指向学生数学理解数学实验研究

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摘要：数学实验是一种基于学习历程的探索与建构。小学阶段开展数学实验，可以帮助学生经历情境、探索问题，合理开展数学学习中的各项探究活动，进一步丰富小学生对数学知识与规律的深刻理解，加深对数学新知识产生、形成和发展的深度体验。

关键词：数学实验；问题情境；双重建构

美国数学家哈莫斯认为：“问题是数学的心脏，问题解决是数学思维的核心。”数学实验作为数学教育发展的产物，是一种以问题解决为途径的教学方式与手段，受到人们越来越多的重视。郭庆松认为：“数学实验是在数学思想和数学教学理论指导下，小学生借助实物和工具，通过对实验素材进行‘数学化’的操作来验证数学结论、建构数学概念、探索数学规律、解决数学问题的一种数学学习方式。”[1]数学课程标准明确指出，数学学习既要关注学生知识与技能的获得，也要关注数学思考、问题解决与情感态度的同步发展。学生作为主体参与学习，不再只是为了积累知识、获得数学技能，也要经历观察、实验、猜想、证明、综合实践等数学活动，发展合情推理和演绎推理的能力，不断深入体会数学的基本思想和思维方式。不难看出，在小学阶段开展数学实验，有助于落实新课程理念与学科精神，进一步丰富小学生对数学知识与规律的深刻理解，加深对数学新知产生、形成和发展的深度体验，引导学生进行发现学习、认知学习，实现知识结构与认知结构的双重建构。

一、兼顾过程与教学结果的数学实验

“重视过程与重视结果”是个老生常谈的问题，随着课程改革的推进，教师的认识已发生了较大转变，课堂教学也出现了积极变化，不再只唯结果或唯过程，而是努力做到兼顾。然而，在具体实践层面，真正能做到“处理好过程与结果的关系”的教师却不多。作为人脑对客观世界的主观反映，知识通常可以分为陈述性知识和程序性知识，这两者有共同之处，即都是显性知识，本质上都是结果性知识。不同之处在于陈述性知识更多反映事实与结果，而程序性知识则是规则与顺序。除此之外，伴随着教学过程的展开，学生还会获得一类以体验感悟为主要特点的体验性知识，包括对知识产生、发展、理解、联系、应用等方面的体验与体悟，这是一种隐形知识，也可以称之为过程性知识。显然，良好而完整的数学教学理应将结果性知识与过程性知识融通结合，在有限的课堂教学中做好教学设计，让学生既获得结果性知识（即数学的基础知识与基本技能），又获得过程性知识（即了解理解知识产生的来龙去脉，形成数学活动体验，积累相关经验），对提升学生数学思维及数学素养大有裨益。比如在教学苏教版《数学》四年级下册“三角形内角和”时，对三角形内角和是180°这一结果性知识，如果仅仅通过有意义传授的教学方式，可能学生很快就能记住知识的结果，加以练习后也能熟练准确地运用以解决问题。但是学生对知识产生源头的好奇、对知识所蕴含规律的理解却相当缺乏，这样的教学设计难以有效培养学生数学基本思想，积累数学基本活动经验。从数学实验教学的角度出发，我们可以先提供一组学习材料（任意几个三角形纸片和一副三角尺）给学生，让学生回顾三角形的特征，整理上节课三角形三边关系的研究历程与研究方法，从而自然引领学生进入新的学习内容，即继续研究三角形三个角中蕴含的规律。接着通过师生交流，形成实验方案：①操作：通过“量”“算”“折”“剪”“拼”等具体活动，得出每个三角形的内角和；②记录：汇总记录实验操作的数据，形成完整的表格；③观察：通过观察数据，得出发现；④总结：归纳得出的发现，形成初步结论；⑤论证：通过任意举例验证及寻找反例，完善不完全归纳法得出的初步结论，形成最终的实验结论；⑥交流：畅谈实验结论（三角形内角和为180度）的价值及可能的应用。以上借助数学实验进行的教学设计，其目的不仅仅是积累知识，而是培养学生成为知识的探索者，努力发展学生探索问题、研究问题及解决问题的能力。

二、合理融通直观与抽象的数学实验

由于数学学科知识存在抽象性，所以对以形象思维为主的小学生而言，数学概念、规则的理解内化比较困难。数学实验教学是将抽象理论变得直观化、可视化的一种教学方式，其过程是学生在教师的引导下，亲身经历一个概念、规则的形成过程，通过动作思维和逻辑思维感悟知识发生过程、理解知识结果[2]。为了达成以上教学目的，教师在具体教学时，可以创设学生熟悉的生活情境，并借助问题解决的形式逐一展开，通过数学实验的开展逐步揭示数学概念，手脑口并用，多感官参与，从而实现直观与抽象的融通。比如教学苏教版《数学》三年级上册“分数的认识（一）”时，学生通过例题分蛋糕，初步认识了蛋糕的二分之一（21），头脑中朦胧建立起分数概念后，为了加深学生对分数意义的内化理解，可以开展创造分数21的数学实验活动。具体做法为：①操作：给学生提供数学实验素材（同样的长方形纸片），让其通过折纸创造出这张纸的21来；②观察：为什么四种方式都表示出了这张纸的21（如图1）；③交流：怎么得到分数21的？为什么这样的操作，就能得到这张纸的21，四种方法间的共同点是什么？④思考：还有其他的操作方法吗？还能怎样创造？（如图2，只要过长方形纸的中心折纸，都能平均分成2份，其中的一份就可以表示为这张纸的21）；⑤总结：分数是如何产生的？（师生共同归纳出分数的意义）以上的数学实验教学，将知识形成的过程及背后的思考，以直观、形象的方式展现出来，通过数形结合充分体现了分数这一抽象概念下的丰富内涵，体现了“做中学”所特有的学习价值，帮助学生更深刻地理解数学知识的实质。对学生而言，类似数学实验的开展，让学生动手操作、动脑思维，获得的知识会更加牢固地融入到已有的知识结构中去。

