是十几减4的题共3道．

第七行都是十几减3的题共2道．

第八行是十几减2的题有1道．

(2)横着看：

第一排都是11减几．由于被减数不变，减数一个比一个少1，所以差反而一个比一个多1．

第二排都是12减几的题．

第三排都是13减几的题．

第四排都是14减几的题．

第五排都是15减几的题．

第六排都是16减几的题．

第七排都是17减几的题．

第八排是18减几的题．

(3)从每一横行的中间起，比较左右两边的题．

第一行中间的两道题是：11－6=5，11－5=6；左右两边的题分别是：11－7=4，11－4=7；11－8=3，11－3=8；11－9=2，11－2=9．

第二行中间是：12－6=6，左右两边的题是：12－7=5，12－5=7；12－8=4，12－4=8；12－9=3，12－3=9；

(4)斜着看：被减数一个比一个多1，减数也一个比一个多1，所以差不变．如：

11－6=512－7=513－8=514－9=5

(四)动脑思考掌握算法

师：20以内的退位减法题，你是怎样算的？

让学生充分发言，师生共同归纳几种计算方法：

1．想加算减．如：11－9=()，想9＋2=11，所以11－9=2．

2．用“见九想一”、“见八想二”、“见七想三”……的方法很快算出36道退位减法．如：

(1)11－9，见减数9想1，1加被除数个位上的1得2，所以11－9=2．

(2)11－8，见减数8想2，2加被除数个位上的1得3，所以11－8=3．

(3)11－7，见减数7想3，3加被除数个位上的1得4，所以11－7=4．

(4)11－6，见减数6想4，4加被除数个位上的1得5，所以11－6=5．

3．还可以用“差1得9、差2得8、差3得7、差4得6……”的方法，也能很快算出36道退位减法．如：

减数与被减数个位差1，得9．

减数与被减数个位差2，得8．

(五)巩固练习

1．看表口答．

(1)找出哪几道题是十几减9的，哪几道是十几减7的……读读直接说结果．

(2)教师在表中任指一道式题(如：12－7)，找出与这道题得数相同的式题．

(3)找出减数与差相同的所有算式．

(4)教师任指一道式题．让学生很快说出得数．

2．看图列式并计算．

8＋4=7＋6=

4＋=＋=

12－8=13－7=

12－=－=

3．看谁算得又对又快．(3分钟)

11－2=12－5=13－7=16－8=

15－9=16－7=15－6=13－5=

13－6=12－3=14－8=11－4=

12－7=13－9=11－5=14－9=

17－9=12－8=14－7=13－4=

13－8=11－9=15－8=14－6=

课堂教学设计说明

这节复习课是指导学生对学过的20以内退位减法进行归纳整理，使学生进一步掌握退位减法计算规律，初步形成口算的技能、技巧．

首先通过让学生自己动手把已学过的36道退位减法进行分类，这本身就是使知识系统、归纳和整理的过程．在分类过程中学生必须动脑、动口、动手，较好地调动了学生学习的主动性，激起学习的欲望，掌握学习方法．

整理出退位减法表后，在教师引导下，通过观察、讨论，学生不仅找出题目本身排列规律，而且摸到许多思维简捷的计算方法．这一教学环节体现了教师的主导作用，培养了学生从不同角度思考问题的能力．

篇2

一、数学思想渗透的必要性

《数学新课程标准》提出：“数学教学要突显数学思想的方法，使数学教学效果更加显著。”与数学知识相比，数学思想往往以隐性方式呈现，这就要求教师除了重视基础知识与基本技能的讲授之外，还要重视数学思想方法的渗透。

解决问题是数学教学的终极目标，而解决问题的核心在于是否有合适的解题思路。从教学内容上看，初中数学基本知识除了基本法则、定理和概念等，还包括这些内容所反映的数学思想及方法。新课程标准将数学思想方法作为教学的一部分，足以看出数学思想方法的重要性。

二、常见的初中数学思想方法

1.数字与图形结合法思想

在一般人看来，数字和图形几乎没有交集，但是在数学思想中，数形结合可以达到意想不到的效果。如在教学正负数时，教师可以要求学生先画条数轴，标出中心点，并用零表示，在数轴左边是负数，在数轴右边是正数。在比较正负数大小时，教师可以让学生用直尺在数轴上均匀地标上刻度，在数轴上找出需要比较的数字，数轴左边的数字永远小于数轴右边的数字。如果在同一边，负数离圆点越近，数字越大;正数离圆点越近，数字越小。通过数形结合，可以使抽象的东西具体化、简单化，更易于学生理解。

2.逆向转化思想

在数学教学中，逆向思维很适用，当学生理不顺思路时，就可以将问题逆向转化，会有豁然开朗的感觉。如在教学和比较正负数的大小时，教师就可以运用逆向转化思想，先求出负数的绝对值，因为绝对值都是非负数，符合学生的正常思维，然后再比较负数的绝对值，绝对值大的数字反而小，绝对值小的数字反而大。这样一来，学生很容易比较出数字的大小，而且不容易出错。逆向转化思想不仅能提高学生大脑的灵活性，还有助于提升学生的思维能力。

三、初中数学思想的渗透方法

1.在设计教案时，渗透数学思想方法

在设计教案时，教师可以注意挖掘课本内容中的数学思想方法，以教学目标为方向，有目的地渗透数学思想，让学生通过课堂教学体会和领悟到数学思想方法，以便学生更好地解决数学问题。

2.在教学过程中，渗透数学思想方法

在数学教学过程中，教师可以适当地渗透数学思想方法，引导学生运用联想、类比、概括等方法发现数学知识，调动学生的主观能动性，给学生提供运用数学思想方法解决问题的机会。这样有助于学生巩固所学知识，也有助于训练学生的思维。

