数列考试总结范文
时间：2023-04-09 01:11:50
导语：如何才能写好一篇数列考试总结，这就需要搜集整理更多的资料和文献，欢迎阅读由公务员之家整理的十篇范文，供你借鉴。
篇1
关键词：高中数学 数列 函数
在高中数学教学中，数列和函数是其中的两个主要部分。在很多的高考数学题中都常常把数列和函数两者相结合起来，作为一个考察的重点。很多的学生在这方面就感到很大的困难。在高考中也常常容易出现失分的情况，进而影响到整个数学科目的分数。为了能够适应数学教学的发展，很多老师也开始加强对数列和函数结合点的数学知识的教学，帮助学生全面提高数学能力。这也是符合了高考数学学科中关注学生对知识点的有机结合的一个改革要求的。在高中数学中数列和函数知识的结合主要是数列中的等差数列与函数知识相结合，等比数列和函数知识相结合以及等差、等比和函数的综合运用。教师在教学中不断地总结这类题目的解答规律，把握这类题目的本质。下面从一些具体的数学例题来把握数列和函数这两者间的联系。
一、等差数列的知识和函数的联系
这一类题目的解答的方法都是差不多的，教师在进行这一类题目的详细解答之后，要帮助学生进行必要的总结，让学生在面对这一类题目时，不再茫然无措，而是能够比较熟练地完成题目的要求。
二、等比数列和函数之间的综合运用问题
基本上，等比数列和函数之间的综合运用都是按照数列的解题思路来进行的。但是，具体上来说，他们都各自结合了等差数列和等比数列的基本特征。一般来说，教师会采用下面的方式来解答此类题目。基本上了解了这一点，整个等比数列和函数之间的数学问题的解决就是从这个关系出发的。
三、等比、等差数列和函数的综合关系
只要掌握了它们之间的关系，问题就很容易解决了。因为等差数列、等比数列都是可以看作是函数中的特殊函数。在很多的函数问题的解决中常常要求它们引入到数列的方程中。我们可以从函数的另外一个性质来看，数列其实是可以被看成是一个定义域为正整数的集合。这样就很容易构建起了数列和函数的关系。下面以一道等差、等比数列和函数综合的题目来分析这个知识点的结合。
四、结语
在高中数学的教学过程中，综合题目中的数列和函数有时候还会和其他的方程、向量等问题相结合。但是重要的是教会学生把握这些知识点的内容和他们结合点的知识的联系，这样就能够培养学生的数学联系思维能力，提升学生的数学思维能力。
参考文献：
[1]杜洪明.数列与函数综合的问题分类解析[J].数理化学习（高中版），2009，（7）：2.
篇2
【关键词】递推数列;通项公式
数列是高中数学的重要内容之一，虽然在教学大纲中只有12个课时，但是在高考试题卷面中约占总分的8%~11%.由于数列问题最终归结为对通项公式的研究，故数列通项公式的求解是数列中最基本和最重要的问题，也是高考对数列问题考查的热点之一.近年的出题形式为先给定数列的初始项和数列通项的递推关系式，要求解出通项公式.由于求解方法需要灵活的变形技巧，学生遇到此类问题常常感到困难而无从下手.笔者根据自己的教学实践，以数学高考试题中涉及的数列和平时教学中所遇到的典型的数列为例，总结介绍几种常见的通项公式的类型和解法，供读者参考.
类型一 等差型数列:已知a1和an+1-an=f(n)，求an.
解法 使用累加法（即逐项相加法），再使用相关公式进行求解.即an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=f(n-1)+f(n-2)+…+f(1)+a1(n≥2).
读者可尝试求解以下三道难度不大的试题：
①（2008天津）已知数列{an}中,a1=1,an+1-an=1[]3n+1(n≥1),则lim[]n+∞an=.
②在数列{an}中,a1=1,an+1=an+2n-1(n≥1),求an.
③（2008江西）在数列{an}中,a1=2,an+1=an+ln1+1[]n ,则an=.
类型二 等比型数列:已知a1和an+1[]an=f(n)，求an.
解法 使用累乘法（即逐项相乘法）求解，即an=an[]an-1・an-1[]an-2・…・a3[]a2・a2[]a1・a1(n≥2).
例1 已知a1=1，an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1).求an.
解 由an+1=2n-1[]2n+1an(n≥1)知an+1[]an=2n-1[]2n+1(n≥1)，故an=2(n-1)-1[]2(n-1)+1・2(n-2)-1[]2(n-2)+1・…・2×2-1[]2×2+1・2×1-1[]2×1+1a1=2n-3[]2n-1・2n-5[]2n-3・…・3[]5・1[]3・1=1[]2n-1(n≥1).
类型三 线性递推数列：已知a1和an+1=pan+q(其中p,q为常数，且pq≠0,p≠1),求an.
解法 使用待定系数法转化为公比为p的等比数列后再求an，即把原递推公式转化为：an+1-k=p(an-k)，可求得k=q[]1-p，再利用换元法转化为等比数列求解.
例2 （2006重庆）在数列{an}中，若a1=1,an+1=2an+3(n≥1)，求an.
解 由an+1=2an+3(n≥1),设an+1-k=2(an-k)，变形得an+1=2an-k，与原式an+1=2an+3对比系数可知k=-3，故an+1+3=2(an+3)(n≥1)，变形为an+1+3[]an+3=2(n≥1)，即数列{an+3}是首项为a1+3，公比为2的等比数列，由等比数列的通项公式可知an+3=(a1+3)・2n-1=2n+1(n≥1)，故an=2n+1-3(n≥1) .
类型四 指数递推数列：已知a1和an+1=paqn(p,q为常数且p>0,an>0)，求an.
解法 对递推等式左右两边同时取对数后转化为类型三，再进行求解.
例3 已知数列{an}的各项均为正数且满足,a1=1,an+1=4a3n(n≥1),求an.
解 由an+1=4a3n对等式左右两边同时取常用对数得lgan+1=lg(4a3n)=3lgan+2lg2,令bn=lgan,则bn+1=3bn+2lg2(n≥1)，再使用类型三中的待定系数解法，即可解得bn=(3n-1-1)lg2，即lgan=(3n-1-1)lg2，故an=3n-1-1(n≥1).
类型五 分数递推数列：已知a1和an+1=pan+r[]an+q(p,q,r为常数且pq≠0)，求an.
解法 （1）当r=0时,两边取倒数可求出通项.
例4 （2008陕西）已知数列{an}的首项a1=3[]5,an+1=3an[]2an+1(n≥1),求{an}的通项公式.
解 由an+1=3an[]2an+1,两边取倒数，得
1[]an+1=1[]3・1[]an+2[]3.使用待定系数法，得1[]an+1-1=1[]31[]an-1.
故数列1[]an-1是以1[]a1-1为首项,1[]3为公比的等比数列,
1[]an-1=1[]a1-1・1[]3n-1=2・1[]3n,
故an=3n[]3n+2(n≥1).
（2）当r≠0时,可先转换为上一种问题,即消去分子中的r,再构造成等差或等比数列求解.
例5 在数列{an}中,a1=2,an+1=2an+1[]an+2,求an.
解 用待定系数法,令an+1+α=p(an+α)[]an+2,对比系数法则有p-α=2,pα-2α=1α=1,p=3或α=-1,p=1.当α=-1,p=1时,an+1-1=an-1[]an+2 ,令an-1=b,则有bn+1=bn[]bn+3变成了上一种形式,两边取倒数即可求得an+1=2[]3n-2+1(n≥1).
