GeoGebra在高中数学单元教学的应用

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一、教材的结构与内容安排

本文教学设计所使用的是人教A版（2019）普通高中数学教科书选择性必修第一册第三章《圆锥曲线的方程》。在内容上以椭圆、双曲线、抛物线的概念、性质和应用的内在统一性作为学习的明线，在逻辑结构上强调知识发展的合理性，结合数学史和学生的心理特征设计逻辑连贯的数学活动，循序渐进地渗透坐标法的思想，促进学生的直观想象、数学运算等核心素养的发展，这是学习的暗线。教材在圆锥曲线的定义处理上采用了统一定义和个性定义相结合的方式。在本章的章头图部分，教材通过平面截圆锥得到三种截线引入，这是阿波罗尼奥斯在《圆锥曲线论》中的定义，优点是此定义便于学生容易区分圆锥曲线的类型，缺点是每种圆锥曲线的几何特征不明显。所以在椭圆、双曲线的定义上，教材使用了几何定义，这种定义便于作图和建立平面直角坐标系研究曲线的方程和性质。为了与抛物线的定义相衔接，教材借助于例题拓展介绍了圆锥曲线的统一定义。这种兼顾共性定义和个性定义的方式，利于学生形成系统的知识结构。

二、本单元的整体设计

学生在学完本章内容后，普遍有一个疑惑，就是在章头图中通过圆锥曲线的历史介绍了圆锥截线定义后，在具体的教学内容安排上又采用了几何定义的方式，这种截线得到的圆锥曲线是否满足几何定义呢？现行苏教版的高中数学选修教材2-1第一节标题是“圆锥曲线”，内容上也是通过圆锥曲线的截线定义引出三种曲线，然后介绍了旦德林双球模型，分析模型中隐含的几何特征得到三种曲线的第一定义，然后分三个小节展开学习。这样的编排有利于学生消除疑问，从整体上建构圆锥曲线的概念，但如何发现并理解两种定义之间的联系是教学的难点。在探讨本单元的教学设计时，我们提出了借助geogebra软件，在课堂教学时尝试向学生讲解截线定义和几何定义的历史，通过问题串引导学生发现两种定义之间的联系，帮助学生从整体上学习和认识圆锥曲线。笔者仔细阅读了人教A版和苏教版的教材后，基于学生的认知基础，根据教材内容的结构，把本单元的教学分为椭圆、双曲线和抛物线三个小单元来实施，每个小单元的教学过程是“同构”的，包括定义、标准方程、性质和应用四个环节，单元教学的整体结构如图1所示。椭圆是三个小单元教学的重点，椭圆定义的学习从截线定义出发，通过旦德林双球模型得到几何定义，继而推导出椭圆的标准方程和性质。通过椭圆的学习引导学生掌握圆锥曲线的研究架构，理解坐标法研究几何问题的过程与方法，双曲线和抛物线的定义可以类比椭圆让学生通过合作探究来完成。

三、圆锥曲线定义的发展简史

圆锥曲线的定义教材中出现了三种形式，分别是截线定义、第一定义（几何定义）和第二定义（焦点—准线定义）。圆锥曲线是如何被发现的？一开始是如何定义的？圆锥曲线的定义经历了怎样的发展过程？带着疑问，笔者认真查阅了圆锥曲线的发展史，从中发掘可以辅助我们进行教学的关键历史节点，经过研究笔者梳理出下面的三个关键阶段。第一个阶段是指圆锥曲线的圆锥截线定义。公元前4世纪古希腊数学家在研究倍立方问题中发现了圆锥曲线，提出用垂直于母线的平面去截顶角分别为直角、钝角和锐角的正圆锥，得到直角圆锥曲线（即抛物线）、钝角圆锥曲线（即双曲线）和锐角圆锥曲线（即椭圆）。阿波罗尼奥斯使用对顶斜圆锥来表示圆锥曲线，从而发现了双曲线有两支，他所著的《圆锥曲线论》用综合几何的方法得到目前高中数学涉及的几乎所有圆锥曲线的性质。第二个阶段是指圆锥曲线的第二定义。公元4世纪，古希腊几何学家帕普斯在《数学汇编》中用几何方法证明了欧几里得《面轨迹》中的一个引理：平面上定点和定直线的距离之比等于常数的动点轨迹为圆锥曲线，常数大于、等于和小于1时，轨迹分别为双曲线、抛物线和椭圆。第三个阶段是指圆锥曲线的第一定义（几何定义）。17世纪初期，笛卡尔创立了解析几何，数学家们开始注重从代数的视角，运用解析的方法，研究圆锥曲线的定义、方程和各种性质。18世纪初，法国数学家洛必达（1661~1704）在其著作《圆锥曲线分析论》中给出了椭圆的第一定义，即将椭圆定义为平面上到两定点距离之和等于常数的动点轨迹，并据此推导出椭圆方程。虽然数学家们先后给出了圆锥曲线的截线定义和几何定义，并借助坐标系推导出了圆锥的方程，研究了圆锥曲线的性质，但圆锥截线定义与几何定义之间是孤立的。直到1822年，比利时数学家旦德林在一篇论文中利用圆锥的两个内切球，直接在圆锥上作出椭圆截面的焦点，推导出椭圆的焦半径性质，从而证明了截线定义与几何定义的统一性。