3.在解题过程中，渗透数学思想方法

篇3

[关键词]符号意识 创设情境 数形结合 灵活运用

[中图分类号] G623.5 [文献标识码] A [文章编号] 1007-9068（2016）20-070

课程标准把符号意识作为课程内容的十大核心概念之一，它要求我们理解符号所表示的数、数量关系和变化规律；能用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，并且得到的结论具有一般性。因此，作为数学教师要在日常教学中运用符号化思想教学，引导学生在探索中理解、归纳和应用数学符号。

一、巧妙创设情境，理解符号意识

教师在创设情境时，可以联系身边的事情，通过实际问题帮助学生理解符号以及关系式、表达式的意义，在解决实际问题中发展学生的符号意识和逻辑思维。

如教学“认识负数”时，我就从气温入手设计教案。

师：这是中国三个城市12月份某天的气温情况：哈尔滨-15℃～-3℃，北京-5℃～5℃，深圳11℃～23℃。气温的表示中有正数也有负数。在数学上，我们规定-15℃表示零下15摄氏度，根据你的经验猜猜5℃表示什么呢？

生1：5℃表示零上5摄氏度。

师：（课件出示没有刻度数的温度计）你能在这个温度计上找到-15℃和5℃所在的刻度吗？为什么？

生2：不能。因为温度计上没有刻度。

师：（给出温度计的刻度数）现在你能找到-15℃和5℃所在的刻度吗？请你和同桌说说你是怎么找到的。

生3：先找0℃，然后在它的下面找到-15℃，在它的上面找到5℃。

师：仔细观察温度计上的刻度和数字，你有什么发现？

生4：我发现温度计上面的0℃很关键，它把这个温度计分成了两部分。零上温度都用正数来表示，零下温度都用负数来表示。

该案例中，我通过让学生在没有刻度和有刻度的温度计上表示零上5摄氏度和零下15摄氏度，引发学生思考如何来区别这两个温度，从而顺利引出负号“-”，让学生充分感受符号的简洁之美。

二、借助数形结合，树立符号意识

教师要在教学中积极培养学生的符号意识，在分享合作的过程中积累经验，允许学生创意性、个性化地表现符号，体会用数、形将实际问题符号化的优越性，感受符号在解决问题过程中的价值。

如教学“1～5的认识”时，我是这样进行教学设计的。

师：（课件出示动物园的图片）请你看看动物园里有什么？数一数，你数到了有多少？

生1：我看到了2只鹿……

师：是的，我们可以用两个点子表示2只鹿，也可以用数字“2”来表示。（教师在黑板上板书： 2）

师：在生活中你们还能找到用“2”来表示的事物吗？

生2：我的身上有2只手，2只眼睛，2只耳朵。

生3：我们教室里有2块黑板，2幅对联。

师：是的，你们观察得很仔细。两件同类物品都可以用数字“2”来表示。接下来我们练习写数字“2”。

该案例属于一年级“认数”单元，各个版本的教材都十分注重加强对数的实际意义的理解，教师可以让学生联系生活经验，经历从“实物――点子――数”的抽象过程，帮助学生感知符号的简洁性和一一对应的思想。

三、灵活拓展运用，强化符号意识

建构主义理论认为，应当把学生原有的常识经验作为新知识的生长点，生长新的知识经验。数学符号意识的形成同样应该依照这样的规律。

如教学“三角形面积的计算”时，我出示例题“已知三角形的面积为40平方厘米，三角形的底为20厘米，求三角形的高。”

师：接下来我们就要用三角形面积公式来解决问题了。

生1：这里不能直接用三角形面积公式求解，需要先变形。S=ah÷2S×2=ahS×2÷a=h，则三角形的高为40×2÷20=4（厘米）。

师：很好，你们知道式子中的“S×2”表示什么吗？

生2：“S×2”表示先根据三角形的面积求出与它等底等高的平行四边形的面积。

师：“S×2÷a”又表示什么呢？

生3：“S×2÷a”表示用平行四边形的面积除以底等于高，也就是三角形的高。

该案例中，我结合三角形面积公式推导的过程，帮助学生实现符号运算，简化了复杂的计算过程。同时，利用符号化公式去推导出一般结论后再计算，提高了学生对符号的灵活使用，也增强了学生的符号意识。

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一、问题类型的演变

现如今，随着互联网技术的日新月异，数学题目的类型在不断更新，各地的中考题型也在随之而演变。老师在平时给学生训练时，不仅要注意题目本身的变式训练，也要注意到题型的变化，虽万变不离其宗，但可以让学生学着去“顺藤摸瓜”，对于相关的知识形成有效的联系，激发学生的创造性，以适应千变万化的中考题型。

例如，2010年江苏南通中考第24题，题目如下：（1）将一批重490吨的货物分配给甲、乙两船运输。现甲、乙两船已分别运走其任务数的5/7、3/7，在已运走的货物中，甲船比乙船多运30吨。求分配给甲、乙两船的任务数各多少吨？（2）自编一道应用题，要求如下：

①是路程应用题。三个数据100，2/5，1/5，必须全部用到，不添加其他数据。②只要编题，不必解答。其中的第二问就是第一问题型的改编，由列方程解应用题到根据数据编应用题，虽然要求的是路程应用题，学生似乎无从下手，但如果把第二问看成是第一问题目类型的演变，仿照第一问来编题，难度就大大降低。

又如，在学习了算式1/1×2+1/2×3+1/3×4…+1/2012×2013的解题方法后，老师可以将该题演变成一元一次方程：x/1×2+x/2×3+x/3×4……+x/2012×2013=2012，尝试让学生求解，学生会很自然地顺着计算题的“藤”摸出方程的“瓜”。

同志说过，教育是知识创新、传播和应用的主要基地，也是培育创新精神和创新人才的摇篮。老师上课时通过题型的演变训练，不仅能锻炼学生的应变能力，对学生进行知识创新、能力创新的教育，更能增强其创新的意识，培养其创新的精神，让他们充分享受创新的乐趣。