同样α=1,p=3也可以求出,结果一样.
类型六 二阶递推数列：已知a1,a2和an+2=pan+1+qan(p,q为常数且pq≠0)，求an.
解法 常用待定系数法将原递推式化为an+2-αan+1=β(an+1-san)，其中α+β=p,αβ=-q，从而转化为新数列{an+1-αan}求解.
例6 已知数列{an}中,a1=1,a2=5,an+2=5an+1-6an,求an.
解 可设an+2+α・an+1=β(an+1+α・an)，移项与原递推关系式对比系数β-α=5,
α・β=-6α=-2,
β=3或α=-3,
β=2.
即an+2-2an+1=3(an+1-2an).……(1)
或an+2-3an+1=2(an+1-3an).…………(2)
由(1)知,数列{an+1-2an}是首项为3,公比为3的等比数列,则an+1-2an=3n.………(3)
由(2)知,数列{an+1-3an}是首项为2,公比为2的等比数列,则an+1-3an=2n.………(4)
由(3)-(4)，得,an=3n-2n.
类型七 混式递推数列：已知a1和an+1=pan+f(n)(p为常数且p(p-1)≠0）,求an.
解法 常常是两边同除以pn+1转化为等差型数列.
例7 （2008全国改编）在数列{an}中，a1=1,an+1=2an+2n(n≥1),求{an}的通项公式.
解 由an+1=2an+2n两边同除以2n+1，得
an+1[]2n+1=an[]2n+1[]2，
故数列an[]2n是以a1[]21即是1[]2为首项,1[]2为公差的等差数列,
an[]2n=1[]2+(n-1)・1=2n-1[]2,故an=n・2n-1(n≥1).
例8 （2007天津改编）在数列{an}中，a1=2,an+1=4an-3n+1(n≥1),求{an}的通项公式.
解 由an+1=4an-3n+1两边同除以4n+1，得
an+1[]4n+1=an[]4n+1-3n[]4n+1，令bn=an[]4n ，
则bn+1=bn+1-3n[]4n+1，
移项可得bn+1-bn=1-3n[]4n+1，由此想到等式
篇3
关键词：高等数学（一） 极限 历年考卷
自学考试在我国的高等教育中居于十分重要的地位。由于我国普通高等教育资源短缺，导致相当多的人不能接受普通高等教育。自学考试以其“开放、灵活、适应性强、投资少、效益高、工学矛盾小”等特点受到人们的欢迎，在我国得到快速发展，为我国的经济建设培养了大批有专业知识和技能的人才。在今后相当长的一段时间里，我国普通高等教育资源短缺的情况仍将存在，因而自学考试还会继续发展。
很多自考专业的考试科目中要求考高等数学（一）（以下简称高数），这门课的教材由章学诚主编，全国统一考试。高数对考生来说无疑是最难学的课程之一，在每次组织的考试中，高数的及格率都很低，相当多的考生不能通过高数考试，影响到毕业证的获取，导致很多考生放弃了自考。本文主要针对高数中极限部分的内容进行分析。极限内容对自学者来说有一定的难度，考生对此往往无所适从。极限是高数考试的必考部分，考生如果放弃极限的学习，会对能否通过考试产生影响。针对这一情况，本文试图通过对历年考题的分析，总结考试经验，以期对考生自学和应考提供一定的帮助。
一、高数自考考试大纲关于极限部分的考试要求
自考生的自学应该按照考试大纲的要求进行。高数考试大纲中极限的考试内容包括数列极限、数项级数的基本概念、函数极限、极限的运算法则、无穷小(量)和无穷大(量)、两个重要极限等。其中极限包括数列概念、数列极限的定义和收敛数列的基本性质；函数极数包括函数在有限点处的极限、自变量趋于无穷大时函数的极限和有极限的函数的基本性质；无穷小(量)和无穷大(量)包括无穷小(量)、无穷大(量)、无穷大量与无穷小量的关系和无穷小量的比较。
与此相对应，考试大纲中极限的考试要求包括：①理解极限的概念，会求函数在一点处的左极限与右极限，了解函数在一点处极限存在的充分必要条件；②了解极限的有关性质，掌握极限的四则运算法则；③理解无穷小量、无穷大量的概念，掌握无穷小量的性质、无穷小量与无穷大量的关系，会进行无穷小量阶的比较(高阶、低阶、同阶和等价)，会运用等价无穷小量代换求极限；④熟练掌握用两个重要极限求极限的方法。
就高数中极数部分的考试范围来说，考试内容是比较多的，这给考生的学习及应考产生了一定的思想负担；而考试大纲的要求包括了解、理解、熟练掌握、运用等诸多方面，要求掌握的内容不少。由于考试大纲中极限在总分中所占比重并非很大，且极限部分非常抽象，尤其是极限的概念部分难以学懂，一部分考生忽略它是可以理解
的。
二、历年高数考试中极限部分考题分析
本文选择最近的5次高数考卷进行分析，这5次分别是2007年4次以及2008年1月的考试。做出这种选择的依据是：第一，它是与现在相距最近的5次考试，试题的分析具有实际意义，对未来的考试具有实际指导作用；第二，试题分析应该建立在一定数量试卷的基础上，试卷太少则代表性较差；第三，需要说明的是，这5次考卷的题型及题型分值完全一样，属于同一次命题的范畴。这5次考卷的题型包括选择、填空、计算、应用和证明等5种类型，试题总数25个。其中选择题5个，共10分；填空题10个，共30分；计算题分为计算题（一）和计算题（二）两类，计算题（一）5个，共25分，计算题（二）3个，共21分；应用题1个，9分；证明题1个，5分。试题难易比例：容易题约20%；中等偏易约40%；中等偏难约30%；难题约10%。
在这5次考试中，均有极限方面的考题出现。从考卷统计的情况来看，每套试卷出现3个左右的极限题目，其中一个以计算题（一）的形式出现，另两个出现在选择题或填空题中，属于小题；极限部分合计分值在10分左右；就极限的考试内容来说，以计算题（一）形式出现的题目偏向于两个重要的极限，以选择题或填空题出现的两个小题偏向于考核数列的极限、两个重要的极限等。由此，我们可以得出，极限部分的考试重点是数列的极限及两个重要的极限，考卷中出现的极限部分与考试大纲的考试要求保持一致。
极限部分考题在近几年高数的考试中出现得不多，且重点突出，对高数的考生来说，把握这一情况无疑是重要的，考生可以有重点地展开极限部分的学习，复习中集中精力关注重点内容。
三、关于极限的自学建议
事实上，极限在高数的学习中是重要的基础。我们知道，数学知识的联系很密切，极限部分对于后续内容的学习有重要影响。自考生在自学中应该以长远的观点来对待，不能因为考卷中极限部分的考题不多、分值较少且难以自学就放弃对它的学习。关于极限的自学，我们认为只要掌握好学习方法，通过一定的努力，一定可以取得满意的效果。在自学中，以下三点应引起自考生的关注。
1. 掌握基本概念、基本方法和基本原理
每门学科最重要的内容就是基本知识，包括基本概念、基本方法和基本原理等。要顺利通过高数考试，就要明确高数要考些什么。高数主要是考基础，包括基本概念、基本理论、基本运算。高数是一门基础学科，如果基础、概念、基本运算不太清楚，运算不太熟练，肯定就考不好，所以基础一定要打扎实。就最近几年的数学试题来看，主要也是以考查数学的基本概念、基本方法和基本原理为主。由于极限较为抽象，自学起来会有难度。我们认为要学好这部分内容就要牢牢把握基础，极限部分的基础内容是数列极限的定义以及函数在有限点处的极限定义。学习极限时头脑中始终要有一个动态变化趋势的概念。