三、深化认识归纳与演绎的数学实验

波利亚曾经指出：“数学有两个方面，一方面它是欧几里得式的严谨科学，从这个方面来看，数学像是一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门试验性的归纳科学。”[3]事实上，归纳与演绎是数学学习过程中两种基本的思维方式，数学学习通常是经过示例观察，从简单、具体、特殊的研究中，发现并总结出一般结论，然后再演绎应用到解决问题上，或者作为后续演绎推理的理论支撑。两者相辅相成，有机结合，共同促进学生推理能力的提高，推动学生数学素养的发展。但在具体教学实践层面，如何有效帮助学生认识归纳与演绎两种思维方式是不容易的。究其原因，一方面是因为归纳与演绎的方法与经验往往隐匿于显性知识之下，不易体悟与理解。另一方面，学生受年龄及心理发展特征影响，元认知能力及逻辑推理能力尚处于发展之中，需要不断积累，悉心培养。所以，需要教师进行巧妙的教学设计，从而促使以上学习目标的达成。如在教学苏教版《数学》三年级下册“小数的初步认识”时，可以设计两种不同的数学实验教学，培养学生归纳和演绎的能力。一是归纳的方式。出示生活中的小数，如0.1元、0.3元、0.2米、0.7米等。学生根据已有生活经验，能明白0.1元是1角，0.3元是3角，0.2米是2分米，0.7米是7分米。再引导学生结合情境，开展数学实验，利用学习材料（表示1元的正方形纸，表示1米的长纸条）将这些小数表示出来。通过观察与交流，发现这些一位小数的共同点（都是用零点几来表示），总结归纳出共同的原因，也就是这儿的零点几都表示10等份中的几份，与之前学过的十分之几含义上是一样的，从而理解零点几是一位小数，是分母为10的另外一种形式的分数。二是演绎的方式。先回顾计数器的使用，通过拨珠操作帮助学生回忆整数学习时的十进制计数法。组织学生动手操作，拔出不同数位上的珠子，说说具体的含义，进一步认识相邻计数单位间的规则，即“满十进一”与“退一当十”。接着交流个位上的珠子可以“退”吗？“退”到什么数位上去呢？个位上的“退一”当做“几”呢？为什么也“退一当十”？可以用小数来记录吗？个位右边的数位的意义是什么？计数单位是多少？……结合以上数学思考开展的数学实验，将演绎的过程设计成可观察、可交流、可重复的教学行为。

四、建构知识结构与认知结构的数学实验

传统的数学教学观认为，数学学习只是智力活动，开展数学实验比较浪费时间，即使需要，充其量也是“纸上谈兵”或“思想实验”而已。因此弗莱等塔尔曾指出：“要实现真正的数学教育，必须从根本上以不同的方式组织教学，否则是不可能的。在传统的课堂里，再创造方法不可能得到自由的发展。它要求有个实验室，学生可以在那儿个别活动或小组活动。”[4]这也就指出了，作为教学重要方式的数学实验，要体现出独特的教学价值，即活动化与操作化、探索性与复制性的特征。教师要重视学生在数学实验活动中的主体地位，创设“问题—实验—交流—总结”的研究模式，让学生始终保持积极主动、乐于探究、动手动脑、讨论交流、学思并进的状态，在建构知识系统的同时学会学习，进一步完善认知结构。比如，教学苏教版《数学》三年级上册“两三位数除以一位数”时，教材上呈现了两个例题（如图3），并出现了两道除法算式：46÷2，52÷2，我们可以充分发挥学生的学习主体作用，让学生经历合理有趣的数学实验，先行尝试、实际操作、自主调整、建立认知，从而帮助学生深刻理解算理，掌握除法竖式算法。第一次实验：操作小棒发现，解决46÷2时存在两种分法，即先分4个十，再分6个一；也可先分6个一，再分4个十。两者皆可，皆合理，最后得出的结果都是23。第二次实验：操作小棒发现，解决52÷2时，也存在两种分法，即先分5个十，再分2个一；也可先分2个一，再分5个十。但是通过实验操作后的比较与交流，发现两种分法上存在难易与繁简的区别：即先分5个十，会余下1个十，将其与2个一合起来，得到12个一，接着分，这样比较方便。结合除法竖式，在明确数学表达应有序有理的基础上，学生最终达成共识“从高位算起更方便”，完成了“知其然，更知其所以然”的认知提升。综上所述，随着数学教育的不断发展，作为课程内容的数学实验，体现出了新时代育人的独特价值，体现出了返璞归真的现代教育理念，建构出一种学生可以充分参与、积极体验、深刻理解的学习方式。

参考文献

[1]郭庆松.小学数学实验的内涵、价值与实施[J].小学数学教育，2016（Z4）：6-9.

[2]喻平，董林伟，魏玉华.数学实验教学：静态数学观与动态数学观的融通[J].数学教育学报，2015，24（01）：26-28.

[3]波利亚.怎样解题[M].阎育苏，译.北京：科学出版社，1982：11.

[4]弗莱登塔尔.作为教育任务的数学[M].陈昌平，唐瑞芬，译.上海：上海教育出版社，1995：150.

作者：张伟 单位：江苏省南京市江宁科学园小学