二、归纳总结的演变

数学很强的逻辑性也离不开记忆，对于课本要求掌握的一些知识要点，诸如公式、规律、解题方法、解题步骤等，学生必须洞悉其内涵，并将其熟记在脑海中。记忆是一种重要的学习技能，是其他智力活动的基础，对于该识记的内容，老师不能简单地让学生死记硬背，要注意记忆的技巧和方法，这就离不开老师知识的剖析、加工、拓展和迁移。在原有识记内容的基础上，老师要设计演变出一系列的相关的问题让学生去思考，并引导学生得出结论，同时，帮其整理归纳，汇集成册，并要求熟练记忆。问渠那得清如许，为有源头活水来。只有熟记基础内容，应用时才能得心应手，如庖丁解牛，游刃有余。

如在有关绝对值部分内容学习时，老师可以在课本归纳的“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值是零”的基础上，进一步引导学生思考：当a是非负数或非正数的时候其绝对值的情况。并在此基础上进一步引申总结：若一个数的绝对值等于它本身或其相反数时，该数的取值范围；进一步演变总结规律：若一个数与它的绝对值的比是1或-1时，该数的取值范围。因此，最终可以总结得出：若a≥0，则|a|=a；若a≤0，则|a|=-a；若|a|=a，则a≥0；若|a|=-a，则a≤0；若|a|/a=1，则a>0；若|a|/a=-1，则a

又如，在乘方和方根的学习中，老师可要求学生熟练地记住1～20的平方及1～10的立方，这里的有关计算和分析可以节省大量的时间，提高解题速度。对于该部分内容中的特殊情况，老师可以进一步提问，总结相关运算等于它本身的数：平方等于其本身的数（1、0）；立方等于其本身的数（1、0、-1）；偶次方等于其本身的数（1、0）；奇次方等于其本身的数（1、0、-1）；平方根等于其本身的数（1）；立方根等于其本身的数（1、0、-1）；算术平方根等于其本身的数（1、0）……进一步演变：倒数等于其本身的数（1、-1）；绝对值等于其本身的数（非负数）……继续演变：算术平方根大于自身的数（大于0且小于1）；算术平方根小于自身的数（大于1）；立方根大于自身的数（大于0且小于1）；立方根小于自身的数（大于1）……

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一、建立数学与生活的紧密联系,激发学生数学应用的意识。

1.创设生活情境,使学生感受到数学应用的价值。

数学教材中的问题多是经过简单化或数学化了的问题,为了使学生更好地体会数学应用的价值,提高学生分析问题、解决问题的能力,教师必须善于发现和挖掘生活中的问题。例如,在教学“正数和负数”时教师可以这样设计:拿出温度计让学生观察温度计的刻度并说出温度,然后结合天气预报让学生对正负数有一个感性的认识,再讲正负数的相关知识。这一设计可使学生加深对“正负数”含义的理解。在“收入”、“支出”等具有相反意义量的表示练习中,学生亲身体验到生活中遇到的问题可以用数学知识来解决,这样在建立数学模型的同时能收到意想不到的教学效果。

2.在日常生活中,运用数学知识,使之生活化。

数学知识生活化是数学学习的一种方式。教师应让数学知识走进学生生活,让学生感悟到数学是现实的、有用的。要培养学生一双数学的眼睛,教师首先应该运用课堂教学引导学生学会思考,梳理知识形成过程的脉络,然后叫学生写下这一发现过程,包括对课堂知识学习的回忆、归纳、总结、提高、反思、创新等。如在学习“四边形”这一章节时,我让学生寻找身边的四边形,从事物名称、形状名称(四边形、平行四边形、梯形等)、对角线、边、角等不同方面做记录,写日记。然后逐步让学生写一些日常生活中的数学记录,写下他们的想法,如规律的运用、归纳方法的过程、实践中的发现和运用数学知识解决实际问题的过程等,让他们更多地从数学思考、数学发现方面写出日常生活中的数学记录,记录他们心灵闪动的美丽火花,在心灵深处留下更多的数学烙印,学会生活中的数学思考。

二、“学”与“做”相结合,培养学生数学应用能力。

学数学就得做数学。数学教学过程必须重视让学生动手操作,动流,亲身感受等活动,而“数学建模”教学正是实现“做数学”的根本途径。

1.把抽象的数学转化为可操作的数学。

数学知识具有较强的抽象性,与中学生的“形象思维为主”相矛盾,也就使得学生对抽象数学知识的认识有一定困难。因此,教师应把抽象的数学知识化为具体的、摸得着的、看得见的事物,让学生通过操作来学数学,身临其境、亲身体验数学产生的过程。如在讲《勾股定理》一课时,我让学生动手做全等的直角三角形,并小组合作完成拼不同的图形证明勾股定理,不但将抽象变具体,而且突破了这节课教学的难点。

2.把感受探究问题的策略与方法融合在动手实践中。

在动手实践的教学中,教师应安排学生经历操作、探究、发现的过程。在这一过程中,学生还必须用到其他的学习策略与方法进行学习,如教学“由三边的关系确定直角三角形”一课时,教师除了让学生动手摆三角形,让学生直观地看到三边与三角形形状的关系 ,还可以“动手”、“归纳法”、“讨论法”等方法进一步感受,通过对这些方法的概括总结使学生更深层次感受到研究问题的策略与方法,这样有利于学生能力的提高。

三、重视学生自主探究与讨论交流,拓展学生数学应用的途径。

1.自主探索,获得思维方法。

自主探究的目的,不仅在于获得数学知识,而且在于让学生在探究的过程中学习科学探究的方法,从而增强学生的自主意识,培养学生的探索精神和创造能力。在教学中,教师应鼓励学生独立探究,要给学生自由的探究时间和空间,不要将教学过程变成机械兑现教案的过程,要鼓励学生大胆猜想,质疑问难;特别是当学生的见解出现错误或偏颇时,要引导学生自己发现问题,自我矫正,将机会留给学生。如一些几何题的说理,为了节省时间,教师往往只讲一种证明方法。这样很容易忽略个别差异,遏制学生的创造性。教师应让学生体验证明的多样化,让学生学会从多种方法中选取一种自己喜欢的、适合的证明方法。这是每个学生在各自基础上得到发展的一个有效途径。