2. 把握学习重点
要明确考试重点，充分把握重点。重点学习内容的重要性表现在它是学科的主要部分，它对于相关内容的学习有重要的影响，它往往也是考试的主要部分。把握重点其实很容易，考试大纲指明了每一章节的重要内容，只要认真地阅读便会知晓。通过考卷的分析，可以得出极限的考试重点就是数列的极限和函数在有限点的极限的定义，以及两个重要的极限。为了充分把握好重点，平时应该多研究历年真题，更好地了解命题思路和难易度。
3. 要大量做基础练习题
做数学练习是为了更好地理解基本概念，是掌握数学基本知识的需要。由于历年的数学考卷中都是以基础题目为主，日常的数学练习显得尤为重要。我们认为数学练习应以基础练习为主，要多做练习。在此基础上，重视总结归纳解题思路、套路和经验。数学试题千变万化，其知识结构却基本相同，题型也相对固定，往往存在明显的解题套路，熟练掌握后既能提高正确率，又能提高解题速度。
篇4
【关键词】苏教版；高中数学；数列概念；认识
一、对教材的整体把握
整个教材的编写是有一定的知识框架与结构，是为实现一定的教学目标的。章节与章节之间、课时与课时之间都有着紧凑的呼应关系，是循序渐进，缺一不可的。苏教版教材“入口浅、寓意深”，通过大量的事例来引入数学课题，这大大加深了学生对于知识的理解，也激励他们解决实际问题，实现了知识“从生活中来，到生活中去”的原则。如果在“数列的概念”这章的教学活动中没有投入激情，则会让学生在接下来的学习中丧失了应该具有的热情，可以说是原动力不足。更何况，对于数列的定义没有掌握透彻，则会对整个知识框架缺乏整体的把握，这也会对接下来的学习产生阻碍，没有实现教学的连贯性和预期的教学效果。我们应该从整体着眼，仔细钻研教材，吃透每一章节。
二、教学过程的别出心裁
（一）从生活实例引入课题
“数列的概念”这一章节是从列举多个生活事例来引导学生思考，激发学生已有的知识体系或生活体验，来促使他们自己来归纳数列的定义。如先通过一个故事来计算出棋盘上应该放置的麦粒数，然后把它们按照放置的先后排成一列数：1，2，22，23，…，263，……；接下来引入细胞分裂的问题，细胞由一个分裂成两个，再由两个分裂成四个……以此类推23；再通过我们的无限小数π约到两小数、三位小数、四位小数……然后将它们的近似值排成一列数：3.14，3.141，3.1415，3.14159，3.141592，……；接着提出由于人们在1740年发现了一颗彗星，并推算出它每隔83年出现一次，如果从出现那次算起，那么这颗彗星出现的年份分别是什么？通过计算可算出依次为1740，1823，1906，1989，…；然后再由计算剧场如果第一排20个座位、后一排比前一排多两个，以此类推各排的座位数分别是：20，22，24，26，…，38；最后列举的事例则是说出从1984年到近年，我国运动健儿共参加六次奥运会，获得金牌依次排列是：15，5，16，16，28，32。组织学生观察这组数据后，启发学生概括其特点，最后由老师进行总结出数列的定义。
这种引入能激发学生的兴趣，让学生在贴近实际生活中探求新知，体会到数学是生动的，是来源于生活的。
（二）通过图像和实际操作加深理解
在了解数列的定义之后，为了更全面的了解数列，需要将概念从直观到形式化。因此，课本中将“Excle”“几何画板”等信息技术工具展现给学生。这与传统单一的教学手段有极大不同，能将整个课堂氛围变得活跃起来。比如利用坐标轴让学生充分感受到数列中数的急剧变化。
（三）习题加以巩固
在教材中的习题设置了“练习”“感受・理解”“思考・运用”“探究・拓展”等栏目，这些栏目设计是层层递进、循序渐进的，因此这些题目是由基础到拔高的飞跃。
比如第33页“练习”栏目的第二、三题是已知数列的通项公式，求数列特殊项的值；第五题是已知数列的一些特殊项，求数列的通项公式，这些都是较为基础的题目，提高学生的观察、归纳、概括能力。
“感受・理解”栏目的习题出题方式会更加灵活一些，需要学生能够进行思考，更能激发学生的探知欲。比如说：“156是不是数{n（n+2）}中的项？如果是，那它是数列的第几项？”它就极大刺激学生的学习积极性。
“思考・运用”栏和“探究.拓展”栏对于学生的要求会更高一些，要求学生从本质上去理解知识，掌握它的精髓，而不只是停留在概念性的理解上面，而是能灵活多变、多角度与多层次的去钻研。
三、教学理念的深化
《普通高中数学课程标准》指出：“高中数学课程应该返璞归真，努力揭示教学概念的发展过程和本质，使学生理解数学概念逐步形成的过程，体会蕴含其中的思想方法。”了解新课标，认真钻研教材，仔细揣摩教材在内容上分层次进行编排的特点，设计出合理的教学目标。其实无论是后面章节中求数列的通项公式还是递推公式，都是基于对数列概念的理解，只是侧重点不同而已。因此，要引起该有的重视。首先要吃透教材，确定出教学过程之中的教学重难点；其次教师也应该充分考虑到学生的知识层次与接受能力，设置出具有启发性又易于让学生接受的问题链，引导学生积极主动思考；然后，在教学过程中能随机应变，引导学生建构完整的知识结构；最后，丰富教学活动的形式，采取多用的教学方式，调动学生的积极性，使其在轻松活跃的氛围之下，掌握知识，达到预期的教学目的。
总结
概念教学没有引起广大教师的重视这个局面亟需转变，教师要有全局观，宏观上，对于教材的整个脉络结构、知识框架有清醒的认识；微观上，对于每个章节都仔细的钻研，体会编者的设计理念与用意。“数列的概念”这一小节是基石，后面的知识内容都与它紧密相关。苏教版的编纂者也是别出心裁，能够从生活实例中上升到数学理论知识，并且这章节的栏目设计既新颖又符合学生的知识接受层次，能“深入浅出”，促使学生主动学习与探究。
【参考文献】
[1]殷伟康.基于函数观点的“数列的概念”教学实践与思考[J].中学数学，2016，（1）：42-44
[2]廖碧.数列的概念与简单表示法[J].少儿科学周刊（教育版），2014，（2）：12-12
篇5
一、观察法
观察法就是从横向和纵向两方面来观察数列特征，横向看各项之间的关系结构，纵向看各项与项数n的内在联系，而后将横向和纵向的规律加以整合得到数列通项的方法。观察法在国家公务员考试的数字推理题中尤为适用，出题者的意图在于考察人分析问题的能力、逻辑推理能力、以及变通思维能力，因此探究数列通项有助于培养学生逻辑推理、变通思维等能力。请看下面例题：
例：写出下列数列的一个通项公式
分析：1.观察分母是22，23，24，25，……
分子比分母少1，再考虑与项数n的关系，于是易得其通项为 （n为正整数）。
2.观察奇数项特征及偶数项特征易得
观察法是求数列通项公式的一种常用方法，熟悉观察法从而灵活运用观察法也为求解数列通项问题提供了一条便捷之路。
二、逐差求和法
单独看数列的各项之间似乎不存在明显的关系，但是它们连续两项之间的差有着明显的规律，此时通过求它们差的和来推导数列通项的方法就是逐差求和法。