四、小单元的教学设计

（一）章节引入的教学设计

“章引言”是一章教学的起点，本章的引言部分有5段，介绍了圆锥曲线的截线定义、在实际中的广泛应用和坐标法的研究思路，说明了圆锥曲线是什么、为什么学、学什么和怎样学的问题。通过学习学生可以获得本章内容的整体感知，从结构的角度形成认知地图，尤其截线定义和坐标法是贯穿本单元学习的一明一暗两条主线，可以让学生明确本单元的学习内容和方法，形成良好的认知状态。上课之前布置学生完成课前作业：1.圆锥曲线的名称是怎么来的？它和我们学过的圆锥有什么关系？2.圆锥曲线在日常生活中有哪些应用？3.平面解析几何的基本思想是什么？课前作业的设计一是引导学生认真阅读章引言，二是让学生通过收集和整理资料的过程，初步获得本单元的整体感知。引言部分提出用一个平面去截圆锥，当圆锥的轴与截面所成的角度不同时得到了圆、椭圆、双曲线和抛物线四种不同的截口曲线，并用章头图展示了这几种不同的曲线。课堂教学中教师首先是让学生展示课前作业中第一个问题的研究成果，同时利用GeoGebra软件动态地展示这四种曲线的形成和变化过程（图2），目的是借助圆锥的截线定义，让学生容易区分圆锥曲线的不同类型，明确不同圆锥曲线之间是有着自然的联系的，但如何去画一个标准的圆锥曲线，每一种曲线有什么几何性质却不明显，这容易激发学生的学习兴趣，形成一种求知的良好心态。然后分组展示两个问题的研究成果，通过丰富的实例展示让学生体会圆锥曲线的广泛应用，明确几何图形源于生活，又服务于生活，明白为什么要学圆锥曲线。接着教师介绍圆锥曲线的发展历史，回顾总结直线与圆的研究架构，使学生了解解析几何的核心思想，通过类比明确圆锥曲线的研究路径，为本章的学习奠定基础。