2.合作交流,将思维引向深入。

创造机会让学生在合作中探索知识,这样才能使学生对数学的应用能力有所发展。在合作交流中,教师应根据学生的反应及时调控教学策略,引导学生更好、更深入地建立数学模型,让学生在合作交流中学会对自己的学习过程作调节和学习效果的进行恰当评价。如:在“统计初步”的教学中,我让学生分组合作,调查每天完成作业的时间,制成条形统计图,并对照图形同学间彼此提出问题。适时反馈,这样使学生的主体地位得到尊重。每个学生在合作交流中,通过倾听他人意见及时调整自己的思维,并将思维引向深入。与此同时,我引导学生在合作交流中学会探索性学习,学会用建立起来的数学模型解决实际问题。由此可见,在教学中,让学生充分地经历建模全过程,有利于培养学生的数学应用意识和实践能力。

四、分析问题、解决问题的能力培养,突出数学应用的实效性。

篇6

初中数学学案是引导学生进行自主探究式学习的方案，在初中数学课堂上使用学案导学的方法为过去的数学教学模式注入了全新的活力和思路，改变了过去初中数学课堂教学中教师主讲的教学模式，教师的直接性讲解变成了间接性的辅助讲解，有效地提高了数学教学的效率。所以，我们必须要肯定学案导学方法在初中数学教学中的重要作用，集中力量研究其正确的发展方向，争取为学生奉献更好的教学方法。

一、数学学案的特点

1.学案的导向性

数学学案首先必须拥有清晰的指向性，让学生能够愿意参加到数学知识的学习中来。在教学过程中学案的目标和内容逐渐地向学生展现，既体现出了教师设计课堂教学的整体思路也可能暴露出在课堂知识学习中所遇到的某些阻碍，学案逐级深入的导向特点明确。

2.学案的探究性

学案能够激发出学生对于数学知识的提问思维，调动起学生深入探究数学知识的兴趣。教师设计学案的过程中凝结了教师的教学经验和智慧，是教师探究思维的成就。在具体的学案导学过程中，教师的教学方法和学生的学习方法还要进行进一步的探究，形成良好的学习方法。另一方面，学案还要兼顾数学辅导书籍和练习作业的情况，仍然值得探究。

3.学案的灵动性

在学案教学中，教师的教学方法不必像以往那么死板僵化，但学生仍然是可以学有所依的。并且在教师灵活的教学方式中，学生往往更能够找到学习的灵感。因为学案内容上开放无限制，针对相同的知识点，不同的教师可以制作出多种学案进行导学；学生在学习上也是十分灵活的，既可以利用学案来代替书本，也可以将学案作为预习或复习参考资料，具体的方式可以由学生自行确定。另外，学案使用的时间也不仅仅在课堂上，也可以在课余任何时间。

4.学案的发展性

使用学案导学，教师以及学生处于共同的良性发展循环中。学生在利用学案自行学习的时候，不仅仅对于所学习的知识加强了相关的理解程度，更是将自己的数学学习能力不断提升。

二、数学学案导学意义

数学学案导学融合了学生自学和讨论创新两个方面的内容，将传统的初中数学知识讲解方式完全颠覆，有效连接起了教材和教案之间的桥梁，使两者能够相互协调。对于学生来说，学案导学方式良好地培养了学生的创新能力和探究意志，让学生在自我的探究学习过程中增加对于数学阅读和学习的掌控能力。此外，还能够改善学生和教师之间的关系。所以，数学学案导学既能够帮助教师减轻教学方面的负担，也能够帮助学生开发自我学习能力，还能够营造良好的数学学习氛围，是值得教师和学生使用的良好导学方法。

三、数学学案导学案例探究

数学导学学案需要使用多种题型来构成整个学案，我们经常使用的题型有填空、选择和例题等等形式，在良好的学案中往往将集中题型巧妙结合起来。下面我们利用不同的学案类型来进行相关的讲解。

1.概念课学案设计

在设计数学概念课的导学学案时，我们往往需要先回忆原来学习过的概念，找到新概念与之前所学概念之间的关联，还要注重从实际情景方面来阐述相关概念，这样能够更好地让学生明白概念的深层次含义。此外，学案还应该引导学生对于所学概念分类整理，分清概念之间异同。

例如，我们在学习有理数的概念时，就可以这样来设计导学学案。在准备阶段，先让学生充分阅读教材相关内容，先回想我们已经学习的正数的概念知识点，然后设计相关的生活情境，例如生活中的温度、方向等等实际问题引出负数的概念，尝试让学生首先对负数做出自我理解的定义，让学生们来区分正负数之间的差异。这样的导学过程让学生们能够清晰的界定两个概念，不会将两者相混淆。同时，学生们对于概念有了清晰的理解之后教师的教学负担也相应减小，更好进行有理数按定义和符号的分类教学工作。

2.命题定理课学案设计

数学定理是解决数学问题的核心和关键所在，设计命题定理导学学案的时候应该着手于实际问题，让学生们通过实际案例的感悟了解到学习定理的重要意义。学案还要鼓励学生先行进行猜测，在经过尝试来验证定理，让学生掌握定理的应用范围。例如，在学习勾股定理的时候，我们就可以使用其生活应用来证明其实际价值。