例：求数列1，3，7，13，21……的一个通项公式。
分析：a2-a1=3-1=2
a3-a2=7-3=4
a4-a3=13-7=6
……
an-an-1=2（n-1）
an-a1=2[1+2+3+……+（n-1）]=n2-n，
an=n2-n+1（n为正整数）。
此题单丛各项之间关系看，似乎不存在明显的关系，但是连续两项之间的差却是一个简单的等差数列，这种问题我们可以运用逐差求和的方法来轻易求解。注意：最后一个式子出现an-1，必须验证n=1。此时a1=1，适合上式，故an=n2-n+1（n为正整数）。
三、归纳法
运用归纳思想方法，即“由特殊到一般”。这种方法经常帮助我们探索、发现并解决一些数学问题，甚至得出很重要的数学结论，应用这个方法可以通过“有限”来解决“无限”的问题。我们在求数列的通项公式时，也可用归纳猜想思想方法。一般地有模式：“特例+猜想+数学归纳法证明”。研究数列时经常用此模式解决一些与自然数有关的问题。下面以一个竞赛试题为例来解释和熟悉这种方法。
例：数列{un}定义为：u0=2，u1= ，un+1=un（un-12-2）-u1（n≥1）。
求证：对于任意自然数n，[un]=2
（[x]表示不超过x的最大整数）。
分析：此题的递推关系比较复杂，看上去无从下手，并且未给出un的表达式，所以我必须先求出un表达式，在求un的表达式时它的递推关系相当复杂此时该怎么办？我们先试着求的前几项看看：
那么问题转化为用数学归纳法证明这一猜想，而后再证明2n-（-1）n可被3整除，为方便起见令 f（n）= ；当n=0，n=1时，un=2f （n）+2-f （n）成立；假设当n=k-1，n=k时上式也成立；那么n=k+1时，由递推关系以及f（k）+2f（k）+2f（k-1）= f（k+1），2f（k-1）-f（k）=（-1）k，可得uk+1=2f （k+1）+2-f （k+1）。另一方面，
所以f（n）为正整数，于是：2f （n）为正整数，而2-f （n）是（0，1）内的小数，故：对于任意自然数n，[un] =2 。
数列综合问题以其难度设计的跳跃性，应用的广泛性，方法的灵活性和技巧性而成为数学竞赛的重点，其基础是等差数列和等比数列，热点是递推数列，递推数列就是满足递推关系的数列，设{an}是一数列，通项an与其前面若干项的关系式称为该数列通项的一个递推关系。问题的形式也是多种多样的，有求通项、求和等等。
四、公式法
等差数列与等比数列是两种最基本、最常见的数列，常常是设计数列问题的“中途点”是解决问题的“突破点”其基础知识必须牢固掌握。在学习等差数列和等比数列的有关知识时，除了现行教材上介绍的一些基础知识之外，还要注意它们之间的联系，例如，将等差数列定义中的减号换成除号，通项中的加号换成乘号，倍乘换成乘方，就可得到等比数列的定义及其通项公式，这使我们可以从等差数列的一些性质类比到等比数列的一些性质。比如{an}为等差数列，且am=a，an=b（m≠n）则。我们可以类比猜想：若{an}为等比数列，且am=a，an=b（m≠n），则 。
再对猜想的结论进行证明、可见，运用类比方法来研究等差数列和等比数列的关系，可实现知识的转移，有利于系统地去把握知识。
篇6
【关键词】 高中；数列；求和；有效方法
数列求和在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位.除了等差数列和等比数列可以直接用公式求和外，大部分数列的求和都需要一定的技巧，体现转化思想的灵活运用.教师要引导学生掌握方法，形成规律性的认识，从而掌握通性通法，构建知识框架，提高学习能力.学生通过对数列知识的探究和归纳理解其中蕴含的思想和方法，更好地应用函数思想、方程思想，并且灵活地理解基本概念和公式，在应用中能够达到得心应手、举一反三的程度.通过对方法的探究，学生会发现问题，有针对性地分析和思考问题，进而解决问题，达到对知识的掌握.下面介绍四种数列求和的基本方法和技巧.
一、公式求和法，掌握基本求和方法
公式求和法是解决数列求和最为基本的方法，是其他求和方法的基础.在进行数列求和的教学过程中，首先，教师需要给学生介绍的就是公式求和法.让学生能运用等差数列或等比数列的前n项和公式求和，教师还要引导学生通过自主探究推导公式，通过合作交流深刻理解公式，从而可以在运用中游刃有余.公式法是一种非常直观的方法，学生只需要把公式掌握好，在题目中找到相应的量进行套用即可，是一种简单易行的方法.
典例赏析 已知等比数列{an}的所有项均为正数，首项a1=1，且a4，3a3，a5成等差数列.求数列{an}的前n项和Sn.
分析 由数列{an}是等比数列可得a4=q3，a3=q2，a5=q4，根据a4，3a3，a5成等差数列可以求出q，再根据等比数列的前n项和公式即可求解.
解 设数列{an}的公比为q，
由条件可知a4，3a3，a5成等差数列，6q2=q3+q4.
解得q=-3或q=2，
q>0，q=2，Sn= 1-2n 1-2 =2n-1.
在审题的过程中，学生要准确把握首项、末项、公差、公比、第n项和前n项和等信息，还要注意是等差数列还是等比数列，这样才可以灵活地通过已知的信息最终求出首项和公差（或公比），从而完成公式求和的解题过程.
二、分组求和法，分别解答各个击破
分组求和法是解决数列求和的常用方法.此类题型的显著特点是：一个数列的通项公式是由若干个等差数列和等比数列组成，则求和时可以用分组求和法，把具有相同性质的数列分别求和后相加减.这种方法使学生可以通过各个击破的方式来解决问题，降低解题难度，从而逐步有效地解决问题.
典例赏析 已知数列{an}的通项公式an=n+1，若bn=2 an+ 1 2an ，求数列{bn}的前n项和Sn.
分析 根据已知条件先求得数列{bn}的通项公式bn=2 an+ 1 2an =2 n+1+ 1 2n+1 =2n+ 1 2n +2，通过观察发现，此数列可分为三个数列{2n}， 1 2n ，{2}，因此，可以采用先分别求出这三个满足条件的和，再合并即可解决.
在解题的过程中，要学会找到具有共性的各个数列，进而根据每一个数列来一一进行计算，实现对问题的解决.分组转化法求和的常见类型有两类：（1）若an=bn±cn，且{bn}，{cn}为等差或等比数列，求{an}的前n项和；（2）通项公式为an= bn，n∈奇数，cn，n∈偶数 的数列，其中数列{bn}，{cn}是等比数列或等差数列，可采用分组求和法求和.
三、错位相减法，灵活应用解决问题
错位相减法是解决数列求和的一种重要方法.必须熟练掌握，高中教材中等比数列的前n和公式推导用的就是这种方法.它主要适用于一个数列的每一项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，在解决这类数列求和问题的时候就可以用错位相减法.即数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an・bn}的前n项和，就采用错位相减法，这种方法的关键是错位后找到对应项，然后，进行求和处理即可.