（二）椭圆定义的教学设计

教学设计时笔者借鉴了2005年初审通过的人教版选修教材2-1第42页“探究与发现”栏目中“为什么截口曲线是椭圆”专题的内容，通过平面截圆锥形成圆和椭圆的动态演示，提出问题：在平面内到一个定点的距离等于定长的动点形成的轨迹是圆，椭圆是否也有类似的几何性质呢？历史上很多数学家想要证明椭圆的这个几何特征。直到19世纪，比利时数学家旦德林建构了双球模型，才严谨地给出了证明。然后介绍数学家GerminalDandelin的研究方法，教学中学生难于理解的一点是这么巧妙的模型是如何想到的。为了降低旦德林双球模型的理解难度，教师可以借助学生比较熟悉的直观形象的“球在光源下的投影”，课堂上通过手电筒照射篮球，在桌面上的投影呈现椭圆形状，引导学生理解此时球与桌面相切于一点，手电筒发出的光束是圆锥状的，光线与球相切在桌面上投影出椭圆，从而理解球内切于圆锥的几何特征。在根据光线可逆性，从点光源发出的光束也可以看作是一束光聚焦到点光源上，从而建构出旦德林双球模型，同时利用GeoGebra演示旦德林双球模型，在圆锥里放置两个球，用一平面与两个球相切（图3）。图中在圆锥内两球与圆锥内表面相切，球心分别为O1、O2，用一个不平行于圆锥底面的平面去截圆锥，并且平面与两球分别相切于F1和F2，在椭圆上任取一点P，过点P的圆锥母线交两个圆（两球与圆锥内表面的切线）于点M、N。因为PF1=PM，PF2=PN，从而PM+PN=MN>F1F2，且MN为定值。教学中借助GeoGebra动画演示，引导学生深刻理解椭圆上任意一点到两个切点的距离之和为定值的几何特征，从而顺利完成从截面定义到几何定义的过渡。然后结合课本中的探究活动，让学生通过细绳、铅笔和画板亲自动手画一画，加深对几何定义的理解。通过上面一系列的教学活动，培养了学生自主探究与合作学习的能力，提升了学生数学抽象、直观想象与逻辑推理的核心素养。

（三）双曲线定义的教学设计

课堂上先通过问题“在椭圆的学习中，主要研究了哪些内容？研究的过程是怎样的？”引导学生回顾和反思椭圆的研究历程，经过师生共同研讨形成研究圆锥曲线的路径，即从形到数再到形，用以指引双曲线的学习。通过椭圆定义的探究学习，学生对于旦德林双球模型有了一定的认识，会用球的切线长度来探究动点和切点之间的几何关系，所以本节课继续借助旦德林双球模型来探究双曲线的几何定义。教学时借助GeoGebra画出一个对顶圆锥和两个半径相同的内切球，并动态演示平面与两球相切且与对顶圆锥相交时形成的截口曲线，让学生类比椭圆的定义探究双曲线的定义。学生经过观察分析，在教师的引导下得出了曲线上任意一点到两切点的距离之差的绝对值为一个定值。然后再结合新教材中的内容，借助GeoGebra演示在平面内根据双曲线的几何定义作图的过程，以加深学生对定义的理解。

（四）抛物线定义的教学设计

在新旧版本的教材的教学中，教师都是借助于信息技术，画出平面内到一个定点F和一条定直线l（l不经过点F）距离相等的点的轨迹，从而得出抛物线的定义。但这种设计会让学生产生两个疑问：一是初中所学的二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线，是否也满足上面的定义？二是在章头图中展示的截口曲线中的抛物线是否也满足上面的定义？对于学生的疑问，教学中我们仍然借助于旦德林双球模型，让学生借助于信息技术进行小组合作学习，利用GeoGebra软件动态地演示动点的轨迹，帮助学生理解抛物线的定义。课堂小结时进一步总结整个圆锥曲线的研究路径、定义之间的联系，通过这样的教学活动完善学生对圆锥曲线的整体认知。圆锥曲线从截线定义到几何定义，实现了从三位空间到二维平面的转化，这种过渡对学生的直观想象和逻辑推理素养的要求较高，GeoGebra辅助圆锥曲线的教学显示了该软件在3D作图上的优势，将静态的章头图动态地展示给学生，提高了学生的学习兴趣，提升了学生的直观想象能力，加深了学生对定义的理解。运用纯几何方法来研究圆锥曲线存在一定的局限性，旦德林双球模型解释了圆锥曲线上的点都满足几何定义，但无法说明满足几何定义的点都在圆锥曲线上，所以随着解析几何的建立，数学家们渐渐抛弃了纯几何的方法，而更多地用坐标法来研究圆锥曲线。GeoGebra整合了代数、微积分、几何和概率统计等要素，有着强大的数形结合功能，有助于培养和提高学生的数学抽象、直观想象和数学建模等核心素养。

参考文献

［1］章建跃.第三章圆锥曲线的方程教材介绍与教学建议［J］.中学数学教学参考（上旬），2021（1）：8-16.

［2］章飞，顾继玲.单元教学的核心思想与基本路径［J］.数学通报，2019，58（10）：23-28.

作者：陈锋 沈才权