教师可以向学生们抛出这样的问题：在一块直角三角形的菜地边，同学A跟同学B说：“如果我知道这块菜地的任意两条边的长度，我就可以计算出第三条边的长度。”同学B则表示不敢相信。那么同学们相信A同学的话吗？学生们利用已经学过的知识并不能像A同学一样自信能算出第三条边的长度，自然会将注意力集中在将要学习的勾股定理上。接下来，教师的导学学案需要鼓励学生进行数据上的假设，将菜地的两条边赋予一定的数据，并且要让学生们严格按照数据将菜地示意图画出来。这样一来，学生们可以首先通过勾股定理算出第三条边的长度，然后再通过测量对比发现算出的第三条边长度与测量出的第三条边长度没有差异。这样的探究导学过程让学生们自我明晰了勾股定理的神奇之处，对于勾股定理的理解和记忆也会更加深刻。

另外，在学习“两点之间线段最短”的定理时，教师可以指定两个学生到讲台上来，让两者间隔一定的距离，然后问学生们：“同学们，这两位同学之间的距离我们要怎样测算才能得到最短的数据呢？”学生们联系到即将学习的定理作出大胆假设，测算两者之间的线段能够得出最短距离。这样的小小应用案例能够帮助学生快速记忆这一定理。

3.公式课学案设计

公式相较于定理来说是更加直接的数学知识，学生应用起来更加方便自如。但学案导学设计一定要让学生明白并且能够自我推导出公式，了解公式的具体应用情况，否则学生很容易在强记一段时间后不能准确地使用公式或者是将公式套用在错误的环境下导致整道题目出错。因此，学案的设计要让学生明晰整个推导过程，在推导的过程中领悟其中的数学思维。

例如，我们在学习乘法公式的时候，如果直接把平方差、完全立方公式的代数式呈现在学生面前，学生通过记背以后或许能够在短时间内就应用公式顺利解题，但学生内心中可能潜藏着对于公式的一些疑问，不把这些疑问解决，学生们的公式记忆并不会牢靠，很可能在一段时间之后在遇到公式的应用就会产生犹豫。所以，公式课的导学学案应用让学生们通过观察自主归纳出公式，才能留下深刻的印象，降低遗忘率。

再如，在学习公式法解一元二次方程时，学案就应该设计为让学生们通过一步步地仔细地自主推导，学生在推导的过程中遇到疑问通过小组讨论和请教老师等方法将疑惑解除。即使以后时间一长将公式的细节处遗忘，学生也能快速地将公式重新推导出来，不会有任何疑惑。

4.技能探究课学案设计

技能探究课要求师生用一节课探索解决某个问题的方法，若把解决方法直接告知学生，将会导致学生无法理解，即使在当堂课理解了该问题的解决过程，也容易在一段时间后遗忘，所以技能探究课的学案应将整个方法探索的过程呈现给学生，将探究经过变成学生的经历，既能保证学生对方法的理解，又能长久地记忆。

例如，在八年级《轴对称》一章中，有这么一个问题：点A、B在直线a的同侧，在直线上找出一个点P，使得点P到点A、B的距离和最小。此问题经常在中考的综合题中出现，而且有相应的拓展。该节课学案的设计应该引导学生一步步经历探究的过程，第一步先由学生大胆猜想，再通过测算发现疑问，从而引发学生对解决方法的渴望，激发探究的主动性和积极性，第二步教师提出问题“除测量外，我们学过哪些比较线段大小的方法”，根据学生已有的知识和对此问题的思考，学生发现可以利用对称性找出其中一点A关于直线的对称点C，画出前面所猜各点到点B、C之间的线段，比较大小，再根据“两点之间，线段最短”解决问题。

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关键词：教法；学法；优化

传统的数学教学模式在教学内容结构上重知识传授，轻学法指导、能力培养；在处理教与学的关系上重教轻学，以教师为中心，学生处于被动的地位． 而数学新教材的最大特点是体现素质教育的要求：以数学源于生活又用于生活为主线，看重培养学生的创新意识和动手能力，培养学生学数学、用数学的意识，使学生真正成为学习的主人． 在新课标的指导下，笔者认为新的课堂教学应实现教法与学法的优化． 那么在数学教学中又如何实现教法与学法的优化呢？

学法转化为教法，实现教法的优化

学法转化为教法，使教师的教学方法符合学生的学习规律，从而实现教法的优化．可以这么说，不包含学法的教法绝不是优化的教法． 这就要求教师在备课选择教学方法时要充分发挥学生主体的作用，让他们积极参与到教学活动中来，教会学生规律性的学习方法．

1. 教学设计要体现学生的积极参与

教会学生学习，要贯穿整个课堂教学中． 学生要达到会学，主要体现在：掌握科学的学习规律和学习方法，具有进行学习所必需的技能技巧，并能正确地运用于学习过程中，以实现知识、能力等方面的转化． 没有学生的参与投入是不可能达到这一要求的． 因此，在设计教案时教师要“心中有学生”，就是说教案上不仅要有教法而且要有学法． 例如在学习“方位角”时，笔者让学生通过做游戏的方式来感知、体验各种方位角的大小和方向． 具体做法是这样的：先把全班学生分成红、蓝两队，分别坐于教室两边，在教室中间画上十字形（交叉点为原点），按上北下南、左西右东标出方向． 然后由红、蓝两队分别派出代表向对方提问并指定对方某一学生作答，作答者要站到与所提问题相对应的位置上才能得分． 如：红方要求蓝方的张三表示出“北偏东45°、距离原点100厘米”的位置，则张三就应站到表示该点的位置上． 如此轮流提问，大家一起评判，累计得分，决定双方的胜负．