学生在解题时通过认真阅读，仔细思考，可以看出此题在求和时适合采用的方法就是错位相减法.解决这类问题时，学生需要注意前n项和两边同时乘等比数列{bn}的公比，然后，“错位”作差求解.利用错位相减法求和还要注意，首先，要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；其次，在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写出“Sn-qSn”的表达式.
四、裂项相消法，分析归纳总结规律
裂项相消法是解决数列求和的一种行之有效的方法.在求和过程中，学生需要把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，在消去了一些不必要的项后，简化了计算，从而可以快速求和.使用裂项相消法求和时，一定要注意消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，需要注意未被消去的项有前后对称的特点.
典例p析 已知数列{an}的通项公式an=2-n.数列{bn}满足bn= 1 a2n-1・a2n+1 ，求{bn}的前n项和Tn.
通过对题目的阅读和思考，学生要有一定的判断能力，能够看出这一类题是否适合采用裂项相消法求和.把数列的每一项分裂成两项，使得相加后项与项之间能够抵消，但在抵消的过程中，有的是依次相消，有的是间隔相消.利用裂项相消法要注意，列项相消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等.如，若{an}是等差数列，则 1 anan+1 = 1 d 1 an - 1 an+1 ， 1 anan+2 = 1 2d 1 an - 1 an+2 .
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关键词：数列；新定义；解决策略
中图分类号：G622 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2015）23-227-03
一、数列在高考数学中的地位
观察近10年全国各地的高考数学试题，越来越多将“新”溶于命题之中，比如数列。数列是每年高考中考查的重点内容，就广东高考试卷来说，2012，2013年关于数列的内容均占了19分，约占总分的13%。数列是高中数学的一个重要知识，也是高等数学如常微分方程、组合数学的基础，既是特殊的函数，也能构成各种各样的递推关系。因此是高考数学中必考查的内容之一，题型也不再只是单一的考查基本知识，而是转化为与实际生活模型、新定义、高等数学等相交汇的题型。
通过定义一个新概念来创设问题情境，要求考生在阅读理解题意的基础上，善于观察问题的结构特征和本质，依据题中提供的信息，联系所学过的数学知识和方法，将新定义的数列题迁移到等差、等比或递推数列的知识上来，从而解决问题。
二、学生的困惑
从表面上看，题目比较生疏，复习时没见过，考试没做过，考生的思维障碍往往在于阅读能力的欠缺，以及转译成数学语言的过程中发生差错。但只要考生基础知识扎实，注重数学思辨，“生题”可以转化“熟题”，“无从下手”可以变为“游刃有余”，让“难题不怪、新题不难”，解决的途径本质上主要是要求考生不仅能理解概念、定义，掌握定理、公式，更重要的是能够应用所学的知识和方法解决数学新定义的题型。
三、各省市高考中的新定义题
近10年各省市的高考试题中，一些新颖构思的新定义题数列经常出现，如“等和数列（2004北京卷）、”绝对差数列“（2006北京卷）、“等比方数列”（2007湖北卷）、“对称数列”（2007上海卷）、“*数列”（2010湖南卷）、“ 数列”（2011北京卷）、“保等比数列函数”（2012湖北卷）、“面积数列”（2013新课标全国卷）。
【例1】（2004北京，理14）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和.
已知数列 是等和数列，且 ，公和为5，那么 的值为___________，这个数列的前 项和 的计算公式为________________.
举一反三：定义“等积数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的积都为同一个不为0的常数，那么这个数列叫做等积数列，这个常数叫做该数列的公积。
已知数列 是等积数列，且 ，公积为6，那么 的值为______________，这个数列的前 项和 的计算公式为________________。
点评：新定义型试题主要目的是考查学生在短时间内以最快速度理解、接受并运用新知识解决数学问题能力，解决这道题，关键是理解新概念“等和”、“等积”，掌握其本质――和、积为同一个常数。虽然简单，考查的是学生继续学习新知识的能力，也是培养创新意识的一种方式。
【例2】（2006北京，理20）在数列 中，若 是正整数，且 ， 则称 为“绝对差数列”。
（Ⅰ）举出一个前五项不为零的“绝对差数列”（只要求写出前五项）；
（Ⅱ）若“绝对差数列” 中， ，数列 满足 ， ，分别判断当 时， 与 的极限是否存在，如果存在，求出其极限值；
（Ⅲ）证明：任何“绝对差数列”中总含有无穷多个为零的项。
点评：这类问题要求考生在最快的速度使用有效的方法收集处理信息，读懂并理解新定义的数列名称，如本题的“绝对值数列”，除数列外，交汇了极限的知识，然后综合、灵活地应用所学的数学知识，利用获取的有用信息进行独立的思考、探索，并据此提出解决问题的思路，创造性地解决问题。其中涉及到简单的极限问题知识点有：摆动数列没有极限，常值数列的极限是这个常值；（Ⅲ）用反证法证明“绝对值数列有零项”。
【例3】（2007湖北，理6）若数列 满足 （ 为正常数， ），则称 为“等方比数列”.
甲：数列 是等方比数列； 乙：数列 是等比数列，则（ ）。
A.甲是乙的充分条件但不是必要条件
B.甲是乙的必要条件但不是充分条件
C.甲是乙的充要条件
D.甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件
回归课本：苏教版和人教A版等比数列课后练习：已知 是各项均为正数的等比数列， 是等比数列吗？为什么？例6的必要性与课本的习题在解题方法是完全一样的，充分性不成立：如1，-1，1，1是等方比数列但不是等比数列。
【例4】（2007上海，理20）若有穷数列 （ 是正整数），满足 即 （ 是正整数，且 ），就称该数列为“对称数列”。
（1）已知数列 是项数为7的对称数列，且 成等差数列， ，试写出 的每一项。
（2）已知 是项数为 的对称数列，且 构成首项为50，公差为 的等差数列，数列 的前 项和为 ，则当 为何值时， 取到最大值？最大值为多少？
（3）对于给定的正整数 ，试写出所有项数不超过 的对称数列，使得 成为数列中的连续项；当 时，试求其中一个数列的前2008项和 。
点评：本题是由两个等差数列或两个等比数列按照对称的方式“拼接”而成，形式新颖。它以联合体为依托，考查等差、等比数列的定义、性质，对新定义的理解与掌握是解决一切问题的基础，理解新定义的内涵与外延，什么是对称数列，对称数列具有什么特点。
【例5】（2010湖南，理15）若数列 满足：对任意的 ，只有有限个正整数 使得 成立，记这样的 的个数为 ，则得到一个新数 列 .例如，若数列 是 ，则数列 是 .已知对任意的 ， ，则 ， .
点评：与一般试题相比较，这道题给定一个新信息，*数列，要求考生通过认真阅读理解、观察分析，并与已有认知结构中的知识进行同化，探索获取有用的信息，从而创造性地解决问题。由于本题是一道客观题，所以采用了归纳猜想的解题策略。这类题型估计会是今后高考命题的热点。考查等差数列和等比数列的综合和数列的性质和应用，关键是对题意的理解，在选择题中合理地进行猜想，往往能有效地简化运算。
【例6】（2011北京，理20）若数列 满足 ，数列 为 数列，记 = 。
（Ⅰ）写出一个满足 ，且 的 数列 ；
（Ⅱ）若 ， ，证明： 数列 是递增数列的充要条件是 ；
（Ⅲ）对任意给定的整数 ，是否存在首项为0的 数列 ，使得 ？如果存在，写出一个满足条件的 数列 ；如果不存在，说明理由。
点评：本题考查数列的综合应用，考查学生探究问题能力、抽象概括能力以及推理论证能力，尤其是（Ⅲ）。解题过程中用到了累加法和拼凑法。命题者是将定义型的数列与整数性质的知识交汇，这类试题较常见于竞赛数学试题中，难度很大，学生需要适当掌握一些整数性质方能成功解答。
【例7】（2012湖北，理7）定义在 上的函数 ，如果对于任意给定的等比数列 ， 仍是等比数列，则称 为“保等比数列函数”。现有定义在 上的如下函数：
① ；② ；③ ；④ 。
则其中是“保等比数列函数”的 的序号为（ ）。
A。①② B。③④ C。①③ D。②④
点评：这道题的“保等比数列”有高等数学的影子――保号性、保不等式性的性质类似，在高中来说虽然是新的说法，但事实上这类题目很常见，说法也是异曲同工。换一种说法就是： 是等比数列，问 是否是等比数列？
回归课本：设 是等比数列，有下列四个命题： 是等比数列； 是等比数列； 是等比数列； 是等比数列；④ 是等比数列。
其中正确命题的个数是（ ）
点评：定义几何数列及其单调性问题判断问题，其中结合海伦公式求三角形面积，作为全国卷选择题的压轴，难度很大。新定义数列的递推关系较为复杂，面积数列的表达方式也是一个难点，这些问题均是考生思维延时的障碍知识点，综合利用各个条件进行严密的逻辑推理方可解决此类问题。
回归课本：“等比数列的通项公式”后练习6：一边长为1的等边三角形，连接各边中点，如此继续下去，证明依次得到的三角形面积为等比数列。同样也是面积数列，很可能是题目的原型。
四、总结和启示
作为高考数学的必考内容――数列，不仅经常被命制为高考的压轴题，试题的内容更是不断地推陈出新。根据近10年来各省市的高考数学试题可以发现，新颖的数列题型既有中低难度的题目，又有中高难度的题目，而且多数年份属于中高难度。近十年来，北京高考数学文理科试卷几乎年年将新定义数列题型作为压轴题。如例2，例6等等皆是如此。这类试题形式新颖、可变性高，我想这也是命题者命制此类题的原因，
这种题型给高考数列复习带来一些新启示，题目有针对性的设计，考查了学生的创新意识，加工提取信息及知识的迁移能力，分析问题的逻辑性，表达的条理性，可以说真正做到了以能力立意，以知识为载体。但是也对学生的能力，教师的教学提出了更高的要求，如果在平时的教学中不注重能力的培养，只一味的搞题海战术是不可能把这种题做好的。立意或背景新颖的题目加大了一些对数学能力的考查，如同“水来土掩”一样，探析如何解决便是首要的任务。
五、解决策略
掌握新定义的本质，借助新定义的数列的特征，向已掌握的数列知识转化，培养学生的应用意识。解题的关键是正确理解与运用新的概念、新的运算或新的关系的意义。考查考生对信息的接受理解和及时运用的能力。理解新符号，转化为熟悉的内容，利用相关知识进行解决，比如例1-例8均是对新知识、新概念的阅读、理解、接受和应用能力。可应用类比、联想、构造等方法来解决。
解决的途径不外乎是提高学生的阅读、理解题意的能力，平时的教学中可以作为一个小专题作为训练，专题内容可以为数列应用题、新定义、知识交汇的综合题。对于高数浅化法，对学生也是属于新定义型的题目，教师在平时的授课过程中适当的时候可以进行高等数学延伸，注意要符合中学生的能力水平，在拓展学生的视野的同时也锻炼了他们的阅读能力。这就对教师提出了较高的要求。
有一种比较少见的题型便是几个数学概念按照一定的方式“拼接”整合而成的联合体，如例4，由等比数列和等差数列按照对称的方式拼接而成，是近年高考热点题型之一，其命题情景新颖、内涵丰富，富有创意等特点为高考注入了新气息。
解决“拼接”而成的联合体问题的关键是以“降维”的思想为指导，根据联合体“拼接”生成的方式，从整体着眼，细节入手，化整为零，逐个击破。例4的（1）共7项的“对称数列”，前4项是等差数列，便是逐个击破，先由等差得出前4项，再由对称得出后3项。它注重学生已学的知识背景，联合体题目离不开知识点间的综合交汇，这样的题目设置可以突出对数学思想方法，思维能力、信息迁移的考查，符合大纲要求。另外，试题的不断深化、创新，也体现出高考改革服务于新课改的指导思想。
回归课本，夯实基础。课本是学习的范本，我们常说“万变不离其宗”，数学定义、定理、性质、公式等几乎都是学生从课本上得来的，特别是课本中的例题、练习、习题和复习参考题等都是教材研究者在众多题目中精挑细选，而且经过了全国许多老师和学生的精打细磨，可以说是能经得住考验的题目，这些题目不仅具有示范性、代表性和典型性，而且大多数还具有可拓展性、可探究性，所以课本内容自然也就成了考试内容的载体和来源，是高考命题的依据，是最具有价值的材料，因此也是高考数列题的命题来源。如文章介绍的新定义题型不管是人教A版还是苏教版上的例题和课后练习都有迹可循，甚至有些高考题与课本习题、例题是十分神似，如例7湖北卷的“保等比数列”，不管是题意还是解题方法和课本习题简直是“孪生兄弟”
解决策略是理解清楚课本上的例题、习题。回归课本，充分利用好课本中知识的形成过程和例题、习题的典型作用。对目前较常用的人教A版和苏教版，使用人教A版教材的学校老师应该多研究苏教版教材上面的题目，使用苏教版教材的学校老师应该多研究人教A版教材上面的题目，尤其是人教A版中的B组题和苏教版中的探究题，深入挖掘，揭示本质，作为提供给学生学习的材料，让学生从题目中反思数学知识点、数学思想方法等。
参考文献：
[1] 人民教育出版社课程教材研究所.普通高中课程标准实验教科书数学必修 5A 版[M].北京：人民教育出版社，2007：54
[2] 尹爱军.以数列为背景的高考新颖试题赏析[J].思茅师范高等专科学校学报，2008（6）：94-97
[3] 苏教版高中数学教材编写组.普通高中课程标准实验教科书数学5（必修）[M].南京：江苏教育出版社，2012：67
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【关键词】高中数学 数列 分析
引言：数列，是一种典型的离散型函数，是高中重要的教学内容之一，在生活中很多方面发挥着重要的作用。高中数学教师在具体的教学过程中，往往通过对数列知识的讲解，具体例题的分析和课后练习题的巩固，来培养和提高学生分析、思考、归纳数学知识和自主学习的能力。使学生在课后的练习过程中，在解决数列问题的时，可以对其他类似的数学题进行触类旁通的解决。这就要求教师充分的重视数学数列的教学过程和方法[1]。对教学设计不断的进行优化创新，对数列的基本公式和概念进行有效的传导，并要结合实际情况对数学数列方法进行深层次的探究，重视学生是教学活动中的主体，使学生们养成良好的学习习惯，形成系统性的创新思维模式。
一、高中数学数列的应用简析
作为高中数学教学内容的重要组成部分，数列蕴含着灵活多样的教学理念和方法。在人们的日常生活中也发挥着重大的作用，具有极高的运用价值。例如，结合现代人们的生活需要，数列知识可以解决很多实际问题：生物细胞分裂、中国人口增长及密度、产品规格的设计等都会涉及到数列的应用。通过对数列的学习，有利于提高学生的运算速度和能力，有利于培养学生的逻辑思维能力。高中数学教学在具体的教学过程中，一定要足够的重视数列教学方法，不断的探究、创新数列教学方法，采用最有效最快捷的教学方式，使学生在熟练地掌握数列概念的同时，能够充分、灵活的对其进行应用。教师不仅要让学生们在课堂的学习中有紧迫感，成就感，还要让其在课下进行深刻的思考和分析。
二、高中数学数列教学的创新