2. 教学设计要体现基本的学习方法

学生学会学习，掌握规律性的基本学习方法，也离不开教师的主导作用和学生的主体地位． 学习的基本方法很多，其中最重要的是阅读自学能力和思维能力． 就阅读方面来说，有通读、精读、研读之分． 教学设计时，按一定的要求来指导学生进行读、议、讲、练就可以提高学生的科学阅读数学的能力． 如教学“角的度量”时，首先出示阅读题：我们以前用刻度尺测量线段的长短，那我们用什么来度量角的大小呢？角的表示方法有几种？表示的过程中应注意哪些问题？阅读完毕，通过提问或以评估的形式来检查阅读效果，或有计划地组织学习小组以阅读的形式探讨阅读内容． 同时，鼓励学生在阅读中找出问题，并不失时机地表扬在阅读中有进步、有成绩的学生，使学生有成功感，从而产生兴趣，养成阅读的习惯．

3. 教学设计时要体现学习的阶段性

学生的认知过程是一种由浅入深，由易到难，逐步深化的过程． 由此，学法转化为教法时还要体现学习的阶段性，以指导学生进行层层学习，逐步提高会学能力．学生获得知识的阶段性，可以分为认识、巩固、应用三个阶段． 教师设计教法时应使学法融入学习的各个阶段中． 以思维能力而言，在获取知识的第一阶段，通常采用逻辑推理的方法，对疑难混淆处，鼓励学生质疑，以求得真知；在复习巩固的第二阶段，可采用归纳、分析、比较等方法；在应用的第三阶段，可采用综合、多层次、多角度来思考问题等方法． 当然，上述的各种思维方法在三个阶段也不是绝对分得开的．

教法转化为学法，实现学法的优化

教法转化为学法，就是把教师优化的教学方法转化为学生的学习方法，使学生的学法学有依据，学有榜样，能沿着正确的轨道进行，从而实现学法的优化． 对此可通过以下几个方面来实现其转化．

1. 教法要充分调动学生学习的积极性，为学法创造良好的教学情景

在课堂教学中，教师要根据教学内容创设情境，激发学生的学习热情，挖掘学生的潜能，鼓励学生大胆创新与实践． 要让学生在自主探索和合作交流过程中获得基本数学知识和技能，使他们觉得每项知识都是他们实践创造出来的，而不是教师强加给他们的． 例如“绝对值”一节的教学，笔者按四人一组把学生分成若干小组，通过合作交流，学生不难得出：（1）一个正数的绝对值是它本身；（2）零的绝对值是零；（3）一个负数的绝对值是它的相反数．在此基础上，笔者继续提问：（1）绝对值等于本身的数有哪些？（2）任何一个数的绝对值都是正数吗？（3）若a＞0，则a=______；若a=0，则a=______；若a＜0，则a=______． （4）你还能得出其他结论吗？通过学生思考探究，让他们总结出绝对值的一些重要性质． 在教学过程中，教师要利用好教材列举的与我们生活息息相关的数学素材和形象的图表来培养学生的学习兴趣． 教师要尊重学生，热爱学生，关心学生，经常给予学生鼓励和帮助． 学习上要及时总结表彰使学生充分感受到成功的喜悦，感受到学习是一件愉快的事情，值得为学习而勤奋，不会有一点苦的感觉． 例如在学习“生活中的立体图形”时，笔者提前两天布置学生收集一些有关生活中立体图形的图片、实物，用硬纸片制作柱体、锥体等模型．教学中，让每个学生都先展示自己收集到的图片、实物和制作好的各种各样的立体模型，然后再按每两人一组把这些实物或模型进行归类并说出它们各自的特点，最后选派一些代表做总结发言，教师点评，对做得较好的学生进行表扬． 通过这样的教学，学生在愉快中学到了知识，收到了良好的效果，从而达到优化学法的目的．

2. 教法要重视示范性，为学法提供依据

学生毕竟是学习者，他们的知识和技能、能力和智力、学习经验等处于一个不断提高的过程，故还要通过教师的引导，通过优化的教法，给学生作出示范，让他们认识教师的教法转化为学法的过程和意图，提供优化学法的依据． 因此，教师在教学过程中各方面要为学生作出榜样，能起到潜移默化和熏陶的作用，并为优化学法作出示范． 教师准确精练生动的语言，有利于培养学生的表达能力．教师准确、熟练、简洁、规范的板书，有利于学生模仿，培养他们写数学的能力． 如数学中的一些讨论题，学生往往写不好或讨论不完全． 因此，教师在板演时要写得详细规范，为学生解法作出示范． 又如在学数学作图时，作图的正确与否会直接影响到解题的思想方法和解题的正确性，因此教师在板演作图时，既要作得正确，又要作得美观整洁，给学生以赏心悦目的享受，为学生的作图做出表率．

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一、素质教育目标

（一）知识教学点：认识形如x2＝a（a≥0）或（ax+b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）类型的方程，并会用直接开平方法解．

（二）能力训练点：培养学生准确而简洁的计算能力及抽象概括能力．

（三）德育渗透点：通过两边同时开平方，将2次方程转化为一次方程，向学生渗透数学新知识的学习往往由未知（新知识）向已知（旧知识）转化，这是研究数学问题常用的方法，化未知为已知．

二、教学重点、难点

1．教学重点：用直接开平方法解一元二次方程．

2．教学难点：（1）认清具有（ax＋b）2＝c（a≠0，c≥0，a，b，c为常数）这样结构特点的一元二次方程适用于直接开平方法．（2）一元二次方程可能有两个不相等的实数解，也可能有两个相等的实数解，也可能无实数解．如：（ax＋b）2=c（a≠0，a，b，c常数），当c＞0时，有两个不等的实数解，c＝0时，有两个相等的实数解，c＜0时无实数解．

三、教学步骤

（一）明确目标

在初二代数“数的开方”这一章中，学习了平方根和开平方运算．“如果x2=a（a≠0），那么x就叫做a的平方根．”“求一个数平方根的运算叫做开平方运算”．正确理解这个概念，在本节课我们就可得到最简单的一元二次方程x2＝a的解法，在此基础上，就可以解符合形如（ax＋b）2=c（a，b，c常数，a≠0，c≥0）结构特点的一元二次方程，从而达到本节课的目的．

（二）整体感知

通过本节课的学习，使学生充分认识到：数学的新知识是建立在旧知识的基础上，化未知为已知是研究数学问题的一种方法，本节课引进的直接开平方法是建立在初二代数中平方根及开平方运算的基础上，可以说平方根的概念对初二代数和初三代数起到了承上启下的作用．而直接开平方法又为一元二次方程的其他解法打下坚实的基础，此法可以说起到一个抛砖引玉的作用．学生通过本节课的学习应深刻领会数学以旧引新的思维方法，在已学知识的基础上开发学生的创新意识．

（三）重点、难点的学习及目标完成过程

1．复习提问

（1）什么叫整式方程？举两例，一元一次方程及一元二次方程的异同？

（2）平方根的概念及开平方运算？

2．引例：解方程x2-4=0．

解：移项，得x2＝4．

两边开平方，得x＝±2．

x1＝2，x2＝-2．

分析x2＝4，一个数x的平方等于4，这个数x叫做4的平方根（或二次方根）；据平方根的性质，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；所以这个数x为±2．求一个数平方根的运算叫做开平方．由此引出上例解一元二次方程的方法叫做直接开平方法．使学生体会到直接开平方法的实质是求一个数平方根的运算．

练习：教材P．8中1（1）（2）（3）（6）．学生在练习、板演过程中充分体会直接开平方法的步骤以及蕴含着关于平方根的一些概念．

3．例1解方程9x2-16＝0．

解：移项，得：9x2=16，

此例题是在引例的基础上将二次项系数由1变为9，由此增加将二次项系数变为1的步骤．此题解法教师板书，学生回答，再次强化解题

负根．

练习：教材P．8中1（4）（5）（7）（8）．

例2解方程（x＋3）2＝2．

分析：把x＋3看成一个整体y．

例2把引例中的x变为x+3，反之就应把例2中的x+3看成一个整体，

两边同时开平方，将二次方程转化为两个一次方程，便求得方程的两个解．可以说：利用平方根的概念，通过两边开平方，达到降次的目的，化未知为已知，体现一种转化的思想．

练习：教材P．8中2，此组练习更重要的是体会方程的左边不是未知数的平方，而是含有未知数的代数式的平方，而右边是个非负实数，采用直接开平方法便可以求解．

例3解方程（2-x）2-81＝0．

解法（一）

移项，得：（2-x）2＝81．

两边开平方，得：2-x=±9

2-x＝9或2-x＝-9．

x1=-7，x2＝11．

解法（二）

（2-x）2＝（x-2）2，

原方程可变形，得（x-2）2=81．

两边开平方，得x-2＝±9．

x-2＝9或x-2＝-9．

x1＝11，x2＝-7．

比较两种方法，方法（二）较简单，不易出错．在解方程的过程中，要注意方程的结构特点，进行灵活适当的变换，择其简捷的方法，达到又快又准地求出方程解的目的．

练习：解下列方程：

（1）（1-x）2-18＝0；（2）（2-x）2＝4；

在实数范围内解一元二次方程，要求出满足这个方程的所有实数根，提醒学生注意不要丢掉负根，例x2＋36＝0，由于适合这个方程的实数x不存在，因为负数没有平方根，所以原方程无实数根．-x2＝0，适合这个方程的根有两个，都是零．由此渗透方程根的存在情况．以上在教师恰当语言的引导下，由学生得出结论，培养学生善于思考的习惯和探索问题的精神．

那么具有怎样结构特点的一元二次方程用直接开平方法来解比较简单呢？启发引导学生，抽象概括出方程的结构：（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0），即方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是非负实数．

（四）总结、扩展

引导学生进行本节课的小节．

1．如果一元二次方程的一边是含有未知数的一次式的平方，另一边是一个非负常数，便可用直接开平方法来解．如（ax＋b）2＝c（a，b，c为常数，a≠0，c≥0）．

2．平方根的概念为直接开平方法的引入奠定了基础，同时直接开平方法也为其它一元二次方程的解法起了一个抛砖引玉的作用．两边开平方实际上是实现方程由2次转化为一次，实现了由未知向已知的转化．由高次向低次的转化，是高次方程解法的一种根本途径．

3．一元二次方程可能有两个不同的实数解，也可能有两个相同的实数解，也可能无实数解．

四、布置作业

1．教材P．15中A1、2、

2、P10练习1、2；

P．16中B1、（学有余力的学生做）．

五、板书设计

12．1用公式解一元二次方程（二）

引例：解方程x2-4＝0例1解方程9x2-16=0

解：…………

……例2解方程（x＋3）2＝2

此种解一元二次方程的方法称为直接开平方法

形如（ax＋b）2＝c（a，b，

c为常数，a≠0，c≥0）可用直接开平方法

六、部分习题参考答案

教材P．15A1

以上（5）改为（3）（6）改为（4），去掉（7）（8）

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关键词：初中数学；数学思想方法；渗透；挖掘；归纳；内化

《全日制义务教育数学新课程标准》中明确提出要把数学思想、数学方法作为基础知识的重要组成部分。数学思想是指人们在研究数学过程中对其内容、方法、结构、思维方式及其意义的基本看法和本质的认识，是人们对数学的观念系统的认识。在初中数学中，数学思想主要有分类思想、集合对应思想、等量思想、函数思想、数形结合思想、统计思想和转化思想等。与之对应的数学方法有理论形成的方法，如观察、类比、实验、归纳、一般化、抽象化等方法；还有解决问题的具体方法，如代入、消元、换元、降次、配方、待定系数、分析、综合等方法。这些数学思想与方法，在义务教育数学新课程标准教材的编写中被突出地显现出来。

一、认真钻研教材，深入挖掘教材中蕴涵的数学思想和方法

对中学生数学思想意识的教育，其目的就是要提高学生的数学思维能力和数学素养。在初中数学教材中集中了许多蕴涵数学思想和方法的优秀例题、习题，教师要善于挖掘例题、习题的潜在功能。