（1）数列教学设计的优化。数列、一般数列、等差数列、等比数列是是高中数学数列教学的主要内容。其中，等差数列和等比数列是数列教学内容中的重点。主要包括对数列的定义、基本特点、通项公式、分类方法、具体应用等知识点的学习。传统的教学观念中，教学设计作为一种系统化过程，是用系统的教学方法将数列教学理论，同学习理论原理进行转换，使之成为教学活动和教学资料的具体计划。创新理念的数列教学设计解决了"教学成果"；"教学方法"；"教学目的"等问题，通过教学设计来解决教学问题，探究总结问题的解决方法和步骤，形成新的教学方案。并在新的教学方案实施以后及时的对教学效果进行分析，规划操作其过程程序，判断其实施的价值。这一过程也是教学优化的的过程，能够提高教学成果，创造出更加合理高效的教学方案。比如在学习等比数列前n项和这节课时，首先设置一个具有趣味性的问题：有一个印度国王想要奖励国际象棋的发明者，问其有什么要求，这个发明者说：请在棋盘上的64个格子中的第一个格子放入1粒麦粒，然后在第二个格子中放入2粒，第三格放入4粒，第四格放入8粒，以此类推，每一个格子都需要是前一个格子的2倍，国王听了就答应了，同学们你们知道国王应该给这个发明者多少粒麦子吗？然后带着问题进行学习数学，不仅能够激发学生学习的主动性和积极性，提高教学的有效性[2]。
（2）创新理念下的"数学概念"。对数学对象本质属性进行反映的思维方式，是数列的数学概念。它的定义方式有两种，一种是指明外种延的，一种是描述性的。对一个数学概念的学习，应记住其名称、了解其涉及到的范围、简述其本质属性并运用其概念进行判断。数学概念包括等差数列、等比数列、通项公式和数列。在对这些陈述性概念进行设计时，设计者应对上述概念体现的概念特点进行表明。并且在高中数学数列学习中，为了能够激发学生对数列学习的兴趣，体会数列实际应用的价值，则可以通过将生活中实际的问题引入到课程教学汇总，从而将抽象的数学知识转变为实际需要解决的问题，使学生学生对所要研究的内容心中有数。并且在数列学习中可以结合其他知识点进行学习，比如数列中蕴含的函数思想是研究数列的指导思想，应及早引导学生发现数列与函数的关系.在教学中强调数列的项是按一定顺序排列的，"次序"便是函数的自变量，相同的数组成的数列，这样不仅能够引导学生通过多方面解决问题，而且对提高学生运用知识的能力也具有重要的意义[3]。
（3）创新理念下的教学设计是以关注学生的需要为基础的。为学生服务是教学设计的最终目的。教师应当认识到，教育的主体是学生，学生与学生之间存在着接受能力、对同一数列概念的认识水平、认知结构等方面的差异。对于那些接受能力较弱的学生，单单的让他们自己去探索、发现数列的运用规律及特点是不行的。在这样的情况下，传统的教师讲授式教学方法更适合他们。不但可以尽可能的缩短教学时间，让他们掌握数列教学的基本内容，还可以通过课后有关数列的习题的练习，强化其对基本知识的记忆[4]。对于接受能力不算很好的学生来说，简单的数列习题应适当的留给他们，让其自行的解决，对于一些有一定难度的习题，老师可以直接的进行讲解，并帮助学生们分析。从学生的具体需要出发的教学方式的创新，才能够有较好的教学效果出现[5]。
结语：数列教学活动的创新，数列教学方法的改进，没有永恒的教学模式规定。教师运用那种教学方法，以什么样的方式形式呈现出来，需要数学教师灵活的掌握。以学生为教育主体，不但要对教学内容特点特征进行考虑，还要考虑到学生的整体素质，照顾到弱势群体。总之，综合考虑各个方面的因素，根据实际情况的需要，选用合适的教学模式。积极探究创新高中数学数列的教学方法，使其既可以达到传授知识的目的，又对学生学习能力的提高有帮助。
参考文献：
[1]朱达峰.新课程背景下高中数学有效课堂教学引入的十种方法[J].数学学习与研究
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关键词：数列极限；函数极限； 异同
引言：数列是一种特殊的函数，其特殊性在于其定义域是全体正整数集，故是不连续、是离散的变量；而函数的定义域一般是全体实数集，由实数的稠密性可知，该自变量是连续的。由于数列和函数之间的这种不同，就间接导致数列极限和函数极限也有所不同，本文是在参考华东师范大学数学系主编的教材《数学分析》第四版的基础上，列举出了几点关于数列极限和函数极限的异同之处。
1 数列极限
关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。《庄子―天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设 {An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当 n>N 时，有 OAn-aO
2 函数极限
对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、―∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0， 或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。因此，函数极限共24种类型。比如，拿x+∞，f（x）a为例，其精确定义如下： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当x>M时有 |f（x）-a|
3 性质的异同
（1）由于极限存在则其值必唯一，故数列极限和函数极限如果存在，则极限值都是唯一的；
（2）如果数列极限存在，t它是有界的，而且是整体有界，即存在正数M，使得对一切正整数n有|An|≤M ；而函数极限如果存在，它也是有界的，可是这种有界性和数列的有界性不同，它是一种局部性，比如当x+∞时，函数极限的局部有界性为表述为：即存在正数M，使得f（x）在x>M的领域上有|f（x）|≤M，这里强调的是局部性，而不管小于M的函数值是否有界，所以，函数极限的局部性质是和数列极限有着本质区别。同理，数列极限还有保不等式性、迫敛性、保号性，而函数极限则对应于局部保不等式性、局部迫敛性、局部保号性等性质；
（3）判别数列极限存在的方法有主要是单调有界定理和柯西收敛准则，这两大著名方法用于判断数列极限是否存在非常有用。在单调有界定理中，如果一个数列单调递增，而且存在上界，则该数列极限存在且极限值等于其上确界，同理，如果一个数列单调递减，且存在下界，则该数列极限存在且极限值等于其下确界。在柯西收敛准则中，反映的是这样一个事实：收敛数列各项的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意两项之差的绝对值可以小于事先给定的任意正数ε，柯西收敛准则相比单调有界定理的好处在于无需借助数列以外的数a，只需根据数列本身就能判别其敛散性。相比函数极限的存在条件，其中的柯西准则和数列的完全类似，而不同的是函数极限多了一种归结原则（海涅定理）。当然，这种方法我认为在实际应用中是不太现实的，因为收敛于x0的数列有很多，所以，我们不能一一去验证其极限值。通常用的最多的是它的推论：即找到一个收敛于x0的数列，函数极限值不存在或找到两个收敛于x0的数列，但这两个函数极限值不相等。这与判断数列极限是否存在的寻找子列的方法一样，可以说，这两种思路完全一样。当然函数极限也存在单调有界定理，该定理在函数表达中由于单调有增减变化，所以只能研究一侧，即只能研究单侧极限。其方法和数列极限相类似，只需稍做一些修改即可。
（4）数列极限和函数极限在应用上也有很多相似的地方，比如四则运算及其证明过程，平均收敛和几何收敛及其证明以及一些构造性方法，两者的思路十分相似，只需稍微改动即可。但是这里要强调一下，在使用洛必达法则的时候，如果遇到处理数列极限时，应该先转化为函数极限进行求解，然后再应用归结原则得出数列极限值，因为对于在数列极限形式下不能使用洛必达法则，原因是离散变量求导数是没有意义的，这一点必须特别注意。
总结：本文主要以华东师范大学数学系主编的第四版《数学分析》为例，列举了几个数列和函数极限的表示方法，从定义、性质、收敛条件、应用4方面浅谈了自己的一些看法，若有不妥的地方，恳切希望读者指出，我定给予修正。
参考文献：
[1]何天荣. 数列极限与函数极限的异同及其本质原因[J]. 考试周刊，2016，（55）：58.
篇10
新课程相比传统的课程，在教学方式上有很大的改变，比如从仅有的启发式教学，到今天的合作探究教学、师生互动、生生互动教学等等；在培养学生动手能力、问题建构、团队合作、课外研究性学习方面也作出了一定的贡献，但我们知道，以上这些大多是在公开课、展示课或者是对外交流时展现的，平时呢？笔者觉得，课程实施不仅仅在于作秀，更要注重基本的常态课，只有在常态课教学中实施新课程理念、做好新课程要求的――教师培养学生各方面的能力的事，才能使学生真正地得到成长，这些成长更主要体现在学生的数学素养、思维方式和创新能力上。
笔者常常出去参加交流活动、听公开课，自己也上很多公开课，但是真正能体现课程实施能力的课与教学是少之又少，说是“研究性学习”，其实不过是“给几个问题回答”；说是“合作探究”，其实不过是“乱哄哄瞎讨论”等等，所以高中数学如何在课程实施上有较好的实践，需要教师好好的反思。
2.教学的实践
新课程注重对学生多方面能力的培养，笔者将其总结为三个层次：
第一层次：诸如数学方面的知识能力（计算能力、空间感知能力、逻辑思维能力）；
第二层次：是解决问题中培养的团队合作能力、自主学习能力等；
第三层次：高中数学对学生的创新能力的培养。
但是回顾我们的教学，笔者发现我们的课堂除了较为注重第一层次的能力之外，对培养学生其他方面的能力上的重视是远远不够的。课堂上教师对新课程具体表象的理解――就是体现在教材的处理上，那种“一个定义、三个注意”模式的概念课需要改革，专题知识题型记忆的习题课也需要改革！如何真正融入新课程理念而具体实施？笔者认为：
（1）教学内容不宜多，要符合任教学生实际，即“因材施教”；
（2）选择内容要合适，不是每个高中数学知识点均适合新课程理念要求进行探究或自主学习；
（3）探究方式多样化，方式可以是合作、思考，亦或课后小论文等，不是一定要“热热闹闹”的表象；
（4）教师必须要引导，现阶段凭借纯粹学生自主讨论是不现实的，不过教师要把握好引导的“度”；
（5）层次能力要培养，对课程中能实施新课程理念的教学内容，注意三个层次能力的培养。
案例 递推数列的通项求法（苏教版必修5《数列》专题）
在教学递推数列的课堂上，笔者展示了一道高考数列题：（2012年江苏启东高三模拟题）
数列{an}的前n项和为Sn，已知a1=1，Sn+1=4an+2。
（1）设bn=an+1-2an，问数列{bn}是等比数列吗？请说明理由；
（2）{an}通项公式能否求出？并介绍求出本题的思想方法。
简解：（1）{bn}是首项b1=3，公比为2的等比数列。（略）
（2）运用整体思想，由（1）可得bn=an+1-2an=3・2n-1，……（*）
■-■=■， 数列{■}是首项为■，公差为■的等差数列。
■=■+（n-1）■=■n-■， an=（3n-1）・2n-2。
根据题中提示，学生很快解决了本题，用到了数学知识中整体解决问题的思想。
笔者请同学们尝试改变问题中（*）式的右边，进行学生三个层次，即数学知识运用、自主学习能力、创新思维能力的锻炼，如下表：
■
这是笔者曾经与学生一起研究的形如an+1=pan+f（n）数列通项问题，通过这样的课程研究，不仅深化了教师对数列通项的知识结构的理解，而且通过这样的课程提升了学生对数列通项这样重要知识点的三维能力要求，将其不仅从数学知识能力上进行了提高，而且从问题的演变中进行了自主学习能力和创新能力的锻炼，这是较为符合新课程实施要求的教学。关于本类问题的研究，笔者与学生一起进行了小论文形式的结论总结，限于篇幅，不赘述。
3.实施的反思
据教育部最新的指导意见（新课程改革已经进入第十个年头），对上一轮新课程改革的过程和结果都要进行分析总结，并加以改善，所以某些省市（比如上海、浙江等）已经开展又一轮的教材和课程改革。
作为教师来说，我们对教材的处理是更细致、更基本层面的，因此教师本身也要对自身教学进行课程实施能力的反思，笔者把这种反思归结为如下几个方面：
（1）新旧教材知识删减
比如教学中笔者发现三垂线等陈旧知识早就删减了，但是教比不教学生掌握得好，解题速度快、命中率高，教师怎么办？不讲极限，直接通过变化率介绍导数，是不是数学教学过于形式化？笔者的意见是，该要的还是需要，不能说删就删，教学最终是为学生服务，讲求解决问题的速率和正确率，要以考试大纲和高考命题为基准。
（2）双基教学与时俱进
曾经我们赖以打基本功的双基教学，现在有点落伍了，那么我们应该与时俱进地来看待双基，新修订的《义务教育课程标准》已经将双基改成了四基，这是一种改革，那么在教师身上也需要不断更新自己的观念。用张奠宙教授的话说：“不要在岩石上修茅房，也不要在泥巴地里建高楼！”
（3）修订本校校本作业
据不完全统计，诸如江苏启东中学、湖北黄冈中学、北京四中等全国名校，均有适合自己的校本作业。但是像笔者所在的学校，由于种种原因，以前没有抓住机遇编写，而市面上相应的教辅资料又不适合本校学生！新一轮课程改革来临之际，编写较好的校本作业是当务之急。
（4）数学教学专业研究
新课程改革以来，笔者觉得忙忙碌碌了几年，在这几年中，的的确确学习了不少的新知识，诸如：说课、微课、研究课题、研究性学习、合作讨论等等这些较为新颖的教学方式和手段，得到了一定的进步。但是反思后，笔者觉得这些提高了教师自身的专业素质，但是对学生教学板块，我们其实一直比较忽视，试想：公开课重视情境、重视教学参与，有多少教师是从学生的心理机制上去考虑问题？因为学生是白纸，出现的问题是千奇百怪的，所以这方面很值得教师反思。