教师在教学过程中一定要研究大纲，吃透教材，把教材中蕴涵的数学思想、方法精心设计到教案中去。例如七年级代数第一册（上）的核心是字母表示数，正是因为有了字母表示数，我们才能总结一般公式和用字母表示定律，才形成了代数学科。所以，这册教材以字母表示数为主线贯穿始终，列代数式也是用字母表示已知数，列方程是用字母表示未知数。同时本章通过求代数式的值渗透了对应的思想，用数轴把数和形紧密联系起来，通过数形结合来巩固具有相反意义的量的概念、了解相反数及绝对值、研究有理数加、减法和乘法的意义等，通过有理数、整式概念的教学，渗透了分类思想。这些数学思想和方法都是教师在教学中必须认真领会和合理渗透的。

二、在知识建构过程中渗透数学思想和方法

概念、公式、法则、性质、定理等数学结论的导出过程，不是简单的再现，教师要创设一定的问题情景，提供丰富的感知材料，使学生的思维经历知识发生、发展、形成的全过程，并在这一过程中通过尝试、观察、猜想、归纳、概括、类比、假设、检验等，自主接受数学思想、方法的渗透。教师要抓住各种时机，引导学生透过问题表象理解问题本质，总结出数学思想和方法上的一些规律。

1.在概念教学中渗透数学思想和方法

数学概念是现实世界中空间形式和数量关系及其本质属性在思维中的反映，人们先通过感觉、知觉对客观事物形成感性认识，再经过分析比较，抽象概括等一系列思维活动而抽取事物的本质属性就形成概念。因此，概念教学不应只是简单的给出定义，而要引导学生感受及领悟隐含于概念形成之中的数学思想。比如绝对值概念的教学，七年级代数是直接给出绝对值的描述性定义（正数的绝对值取它的本身，负数的绝对值取它的相反数，零的绝对值还是零），学生往往无法透彻理解这一概念只能生搬硬套。如何用刚学过的数轴这一直观形象来揭示“绝对值”这个概念的内涵，从而使学生更透彻、更全面地理解这一概念，笔者在教学中设计了如下问题情景：（1）将下列各数0、2、-2、4、-4在数轴上表示出来；（2）2与-2；4与-4有什么关系？（3）2到原点的距离与-2到原点的距离有什么关系？ 4到原点的距离与-4到原点的距离有什么关系？这样引出绝对值的概念后，再让学生自己归纳出绝对值的描述性定义。（4）绝对值等于7的数有几个？你能从数轴上说明吗？

通过上述教学方法的改革，学生既掌握了绝对值的概念，又渗透了数形结合的数学思想方法，这对后续课程中进一步解决有关绝对值的方程和不等式问题，无疑是有益的。

2.在定理和公式的探求中挖掘数学思想和方法

在定理公式的教学中不宜过早给出结论，而应引导学生参与结论的探索、推导和发现过程，弄懂其中的因果关系，领悟与其它知识的关系，让学生亲身体验创造性思维中所体验到的数学思想和方法。

例如，在圆周角定理中，度数关系的发现和证明体现了特殊到一般、分类讨论、化归以及枚举归纳的数学思想和方法。在教学中笔者依次提出如下富有挑战性的问题串：（1）我们已经知道圆心角的度数定理，我们不禁要问：圆周角的度数是否与圆心角的度数存在某种关系？圆心角的顶点就是圆心！就圆心而言它与圆周角的边的位置关系有几种可能？（2）让我们先考察特殊的情况下二者之间有何度量关系？（3）其它两种情况有必要另起炉灶另外重新证明吗？如何转化为前述的特殊情况给予证明？（4）上述的证明是否完整？为什么？易见，以上引导渗透了探索问题的过程所应用的数学思想和方法，因而较好地发挥了定理探讨课型在数学思想和方法应用上的优势。

三、在问题解决的探索过程中激活学生的数学思想和方法意识

注重解题思路的数学思想方法分析。解题的思维过程都离不开数学思想的指导，将解题过程从数学思想高度进行提炼和反思，并从理论高度叙述数学思想方法，对学生真正理解掌握数学思想方法，产生广泛迁移有重要意义。在题目条件处理、问题解决探究活动中，学会揭示其中隐含的数学思维过程，有效地培养和发展学生的数学思维能力。

比如，在解决函数问题时，我们常用的方法有待定系数法、图象法、类比法等。通过待定系数法，我们可以利用代入法将点的坐标代入字母，从而转化成方程求出函数的解析式，进而探索更丰富的函数特性，解决更深层次的问题；图象法也是解决函数知识的重要方法之一，通过图象可以较直观的认清函数的自变量和应变量的一一对应关系，图像的形状，增减变化，周期规律等，更能与相关的几何知识结合探究更有深度、更为灵活全面的数学。

在数学的问题探索教学中重要的是让学生真正领悟隐含其中的数学思想和方法。使这种“思想方法性知识”消化吸收成“个性化”的数学思想。逐步形成用数学思想方法指导思维活动，这样在遇到同类问题时才能迎刃而解。

四、上好复习课，及时总结，逐步内化数学思想和方法

小结课、复习课是使知识系统、深化、内化的最佳课型，也是渗透数学思想和方法的最佳时机。通过对所学知识的系统整理，提炼解题指导思想，上升到思想方法的高度，掌握本质，揭示规律。

比如，讲无理数和有理数概念、整式和分式、常量和变量等知识时，都蕴涵着对立统一的辩证规律，这正是科学世界观在数学中辨证思想的体现。其中就整式方程和分式方程而言，他们是互补性的两个概念，前者分母中不含字母，后者分母中一定含有字母。实际上任何一个分式方程都可以通过去分母转化为一个整式方程，所以他们之间是对立统一的关系。

五、运用多媒体手段使数学思想和方法形象化